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Full text of "Analytische Geometrie Der Kegelschnitte"

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In alien mathematischenDisziplinen und in der Mehr- 
zahl der naturwissensdaftlichen Facher und ihrer 
Grenzgebiete sind in meinem" Verlage neben rein 
wissenschaftlicher, popular -wissenscMtlicher und 
padagogischer Literatur grofiere Handbiicher und 
namentlich auch moderne 

Lehrbiicher fur Studierende 

erschienen, Ich bitte, meinen alljahrlicli neugedruckten 
,,Heken raathematisch-naturwissenschaftlichen Kata* 
,zu verlangen, der durch alle Buchhandlungen; 
den Verlag mentgeltli^h zu beziehen ist \ 



, Poststr. 3 B. G. TEUBNER i 



ANALYTISCHE 
GEOMETRIE DER KEGELSCHMTTE 

YON 
GEORGE SALMON 

MTAOH .DER FREIEN BEARBEITMG VON WILHELM FIEDLER 
NEU HEBAU8GEGEBEN YON 

DR.FRIEDEICH DINGELDEY 

0. PROFESSOR AN DEE TECHN.HOCHSCHULB 2TJ DARMSTADT 

SEBBENTE AUPLAGE 
ZWEITER TEIL 



PROPERTY Qf 

mm mmn of 
mm 

TEEI/AG YON B.G.TEUBNEE IN LEIPZIG UND BERLIN 1918 



A1LI 
DIS tJBEBSETZlHGSElCHTS, 70EBEH1LTW 



Yorwort 

Bei der Bearbeitung der voiiiegenden siebenten Auflage des 
zweiten Teiles der Salmon- Fiedlersclien Analytiscben Geometrie der 
Kegelsebnitte babe icb, verglicben mit der secbsten Auflage, fol- 
gende groBere luderungen yorgenommen: 

In Nr. 253 und 254 wurden die verscbiedenen Sonderfalle der 
Gleicbung dritten Grades, von der die in einem Kegelscbnittbuscbel 
entbaltenen Geradenpaare abhangen, genauer betrachtet und be- 
sonders der EinfluB der Realitat oder der Gleicbbeit ibrer Wurzeln 
auf die Art des Biisebels tmd die Bescbaffenneit des den Buscbel- 
kurven gemeinsamen Polardreiecks dargelegt. 

In den Nunimern 262 bis 266, 273 und 274 wurden mebrere 
Beispiele neu aufgenommen, die mir mein verebrter Freund, Herr 
Geb. Hofrat Professor Dr. K Bobn in Leipzig^ zur Yerfiigung stellte. 
Zum Teil steben sie in enger Beziebung zu zwei Abbandlungen, die 
Herr Eobn im 16. und 22. Bande des Jabresbericbtes der Deutschen 
Matbematiker-Yereinigung in den Jabren 1907 bez. 1913 veroffent- 
licbte. Fiir die Erlaubnis zur Aufnabme in das Bucb und fur die 
tlberlassung einiger zugebo'riger Figuren sprecbe ich meinen besten 
Dank aus. 

In Nr. 283 wurde die Konstruktion des Kegelscbnittes aus pro- 
jektiven Elementargebilden etwas ausfiibrlicner bekandelt. 

Nr. 300 der fruberen, secbsten Auflage wurde weggelassen, 
und gleicbes gilt von den Beisjnelen zu Nr. 299 dieser Auflage. 
Micb leitete bierbei lediglicb die tlberzeugung, daB diese syntbetiscb. 
durcbgefubrten Betracbtungen uber Punkt- und Tangenteninvolu- 
tionen und iiber die Involution barmoniseber Pole und Polaren nebst 
zugehorigen Konstruktion en nicbt in ein Lebrbuch der analytiscben 
sondern in ein solcnes der syntnetiscben Geometrie geboren. 

Im 17., 18. und besonders im 19. Kapitel wurde nicht nur die 
Anordnung des Stoffes sondern auch die Art der Darstelluug wesent- 
licb geandert, mancbes weit ausfubrlicber bebandelt. Icb nenne in 
dieser Eicbtung die Betracbtungen iiber eine gewisse Kombinante 
und iiber die barmoniscben und aquianharmonisclien Kegelschnitte 
eines Buschels, Nur wenig geandert wurden die Kapitel 20 bis 22. 



IV Vurwurfc. 

Frei von Anderungen blieb fast kein Satz des Buclies; li^ufig 
sind diese nur stilistischer Art, abgesehen von den vorerwahnten 
grofieren Anderangen. Selbstverstandlich wurden samtliche in der 
fruheren Auflage enthaltenen Beispiele durchgerecbnet. 

DieLiteraturnachweisungen habe ich wesentlich vermehrt. Fur 
noch ausfiihiiichere Angaben dieser Art sei verwiesen auf den Be- 
richt von E. Kotter im 5. Bande (1901) des Jahresberichtes der 
Deutscben Mathematiker-Vereinigung und auf meinen Artikel fiber 
Kegelsehnitte und Kegelscbnittsysteme im dritten Bande der Enzy- 
klopadie der matheinatisehen Wissenscbaftew , besonders auf die in 
den Jabren 1913 und 1915 ersehienenen Hefte der franzosiscben 
Ausgabe dieses Artikels. 

Unter den in deutscber Spracbe gescbriebenen Werken, die die 
Buschet und Netze von Kegelsclmitten in analytiscb-geometriscber 
Methode behandeln, sind besonders drei zu erwahnen: Die von 
F. Lindemann mit Benutzung der VortrSge von A. Clebscb be- 
arbeiteten und herausgegebenen ,,Vorlesungen tiber Geometrie", 
Leipzig 1876 oder 2. Auflage, 1. und 2. Lieferung, Leipzig 1906 
bez. 1910, ferner L. Heffter und C. Koebler ,,Lenrbucb der ana- 
lytiscben Geometrie", 1. Bd., Geometrie in den Grundgebilden erster 
Stufe und in der Ebene, Leipzig und Berlin 1905 und H. Grass- 
mann ,,Projektive Geometrie der Ebene unter Benutzung derPunkt- 
recbnung dargestellt", 2. Bd. Ternares, 1. Teil, Leipzig und Berlin 
1913. An einigen Stellen derLiteraturoacnweisungen habe ich diese 
Biicher genannt und hatte noch oft den Wunsch, auf sie hinzu- 
weisen mit Eiicksicht auf die in ihnen gegebene Darstellung. Zur 
VenneiduDg hSufiger Wiederholungen in den Literaturnachweisungen 
seien diese Werke, von denen jedes in seiner Eigenart vorziiglicli 1st, 
hier ein fur allemal genannt und dem Leser empfohlen. 

Herrn Dr. Ma gin in Hamburg, der mir zwei im ersten Teile 
des Buches stehengebliebene Druckfehler mitteilte, sage ich fur diese 
Freundlichkeit besten Dank. 

Darmstadt, dea 20. Marz 1918. 

F. Bingeldey. 



InhaltsYerzeicMs. 

XIV. Kapitel. Nr. 249278. 37 Beisp. 

Lineare Systeme von Kegelsohmtten. goite 

249. Kegelschnittbiischel. B 1 

250. Polarenbiischel 3 

251. Geradenpaare im Buschel 4 

252. Realitat der Geradenpaare des Buschels 5 

253. Gemeinsames Polardreieek 10 

254. Realitat des Polardreiecks 11 

255. Gattungen der Kegelschnitte im Biischel. B. 14 13 

256. Besondere Formen der Gleichung des Biischels. B, 1 3 . . 15 

257. Beriihrungsbuschel. B. 16 16 

258. Doppelberuhnmg 18 

259. Unendlich feme Schnittsehne , 18 

260. Normalform der Gleichungen zweier Biischel , 19 

261. Doppelberuhrung. B. 14 21 

262. Besondere Biischel doppelt beriilirender KegelschBitte . . 22 

263. Besondere Beispiele zur Beruhrun^. B. 13 2S 

264. Hiillkurve ^ewisser Sehnen einer Ellipse 24 

265. Besondere Tangentenpaare einer Ellipse 26 

266. Zwei umgescliriebene Dreiecke ^7 

267. Doppelberuhrung . , 2 

268. Satz von Brianchon 30 

269. Anwendung des Satzes von Brianchon. B. 15 31 

270. Kegelschnittschar 32 

271. Lineare Kegelschnittsysteme 34 

272. Kegelscnuitte dnrch zwei Punkte. B * ... 36 

273. Tangentenpaare aus zwei Punk ten 37 

274. Gewisse Tangentenvierseite 8' 

275. Satz von Pascal, B. 13 ; ;40 

276. Anwendung des Satzes von Pascal. B. 16 "41 

277. Vollstandige Figur des Pascalschen Sechsecks. B 44" 

"W Gwisse Dualitaten ,,,,,...., , . .48* 



VI Inhaltsveweiclmis 

Soitu 

XT. Kapitel. Nr. 279289. 47 Beisp. 
Projektive Eigensehaften der Kegelschnitte, 

279. Geometrisehe Deutung gewisser Gleichungen B. 1 (5 ... 52 

280. Doppelverhaltnis von vier Elementen eines Kegelschnittes . . 55 

281. Projektive Erzeugung der Kegelachnitte 56 

282. Zerfallende Kurven zweiter Ordnung oder Klasse 58 

283. Konstruktion des Kegelschnittes aus projektiven Elemental- 
gebilden. B 59 

284. Gattung des Erzeugnisses. B 63 

285. Beiapiele. B, i 11 65 

286. Doppelverhaltnis von vier Tangenten. B. 14 68 

287. Beispiele. B. 19 69 

288. Projektivitat und Involution auf dem Kegelschnitt 72 

289. Involution auf einer Schnittgeraden des Buschels. B. 115 . 75 

XVI Kapitel. Tr. 290304. 73 Beisp, 
Besondere homogene (Heickungsformen zweiten Grades, 

290. Sick selbsfc duale Gleicliungsfomieii 79 

291. Parameterdarstellnng. B. 14 80 

292. Hiillkurven. B. 15 82 

293. Gleichung der Polare eines Punktes, B. 12 85 

294. Hiillkurve einer gewibsen Sehne. B. 12 86 

295. Gewisse Tangenten eines Kegelschnittes. B. 12 87 

296. Doppelverhaltnis von vier Tangenten und Doppelverhaltnis 
ihrer Beriihrungspunkte. B. 13 88 

297. Erzeugnis projektiver Punkt- oder Tangentensysteme. B. 1 9 90 

298. Schliefiungsprobleme. B. 1 4 93 

299. Kegelschnitt bezogen auf ein Polardreieck. B. 1* 7 .... 95 

300. Brennpunktseigenschaften. B. 1 -8 98 

301. Zwei Isformalgleichungen. B. 16 103 

302. Kegelschnitte durch drei Punkte. B. 1 8 106 

SOS. Kegelschnitte an drei Tangenten. B. 16 109 

304. Pleonastische Viererkoordinaten. B. 112 Ill 

XVII. Kapitel. Nr. 305324 49 Beisp. 
Die allgemeine liomogene CMeichtmg zweiten Grades* 

305. Die allgemeine Grleichung in projektiven Koordinaten .... 119 

306. Tangente 120 

807. Polare. B. 12 121 

$08, Diskriminante 122 

S09, Tangentialgleichung. B. 16 12S 



tnhaltsverzeicimia. Vfl 

Seite 

310. tlnbestimmtheit polarer Zuordnung 128 

311. Gleichung in Panktkoordinaten fur eine Kurve zweiter Klasse 129 

312. Allgeraeine Parametermethode. B. 19 130 

313. Tangentenpaare. B, 13 135 

314. Satz von Garnet. B. 15 137 

315. Gleichung eines gewissen Geradenpaares. B. 12 ... . 140 

316. Schnittpankte mit einer Geraden 141 

317. Gattungskriterien. B. 14 143 

318. Mittelpunkt tmd Durchmesser 145 

319. Kreisgleichung und imaginares Kreispunktepaar in trimetri- 
schen Linienkoordinaten. B 147 

320. Die Gleichung des Ereises in trhnetrischen Normalkoordinaten 149 

321. Bedingnng fur einen Kreis bei Punktkoordinaten. B 18 . 150 

322. Polaritat in Kegelschnittsystemen. B. 1 7 155 

323. Nochmals Biiscnel und Schar von Kegelschnitten B. 1 2 . 159 
^ 24. Bestimnrang der Kegelschnitte durch lineare Bedingungen . 16^ 

XVIII Kapitel. Nr. 325340. 14 Beisp. 
Invariantentlieorie der bin,ren Pormen, 

325. Binare Gleichungen 167 

326. Diskriminante 168 

327. Invarianten 171 

328 Harmonische Invariants 172 

329. Eesnltaate. B. 1-4 17S 

330. Kovarianten 176 

331. Invarianten theorie der Involution. B. 1 2 178 

332. Projektlvit'at B. 12 180 

333. Polaren. B. 12 182 

334. Honere Polaren 184 

335. Jacobische nnd Hessesche Determinante 187 

336. Involutionen holieren Grades 188 

337. Diskriminante der kubischen Form 190 

338. Kovarianten der kubischen Form. B. 14 . 191 

339. Invarianten der biqnadratisehen Form 194 

340. Kovarianteu der biquadratischen .Form 197 

SIX. KapiteL Nr. 341369. 96 Beisp. 
Invariantentheorie der Kegelsclnxitte. 

341. Invarianten ternrer Forrnen, , 199 

:U2. Diskriminante 200 

343. Simtiltane Invarianten zsweier Kegelschnitte, B 20 

H&, Beispiele zu simultanen Invarianten, B. 15 , 204 



Mialtsverzeiehnk 

Seite 

345. Taktinvariante. B. 16 206 

346. Kegelsehnitt und Geradenpaar 210 

347. Tangentialgleichung. B 1-3 211 

348. Bedeutung der Beziekungen H = und = 0. B. 13. . 213 

349. Konjugierte Kegelschnitte. B. 1 7 216 

350. Harmonische Kreise zu einem Kegelschnitfc. B. 19 .... 220 
851. Dreieck einem Kegelschnitt eicgeschrieben, einem anderen 

umgeschrieben. B. 14 223 

352. Kovarianten. Kontravarianten. Zwischenforrnen 226 

353. Kontravananter Kegel-clinitt H zu zwei gegebenen . . .228 

351. Kovarianter Kegelschnitt k zu zwei gegebenen. B. 15 . . 229 

355. Geometrisclie Bedeutung der Kontvavariante H 231 

356. Geometrieche Bedeutung der Kovariante Jc. B. 16 .... 233 

357. Weitere Kegelscbnitte in invarianter Beziehung zn zwei ge- 
gebenen. B. 110 236 

358. Bestimmung der Buschelkegelschnitte von gegebenem Doppel- 
verbiiltnis der Grundpnnkte. B 240 

359. Die aquianharmonischen Kegelsclinitte nnd eine Komlrinante 

des Biischels 242 

360. Weitere Eigenschaften der Xombinante; die harmomschen 
Kegelschnitte des Biiscbels. B. 111 245 

361. Beruhrungsbedingungen. B. 1 6 249 

362. Transformation zu ]S T orma]gleiclmngen. B. 16 256 

363. Jaeobische Determinante 265 

364. Kubische Kovariante des Kegelschnittpaares. B. 13 ... 267 

365. Vollstandiges Invariantensyatem des Kegelschnittpaares. B. . 269 

366. Die Jaeobische oder Hessesche Kuive eines Kegelschnittnetzes. 

B. 1-4 274 

367 Cayleysche Eurve des Netzes. B. 1^ 277 

368. Invarianten dreier Kegelschnitte. B. 12 281 

369. Invarianten des Netzes. B 284 



XX. EapiteL Nr. 370386. 20 Beisp. 
Analytiselie G-rundlagen der Metrlk. 

370. Metrische Beziehungen . . ' 287 

371. Homogene Gatkmgskriterien. B. 1S 288 

372. Hauptkreis. B. 13 290 

373. Homogene Brennpnnktskriterien. B. 18 292 

374. Die Beziehung anf ein Absolutes 206 

375. Metrische Grundlagen erster Stufe 297 

376. Iquidistanz 299 

377. Abstandsformeln . 300 

378. Elliptische und hyperbolische Messung 302 



Tnhaltsverzeifiknis. IX 

Seite 

379. Parabolische Messnng 304 

380. Metrische Grundlagen zweiter Stufe ... 306 

381. Absoluter Kegelschnitt 308 

382 Abstandsformeln .... 309 

388. Bewegungen in der Ebene . ... 311 

384, Elliptische und hyperbolische Geometric 313 

385. Parabolische Geometric. B. 1~J 314 

386 Verallgemeinenmg metrischer Satze B. 13 318 

XXI Kapitel. Nr. 387409. 83 Beisp. 
Von den reziproken Yerwandtsehaften. 

387. Lineare Beziprozitiit 324 

388. Pol- und Polarkegelschnitt . .... 3-25 

389. Jnvolutorisches Tripel. B 327 

390. Polarsystem. B. 1-2 330 

391. Polarreziprozitat als Sonderfall allgemein reziproker Systeme. 

B. 18 332 

392 Polarreziproke Kegelschnitte 337 

393. Die Methode der reziproken Polaren. B. 1 7 ... . 338 

394. Zwei Kegelschnitte und ihre Reziproken. B. 16 . . . 340 

395. Invariantentheorie reziproker Kegelschnitte B. 1 6 . . . 342 
;]96. Zirkulares Polarsystem . . 344 

397. Polarreziproke eines Kreises. B. 1 2 345 

398. Winkelbeziehungen. B 113 ^. . 347 

399. Vektoienbeziehungen B. 13 . 349 

400. Reziproke homogene G-leichungen. B. 1 6 350 

401 Doppelverhaltnis-Eigenschaften B 353 

402. Metrische Theorie reziproker Kegelschmtte 13 13 . .. 354 

403. Reziproke Kegelschinttsysteme. B. 14 356 

404 Gleichung des reziproken Kegelseimittes B . . ... 357 

405. Parabolische Polarreziprozitat. B. 12 . . 359 

406. Inversion B 17 360 

407. Methode der reziproken Koordinatea. B. 14 3G:i 

408 Quadratische Verwandtschaft . . 364 

409. Verwandtschaft doppelt konjugierter Eleinente. B 17 3(57 

XXII. Kapitel. Nr. 410431. 62 Beisp 
Von der Method der Projektion. 

410. Zentralprojektion #72 

411. Die singnlaren Projektivitaten B. 14. 373 

412. Flnchtlmien und Flnchtpunkte 377 

413. Ordntmg und Klasse einer ebenen Kurve unveranderlich bei 
Projection ...... 378 

Salmon-'Fiadler, anal. Geom. d. Kegelscbn. II. T Aufl 1 7 



X Inbaltsverxeichnis. 

Hoite 

414. Projektive Eigenschaften. B 14 379 

415. Geometric im Biindel 383 

416. Zentralkollineation und Umlegung. B. 17 384 

417. Kegel zweiten Grades 389 

418 Ebene Schnitte des geraden Kreiskegels 390 

419 Ebene Schnitte des scMefen Kreiskegels 392 

420. Portsetzung 393 

421. Projektion irgend eines Kegelsclmittes in einen Kreis . . . 394 

422. Brennpunkte und Leitlinien der ebenen Scbnitte des Kreis- 
kegels. B. 12 395 

423. Kontinuitatsprinzip 397 

424. Kegelschnitts- und Kreiseigenschaften. B. 110. . . 399 

425. Verallgemeinerurig von Satzen durch die Methode dei Pro- 
jektion. B. 18 401 

426. Metrik der Projektion. B. 18 403 

427. Fortsetzung. B. 19 407 

428. ParaUelprojektion. B. 14 409 

429. Qrthogonalsystem im Biindel. B. 15 412 

430. Methode der Kreisscbeitel. B 413 

431. Metnode der raumlichen Darstellung. Zyklograpbie .... 416 

Literatnrnaehweisungen 419 

Nachtrage und Berichtigungen . . 445 



Vierzehntes KapiteL 
Lineare Systeme yon Kegelschmtten. 

249. Kegelsehnittbiisciiel. Nachdem in den fiinf vorher- 
gehenden Kapiteln fast durchgangig die Methode der Cartesi- 
schen und nur einigemal die der Pluckerschen Koordinaten 
gebraucht worden ist ; wiederholen wir nun den Entwickelungs- 
gang des vierten Kapitels an dein melir umfassenden Gebiet 
der Gleiehungen Tom zweiten Grade, urn uns dadurch end- 
lich in den vollstandigen Besitz der allgemeinen Hilfsmittel 
nnd Gesichtspunkte zu setzen, die dort entwickelt worden 
sind. Dabei tritt wieder zuerst die Anwendbarkeit und der 
grofie Nutzen einer abMrgenden SymboUJc 1 } hervor (Nr. 64), 

Wenn wir ancn diese Symbole zunachst anf Punktkoordi- 
naten beziehen und demgemaB deuten ; so 1st zu bemerken. 
dafi ihre Deutung in Linienkoordinaten (Nr. 82) ohne weiteres 
zu den dualistiscn entsprechenden Siltzen der abgeleiteten 
fiihrt (Nr. 270). 

Nach Nr. 129 1st die Angabe eines Punktes der Kurve 
eine lineare Bedingung zwischen den fiinf verfiigbaren Kon- 
stanten der Gleichung zweiten Grades. Die Angabe von Tier 
Punkten gestattet daher in der allgemeinen Gleichung vier 
Konstanten durch. die "fiinfte, nocli unbestiuimt bleibende Kon- 
stante und gegebene GroBen auszudriicken, mit anderen Wor- 
ten: Die GleicJwng eines durcli vier gegebene PunJcte gehenden 
Eegelschnittes enfhdtt linear eine verfdgbare Konstante } einen 
Parameter. 

Nun konnen irgend vier reelle oder in Paaren konjugiert 
imaginare (TSr. 24) Punkte als die Scnnittpunkte zweier Kegel- 
schnitte von reellen Gleichungen angesehen werden. Wenn 
wir also fur 

Salmon-Fiedler: anal. G-eom. d. Kegelschn. IL 7. Aufl. 1 



2 XIV. Lineare Systeme yon Kegelschnitten. 249. 

a n x*+ 2a^xy + a^f + 2a 1B % -f %a^y -f- 
die Abkiirzung fix, y), fiir 



die Abkiirzung #(#, y) einfiihren, kann die Grleichung jedes 
Kegelsehnittes, der durch die Tier Schnittpunkte der Kegel- 
schnitte f(z, y) = und g(x,y)*=Q hindurcligelit, in der 
Form 

(1) f(x, y) Ag(x, ij) = oder kiirzer flg = Q 

dargestellt werden. Und umgekehrt definiert jede quadratische 
GrleicliiiBg, die einen Parameter linear enthalt, einen durch 
yier gegebene Punkte gebenden Kegelschnitt*). 

Die Koeffizienten der Gleicfoingen/^ y) = und^(^ ; y)*0 
werden im folgenden stets als reell vorausgesetzt. 

Gibt man dem Parameter alle moglichen Werte, so bildefc 
die Gesamtheit der Kegelschnitte f kg =*=> Q ein Eegelschnitt- 
Mscliel; die vier Punkte, die alien Kuryen des Biischels ge~ 
meinsam sind ? heifien seine Grundpmlde. Durch jeden PunJct 
der Elene gelit ein Kegelsclinitt des Btischds, denn ein Para- 
meterwert 1' wird dadnrch bestimmt, daB die Gleichung durch 
die Koordinaten x f y y irgend eines fiinften Punktes befriedigt 
sein soil. 

Sind cp (x, y} = und %(x, if) = irgend zwei Kuryen 
des durch. f A# = dargestellten Busehels ; so laBt sich 
jeder Kegelschnitt desselben auch durch eine Gleichung Ton 
der Form cp ft% = darstellen. Zum Beweis dieses Satzes 
beachte man, daB g> = und % = als Gleichungen yon 
Btischelkuryen gleichbedeutend sind etwa mit f^g^O 
bez. /" A 2 ^ - 0, (^1 + ^3)? so da8 die Identitaten bestehen 

(2) f^g^^yi /' AJ^ 



*) In derselben Art entlialt die allgemeine Grleichung eines Kegel- 
sciinittes, der drei Bedingungen unterliegt, zwel unabhangige Kon- 
staaten usw. Die Gleiehungen der Orthogonalkreise eines gegebenen 
Kreises (Nr. 121 und 122) und der Kreise durch emeu Punkt geben 
dazu Beispiele (vgl Nr. 271 und 302). Aber die Kegelschnittsgleichungen, 
die zwei lineare Parameter enthalten, definieren nicht urngekehrt stets 
Enrven durch drei Punkte. 



Kurven durch. die G-rundpunkte; Polar enbuschel. 3 

in denen /i^ /1 2 , ^ 1? ^ gewisse Konstanten bezeickaen. Hie- 
rans folgt 



und 

(3) (A!- A 2 )(f- 40) E 

daher ist f >l# = in der Tat gleichbedeutend mit 



oder mit <p t ar = 0, wenn V---^ 1 - zur Abkiirzung durch 

(/, ^3)^1 

^ ersetzt wird. 

B. Denjenigea Kegelsclinitt des Btischels 
3^ 2 ~- 5xy 4- 4y 2 - 6a ^(ic 2 - 6 ^ + 3x - 8^/ - 5) = 

zu bestimmen, der durck den Punkt x = 2 , ^ = 1 geht. 
^ 

Man findet I == , also 

5(3# 2 5^ + 4r^ 2 6a?) - 2(x 2 6xy + 3x %y - 5) 
oder 13# 2 - 13^y + 20/ - 860; + 16y + 10-0. 

250. Polarenbiiscliel. Die Grleichung der Polare eines 
Punktes in bezng auf den Kegelschnitt fkg = Q enthalt 
nach Nr. 135 den Parameter A ebenfalls linear. Daher Ulden 
die Polaren eines Punktes P in lemg auf die Kegelschnitte eines 
Btischels selbst ein Strahlenbuschel, dessen Scheitel P' der m 
dem gegebenen Punkt P in betzug auf das Buschel doppelt Jcon- 
jugierte Pol Jieifit. 

Zunachst erhellt hieraus die geometrische Bedeutung des 
Parameters I als einer Proportionalzalil zum Sinusteilyer- 
haltnis im Polarenbiischel irgend eines Punktes. Sind ins- 
besondere ^ = ; ^=0 die Tangenten an f=0 ? #=^0 in 
einem der Grundpunkte ; so ist ^ 1^= die Tangente an 
flig^Q in demselben Grrundpunkte. Es ist also f:^ = ^:^=^ ? 
wenn man in die Funktionen die Koordinaten eines Punktes 
eingesetzt denkt ; dnrch den die Kizrve fhg=>Q geht. 

Sind ferner P ? P r zwei doppelt konjugierte Pole ? so wird 
ikre Verbindungsgerade durck jeden Kegelsclinitt des Biischels 
in einem zu P, P' harmoniselien Punktepaar gesctnitten. Ins- 
tesondere hat der durck P gehende Kegelschnitt die Vertindungs- 
gerade von P mit P f als die ihn in P leruJwende Tangente, 

i* 



4 XIV. Liaeare Systems von Kegelschnitten. 251. 

denn sie ist eine der zu P geliorigen Polaren; ebenso bertilart 
PP' den durcli P' gekenden Kegelschnitt in P'. 

Umgekehrt liegen in jeder beliebigen Geraden zwei dop- 
pelt konjugierte Pole P, P'. Denn ihre Sclinittpunktepaare 
mit den Kuryen f*** 0, g = haben ein gleiekzeitig zu bei- 
den harinonisclies Punktepaar P, P' (Nr. 17). Nach Definition 
schneiden sick aber die Polaren yon P beziiglich f = nnd 
a in P', also auck alle anderen Polaren im Biisehel. 

c/ / 

Sowit wird jede Gerade von zwei Kegelschnitten eines gegebenen 
MscMs leriihrt und von den ubrigen in Punktepaaren ge- 
schnitten, die m den elen genannten Beruhrmgspunltten har- 
monisch liegen. 

251. Geradenpaare im Bfischel. Es gibt drei Werte 
yon /l ? fiir die f Ig^Q ein Geradenpaar darstellt, d. h. unter 
den Kegelschnitten eines SuscMs gibt es stets drei Geraden- 
paare* 

Setzt man namlich f Ig gleicli 

(5) c li ^ + 2e n xy + c^+2c^x + 2c 2B y + c ss? c ik *~ a ik - M> ik , 
so bestelit die Bedingung, unter der die Kurve flg*=*Q 
in ein Geradenpaar zerfallt, nach NV. 62 in dem Verschwin- 
den der Diskriminante von f Ig, also in dem Verschwinden 
dei aus den c ik gebildeten Determinate dritten Grades, Die 
Gleiclrang, die man auf solclie Weise erhalt, ist in A Tom 
dritten Grade, also Ton der Form 

(6) C(X) s A - 3 Hi + 38Z 2 - m s = 0, 

und Mer sind A nnd J5 die Diskriminanten von f und g, 
watrend H und durch. 



(8) 30~%B u +2a u B u +(^ 2 B M +2% 

bestimmt sind. Die A tk und S ik sind die Unterdeterrninanten 
der Blemente a ik bez. J u . der Deterininanten A und JB yon f 
bez, jr. Werden also die Wurzeln der kubiscten Gleickung 



durci. vl 1? 1 3; 1 3 bezeiclinet ; so sind 



(9) _ /"-^-o, y-^-o, /^-y-o 

die Gleichungen der drei Paare yon Seknen, die zwischen den 
Tier Schnittpunkten beider Kegelsclinitte f***Q, g = ge- 
zogen werden konnen (Nr. 214). 



Geradenpaare im KegelschnittTofischel. 5 

In dem vollstandigen Yiereek der GrundpunJcte ist jedes 
Gegenseitenpaar ein zerfallender Kegelselimtt des Busdiels. Von 
diesen Schnittsehnen ist stets ein Paar reell (Nr. 214), die 
beiden andern konnen aus reellen oder konjngiert imaginaren 
Geraden bestehen oder selbst komplexe Gleichungen haben, 
wie iin folgenden gezeigt wird. 

252. Eealitat der G-eradenpaaxe des BtLscliels, Wir 
nehmen im folgenden wie bisher ao ; daB die beiden Regel- 
schnitte /' = und g = Toneinander yerschieden seiea und 
uatersuclien die im Biischel /' Ig = enthaltenen Geraden- 
paare ausgehend von der Grleicliuiig C(A)==0, Man tana vier 
Eauptfalle imterscheiden. 

I. Die Wurzeln A 1; 1 2 , 1 3 der Grleiehung C(A) = sind 
Yoneinander yerscMeden. 

Hier entsprechen irgend zwei Wuraeln ; z, B. ^ und A 2 ^ 
zwei yerschiedene Geradenpaare ? die keiae Gerade gemeinsam 
habea. Ware namlich z. B. 
(10) f-^g^Q.r, f^-^-^s ; 

wo q == ; r == 0, s = die Gleiclmagen yon Geraden be- 
deuten ; so wtirde aus (10) liervorgelieii: 



^ =-j^, 

d. h. jeder der beiden Kegelscknitte fQ und = wurde 
in ein und dieselbe Gerade # = und je eine andere Gerade 
zerfallen ? auck ware dann g alien Kegelsehnittea des Buschels 
gemeinsam ; jeder solche Kegelschnitfc mre ein Geradenpaar ; 
C(I) wiirde identisch versehwinden. 

Auch kann keiner Wurzel der Gleicihimg C(A) = eiiae 
Doppelgerade entspreclien, Dies laBt sicb falgendermaBen 
zeigen 2 ): Da (7(A) die aus den Elementen c lk === a ik k\ k ge- 
bildete Determinate dritten Grades ist^ so g&ht C(l h +i*) 9 
(h = 1^ 2 7 3), aus dieser Determinante dadurok hervor, dafi 
man a ik il iJt durcn c rt (A A ) fit tk ersetzt; kiertei ist c w (^) 
s % A A 6 W . Man erhalt daner nach (6) eine Sleicliung von 
der Form 

(12) a(i+ 1*) = O(AO - SftH, + sp'e, - ^j? ; 

wo SHi und 30J aus 3H und 30 dadurcl herrorgehen, daB 




6 XIY. Lineare Systeme von Kegelschnitten. 252. 

man in (7) und (8) die GroBen A ik bez, % durch die Unter- 
determinanten G t]k und die Elemente c ilt (K^ der fur I = l h 
gebildeten Determinant e C(X) ersetzt. Hat nun (12) eine 
Doppelwurzel ^ 0, so hat C(l + ^) = 0, 
d. h, C(X) = die Doppelwurzel 1 = JI A . 
Dieser Fall wiirde tatsachlich eintreten, wenn 
einer Wurzel von C(fy = eine Doppel- 
gerade entsprache, denn alsdann waren nach 
Teil I, Nr. 138 die GroBen O tt samtlich gleich 
Null, in der Grleichung C(A A + ^) = wiirden 
also das absolute Glied und der Faktor von 
u 1 verschwinden ? diese Gleichung hatte eine Doppelwurzel 
(i ; die Gleichung (6) die Doppelwurzel I = l h . Dies war 
aber nach Voraussetzung ausgesciilossen, daher kann im vor- 
liegenden Fall keine Doppelgerade im Biischel enthalten sein. 
Die drei den Wurzeln von C(i) = zugehorigen Ge- 
radenpaare haben demnach vier gemeinsame, voneinander 
verscldedene Schnittpunkte A, B, C, D, die die Grundpunkte 
des Kegelschnittbuschels fig>=*Q bilden (Fig. 1), und es 
kann der den beiden Geraden eines Paares gemeinsame Punkt 
nicht auf einer eigentlichen Kurve des Biischels liegen. Die 
Realitat der Grundpunkte wird in Nr. 254 untersucht. 

II, Die Gleichung 6 Y (>1) == hat eine Doppelwurzel ^ = A 2 
und eine einfache Wurzel A 3 . Wir unterscheiden hier zwei 
Unterf alle a) und b) ; je nachdem fur i = ^ == A 8 mindestens 
eine der Unterdeterminanten C tk von N"nll verschieden ist oder 
diese samtlich gleich Null sind. 

a) Der Doppelwurzel l x = ^ entspricht ein eigentliches 
Geradenpaor. Sein Schnittpunkt gehort alien Kurven des 
Biischels an ; denn die Gleichung (7(A A -f ft) hat nun fur 
Ji = 1 oder 2 die Doppelwurzel ^ == 0, neben O f (A a ) ver- 
schwindet auch 3H X - &&+ 2& 12 (7 12 + + J M CW^v 
d. h. (nach Teil 1, Nr, 138) der Schnittpunkt A des Geraden- 
paares liegt auf der Kurve g = 0, somit auf alien Kurven 
des Buschels ? er ist ein Grundpunkt des Buschels ; oder viel- 
mehr zwei der vier Grundpunkte sind ? wie sofort gezeigt 
werden soil, in A zusammengeruckt, aEe Buschelkurven be- 



Art en der Kegelschnittbiischel. 7 

riihren sieh in A, haben also an dieser Stelle eine und die- 
selbe Tangente. Dies ergibt sich, wenn man die Gleiehung 
der in A an die Kurve f Ig = gezogenen Tangente auf- 
stellt; sie ist nach Teill, ISTr. 134 7 wenn # 1? y^ die Koordinaten 
YOU A bedeuten, in homogener Schreibweise: 

(13) rc^^+r^y+r W^-M/W^+^CyOy-h/ W*} - o. 

Nun erfullen aber die Zalilen X 1} y i9 ^ als hoinogene Ko- 
ordinaten des Doppelpunktes des zu I = A t gehorigen Ge- 
radenpaares nach Teil I, Nr. 137, die drei Gleichungen 

(14) A*i) - VOO - o, f (yO - ^'W - o, 



so daB die Gleicbung (13) auck in einer der beiden Form en 
(15) & - A) {<7'fo> + g'(y^ij + /(^)*} = 

Oder (l - ) {f (^) + f (y a )y + f &>} - 

gescbrieben werden kann. Wie diese Formen zeigen ? ist daher 
die im Grundpnnkt A an den beliebigen Kegelschnitt/* >l<7 = 
des Biiscliels gezogene Tangente t zngleicb. Tangente der 
Kegelschnitte g = und /"==0 im Punkte A, d. L alle 
Busdielkurven haben in dem ihnen gemeinsamen Punkte A 
dieselbe Tangente t, sie beruhren sich also samtlich in A. 
Die Gerade t mufi somit auch ?? Tangente" an das der Wurzel A 3 
der Grleiehimg (6) entsprechende Greradenpaar / A 3 # = Q sein ; 
d. h. mit einer Geraden dieses Paares zu- 
sainmenfallen ; dessen zweite Gerade mit 
der Verbindungslinie der beiden tibrigen, 
yon P yerschiedenen Grundpunkte G 3f D 
des Biischels zusammenfallt (Fig. 2). 
DaB der Schnittpunkt P des Paares 
jetzt kein Grundpunkt sein kann ; ist klar, 
denn sonst miiBte neben C7(A 8 ) auch 
die fur 1 = A 3 gebildete GroBe l n C n 
+ 2 6 12 (7 12 -( ----- [- & 33 (7 33 verschwinden ; die Gleichung C(A 3 + ^t) = 
hatte die Doppelwurzel ^ = ; also (7(A) = die Doppelwurzel 
1 = A s neben der schon vorhandenen ^ = ^ == A 2 . 

b) Das zu A ~ Jt t = 1 2 gehorige Geradenpaar wird zur 
Doppelgerade. Trifft diese die Kegelschnitte des Biischels in 





8 XIV. Lineare Systeme von Kegelschnitten. 252. 

A und Gj so haben alle Buschelkurven in diesen beiden Grund- 
punkten clieselbe Tangente, wie sich in gleicher Weise ergibt 
wie im Falle II a , man hat ein Biischel sieh doppelt be- 
ruhrender Kegelschnitte (Fig. 3) ? denn 
die Gfrundpunkte A und G konnen 
nicht zusammenfallen, sonst wurde die 
Doppelgerade in A alle Buschelkurven 
beriihren, also auch den Kegelschnitt 
g = 0. Aus 
^ 

Pig. 3. 

folgt aber c lk =*c % c k , und wenn die Grerade A t Tangente ware 
an g = 0, so hatte man 

die Grleichung G(^ + (i) hatte nun eine dreifache Wurzel 
k tt=*0, also (7(A)0 die dreifache Wurzel A = A r Dies wider- 
spricht aber der Voraussetzung. Die fteiden Geraden des zu 
A = A 8 gehorigen Paares sind die in A und G gezogenen ge- 
meinsamen Tangenten; dies folgt in gleicher Weise wie im 
Falle II a fiir die eine Grerade des Paares A = A 3 . 
Man hat nun Gleichungen von der Form 

/j Q\ j? * 2 -f 1 

aus denen hervorgeht ; daB sich die Kurven f und g = 
nunmehr durch 

(19) A 3 2 2 l^s ~ und g* rs *** 
darsteUen lassen. 

III. Die Gleichung C(X) =- hat die dreifache Wurzel 
A^A^ Auch tier werden zwei Unterfalle a) und b) unter- 
schieden ? je nachdem fiir I = A x A 2 A 3 niindestens eine 
der Unterdeterminanten O ik von Null verschieden ist oder diese 
saintlich gleich Null sind. 

a) Der dreifachen Wurzel A x entspricht ein eigentliches 
Geradenpow m, n, dessen Schnittpunkt A wie im Falle II a 
ein alien Buschelkurven gerneinsamer Beriihruugspunkt ist. 
Heben C und H t verschwindet fiir I = ^ nunmehr nacli 
(12) auch 

(20) 3^-j 



Arten der Kegelschnittbfischel. 9 

Beachtet man ; daB G(u, v, tv) == B n ur + 2B n uv + - - 
+ JB 88 ; 2 = nach Teil I, Nr. 149, den Kegelschnitt g in 
Linienkoordinaten darstellt ; daB ferner f~-~ Z^ == als Glei- 
chung eines Geradenpaares von der Form 

(%# + ^y + M) ( 2 -{- v 8 y + w a ^) = 
1st, so lafit sich 0j_ == in der Gestalt 
(21) MS G'(u^ + v, G'(vJ + ? 2 &'(?,) = 

schreiben, d. L die Greraden des Paares /l x sind harmonisclie 
Polaren des Kegelschnittes g = (vgl. Teil I, Nr. 149), der 
in bezug anf g genommene Pol der einen Geraden liegt^auf 
der anderen. 1st n keine Tangente yon g, so muB der Pol Q 
von n anf der in A an g gezogenen und alien Biischelkurven 
gemeinsamen Tangente liegen, die zweite Geradem des Paares l x 
ist daher diese Tangente. Alle Biischelkurven baben nun 
auBer A nur noch. den zweiten Sclinittpunkt D der Geraden n 
mit dem Kegelschnitt g gemeinsam ; es miissen daher drei der 
vier Grundpunkte nach. A geriickt sein ; alle Kegelschnitte des 
Biischels beriihren sich in A dreipunktig (Pig. 4), es findet 
daselbst eine Bertihrung zweiter Ordnung oder Oskulation statt 
(vgl Teil I ; Nr. 215). 

b) Der dreifachen Wurzel 1 entspricht eine Doppel- 
gerade. 

Hier ist f^g^^x + c^y + c^^^Oy man hat a =^e A? 
so daB 30^0 nach (20) in B^ + ^B^c^ + '-'+B^^Q 
iibergeht ? die Doppelgerade beriihrt den Kegelschnitt g } somit 
alle Kurven des Biischels , in einem Punkte A. Dieser ist 




Tig. 4. 



Jig, 5. 



als Grundpunkt vierfach zu zahlen ; da andere den Biischel- 
knrven gemeinsame Punkte jetzt nicht vorhanden sein konnen^ 
alle Kegelschnitte des Biischels beriihren sich vierpunktig in 
A, es findet eine Beriihrung dritter Ordnung statt (Fig. 5). 



10 XIV. Lineare Systeme von Kegelschnitten 253. 

IV. Die Gleichung (7(A) = verschwindet identisch, jeder 
Kegelsehnitt des Biischels 1st nun ein Geradenpaar; neben 
-4 = und B = hat man jetzt auch H = und = 0, 
d. L der Doppelpunkt P des Geradenpaares f liegt auf g, der 
Doppelpunkt Q von g liegt auf f. Auch tier sind zwei Unter- 
falle moglich: 

a) Die Punkte P und Q sind verschieden, die Kurven 
des Biischels sind alsdann Geradenpaare, die eine Gerade ge- 
meinsam haben, die Gleichungen f***Q und # sind yon 
der Form qr = bez. qs = . Hier wird f - kg = q (r As) = ; 
jede Kurye des Bfiscbels besteHt aus der Geraden q und einer 
dtircti den Scbnittpunkt yon r und s gelienden Geraden. 

b) Die Punkte P und Q fallen zusammen. Hier ist etwa 
g = rs, /"= ar 2 + /Jrs + y^ 2 ; daher 

^-^ = ar 8 +(j8-A)r + y8, 

jeder Kegelsclinitt des Biischels besteht aus einem durch den 
Schnittpunkt von r und 5 gehenden Geradenpaar. 

In den Fallen I III der vorstehenden Betrachtungen 
konnte natiiiiich angenomrnen werden ; daB die Kegelschnitte 
f=0 und g = keine Geradenpaare sind; denn man kann 
nach Nr, 249 die Gleichung des Biischels stets in eine solche 
Form, z. B. gerade in die Form flg = Q, gebracht denken, 
daB f und g irgend zwei wiUkflrlich. herausgegriffene Kurven 
des Biischels , also z. B. zwei nicht ausartende Kegelschnitte, 
darstellen, 

253. G-emeinsames Polardreieek. Da die harmonische 
Beziehung zwischen Pol und Polare durch ein dem Kegel- 
schnitt eingeschriebenes Viereck vermittelt werden kann (Fig. 1 
und Nr. 135), so sind in dem Diagonaldreieck P 1 P%P 3 des 
Vierecks der Grundpunkte jede Ecke P l usw. und die Gegen- 
seite P 2 P 3 usw. Pol und Polare in bezug auf jeden Kegel- 
schnitt, der durch die Grundpunkte geht. Das Dreieck P 1 P 2 P 3 
ist soniit in bezug auf alle Kegelschnitte des Biischels ein ge- 
meinsames Polardreieek (Nr. 136). 

Es gibt aber aueh im allgemeinen nicht mehr als drei 
Punkte, die in bezug auf alle Kegelschnitte des Biischels die- 
selbe Polare haben. Denn sind p i = 0, p 2 die Polaren 



Gemeinsames Polardreieck cles Buschels. H 

eines solchen Punktes ti \y r in bezug auf f*=Q, # = ; so 
mufi identisch p 1 = Ap 2 sein, damit jene Polaren untereinander 
identiscb. seien, Daher muB x f \ y f bestimmt werden aus den 
drei in A linearen Bedingnngen, daB die Eoeffizienten yon x f 
von y und die konstanten Glieder in p l und p 2 proportional 
seien. Dies ist aber nnr moglicli, wenn die Determinante 
dieser drei Gleichungen Yerscliwindet, d. h. i aus einer Grlei- 
cliung dritten Grrades bestimmt wird*). 

Jedes Kegelschnitfbuschel hat in dem Diagonaldreieck des 
Vierecks der Grundpunkte das ein&ige gemeinsame Polardreieck. 

254. Wir wollen nun untersuctien ; wie dieses Dreieck 
in den vier in 5Tr. 252 unterschiedenen Fallen beschaffen ist. 

I. Die Wnrzeln i ) A 2? A 3 der Grleichung C(l] = sind 
yoneinander verschieden. Hier gibt es einige Unterfalle: 

a) Die Wurzeln A 1? 1 2 , Ji 3 und die iiinen zngehorigen 
Geradenpaare sind reell. In diesern Fall schneiden sich. die 
Geradenpaare in den Tier reelien Grundpnnkten A, J5 ? G, D> 
das Diagonaldreieck P^P^ ist reell (Fig. 1, S. 6). 

b) i lf Ag, l s sind reell , aber nnr eines der zugeliorigen 
Geradenpaare ist reell. Die beiden imaginaren Geradenpaare 
haben Gleichungen mit reelien Koeffizienten ; also reelle 
Doppelpunkte. Jetzt sind die Grundpnnkte A, S f C, D ima- 
ginar, das Diagonaldreieck P 1 P 2 P 3 ist aber wieder reell. 

c) Der Fall, daB bei reelien Wurzeln I zwei Geraden- 
paare reell, das dritte iinaginar ist, kann niclit eintreten, 
denn das dritte Paar mufi durcli die nnn reelien Sclmitt- 
punkte A, B, C, D der beiden ersten Paare gelien, also 
gleicbfalls reell sein. 

d) Eine Wurzel, etwa l ly der Gleicbung 0(1} = ist 
reell ; /L 2 und 1 3 sind konjugiert komplex. Die zu A 3 und 1 3 
gehorigen Geradenpaara haben Gleiclmngen mit imagin'aren 
Koeffizienten; sie sind imaginar und haben anch imaginare 
Doppelpunkte. Die Gleickung des einen Paares gelit aus der 
des anderen durcli Vertausclmng Ton i mit - i terror. Ent- 

*) Man nberzengt sich leicht, daB diese Bedingungsgleichung 
identisch ist mit der gleieh Hull gesetzten Biskriminante von f ;i# = Q , 
also mit 



12 XIV, Lineare Systems von Kegelschnitten. 2S4. 

sprechen der Wurzel L die beiden Geraden q + if = und 
5 + ^ = 0? w 2? r> $; t ' m % n &d y lineare Ausdriicke init 
reellen Koeffizienten bedeuten, so entspreehen der Wurzel Z 3 
die Geraden q ir =* Q und s it ~ Q. Von den vier Grund- 
punkten des Bdschels sind zwei reell (der Schnittpunkt der 
beiden Geraden q ir und der Schnittpunkt der beiden 
Geraden 5 + it = 0), swei sind konjugiert imaginar. Die Ecke P 1 
des Diagonaldreiecks ist als Doppelpunkt des Geradenpaares ^ 
reell ; aucli die Geraden dieses Paares sind als Verbindungs- 
linien der eben erwahnten zwei reellen bez. zwei konjugiert 
imagiuaren Grundpunkte reell. Die Ecken P 2 und P 3 des 
Diagonaldreiecks sind konjugiert imaginar, haben aber eine 
reelle Verbindungslinie. Bei diesein Dreieck ist also jetzt eine 
Ecke und ikre Gegenseite reell. 

II, a) l x = A 2 4= ^3 nQ d fur die Doppelwurzel verschwin- 
den niclit alle (7 zA : Die Biischelkurven beruhren sich. in A 
und gehen auBerdeni durcli die Punkte C und D Mndurck 
Der Punkt A ist als Doppelpunkt des der Doppelwurzel zuge- 
horigen (reellen oder imagiuaren ) Geradenpaares reell ; daher 
ist auch das zur Wurzel A 3 gehorige Paar, dessen eine Ge- 
rade alle Kegelsclmitte des Biiseliels in A beriihrt ; reell. Je 
nachdem clas Geradenpaar l x reell oder imagin'ar ist ; sind die 
Puukte G und D reell (vgl. Fig. 2) oder imaginar. Ein eigent- 
liclies Polardreieck ist jetzt nicht vorhanden. 

b) ) n == A 2 4= ^3 m( l to die Doppelwurzel verschwinden 
alle C lk : Die Buschelkurven beruhren sich in zwei Punkten 
A und C ? die reell oder imaginar sind ; je nachdem das zu 
A 3 gehorige Geradenpaar reell oder imaginar ist. Hier gibt 
es unendlicli viele Polardreiecke, die den Scbnittpunkt P 3 des 
Geradenpaares A 3 zur gemeinsamen Ecke ? die Doppelgerade 
Aj = l s zur Seite haben (Fig. 3). Die beiden anderen Ecken 
eines jeden Polardreieeks werden durcli ein auf der Geraden 
^i ^ ^2 g$legenes ; zu A und C harmonisches Punktepaar ge- 
bildet. Das Geradenpaar und die Doppelgerade bilden Jcein 
Polardreieck. In den Fallen III und IY von Nr. 252 gibt 
es kein eigentliches Polardreieck. 

Beispiele fur die FSlle Ib und Id bieten die Kreis- 



Polardreieck. Gatkmgen der Kurven im Biiscliel. 13 

buschel; bei reellen Gfrenzpunkten bilden diese mit dem un- 
endlicli fernen Punkt P n der Potenzlinie das reelle Diagonal- 
dreieck der imaginaren Selinittpunkte, bei imaginaren Grrenz- 
punkten sind der Punkt P^ und die gemeinsame Zentrale die 
einzigen reellen Elemente desselben (Nr. 120), 

255. Gattungen der Kegelsclinitte im Buschel. So lange 
im Viereck der Gnmdpunkte zwei reelle Schnittsehnen eines 
Paares einen endliehen Winkel einsclilieBen, konnen wir diese 
als die beiden Koordinatenachsen annelimen. 

Nennen wir die Achsenabsclmitte Z ; I' bez. m ? m f , so 
sind in einer Grleicliung zweiten Gfrades ; die sicb fur y = 
bez. x = auf 

x* - (I + F)x + ll'*=Q bez. f - (m + m> + mm r = 
reduziert, die Koeffizienten aus 

2a 18 = - a n (l + T) ; 2<% 3 = a M (m + m), 

a 3B = a n ll r == a^mm' 

zu bestimmen ; wahrend a 13 i vollig unbestimmt bleibt. 
Mit a^ = ll'mm konnen wir also die Gleichung des Biischels 
schreiben 

(22) mmV + 2lxy + ll'if - mm (I + l')% 

IV (m + m'}y + U mm' = 0. 

Hier kann man sofort den EinfluB des Umstandes er- 
kennen ? ob die Grrundpunkte ein einfaches Viereck mit lauter 
ausspringenden Winkeln oder mit einem einspringenden Winkel 
zulassen. Dies hangt, wie man sich leiciit durch eine Zeich- 
nung tiberzeugt, nur davon ab ; ob die Produkte IV und mm 
gleiche oder yerscbiedene Vorzeichen baben. Im letzten Falle 
ist IV mm negativ, also kann aucli %% A? ftir reelle i 
nicht positiy oder Null sein. Daher enthdlt ein Buschel, von 
dessen Grundpunkten einer im DreiecJt der ubrigen liegt, Jceine 
reellen Ellipsen oder Parabeln (Nr. 131). In der Tat muB 
offenbar der einem solcten Viereck umgescliriebene Eegel- 
sekoitt eine Hyperbel sein ; deren beiden Asten ein bez, drei 
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen angehoren. 

Ist dagegen ll'mm'^Q, so liefern die Paraineterwerte 
>1 2 < ll'mm' reelle EUipsen nnd insbesondere 1 = yil'mm' 
Parabeln* Einem konvexen Viereek sind stets stwei reelle Para- 



14 XIV. Linear e Systeme von Kegelschnitten. 255, 

leln umgeschrieben. Dasselbe gilt auch fur ein Viereck von 
zwei Paaren konjngiert imaginarer Punkte, da dann auf den 
reellen Schnittsehnen die Produkte IV, mm positiv sind. Aus 
demselben Grande entspringt die Untersclieidung: SuscJiel mii 
nur gwd reellen GrundpunMen entlidten keine reellen Mlipsen 
und Parabeln, wenn jene durch den Trdger der imaginaren 
GrundpunJcte getrennt werden. 

B. 1) Der Ort der Mittelpunlcte der Kcgelsclmitie vines BuscJiels 
1st ein Kegelsclmitt, der durch die sechs Stitenmitten des vollstandigen 
Viereeks der Grmdpurikte und dwell die Ecken des Diagonaldrti- 
ed;s geM. Vgl a-ack Nr. 301, 15 und 314, 1. 

Derm der Mittelpunkt des Kegelschnittes, der eine Gleichung 
YOU der Form (22) hat, 1st gegeben dnrch 

a n x + ly + cr 13 =0, Ix + %y + a 23 == 0, 
und durch Elimination von i entsteht der Ort 

a.y = 0. 



Die Kurve geht durch die Pxinkte j 0, 0^(1 + 0? K w + m/ ) ! > 
Schnittpunkt und Mitten eines Gegenseitenpaares usw. tibrigens 
ordnen sicli offenbar die sechs Seitenmitten zu drei Parallelogram- 
men; diese haben daher den Mittelpunkt des soeben betrachteten 
Kegelschnitts zum gemeinsamen Mittelpunkt. 

Der Ort ist eine Hyperbel ; wenn II' und mni gleiche Vor- 
zeichen liaben, die Grundpunkte ein einfaches kon vexes Viereck 
bilden; die beiden Asymptotenrichtungen <%. 2 ^222/ 2==: geben 
also die AchsenmcJitungen der Parabeln des SuscJiels, Ln Falle eines 
nur aus Hyperbeln bestehenden Biischels ist der Ort inrer Mittel- 
punkte eine Ellipse. 

2) Jedes Btiscael enthalt eine gleichseitige Hyperbel. Ihr Para- 
meter folgt aus fl u ~f- a 23 == 21cos0 (Nr. 165). 

3) Durch mer PunTcte, deren jeder der HolienscliniUpunkt im 
Dreieck der ulrigen i$t, geJien nur gleicliseitige Hyperbeln. 

Wir haben nach. Nr. 41, 7 nur rechtwinklige Koordinaten und 
H'=ss mni\ also <%2 BS= "~ a m anzunehmen. Wir konnen auch ktirzer 
sagen: Durch drei Punkte geht ein Btischel gleichseitiger Hyperbeln, 
weil ein vierter mithestimmt ist. 

4) Der Ort der MlUelpunkte aller gleichseitigen Hyperbeln, die 
einem Dmeclz umgeschrieben sind und nach Teil I, Nr. 165, 2 auch 
durch den HolimschnittpunU des Dreieclcs gehen, ist der Feuerbach- 
sche Kreis dcsselben (Nr. 99, 3). 

Die Gleichung des Ortes in 1) gibt mit a 22 = % einen Kreis, 
der die Seiten und die Eckenabstande des H5henschnittpunktes hal- 



Ort der Mittelpunkte der BusahelkurverL 15 

biert. Die HohenfuBpunkte sind die Ecken des Polardreiecks des 
Biischels gleiciiseitiger Hyperbeln. 

256. Aus den Betrachtungen in Nr, 249 geht liervor, dafi 
man bei flg = Q fur eine der beiden Kurven f=0 ; # = 
(oder auch fur beide) Geradenpaare des Biischels walilen kann. 
Sind etwa s 1 = 0, $ 2 = 0; S 3 = ? s 4 = zwei Sclinittsehnenpaare, 
so ist in 

(23) 53^ ^5^2 = 

die Gleicliuag jedes dem Viereck umgesckriebenen Kegel- 
seknittes entbalten, jedoch nur dann in reeller Form ? wenn 
das Viereck ganz reell oder ganz imaginar ist. (Vgl. Nr. 254.) 

Diese Gleichungsform liefert z. B. den Satz: Sind die 
ScJiniUsehnenpaare Eecktwinkelpaare, so lesteht das Biisdiel nur 
aus gleichseitigen Syperbeln, Denn bei recMwinkligen Eoordi- 
naten sind dann die Koeffizienten von x 2 und y 2 sowohl in 
s^ als in S 3 s 4; daher auch in S B S ^s l s 2j entgegengesetzt 
gleich (Nr. 255, 2), 

Weil aber wenigstens ein Schnittsehnenpaar 5 1 = 7 
5 2 = reell ist (vgl. Nr. 252) ; so kann jedes KegelsclinittUlschel 
durcli einen Kegelschnitt und ein Geradenpaar stets reell defmiert 
werden: 

(24) f-t*Si**-0, 

wie scbon an der Form f Ixy = von Nr. 255 erkennbar 
ist. Die Scbnittpunkte von f == mit s^^O bez. 5 2 = 
mogen P 1 , Q l bez. P 2 , Q% lieiBen. Den Parameterwerten 
ft = und fc == oo entspricht /"= und S&** ; also mufi 
die kubische Grleiekung zur Bestimmung der Parameter der 
Greradenpaare sich. nun auf eine quadratisclae reduzieren. 

B. 1) Wenn drei Kegelscimitte /'=0 7 ^ = 0,/2= ; gegeben 
sind ; und zwei andere g> = 0, % = durcii die bez. dem ersten 
und zweiten, dem ersten und dritten von ihnen gemeinsamen Pnnkte 
gelegt werden, so liegen die vier gemeinsamen Punkte von go = 
und i = und die des Paares g = 0, h = auf einem und dem- 
selben Kegelselmitt 

Denn die Gleicbungen der Kegelschnitte 9, % sind f-\- p! g ==0, 
f + [i'h = und einer der durch inre Schnittpunkte gehenden 
Kegelscimitte ist [tg ^Ji = 0. 

2) Die Gleicliung des Eegelsclinittes , der durcii 1 j 2, 3 | 5, 



16 XIV". Lineare Systeme von Kegelselmitten. 257, 

l|4, 3! 1, 4|3 geht, wird erhalten, indem man die 
Gleicbnngen der Seiten des durcli die vier ersten Pnrrkte gebildeten 
Vierecks bestinimt und in der Gleiching 



die Koordinatea des fiinften Pimktes zur Bestimmung von I ein- 

221 
setzt. Man findet K = . Q -, also die Gleidmng des Kegelscbnittes 



- 320^ ?/ + 3G1# 2 + 11010 1665# + 1586 = 0. 

3) Man bilde und untersuche die Bedingungen, unter denen 
drei Kreise demselben Biischel angehoren. 3 ) 

257. Beriihrungsbiisciiel. AuBerst braucbbar ist die Grlei- 
chungsform f /Ls^ ; z. B. nm die besonderen Beziehtmgen 
zwischen Kegelsclinitten in allgemeinerer Form als in Nr. 216 
darznstellen. Die Kegelschnitte f= 0, /" Z^^ = beriikren 
einander ; d. b. zwei ibrer Sclinittpnnkte fallen zusammen ; 
wenn entweder eine cler Geraden s 1 = 0, 5 2 =0 den Kegel- 
sebnitt f = beriibrt, oder wenn 5 t = 0, S 2 == sicb in einem 
Punkte von f = scbneiden. 

Ist also t = die Gleicbnng der Tangente von f = im 
Punkte x f \ y r , so ist 

(25) /' t(a t x + a s y + <%) == 

die allgemeine Gleiclning eines Eegelschnittes, der f=0 im 
PunJcte x r \ y' leruhrt; nocb drei weitere Bedingungen sind 
erforderlicb, nm die Bestimmung des Kegelscbnittes durcb die 
Ermittelung von % ? <7 2 , a s zu vollenden. 

Wenn die Gerade a^x + a s y + %= durcb den Punkt 
x r | y f geht ? so fallen drei von den vier Scbnittpunkten zu- 
sammen; die allgemeine GleicJiung eines Kegelschnittes , der 
f = im Punkte x r \ y f oslculiert, ist 

(26) ^ f^ t {a^-^ + a,(y- y f )}^0. 

Wird insbesondere die Gleicbung des oskulierenden Kreises 
verlangt, 7 so baben wir nur auszudrfleken, daB in dieser Glei- 
chung erstens der Koeffizient von xy verscttwindet ; nnd 
zweitens die Koeffizienten von * und f einander gleicb sind, 
wir erbalten die Werte von a l nnd a 2 aus diesen Bedingungs- 
gleicbungen. 

Die beiden Eegelsebniite baben endlicb vier zusammen- 
fallende Sebnittpimkte, wean die Geraden ax + a^y + a A ^ 



Biisehel sich beruhrender Kegelschnitte. 17 

und t = zusammenfallen. Die allgemeine Gleichung ernes 
EegeUcfmittes, der mit /" = im PmUe /! y eine Beruhrung 
dritter Ordnung (HyperosMation) "hat, ist 
(27) /--^-O (Nr.216). 

J^m Kegelschnitt hat in jedem Punkte eine hyperosku- 
lierende Pardbel, denn von den zwei Parabeln, die durcb. vier 
Grundpunkte gehen (Nr. 250 am SchluB und Nr. 143), artet 
nun die eine in ft = ans. 

B. 1) Wenn die Achsen des Kegelschnittes / = zu denen 
des Kegelsehnittes g = parallel sind, so haben aucli die Achsen 
yon flg = dieselbe Eichtung. 

Denn fiir Koordinatenacnsen, die den Achsen von /== par- 
allel sind, enthalten weder f nocn g das Glied %y. Wenn z. E, /= 
einen Kreis darstellt, so sind die Achsen von f "kg = denen 
von f=0 parallel; ist f=0 ein Geradenpaar, so geben seine 
Winkelhalbierenden die AehsenricMungen. 

2) Sind die Koordinatenachsen den Achsen von f=0 und 
denen von f As 1 5 2 = parallel, so sind s l und s 3 von der Form 
!# + a^y + a B , a^x a%y + a 3 f . 

3) Gleichung des oskulierenden Kreises fiir den Punkt P' eines 
Mittelpunktskegelschnitts. 

Die Gleichung muB nach dem Teste von der lorm sein 



Die erste Bedingung des Textes reduziert sie auf 

lp 2 4_ 2/ 2 ^ ^ 4. y?' _ i V - ^ - 4- 
A W "T" 5 2 ~" 1 J "" U 2 ^ & r A 2 ?> a 3 ^ 

und Mer bedentet 1 eine Konstante, die sich aus der zweiten Be- 
dingung gleicb Z>' 2 : (5 2 a 2 ) == Z>' 2 ; c 2 ergibl Dabei ist V der zum 
Halbmesser a des PunktesP' konjugierte Halbmesser (vgl.Nr. 170). 
Also lautet die Gleicbung 



4) Die Gleicbung des oskulierenden Kreises des Punktes P' 
der Parabel y*= 2j?x ist 



5) Die Gleichung der Parabel, die einen auf Tangente und 
Normale als Koordinatenachsen bezogenen Kegelschnitt im ISTull- 
punkt hyperoskuliert, ist 

a tl fl 2 + 2 13 Z2/ + ^ + 2 2S ^ - 0. 

^11 

S a 1m on -Fiedler: anal. G com. d. Kegelsclm. II. 7 Aufl. 2 



18 XIV. Lineare Systenie YOU Kegelsehnitten, 259. 

6) Die hyperoskulierende Parabel hat erne zu dem betreffen- 
den Durehmesser 2 a des Kegelschnittes parallele Achse und den 
Hauptparameter p = & 2 & 2 : a' 3 . 

258. Doppelberahrnng. Wenn der Kegelsehnitt f=0 
yon den Geraden 5 1 =0 ; 5 2 =0 geschnitten wird, so riicken die- 
Punkte P t nad P 2; ft und $ 2 (Nr. 256) "bez. um so naher zu- 
sammen, je naher die Sehnen zur Deckung mit derselben Ge- 
raden 5 = kommen. Daher stellt die Gleichung f Jls 2 ==0 
ein Biischel von Kegelschnitten dar, die mit /*= in der ge- 
meinsamen Sehne 5 = je eine reelle oder imaginare doppelte 
Berilhrung haben (Nr. 215). 

Ebenso stellt $& As 2 =0 jeden Kegelschnitt dar, der 
die Geraden ^^ ; 5 2 = in den Punkten beriihrt ? in denen 
sie von der Geraden 5 = geschnitten werden (Nr. 147). Die 
Gleichnng eines Kegelschnittes , der mit ^=0 in den beiden 
Punkten x l \ y ly X 2 y 2 eine doppelte Beriihnmg hat ; kann 
ebendeshalb auch in der Form f /L^if 2 = dargestellt wer- 
den, wenn ^ = 0, ^^ die Tangenten Yon f=0 in diesen 
Punkten ausdriicken. 

259. Unendlieli ferne Sclinittseline. Die Gleichungsform 
f A5 1 5 2 = umfaBt namentlicli auch den besonderen Fall, wo 
eine oder mehrere Schnittsebnen im Unendlichen liegen. Man 
hat sich nur zu erinnern, da6 die Gleichung der unendlick 
fernen Geraden die Form 0-# + 0j/ + = hat und in 
jedem Gliede Yon zu geringem Grade eine oder mehrere Kon- 
stanten c durch - x + y -f c ersetzt gedacht werden 
konnen. 

So ist die Gleichung / As = als der besondere Fall 
der Form / 5 1 5 2 =0 anzusehen ? bei dem s 1 = s und 
^ = 0-a? + 0-y + -l ist. Sie stellt daher Kegelschnitte dar, 
die durch. die Schnittpunkte Yon /* mit 5 = und 
0-# + 0-j/-M = gehen. Diese Gleichungen / A 5 = 
stimmen auch offenbar in den quadratischen Gliedern alia 
iiberein (Nr. 132), definieren daher bei beliebigem 5 alle Kegel- 
schnitte mit parallelen Asymptoten (Nr. 224). Somit Ulden 
alle aJmlicJien oder ahnlick gelegenen Kegelschnitte mit stwei 
fesien Schnittjpunkten im Endlichen ein Biisctiel Dieses ent- 



Doppelberukcung. Unendlich ferae Schnittsehne. 39 

halt im allgemeinen keine Parabeln, derm zwei der Schnitt- 
sehnenpaare bestelien aus Parallelen (Nr. 143), Dagegen sind 
seine samtlichen Kurven parallelachsige Parabeln ; wenn /**= 
selbst eine Parabel ist. Auch das Kreisbiischel gehort hierher. 

Ferner ist die Gleichung /* A. 2 = ein besonderer Fall 
der Gleichung f - s* = 0, namlich f - (0 -x + y + A) 8 = 0. 
Sie bezeichnet daher (Nr. 258) einen Kegelschnitt, der mit 
f eine doppelte Beruhrung hat, docli ist die Beruhrungs- 
sehne unendlicli fern. Ihr Pol ist in jedem der Kegelschnitte 
der Mittelpunkt (Nr. 139) und alien gemeinsam. Dalier lilden 
alle ahnlichen und Jcoachsialcn Kegelsclmitte ein Suscliel mit 
Doppelberiilirung, wie z. B. das Biischel konzentrischer Kreise. 
Da fur Parabeln insbesondere die unendlich feme Gerade 
Tangente ist (Nr. 257), so Ulden die Parabeln f = A 2 ein Os- 
kulationsMschel (Nr. 226). 

Endlich kann jede niclit-symbolische Gleichung selbst 
als unter der Gleichungsform s 3 5 4 Is 1 s 2 = inbegrifien an- 
gesehen werden. Denn im allgemeinen Ansatz 

a n x* + 2a n xy + a^f + Za n x + 2a^y + %== 
liefert das erste Trinom, gleich Null gesetzt ; ein Geraden- 
paar 5 3 5 4 =0 aus dem Nullpunkt und das zweite Trinom 
eine durch die unendlich feme Gerade s 2 = zu einem Paar 
erganzte Gerade ^=0. Die Asymptotenparallelen 5 3 =0, 
5 4 =0 treffen die Kurve in zwei endlichen Schnittpunkten 
von der Sehne 5 1 ==0. 

Insbesondere zeigen die Gleichungen der Parabel 
(ax + yf + (2a^x + %a^y + % 3 ) - 0, f - 2p'x (Nr. 197), 
als von der Form s^ Is 2 = 0, dafi die Gerade 5 X = oder 
2%#+2%2/+<% =: ()bez;.#=Q und die unendlieh feme Gerade 
s 2 = die Kurve in den Punkten des Durchmessers ccx -\- $y = 
bez. y =* beruhren. Von derselben Art ist auch die auf 
die Asymptoten bezogene Hyperbelgleichung ojy = ^ s = (0-^ + 
* y + &) 2 (^ r - 164); hier sind x = ; y = Tangenten der 
Kurve init unendlich ferner Beruhrungssehne. 

260. Die Gleiclrangsform 
(28) Z lSl ! +? 2 s 2 2 +W=0 



20 XIV. LIneare Sjsteme von Kegelschnitten. 260. 

defrniert einen KegelscJinitt, fur den die Geraden s 1 = ; s 2 ^0 7 
s s = Seiten ernes Polar dreiecJcs sind (Nr. 136). 

Ixn bisherigen Zusammenhange erkennt man dies, indem 
man die Gleichung (28) in drei aquivalenten Formen schreibt, 
deren eine Seite nur je eines der Quadrate bildet, Denn die 
Form Z 2 s 2 2 + Z 3 s 3 2 = 1&* zeigt, da6 Z 2 $ 2 2 + Z 3 $ 3 2 = ein Ge- 
radenpaar darstellt, das zu dem Paare S 2 = ? 3=0 harmo- 
nisch ist imd aus den Tangenten der Kurve zu der Beruhrungs- 
sekne S A = besteht. Also ist die Ecke $ 2 = ; S B = der Pol 
der Seite $ t = 0. Ebenso folgt aus Z 8 $ 3 3 -f Z 1 5 1 2 = Z 2 $ 2 2 und 
l^ + lsS^-l&Ss*, daB 5 3 = ? s^O die Polare 5 2 = und 

5 1 =* ; 5 2 = die Polare s s = hat. 

Setzen wir ein reelles Polardreieck ?oraus ; so liaben wir 
zu untersclieiden ; ob die drei Koeffizienten Z 1; Z 2; Z 3 dasselbe 
oder ob nur zwei von ihnen dasselbe Vorzeichen liaben. Nur 
im zweiten Falle ist der definierte Kegelschnitt reell. Nehmen 
wir etwa l A X 2 ? Z 3 - A 2 2 7 Z 8 = l^ so aind die zu den 
Seitenpaaren des Dreiecks harmonischen Tangentenpaare 

^2 5 2 ^3 5 3 =* 0? ^1 5 1 + ^3 5 3 ^ Un d ^1^1 ^2 5 2 ^ ^, WOmlt 

die Lage des Dreiecks gemafi Nr. 136 verdeutliclit wird. Ins- 
besondere ftir k^s^ + A 2 2 s 2 2 = c 2 ; (s s c) besteht das Polar- 
dreieck aus der unendlich fernen Geraden und zwei kon- 
jugierten Durcbmessern 5 1 =0 ; 5 2 =0. 

In gleicher Weise best'atigt man, daB die Gleicriung 
(29) a^s^ + 2a^s^ + a 22 s 2 2 === <%&* 

einen Kegelscinitt bezeichnet, fur den der Punkt s 1 = 0, 

5 2 = der Pol der Geraden s 3 = ist; denn die linke Seite 
steflt, gleicb Null gesetzt, ein Geradenpaar durch jenen Punkt 
dar. Ist insbesondere %== 1 ; so baben wir die auf den Mittel- 
punkt 5 X = ; s 2 == der Kurve bezogene Gleichung (Nr. 140). 

Wenn die Gleichung (28) einen Kreis darstellt, so muB 
sein Mittelpunkt der Hohendurchschnittspunkt des fundamen- 
talen Polardreiecks sein, weil das vom Pol auf die Polare 
gefallte Lot durch den Mittelpunkt geht. 

Weil ferner zwei Kegelschnitte ein gemeinsames Polar- 
dreieck haben ; so Mnnen wir im allgemeinen die Gleichungen 



Kegelsehnitt bezogen auf Poiardxeieck. Doppelberiihrung. 21 

giveier Kegelschnitte gleich$eitig auf die Normalfonn gebracht 
voraussetzen: 

(30) W+W + Z 3 V=0; ZW + ZW-HsV-0- 
Jedoch erscheinen diese Darstellungsformen imaginar ; wenri 
das Polardreieck imaginar ist, d. la. wenn zwei reelle und 
zwei imaginare Schnittpunkte vorhanden sind (Nr. 254). 

261, Wenn swd Kegelschnitte mit einem dritien in doppelter 
Beruhrung sind, so gehen iJire Beruhrungssehnen mit diesem 
und eines von ihren drei ScImittseJinenpaaren duvcli einen und 
denseTben PunM und bilden ein JiannonisJies Buschel. 

Fur f = als die Gleichung des dritten Kegelschnittes 
sind /*+ Sj 2 = ; f + sf = die Gleichiingen der beiden 
ersten. Durch Subtraktion derselben voneinander eritalt man 
als Gfleidmng der fraglichen Schnittseknen s 1 2 s 2 2 = 0; aber 
die Geraden s 1 $ 2 = sind zu den Beruhrungssehnen s^^^O, 
5 2 = 0, durch deren Schnittpnnkt sie gelien, harmonise]!. 4 ) 

B. 1) Wenn zwei Kegelschnitte in doppelter Beruhrung sind, 
so schneiden sich die Sehnen, die ein dureii die Beruhrungspunkte 
willkurlich gelegter Kegelschnitt mit beiden bestimmt, auf der Be- 
ruhrungssehne. 

Die Grleiehungen f = 0, f+ 5 x 2 -= 0, f+s^^O enthalten 
den Beweis. Ftir Geradenpaare durch die Beruhrungspunkte und 
fur Hyperbeln mit denselben Asjniptoten ergeben sich besondere 
Satze. 

2) Denkt man sich an zwei Kegelschnitte ein Paar ihrer ge- 
meinsamen Tangenten gezogen, so ist der Schnittpunkt der dem 
einen" und der dem anderen Kegelschnitte angehorigen Beruhrungs- 
sehne zugleich Schnittpunkt eines Paares ihrer gemeinsamen Sehnen. 

Man erhalt diesen Satz als einen Sonderfall des Hauptsatzes, 
wenn man annimmt, daB f == ein Geradenpaar ist. 

Wenn die Asymptoten einer Hyperbel eine Ellipse beruhren, 
so sind zwei Schnittsehnen dieser Kurven der Beruhrungssehne 
parallel und von ihr gleichweit entfernt. 

3) Die Diagonalen eines einem Kegelschnitt eingeschriebenen 
und die des entsprechenden ihm umgeschriebenen Yierecks gehen 
durch einen Punkt und trennen einander harmonisch. 

Dies ist der besondere Fall yon dem Satze des Textes, in dem 
die Kegelschnitte /* + 5 1 2 == 0, f + s 2 2 == in je ein Geradenpaar 
ausarten. Der Beweis kann aber fur diesen Pall auch direkt ge 
ftihrt werden wie folgt: Sind ^ == 0, ^==0; ^ 3 = 0, ^=-0 die 
Gleiehungen von zwei Tangentenpaaren und r = ; s die ihrer 



22 XIV. Lineare Systerne von Kegelschnitten. 262. 

Beriihrungssehnen, d. b. der Diagonalen des entsprecbenden einge- 
scbriebenen Vierecks, so kann man die Gleicbung des Kegelscbnittes 
in jeder der Formen t^ r 2 = 0, 3 / 4 s 2 scbreiben. Daber 
sind diese identisch oder nur um einen konstanten Faktor I ver- 
scbieden, d. L es entsprirgt die Identitat t^ ^U 3 / 4 = r 2 As 3 . 
In dieser driickt die rechte Seite durch ibr Verscbwinden ein Ge- 
radenpaar aus, das mit r = ? s ein harmoniscnes Biisehel 
bildet, wahrend die linke Seite zeigt, daB diese Geraden die Punkte 
yerbinden 

^-tj-0, #,-/ 4 -0 und ^-^0, ^-^-0. 

4) Man stelle die Gleickungen der Diagonalen des Vierecks 
auf, das von den Tangenten eines Mittelpunktskegelschnittes in den 
vier Punkten gebildet wird, denen die exzentrischen Winkel 2 ? 
2j3, 2y, 25 entsprechen. 

In diesem Falle ist (Nr. 159) 

/ 1 E~^cos2a + -f-sin2a--l, f 2 =- cos2/S -f--^- sin 2/3 - 1; 

Ctt (tu 

r = -^eos(a + jS) + |- sin (of + j3) cos(^ |3), 
und man findet leicht 



Nacb den Ergebnissen von 3) findet man for die Diagonalen 
r sin(y <J) + 5 sin(a ) = 0. 

262.*) -Zfe/rf ma^ dtwc/i emm Punkt P Paralleled u> 
den Achsen einer Ellipse, so ist jede der so entstehenden ~beiden 
ScJiniUselinen mgleich Beruhrungssehne je eines BuscJiels doppelt 
leruJirender Kegelsdmitte, dem je ein Kreis angehort. Diese 
leiden Krme bestimmen ein Kreisbuscliel, das den Punkt P 
als Nullkreis entli&lt^} 

Sind namlicb y = y Q und x == x die Gleichungen der 
beiden Scnnittselmen, so haben die erwahnten Kegelsclinitt- 
biiscliel die Gleichungen 

+ .l^i^.O bez. +-l-.-i.o. 



*) Ben Inhalt der Her folgenden Numinern 262 266 verdanke 
ich einer freundlichen Mitteilung von Herrn K. Eohn in Leipzig. Vgl. 
ubrigens ancb dessen Abhandlungen im Jahresbericht der deutscben 
Mathematiker-Vereinigtuag, Bd. 16 (1907), S. 359377 und Bd. 22 (1913), 
S. 830340. 



Kegelschiiitte In Doppelberuhruiig. 
Ihnen gehoren die Kreise 



an, wo c 2 =a 2 & 2 1st; das durch. diese Kreise bestimmte 
Biiscliel entMlt den Nullkreis (x # ) 2 -f (y t/ ) 2 = 0. 

Hieraus folgt leicht: 1st Q einer der lei den Schnittpunlie 
der Ellipse mit der Geraden y = y und E ein Sclinittpwild 
der Ellipse mit x^x^ so treffen die in Q und E geeogenen 
Normaleu der Kurve die y-Achse bez. x-Achse in Punlien, 
deren Verbindungslinie durch P geld. 

Wahlt man insbesondere ^ ==a, j/ = ^; so w ^den die 
Kreise (31) die den betreffenden Sclieiteln der Ellipse zuge- 
horigen Krummungskreise. 

263. Beriikren sich die KegelschniUe f(x, y) = und 
g($ } 2/) = in zwei Pwkten P 1? P 2 , die Kegelsclmitte li(x, y) =- 
und k(x, y} = in 0wei Puntten Q lf Q 2 und geWren die der' 
BeruhrungspunUe einer und derselben Geraden 5 = an, so 
liegen die vier SehnittpunJcte von f und h mit den vier Schnitt- 
punJiten von g und 7s auf einem Kegelschnitt; ebenso schneiden 
sich f und k sowie g und ~h auf einem und demselben zweiten 



Nimmt man namlich an, daB die absoluten Glieder in 
den Ausdriicken f, g, h, ft und 5 gleiek 1 seien, eine An- 
nahme, die stets erlaubt 1st, so finden Identitaten statt Ton 
der Form 
(32) (i-tyg*=f- A5 2 =0 und (1 - ^)ft = h - ^5 2 = 0, 

und hieraus folgt 



d. k der Kegelsckiitt i-y^ - ^~^ = S ellt dlircl1 die 
Sctnittpunkte yon f und h, oder anclers ausgedrfickt: die 
Sclmittpunkte von g und It liegen mit denen ?on f und h 
auf einem und demselben Kegelschnitt; usw. 

B. l) Es seien zwei Geraden gegeben, die gegen die groBe 
Aciise einer Ellipse unter supplementaren Winkeln geneigt sind. 



24 XTV. Lineare Systeme yon Kegelschnitten. 264. 

Zieht man alsdann zur kleinen Achse der Ellipse eine Parallele, 
die diese Kurve in zwei Punkten P^ , P 2 , das Geradenpaar in Q l , 2 
sehneidet, so gibt es einen Kreis, der die Ellipse in P 1 und P 2 be- 
riihrt und einen zweiten Ereis, der das Geradenpaar in Q, Q% be- 
riihrt. Auch die vier Schnittpunkte von Ellipse und Geradenpaar 
liegen auf einem Kreis, und die so erhaltenen drei Kreise gehoren 
einem und demselben Biischel an, d. h. ihre Mittelpnnkte liegen auf 
einer Geraden. 

Dies folgt sofort aus (32) und (33), wenn man /"=> und 
h = als Gleichungen der Ellipse und des Geradenpaares , g 
und S == als Gleichungen der beiden zuerst erwabnten Kreise 
auffaBt; die Parallele zur kleinen Achse ist 5 = 0. 

2) Die vier Schnittpunkte eines Kreises h = mit einer Hj- 
perbel f und die vier Schnittpunkle eines zu / konzentrischen 
Kreises 7j == mit den Asymptoten der Hyperbel liegen auf eineni 
Kegelschnitt. 

Auch dies folgt aus (32) und (33), wenn 5 die unendlich 
feme Gerade darstellt. (Vgl. auch Nr. 148.) 

3) Zieht man zwei Geraden, die gegen die Hauptachse einer 
Hyperbel unter supplementSren Winkeln geneigt sind, so liegen die 
vier Schnittpunkte des Geradenpaares mit der Hyperbel bez. mit 
deren Asymptoten auf zwei konzentrischen Kreisen, 

DaB die Schnittpunkte des Geradenpaares und der Hyperbel 
auf einem Kreis liegen, folgt leicht aus einem Satze in Nr. 220. 

264, Atte Selmen einer Ellipse f(x, y) ~0 ; die von einem 
festen Pmkt ^0(^0!%) un ^ er rechtem WinM erscheinen, um- 
Mllen einen Kegelschnitt y(w, v)=0. Dieser hat P mm 
BrennjpunU und die Polare von P in lemg auf f &wr Leitlinie. 

Die Grleicliung der Ellipse f(x, y) = |! + |! lo 

moge zunachst durch. x = | + ^ 0; y = ij + y Q auf em dem 
ursprunglichen Koordinatensystem paralleles System |, ?? be- 
zogen werden ; das seinen Anfangspunkt in P hat. Die Grlei- 
cliiing der Ellipse wird alsdann 



Sind nun ^i + %^ + 1-0 und si+t?^+l = die 
chungen zweier Ellipsensehnen, so stellt 



Beispiele fur Kegelsclinittbuscliel. 25 

ein dureh die Endpunkte der Ellipsensehnen gehendes Kegel- 
schnittbiischel dar, und insbesondere erhalt man ein durch 
die Endpunkte der Ellipsensehnen und durch P gehendes 
G-eradenpaar, wenn in der letzten GHeichung das absolute 
Glied und die linearen Glieder verschwinden, also wenn 

(36) *-A^,y ), i? -*&+,), ^- *(! + ,) 
oder 

(36 a) u = -rfr^ c MI, u 
v ' 2 1? 2 



ist. Das so erhaitene Geradenpaar schneidet sich aufierdem 
unter rechtem Winkel ? wenn die Koeffizienten yon | 2 und rf 
einander entgegengesetzt gleich sind. Dies tritt ein fur 

jiF-iMi^ + 55-^1^- 
oder nach (36) und (36 a) fur 

(37) a*Vf(x 2/ )K 2 + O - 2& Vi - 2a s y i + ** + &2 = ^ 
Dies ist die Gleichung des gesuchten Kegelschnittes in Linien- 
koordinaten % 7 v v Sie zeigt (vgl. Nr. 196), daB der Punkt P 
der eine Brennpunkt dieses Kegelschnittes ist. Durch die 
Transformation % = u : (x$u + y Q v + 1) ; v 1 = v : (X O H + j/ t; + 1) 
erhalt man die G-leichung der Kurye (37) bezogen auf das 
urspriingliche Koordinatensystem (vgl. Nr. 78), namlich 
, y(w, 

1 ; +(^ + yo 

Wird der gegebene Kegelsehnitt f yon der |-Achse in 
A und 5, von der ij-Achse in G und D geschnitten (Fig. 6), 
so ist das Yiereck ACSDA diesem Kegelsehnitt einge- 
schrieben ? der Kurye 9 umgeschrieben ; denn seine Seiten 
werden yon'P aus unter rechtem Winkel gesehen. Hieraus 
folgt ; daB die Polaren yon P in bezug auf f 
und in bezug auf cp zusammenfallen; die zum 
Brennpunkt P des Kegelschnitts <p gehorige 
Leitlinie ist daher in der Tat die Polare yon P 
in bezug auf f. 

Liegt P im Mittelpunkt yon f, so beruhren die von P 
aus unter rechtem Winkel erscheinenden Sehnen den Kreis 




26 XIV. Lineare Systeme von Kegelschnitten. 265. 



wie sofort aus (38) fur = y = folgt. 

Liegt P auf dem Kegelscknitt f\ ist also /*(a? 0; y ) 
so geht (38) in die Gleichung eines Punktes 



c'^ x c^ i/ 

fiber, der die Koordinaten hat ^ = ^n-y S ; ^i^"" a4." 



265. ^iefe^ *aw a^ e/tw Ellipse aus zwci Punlden P 19 P 2 
Hirer Tdeinen Aclise die Tangentenpaare, so liegen deren vier 
SchnittpwJtte auf einem Ereis, der ditrch die Brennpunlde der 
Ellipse geU. Dieser Kreis irifft die Jdeine Achse in den Mittel- 
punkten M', M" zweier anderen Kreise, die die leiden Tan- 
gentenpaare beriihren. 

Das yon P 1 an die Ellipse gelegte Tangentenpaar sei 
durci, die Grleichungen M^ + t^y+l^O and ^#+-^2/4- 1=0 
gegeben ? in denen die Koeffizienten von x entgegengesetzt 
gleicl sind, weil diese Geraden die #- Aclise unter" supple- 
mentaren Winkeln sclineiden. Das durch die vier Schnitt- 
punfcte der beiden Tangentenpaare bestimmte Kegelschnitt- 
biischel hat die Gleichung 

(39) o? iy + i) 8 - Wl v- ^{(^y + 1) 8 - w^v) - 0. 

aus der hervorgeht, da8 dem Wert (% 2 + ^ 2 ) : K 2 + # 2 2 ) 
des Parameters I der Kreis 



1 J - (! 3 + 

entspricht. 

Elirainiert man ^ und u 9 aus (39) vermoge der GFlei- 
chungen aV + ^V 88 - 1 ; a^^ + ^V 5 - 1 (Nr. 167) und 
tragt man den angegebenen Wert von 1 ein ; so ergibt sich 
als Gleichung des Kreises 



und bei Einfukrung der Ordinaten y x = 1 : v lt y t 1 
der Punkte P u P 2 folgt 

(41) a-. + jf^-aySJ.o. 



Beispiele fur KegelschnittbusclieL 



27 



Ein beliebiger Kreis mit dem Mittelpunkt M f (o /) bat 
in Linienkoordinaten die Grleichung (Nr. 105) 
(y'v + I; a -y 2 (w 2 +0 2 j = 0. 
Er berdlirt die erwahnten beiden Tangentenpaare, falls 

foX+i^'W+O-o nnd (/,+!;*- p'W+O-o 

ist ; und hieraus folgt 

(42) (2/X + l) 2 (^* + v/) - Q,X + 1)2^* + l?l *) = 0, 
Diese Gleichung zeigt, daB der Punkt M" auf dem Kreis (40) 
liegt, und entsprechendes gilt von dem sehon erwahnten 
Punkte M". 

266. Werden einem Kegelschnitt f(x, y) == zwei le- 
liebige Dreiecke umgesclirieben , so liegen Hire seclis Ecken auf 
einem KegelschniU &. 6 ) 

Sind namlich $ t (x, y] = nnd t t (x, y)**Q (i = 1, 2, 3) 
die Grleichungen der Seiten der beiden Dreiecke und hat die 
Verbindungslinie der Beruhrungspunkte von s i and ^. == 
die Gleicliung g^x, y) = ; (i = 1 7 2 ; 3), so bestelien nach 
passender Wahl eines Faktors ^ Identitaten von der Form 

(43) f(x, y} = 8 ,(x, y} t,(x, y) + x lff ,*(x, y), (i = 1, 2, 3). 
Aus diesen folgt z. B. 



_ 

so daB y^9i(x, y) V^ff^j y) ** e i n durcb den Scbnitt- 
punkt 5 3 von ^ und $ 27 den Schnittpunkt r s von ^ und 4 
sowie durch (s 1; i 3 ) und (5 2? i L )' gehendes (Jeradenpaar dar- 
stellt. Gribt man 1/3^ das Pluszeichen, so ist die Gleicbung 
der Greraden ST von der Form 

O 

V*i&0> y) + fi'V^^C^ y) - 0) 

wobei / diejenige der beiden Zablen 1 
bedeutetj die man ]/^ 2 a ^ s J^aktor vorsetzen 
muB ; um eben die Grleichung von S B T 3 zu 
erhalten. Bei entsprechender Bedeutung 

von $" ist 

')^ft(^ y) + *"V*t9i(x, y] = o 

die Gleichung von ^T, (Fig. 7) und 



die Gleichung von 




Das durch die Punkte 8 l9 T i9 8 9f 



28 XIV. Lineare Systeme von Eegelschnitten 266. 

gehende Kegelschnittbiischel hat nun die Gleichung 

(* 

oder 



dem Werte 1 des Parameters i entspriclit daher der Kegel- 

sehnitt 

(45) f(x, y) + S 



Dies ist der gesuchte Kegelschnitt Jc, auf dem auch die Punkte 
$3 und T B liegen, wie sich leiclit ergibt, wenn man beachtet, 
dafi ihre Koordinaten die Gleichungen ]/%^+ B f l/u^g^ = 0, 
S 1 ^ =f(x,y)-^ = und s 2 1. 2 = f(x, y) - ^ erfiillen. 
Es folgt auch sofort, daB es unendlich viele Dreiecke 
gibt, die dem Kegelschnitt f umgesclirieben, dem Kegel- 
schnitt ft eingeschrieben sind. Denn wenn man das eine Drei- 
eck als fest annimmt ; das andere so andert ; daB zwei seiner 
Icken auf ft bleiben, so bleibt auch die dritte Ecke auf Jc. 
Der Satz gestattet eine Erweiterung, die darin besteht, 
daB man jedes der Tangentenpaare $ t l durch je einen die 
Kurre f doppelt beriihrenden Kegelschnitt % i ersetzt. Alsdann 
entstehen BogendreieeJie, deren Seiten durch Bogen der doppelt 
beriihrenden Kegelschnitte gebildet werden; die Bcken zweier 
solcher Dreiecke liegen wieder auf einem Kegelschnitt Jc. 

Wahlt man ferner fur die Kurve % l einen Kreis, der f 
doppelt beruhrt ; fur % 2 eine Tom Brennpunkt F t und eine 
von einem beliebigen Punkt P an f ge- 
legte Tangente ; fiir # s die zweiten Tan- 
genten ; die man yon F 1 und von P aus 
noch ziehen kann, so werden die fruher 
erwahnten sechs Punkte durch P 9 F 1? 
die beiden imaginaren Ereispunkte und 
zwei weitere Punkte A und J5 gebildet, 
die auf dem Kreis ^ nnd auf je einer 
der zwei von P aus an den Kes;el- 

o 

schnitt f gezogenen Tangenten liegen (Fig. 8). Der durch 
Ay S und P bestimmte Kreis k geht daher auch durch den 




Kegelschnitte in Doppelberukrang. 29 

Brennpunkt F 19 und die Winkel PAF l und PSF l betragen 
zusammen zwei Rechte. 

Halt man die Tangente D A fest, andert aber auf ihr 
die Lage des Punktes P 9 so andert sich auch die Tangente 
BC, an ihre Stelle tritt eine Gerade PB'C', die den Kreis & 
in B' und G' schneidet, aber der Winkel PB r F 1 ist kon- 
stant, nnd zwar gleick 180 <C PJ.^. Umgekeirt ist der 
den Kegelschnitt f doppelt beruhrende Kreis & der Ort fur die 
FuBpunkte der Geraden, die Tom Brennpunkt F 1 nach den 
Tangenten yon f unter konstantem Winkel gezogen werden. 

267. Wenn drei Kegelschnitte in doppelter Beruhrung mit 
einem vierten Kegelsehnitt sind, so gehen die ScJmiUseJinen der 
drei Paare, die sich auf einer BeruhrwngsseJine schneiden, vier- 
mal 0u je dreien durch einen Punkt. 

Denn, sind die Gleichungen der Kegelscknitte von der 
Form 

(46) f+V-0, f+sf-Q, / r +% l -0, 

so sind die ihrer Schnittselinen, zu dreien geordnet 
^ ^=0, s% ^ 3 = ; s 3 -s 1 = Q] 

5 X + S. 2 = 0, 5 2 + S B =- 0, S 8 Si = 0; 
5 i+ 5 2 = 0; 5 2 6 V 3 =0 ; 5, + ^ 0; 

% S 2 = 0, S 2 + S 3 =- 0, S s + ^ 0. 

Wie in Nr. 261 konnen besondere Falle dieses Satzes 
gebildet werden, indem man voraussetzt, daB einer der Kegel- 
schnitte (46) oder mehrere yon ihnen zerfallen. So z. B, be- 
zeichnet / > =0, wenn dieser Kegelsehnitt in ein Geradenpaar 
ausartet, zwei gemeinscliaftliclie Tangenten der Kegelsciinitte 
f^. s ^Q f ^-j_5 3 2 = 0j wenn dann ^=0 eine durcli den 
Scbnittpunkt dieser Tangenten gehende Gerade ausdruckt ; so 
zerfallt anch f+s^= in ein Paar von Geraden, die durcli 
den Sctnittpunkt der gemeinscliaftliclien Tangenten geten. 
Wenn man durch den SchnittpunU von 0wei gemeinsamen Tan- 
genten meier Eegelschnitte ein Paar wn Geraden eiehtj so 
schneiden sich die Verbindungsgeraden der ScJinittpunJtfe dieser 
Geraden mit dem ersten und zweiten Kegelsehnitt in Punktew 
einer der Schnittsehnen der Kegelschnitte. Insbesondere schneiden 



30 XIV. Lineare Systeme von Kegelschnitten. 268 

sick die Tangenten in den Sdmittpurilden jener Geraden mit 
den Kegelschnitten in einer der Sclinittselmen. 

268, Sate von Brianchon, Wenn die durch /'+5 1 2 =0 ? 
f+s^^Q, /*+s 3 2 = dargestellten Kegelschnitte samtlich 
in Greradenpaare zerf alien ; so bilden sie ein dern Kegelschnitt 
/"== umgescbriebenes Sechsseit; die Schnittsehnen sind Dia- 
gonalen dieses Sechsseits, und man erhalt den Sate von Brian- 
clion: 1 } in jedem einem Kegelschnitt umgeschriebenen Sechsseit 
scJmeiden sich die drei Verbindungsgeraden der Gegenecken in 
einem Punltie. Wenn die Seiten des Seclisseits in irgend einer 
Eeihenfolge durch 1, 2, 3, 4, 5, 6 bezeicknet werden, so sind 
die Verbindnngslinien der Schnittpunkte 12 und 45, 23 und 
56 ; 34 und 61 die im Satze bezeichneten Diagonalen ? deren 
Schnittpunkt der zu dieser Eeihenfolge gehorige Brianchonsche 
Punkt teiBt. 

Durch Vertausclmng der Reihenfolge der Seiten des Seclis- 
seits lassen sich aber aus ilinen 1 2 3 - 4 5 d. i. 60 ver- 
scJiiedene BrianchonscJie Sechsseite bilden ; und fur jedes der- 
selben gilt der ausgesproehene Satz ; fur jedes gibt es einen 
Brianchonschen Punkt. 

Der Beweis kann auch folgendermaBen (vgl. N"r. 261, 3) 
gefuhrt werden. Sind 

<A-*i s =0, ^-s, s -0, ^6-^=0 

aquivalente Form en der Grleichung des Kegelscknittes f= ? 
so stellen s i <% == ; s 2 s 3 == 7 5 3 ^ == drei Diagonalen 
dar, die sich in einem Punkte schneiden. Da aber kein Kri- 
terium dafur gegeben ist, ob die Gleichung ^ = + s 2 die 
Diagonale (12) (45) oder die Diagonale (15) (2 4) des Vier- 
seits titifats darstellt, so beweist dieser SchluB nur ? daB die 
Verbindungslinien der Punkte 12 und 45 7 23 und 56 sich 
entweder in der Verbindungsgeraden von 34 und 61 oder yon 
13 und 46 begegnen. Ware jedoch dies letzte der Fall, so 
wfirden die Dreiseite 1 ; 2 ; 3 und 4, 5, 6 perspektiv kollinear 
liegen (Nr. 67 ; 4), daher die Schnittpunkte von 1 ; 4; 2, 5; 3^ 6 
in einer Geraden enthalten sein; wenn wir also fiinf von 
diesen Tangenten bestimmen, so miiBte die sechste durch 



Der Satz; von Brian chon und sein Gebrauch, 31 

einen fasten Punkt gehen, statt einen Kegelschnitt zu um- 
hullen. Also ist nur die erste Folgerung zulassig, 

269. Der Satz von Erianclion bietet das Mittel, aus 
fiinf gegebenen Tangenten eines KegelscJmittes alle seine Tan- 
genten m konstruieren. Dabei diirfen keine drei der Tangenten 
(lurch einen Punkt gehen, da sonst die Eurve in ein Punkte- 
paar ausartet. 

Wenn wir namlich auf einer von ihnen, etwa 1, einen 
Punkt P annelimen ; so konnen wir die zweite Tangente 6 
des Kegelsehnittes von P aus mit Hilfe dieses Satzes be- 
stimmen: die Verbindungslinien. der Punktepaare 12, 45; 
23, 56; 34, 61 sclmeiden sich. in einem Punkte 0; nack 
der Voranssetzung sind die Geraden 12, 45 und 34, 61 
d. i. 34, P bekannt, somifc aucli ihr Schnittpunkt 0; ziei.t 
man daher die Gerade 0, 23, so schneidet diese die Tangente 
5 in einem Punkte Q, der der Tangente 6 aus P ebenfalls 
angehort; PQ ist also diese Tangente 6. Man kann sagen: 
Die Tangente 6 ist die Basis eines veranderlicJien DreiseitSj dessen 
Sasiseeken sich auf den festen Geraden 1 und 5 lewegen, 
wahrend sein Scheitel die Gerade 12, 45 beschreibt, und seine 
Seiten sich um die festen Punlcte 23 und 34 drehen. 

Es fordert nur eine besondere Anwendung dieser Me- 
thode, um am fiinf Tangenten 1, 2, 3, 4, 5 eines Kegelschnittes 
den BeriihrungspunM T einer unter ilinen, g. B. von 1 ? M er- 
mitteln. 

Man Tafit die secliste Tangente 6 mit 1 zusammenfaflen, 
zieht alsdann die Qerade 12, 45 und schneidet sie mit 23, 
56 oder 51 in 0, zieht dann 34, und erh'alt T als Schnitt- 
punkt von 1 (s= 6j mit 34, 0. So sind also auch die Punkte 
des Kegelschnitts zu koustruieren und man erkennt, daB die 
Angabe einer Tangente mit ihrem Beriihrungspunkt der von 
#wei Tangenten "aquivalent ist. 

Weil die Konstruktion nur Schnittpunkte von Geraden 
und Verbindungsgeraden von Punkten benutzt, nennt man 
sie linear, Aus funf Tangenten ist eine Kurve zweiter Klasse 
durch lineare Eonstruktion lestimmi. Die Konstruktion nimmt 
niitzliclie besondere Formen an, wenn sich unter den Tan- 



32 XIV. Lineare Systeme von Kegelschnitten. 270. 

genten der Mittelpunktskurven eine Asymptote, bei der Pa- 
rabel die unendlich feme Gterade befindet. 

B. l) Man soil zu funf Tangenten den Mittelpunkt des Kegel- 
schnittes bestimmen. 

Hierzu 1st rmr notig, die 771 einer der gegebenen parallele 
Tangente (P unendlich fern) und fur diese beiden die Beriihrungs- 
punkte zu konstruieren ; ihre VerbindungsKnie ist ein Durchmesser, 
sein Halbierungspunkt der Mittelpunkt. 

2) Man konstruiere die Hyperbel aus einer Asymptote und 
drei Tangenten, 

Da durch die Asymptote auch ihr Beriihrungspunkt gegeben 
ist, vertritt sie zwei Tangenten. 

3) Welches ist die einfachste Konstruktion der Hyperbel aus 
den beiden Asymptoten nnd einer Tangente? 

4) Man zeige als Sonderfall der Konstruktion, daB der zwischen 
den Asymptoten gelegene Abschnitt einer Tangente durcb den Be- 
ruhrungspTinkt halbiert wird (Nr. 174). 

5) Man konstruiere eine Parabel aus vier Tangenten, insbe- 
sondere iliren Berubrungspunkt mit einer derselben. 

270, Kegelsclinittscliar. Die Brianchonscbe EonstruktioB 
zeigt deutlicli 7 daB von den Kegelschnitten mit vier festen 
Tangenten nur einer eine gegebene Gerade der Ebene berfikrt. 
Wenn wir die Gleicbung eines solclien Kegelschnittes in 
Linienkoordinaten sckreiben, so muB sie also eine unbestimmte 
Konstante linear enthalten ; da diese durch Einsetzung eines 
Wertepaares u' \ v f eindentig bestimmt sein muB. Daher haben 
wir nach dem Dualitatsprinzip das Eecht, die symbolischen 
Formeln auch nach Linienkoordinaten zu deuten (Nr. 82). 

Bedenten 93 (w ; v) = 0, ^(w, v) = die TangentialgJei- 
chungen zweier Kegelschnitte, so stellt die einen Parameter A 
linear enthaltende G-leichung 
(47) 9>(w,)- ^Z(*,)-0 

jeden Kegelselmitt dar, der die gemeinscliaftlichen Tangenten der 
JLegelschnitte cp = 0, % fieruhrt. Man nennt das System 
der einem Vierseit der Grundtangenten eingeschriebenen Kegel- 
schnitie eine KegelscJmittschar. Silscliel und Schar sind duale 
Begriffe.^ Wir kennen ein Beispiel schon in der Schar der 
konfokalen Kegelschnitte (Nr. 232). 



*) Wir wollen diese Gegenuberstelkmg festhalten, obwohl 



Eegelscknittschar. 33 

Der Parameter kann wiederum auf dreifaclie Weise so 
bestimmt werden, da8 die linke Seite <p 1% YOU (47) in 
lineare Faktoren tf^u, 0), <? 2 (^ ; v) zerfallt (Nr. 251). Dies ge- 
scbieht aber, sobald eine funfte Tangente gegeben ist, die 
durch eine Ecke des Vierseits geht. Also sind in dem voll- 
stdndigen Gnmdvierseit die drei Gegeneckenpaare zerfallende 
Kegelschnitte der Schar. Eines derselben ist stets reell 

Daher kann die Grleichung einer Schar stets in der Form 
geschrieben werden (Nr. 256) 

(48) (p-itf^-O, 

wo <5 l = 3 (? 2 == reelle Schnittpunkte der gemeinscliaftlichen 
Tangentenpaare darstellen. Die Tangentialgleichung eines 
einem Vierseit eingeschriebenen Kegelschnittes ist YOU der 
Form (Nr. 256): 

(49) tf 8 <7 4 itfitfo0. 

Die Kegelsclmitte cp 1^^ = beriihren (p 0, wenn ent- 
weder einer der Punkte <? x = ; <? 2 == auf dem Kegelsclinitt 
tp = liegt oder die Verbindungsgerade Yon beiden denselben 
beriibrt (Nr. 257). 

Die Kegelsclmitte 9 = und <p K$ = beruhren ein- 
ander doppelt ; so dafi 6 = den Scbuittpunkt der gemein- 
samen Tangenten ; den Beruhrungspol bezeichnet. Wahrend 
im allgemeinen zwei Kegelsclmitte ein Biischel und eine 
Schar als ganz Yerschiedene Systeme bestimmen ; Mlden doppelt- 
fyeriihrende Kegelsclmitte gleiclizeitig ein Suschel und eine Schar. 
Sind insbesondere <3 l = ; 6% = die Beriihrangspiinkte, 
^ ^ = also ein zerfallender Kegelschnitt der Schar, so lafit 
sich diese auch in der Gleichungsform darstellen 

(50) tfi^-A^-0. 

Ferner liefert Nr. 267 den Satz : Wenn drei Kegelschnitte in 
doppelter Beruhrung init einem Yierten sind, so liegen die 
Schnittpunkte der gemeinsamen Tangentenpaare viermal zu 
dreien in einer Geraden. Man erkennt schon ; da6 dies auf 



aucli jedes lineare System von Eurven als eine Kurvenschar Lezeichnet 
-wird, gleichgiiltig ob diese Kuryen Orfce von Punkten oder HiiUkurven 
von Geraden sind, 

Salmon-Piedler: anal. Geom. d. Kegelsckn. II. 7. AufL 3 



34 XIV. Lineare Systeme von Kegelschnitten. 271. 

einen zum Brianclionschen dualen Satz fuhren muB, den wir 
in Nr. 275 auf anderem Wege entwickeln. 

Namentlich aber 1st die ganze Polarentheorie dual iiber- 
tragbar. Denn nach. der Definition des TeilverMltnisses in 
einer Punktreihe u iw' | v lv r in Nr. 80 gibt die Ein~ 
setzung dieser Koordinaten in eine Gieiclmng zweiten Grades 
y =* und die Bedingung, dafi der Koeffizient yon K in dem 
Substitutionsergebnis yerschwinde, die Beziehung (Nr. 135} 
(51) A^u'to + A n (u'v + v'u} + A n vv + A^(u + u) 



Ersetzen wir also A n usw. durch A lt iA' n usw, 7 so seheii 
wir: Die Pole einer Geraden in l)emg auf die Kegelschnitte 
einer Schar bilden eine gerade PunUreihe. Die einander so- 
zugeordneten Geraden heifien doppelt konjugierte Polaren. 
Bin Sonderfall hieryon ist der Satz: Der Ort der Mittelpunkte 
der einem Vierseit eingesclirielenen Kegelsclmitte ist eine &e- 
rade; nacB Nr. 139 sind die Koordinaten der Mittelpunkte 

A 1 A ' ! A 1 A ' 

_llJII_zijL | IL-ZZji 2 !- . 

J ss 3-^8 | ^i ss ^-^ss 

Weil die drei Gegeneckenpaare des Grundvierseits Kegelscbnitte 
der Scliar sind ; die die Mitten der Ton ihnen begrenzten 
Strecken zu Mittelpunkten liaben ; so geht die Mittelpunktg- 
gerade durcli diese. 

Wie beim KegelsclinittbuscbLel der SeJnuttpunkt eines 
jeden der drei ixn Biiscbel enthaltenen Geradenpaare nacli 
Nr. 253 eine Ecke des zugeliorigen Poldreiecks 1st, so stettt 
jeM jeder Trager der drei in der Scliar lefmdlidien PunJcte- 
paare eine Seite des zugehorigen Poldreiseits dar. 

271. Lineare Kegelsehnittsysteme. Die symbolische Be- 
zeichnung fiihrt tiber die Betrachtung des durch zwei Kegel- 
scbnitte bestimmten Systems (Biischel uad Scliar) hinaus. 
Besteiit zwischen den Gieichungen yon drei Kegelschrdtten 
in Panktkoordinaten f(x, y) - 0, g(x, y) - 0, A(a, y) - keine 
identisclie, lineare Beziehung, so heiBen diese linear unab- 
Mngig. Bezeichnen ferner X** l:%, p' = ^ : % 2 wei durchans 
willkurliche Parameter, so bilden die Kegelsdmitte, deren 
Gleichnngen in der Form 



Lineare Kegelschnittsysteme; Netze und Gewebe. 35 



(J + ph = 

enthalten sind, ein System, das wir nach Analogie YOU Nr. 122 
ein Kegelschnittnete nermen. Unter den Kegelschnitten ernes 
solehen Netzes befinden sich nocli unendlieh viele, die durch 
einen gegebenen Punkt gehen und zwar bilden diese ein 
Biischel. Denn durch Einsetzung der Koordinaten des Punktes 
gewinnen wir eine Gleichung, die ft : x linear durch i : x aus- 
zudrticken gestattet, diirfen also nur nocli einen linearen Para- 
meter als willkiirlich betracliten (Nr. 249). 

Da das Netz unendlicli viele Biischel enthalt, sagfc man, 
es umfasse zweifach unendlicli viele Knrven oder das Netz 
ist ein lineares Kegelsclmittsijstem aweiter Siufe, das Bfisohel 
ein solches erster Shtfe. Die Kegelschnitte des Netzes hangen 
statt yon fiinf nur von zwei willkiirlichen Konstanten ab- 7 
also miissen die funf Konstanten eines jeden drei linearen, 
unabhangigen Bedingungen genfigen, wie aus der Algebra 
der Jinearen Gleidmngen bekannt ist. Man kann das drei 
gegebenen linearen Bedingungen gentigende Netz dadnrch 
bilden, dafi man drei Koeffizientengruppen a ft , t ik , c ik be- 
stimmtj die denselben geniigen, denn dann befriedigen auch 
%%+ ^ 2k + ^ c a dieselben. Somit bilden alle dtirch drei 
Punkte gelienden Kegelsclinitte ein Netz ; aber dies sind nicht 
mehr allgeineine Netze , da drei beliebig gewaUte Kegel- 
schnitte /'== 0, g = 0, h = keine Punkte gemein haben. 

Setzen wir die Kurven als Tangentengebilde voraus, so 
gelten dieselben Betrachtungen dual. Sind q> (u, v)=Q, %(u,v)= 7 
^(t* ; t?)n0 die Tangentialgleichungen von drei Kegelschnitten ? 
die nicht derselben Schar angelioren, so stellt auch 
(52) *9 + ^ + f*^-0 

ein lineares Iiegelschnittsy stein z welter Stnfe dar y das man 
als Kegelsclmittgewebe bezeichnet. Die Kurven desselben ge- 
niigen drei fur die Koeffizienten A iJk , B ikJ O i& (Nr. 149) linearen 
Bedingungen, konnen in besonderen Systemen z. B. drei feste 
Geraden beruhren. Solchen Systemen sind wir in der Lehre 
vom Kreise nicht begegnet, weil es nicht unendlich viele 
Kegelschnitte gibt^ die durch zwei feste Punkte gehen und 

drei weiteren Bedingungen geniigen. 

3* 



36 XIV. Lineare Systeme von Kegelschnitten. 272. 

Sind nun ferner /* 0, # = ; A = 0, # = bez. 9 =~ 0, 
^ = ; ^ = ? eo = vier Kegelsehnitte, die niclit demselben 
Netz bez. Gewebe angehoren, so stellen die drei unaWiangige 
Parameter enthaltenden Gleichungen 

(53) Kf+iflf + pA + vfc-O, 
bez. 

(54) ny + AJU + ft# + VID = 

lineare Systeme drifter Stufe dar ; die unendlich yiele ISTetze 
bez. Gewebe enthalten. Und endlicL. kann man genau so zu 
Kegelsclmittsystemen vierter Stufe aufsteigen, die noch einer 
einzigen linearen Bedingung genugen und durch fiinf Kurven 
bestimmt sind ? die niclit einem System dritter Stufe ange- 
horen. Man muB die Systeme unterscheiden ; je nactdem man 
die Kegelsohnitte als Punkt- oder Tangentengebilde, in Punkt- 
oder Linienkoordinaten gegeben denkt, etwa in punktueU- 
lineare und in tangentiell-lineare Systeme. 

Durch die Grleichungen von sechs ganz beliebigen Kegel- 
schnitten lafit sich demnacli die eines jeden vorgelegten Kegel- 
schnittes linear darstellen ; denn es sind dann fiinf Eonstanten 
verfiigbar, 

272. Wenn drei Kegelschnitte dieselben $wei Punkte ge~ 
mein haben, so gehen Hire drei Sclmittsehnen, die Jceinen dieser 
Panlcte enthalten, durch einen Punkt. 

1st /"O die Grleichung des einen Kegelsclinittes, 5 = 
die Grleiclrang der alien geineinsainen Seline, so sind die 
Gleicliungen der beiden andern Kegelsclinitte yon der Form 
f+5S 1 = ? f+5S 2 =0 ; die Gleichung ihrer Schnittselinen 
ist daher s(s 1 s 2 ) 0; die Grerade s 1 s 2 = geht aber 
durch den Punkt %==0 ; s 2 =0. Daher gilt der Satz fur 
alle Kegelschnitte des durch die drei bestimmten besonderen 
Netzes f-+ $(1^ + A 2 ^ 2 ) = 0. 

Der Satz ist far diese Kegelschnitte eine Erweiterung 
des Satzes fiber die Potenzlinien von drei Kreisen (Nr. 116) ? 
da diese die unendlich feme Grerade ihrer Ebene zur gemein- 
schaftlichen Sehne haben. Der Satz TOE Nr. 267 erscheint 
als fernere Erweiterung desselben: drei Kegelschnitte, die mit 
einem vierten Kegelschnitt in doppelter Beriihrung sind ; haben 



Kegelschnitte dureh zwei feste Punkte. 



37 



Tier Potenzmittelpunkte, in deren jedem sich drei ihrer ge- 
meinsGhaftlichen Sehnen schneiden. An die Stelle des sie alle 
doppelt beriihrenden Kegelschnittes treten im Falle der Kreise 
die zwei Punkte, die iknen alien gemeinsam sind. Unser 
Satz kann wie in Nr. 116 so ausgesprochen werden: Die 
Kegelschnitte eines Suschels lestimmen mit einem festen, durch 
sivei der Qrun&pmkte gehenden ^Kegelschnitte Schnittsehnen 
durch einen festen Pem/rf. 8 ) Man erkennt so ; daB zahlreiche 
friihere Satze besondere Formen allgemeinerer Satze tiber 
Kegelschnitte durcli zwei feste Punkte sind. 

B. Durch die Voraussetzung, daB einer der drei Kegelscimitte 
in ein Geradenpaar QA, OB ausartet, entsteht der Satz: Wenn 
man durcli zwei Schnittpunkte A, B von zwei Kegelschnitten Ge- 
raden zieht, die diese in den ferneren Punktepaaren P, $ "bez, , q 
schneiden, so schneiden sich die Sehnen P, pq in der 7,weiten 
Schnittsehne CD der Kegelschnitte (Pig. 9). 

Der Satz gilt insbesondere noch, wenn J., J5 in einen Beriih- 
rungspunkt der zwei Kegelschnitte zusammenrucken 5 er ist dann 
auch ein besonderer Fall eines in Nr. 267 gegebenen Satzes, weil 
einer der Schnittpunkte der 
gemeinschaftlichen Tangen- 
ten yon zwei sich beruhrenden 




Kegelschnitten in den Beriih- 
rungspunkt fallt. 

273.*) Legt man an einen Kegelschnitt ty(u, v) == aus 
swd Punkten A und K die Tangentcn, die iM in S 13 J5 2 be0* 
in L ly L 2 'beruhren mogen, so gibt es einen durch die vier Punkte 



*) Den Inhalt von 27S und 274 verdanke ich einer freundlichen 
Mitteilung von Herrn K. Bohn in Leipzig. Vgl. aucH dessen Abhand- 
lung im Jahresb. d. deutseh. Math.-Yer,, Bd. 16 (1907), S. 371375, 



38 XIY. Lineare Systeme von Kegelschnitten. 274. 



S l , JB 2? L lt 3 gehenden Kegelsclmitt 35 (w, ^)^= 

J5 2 gezogene Tangenten durch K gehen, wahrend sich die in i t 

wwd i 2 gezogenen Tangenten in A schneiden. (Fig. 10.) 

Sind A(u, v) =- 0, K(u, v) 0, JB^tt, 0) = usw. die 
Gieichungen der Punkte A, K, B^ usw., in denen die abso- 
luten Grlieder gleich -f 1 sind, ist also z. B. B^u, v) ^ 
jS/w + /5 1 " + 1, so bestehen die zwei Identitaten 

v) = B^tf, t?) B z (u, v) - lA\u, v} - 
) = ^(tt, v) i 2 (w, ) ftJK"\t*, v) = 0, 
und hieraus folgt 

(55) (l^^B^^+Kl-^^-a-^A-A + ^l-^)^ 
Der Kegelschnitt 

(1 - ifOz(u, v) s (1 - a)B 1 5 2 + i*(l - 1) J: 2 - 
beruhrt nun die Geraden KB 1 und JO, in J^ bez. B 2 (Nr. 270) 
und infolge der Identitat (55) beruhrt er auch die Geraden 
AL^ und AL% in L^ und Z/ 2 . 

274. Sind A 19 A%; J5 1; B g ; J\, F 2 drei Punktepaare von 
soldier Besckaffenlieit, daft ein Kegelsclmitt ty mit den Tan- 
genten A 1 B iJ A 1 B 2> A%B U A 2 B 2 die PunkteF 19 F z $u Brenn- 
punkten hat, so gibt es auch eincn Kegelsclmitt % der A 17 A% 
8u Brennpunkten hat und die Geraden B 1 F 1) B 1 F 2) B 2 F 1 , J? 2 -F 2 
leriihrt und ebenso einen Kegelsclmitt mit den Brennpunkten 
B lf B 2 und den Tangenten A t F l7 A t F^ A. 2 F t , A^F^) Fig. 11. 

Unter Anwendung der analogen. Bezeicknungsweise wie 
in Nr. 273 ist (Nr. 270) 

(56) (1 - A)^(w, v) s AiAi-JiB&^Q. 

Sind F^u, v} = ar/w + it"v + 1 = und F 9 (u, v) s JT/W 
-f 3C 2 "t? + 1=0 die Gleichuagen der Brennpunkte F l} F s , so 
ist auch 

(57) 4>(t*, t?) = j; j?i - ^(^ 2 + 1; 2 ) =, o, 

denn man kann F l und JP a als Schnittpunkte der yon den 
beiden imaginaren Kreispunkten $ + 1? 2 = an die Kurye 
^(t* ; 0) = gelegten Tangentenpaare auffassen (Nr. 181). Aus 
(56) und (57) folgt 



und dieser Kegelsehnitt hat A^ } A^ zu Brennpunkten, die Ge- 
raden B t F lf B^FZ, B%F 17 B^FS zu Tangenten. 



Beispiele fiir Kegelachnittscliaren. 



39 



Ferner ist 
tBi - pil - A)<y + v*) =5 A,A 2 - (1 A) J; F, - 0, usw. 





Fig. 11. Fig. 12 

Einer Ellipse il>(u, v) = und einem Kreis cp(u, v) = 
<fos gememsame Tangentenvierseit umgeschrieben, dessen Gegen- 
<ecken mit A i7 A%; B lf B$; C 1; (7 2 be0eichnet sein sollen. Sind 
jP 1? I\ die Brennpunkte von ty und zieht man aus ihnen die 
Breyinstrdtilen nach A i und A^ so beriihren diese einen 0u cp 
fconzentrischen Kreis %. 10 ) Fig. 12. 

Zunachst hat man 

(1 tyty = ^-1^-2 ^B 1 JRj = ; 



Ferner ist 

^ = ir i j? B _ p ( tt + )_<), 

wnd wenn Jf (u, v] die Gleichung des Mittelpunktes des 
Kreises qo darstellt ; hat man 



v 3 ), 



+ ^ 2 )= 0. 
Diese Identitat bez. Grleichung sagt aus 7 daB es einen Kreis 



Aus diesen Gleichungen folgt 

A,A Z - l^B, s (1 - i) JiJP, - 9 (1 - 



nnd durcli Elimination von -FiJ5 3 ergibt sich. 



40 XIV. Lineare Systeme von Kegelsclinitten. 275. 



gibt, der die Geraden AF 19 A^F^ A^F l und A^ beriibrt 
und M zuni Mittelpunkt liat. 

275. Satz von Pascal: 11 ) Die drei Schnittpunkte der Gegen- 
seitenpaare eines in einen KegelsdmiU eingeschriebenen Seeks- 
ecliS liegen in einer Geraden, der Pascalschen Geraden desselben. 

Wir bezeicbnen die Eeken des Sechsecks durck 1, 2,3,. 
4 ? 5, 6 und wollen durch 5 12 die Gleicbung der Ver- 
bindungsgeraden yon 1 mit 2 ausdrucken, usw.; dann muB 
die Gleiehung des Kegelsclmittes ; da er dem Viereck 1234 
umgesclirieben ist ; sicb. in der Form scbreiben lassen 

(58) Sl2% - %Sl4 = 0(Nr.256); 

da er aucb dem Viereck 4561 umgesclirieben ist, so muB 
dieselbe Gleicbung in der Form auszudriicken sein 

(59) S 45 5 61 5 B6 s u == . 

Die Identitat beider Ausdrucksformen gibt die Grleicbung 

(60) 5 12 S M - %5 61 =5 S U (SM - 5 66 ) - 0. 

Die linke Seite der Grleichung, die, gleicb Null gesetzt, ibrer 
Form zufolge eine dem Viereck der Punkte 1; 4; 12 ; 45; 
34, 61 nmgescbriebene Kurve zweiter Ordaung darstellt, mu6 
somit in zwei Faktoren zerlegbar sein, die nur die Diagonalen 
dieses Vierecks darstellen konnen. Nun ist s u = diejenige 

Diagonale, die die Ecken 1 
und 4 yerbindet, also muJJ 
s 23 $ 56 = die andere Diago- 
nale sein, die die Ecken 12, 45; 
34, 61 miteinander yerbindet. 
Da aber die Form ibrer Glei- 
cbung sie als eine durcb den 
Punkt 23, 56 gebende Gerade 
kennzeiclinet, so liegen notwen- 
dig die drei Punkte 12, 45; 
23, 56; 34, 61 in einer Ge- 
raden. 12 ) 

Vgl. Fig. 13, in der die Punkte 1, 2, 3, 4, 5, 6 mit a,. 
6j c, d> e y f und die Scbnittpunkte der Gegenseiten mit p, q, r 
bezeictnet sind. 




Der Satz von Pascal mid sein Gebrauch. 41 

B. 1) Wenn A, E, drei Punkte einer Geraden und J.', JS', 0' 
drei Punkte einer andern Geraden sind, so liegen die Schnittpunkte 
BC'\B'C, CA' C'A, AB'\AB in eiaer Geraden. (Satz von 
Pappus.) 13 ) 

Dieser Sonderfall des Pascalschen Satzes gilt auch dann noch, 
wenn die zweite Gerade unendlich fern ist, also die Linienpaare 
BO', C'A] CA', A' B] AB', B' C parallel zu drei verschiedenen 
Geraden gezogen sind. 

2) Wenn man vier Geraden auf alle Arten zu dreien kombi- 
niert, so entstehen vier Dreiseite, deren Hohenschnittpunkte in einer 
Geraden liegen. 14 ) 

Sind a, &, c, d die vier Geraden und .', &', c', d' die zu ihnen 
rechtwinkligen Geraden der Konstruktion, so ergibt sich der Be- 
weis durch die Anwendung des Satzes yon 1) auf die drei Schnitt- 
punkte von a, &, c nait d und die drei unendlich entfernten Punkte 
von a', &', c. Der Satz folgt auch aus dem Steinerschen Satze in 
Nr. 213, 1, denn die vier Hohenschnittpunkte mussen in der Leit- 
linie der Parabel liegen, die die vier Geraden zu Tangenten hat. 
Die Verbindungslinie der Mitten zwischen den Paaren der Gegen- 
ecken des "Vierseits der vier Tangenten ist zur Achse dieser Parabel 
parallel, also auf der vorigen Geraden rechtwinklig. 

3) Der angezogene Satz von Steiner ist selbst ein Sonderfall 
des Satzes von Brianchon; denn sind a, Z>, c drei Tangenten der 
Parabel, und bezeichnen a', &', c' drei m ihnen rechtwinklige Tan- 
genten, ist uberdies g^ die unendlich feme Gerade, so betrachten 
wir die sechs Tangenten a, &, c, e', g#, a und sehen, daB sich die 
Geraden a&, c ' g^\ ~bc, ag^ cc\ aa in einem Punkte schneiden; 
von ihnen sind aber die beiden ersten Hohen des betrachteten Drei- 
seits a, &, c, und die letzte ist die Leitlinie, in der sich jedes Paar 
rechtwinkliger Tangenten schneidet (Nr. 21 1). 15 ) 

276. Der Pascalsclie Satz gestattet, aus funf PunUen 
eines Kegelselinittes leliebig viele welfare PunJde desselben M 
konstruieren* Dabei sollen keine drei Punkte in einer Greraden 
liegen ; da sonst die Gerade dieser drei Punkte und die Ver- 
bindungslinie der beiden tibrigen einen in ein Geradenpaar 
ausgearteten Kegelschnitt bilden wurden. 

Wenn wir namlici. irgend eine Gerade g oder 16 durch 
einen, etwa den ersten der gegebenen Punkte 1, 2, 3 ? 4 ; 5 
ziehen, so konnen wir den Punkt 6 bestimmen, in dem sie 
den Kegelschnitt ferner sclineidet ? und so beliebig viele Punkte 
des Kegelschnittes erhalten. Die Schnittpunkte , von 12 und 



42 XIV. Lineare Systeme von Kegelschnitten. 276 

45, 23 und 56, 34 und 61 liegeu ja in derselben Geraden p, 
und naek der Voraussetzung sind die Punkte 12, 45 und 
34, 61 ((/}, also auch die Gerade p bekannt; somit bestimmt 
die Verbindungslinie von 5 mit deni Schnittpunkt von p 
und 23 auf der Geraden g (16) den Punkt 6. Mit andern 
Worien: Der Punkt 6 ist die Spitee ernes veranderlichen Drei- 
etiks, dessen Seiten "beg. Basis durch feste Panicle 1, 5 "bee. 12, 
45 gehen, wfilirmd sicfi seine ~Basisecken Idngs fester Geraden 
23, 34 lewegen. (Vgl. Nr. 49 ; 2, 3.) 16 ) 

Diese Konstruktion liefert, wenn man zwei Nachbar- 
punkte zusammenfallen lafit, die Tangente t in einem von filnf 
gegehenen Punkten eines KegelscJiniUes. Nennt man z. B. 1 zu- 
gleich 6, so verbindet p die Punkte 12, 45 und 2 3, 56 (51) 
und im Sclmittpunkt von p init 34 erbalt man einen Punkt 
der Tangente 16. 

Aus filnf PunJden ist eine Kurve #weiter Ordnung durch 
lineare Konstniktion bestimmt und zwar zahlt die Angabe elites 
Punktes nebst der in ihm beriihrenden Tangente fur zwei 
Punkte (vgl Nr. 269). Einfache Sonderfalle bietet die Be- 
nutzung der unendlicli fernen Punkte. 

Der SriancJionscJie PunJct eines dem Kegelsclmitte umge 
schriebenen SecJisseits ist der Pol der Pascalschen Geraden des 
Sechsecks der Bemhrungspim'kte. Denn, geben wir der Tan- 
gente und dem Berdhrungspunkt dieselbe Bezeichnung, nennen 
also Sechsseit wie Seckseck 123456, so ist die Verbindungs- 
gerade der Tangentenschmttpunkte 12 ? 45 die Polare des 
Scbnittpunktes der Verbindungsgeraden 12, 45 der Bertih- 
rungspunkte, usw. (Nr. 135). 

Dieser Satz konnte umgekehrt als eine blofie Folgerung 
aus der Polarentheorie dazu dienen, urn aus dem Satze von 
Pascal den von Brianchon abzuleiten oder umgekekrt. Jedoch 
leistet dies schon das Dualitatsprinzip von Nr. 82, Nact allem 
friiheren darf jeder rein bescbreibende Satz, der von Punkten 
einer Kurve zweiter Ordnung handelt, unmittelbar auch. fur 
die Tangenten einer Kurve zweiter KLasse daal ausgesprochen 
werden (vgl. Nr. 270). Unser Satz gibt aber eine kon- 
struktiv spezialisieiie duale Beziehung, die uns erlaubt, die 



Konstruktionen mit Hilfe des Pascalschen Satzes. 



43 



weiteren TJberlegungen an der Pasealschen Figur allein dureli- 
zufuhren. 

Bin sehr nutzlicker Sonderfall des Satzes entsteht durch 
Zusammenfallen der Seiten- bez. Punkfcepaare 12, 34, 56: 
In einem umgeschriebenen DreiecJc schneiden sicli die Verbin- 
dungslinien der SeriihrungspunUe mit den Gegenecken in einem 
Punkte 0, und die Sclmittpunkte der BeruhrungsseJmen mit 
den Gegenseiten liegen auf der Polare oder der EarmoniJtale o 
(Nr. 67, i) von 0. 

B. 1) Aus funf Punkten 1, 2, 3, 4, 5 eines Kegelschnittes 
seinen Mittelpuukt r /u bestimmen. 

Man ziehe die Gerade 1 6 parallel zu 3 4 uud bestiinme den 
auf ihr gelegenen Punkt 6 des Kegelsclmittes; daan sind 34 und 
1 6 zwei parallele Sehnen, und die Verbindungsgerade ibrer Mittel- 
punkte 1st ein Darcbmesser. Indem man ebenso auf 56' parallel 
23 den Punkt 6' des Kegelschnittes bestimmt, findet man einen 
zweiten Durehmesser und damit den Mittelpunkt. 

2) Man konstruiere die Hyperbel aus den Asjmptotenricli- 
tungen 1, 2 und drei Punkten 3, 4, 5. 

3) Man konstruiere sie aus den Asymptoten und einem Punkte, 
insbesondere die Tangente in diesem, 

4) Man konstruiere die Parabel aus der Achsenrichtung und 
drei Punkten und spreche hier wie in 2 , 3 die Konstruktionsregeln 
als Satze aus. 

5) Zu vier Punk- 
ten A,B, 0, D und der 
Tangente des einen, z. B. 
a in 4, sind die Tan- 
genten &, c, d in J?, C, 
D zu konstruieren (vgl. 
Fig. 14). 

Indem man A als 
erste und zweite Ecke 
und resp. nacheinander 
J5, C, D als vierte und 
fiinfte denkt, die jedes- 
mal iibrigen aber als 
dritte und secnste, ergibt 
sicb. durcb die wieder- 

bolte Anwendung des Pascalschen Satzes die Eegel: Man bilde das 
Diagonaldreieek des Vierecks AS CD, also E oder A B, CD; F oder 
J5C, JLD; ff oder OJL, BD mit den Gegenseiten e, f, g. Dana 



Fig. 14. 




44 XIV Lineare Systeme von Kegelsdmitten. 277. 

schneide man a mit diesen der Beibe Back und ziebe voii dem 
Sebnittpunkte die Gerade I nacb B, d nacb D und c nacb C; so 
sebneiden sich auch 5 und c auf der Geraden /*, & und d auf # und 
c und d auf e. Dies ergibt den Satz: Das Diagonaldreieek des 
einem Kegelscbnitt eingescnriebenen Vierecks 1st zu- 
gleich das Diagonaldreiseit des zugebftrigen umgesebrie- 
benen Vierseits. 

Man sieht, daB die Konstruktionsfigur zugleicb die der andern 
Aufgabe ist: Zu vier Tangenten a, &, c, d und dem Beriibrungs- 
punkt einer von ibnen die Beriibrungspunkte der drei andern zu 
finden. Man bildet das Dreiseit e, f, g der Geraden 0&, cd$ lc, 
ad*, ca, l)d] die Yerbindungslinien des gegebenen Beriihrungspimktes- 
mit den Ecken JE7, JF, (? des Dreiseits treffen die drei andern Tan- 
genten in ihren Beriihrungspunkten die entsprecnende Anwendung 
des Satzes von Biiancbon. 

6) Erzeugung der Kegelscbnitte nacb (7, Maclaurin: Man be- 
stimme den Ort der Spitze eines Dreiecks, dessen Seiten bez, durcb 
drei feste Punkte geben, wabrend die Basisecken sicb in zwei festen 
Geraden bewegen. 16 ) 

Sind 5 X = 0, 5 2 == 0, s 3 die Gleicbungen der Seiten des von 
den drei festen Punkten gebildeten Dreiecks, so konnen nacb Nr. 67 
die festen Geraden g, Ji in der Form 

a^j + a 2 5 2 -f a 3 5 3 = 0, Vi + ^2^2 + h s $ = 
ausgedriickt werden; und ist dann s ^S 2 = die Basis, so ist. 
die Gerade, die den Punkt s 2 == 0, S 3 = mit dem Scbnittpunkt 
der Basis mit g verbindet ; durcb (a^p + fl 2 )s s + 3 5 3 = darge- 
stellt, und die Gerade, die den Punkt s 1 = Q } s 3 =0 mit dem 
Scbnittpunkt der Basis mit Ji verbindet, durcb (&i^ + &a)s 1 + 
& 3 ^s 3 =0. Die Elimination von fi zwiscben den beiden letzten 
Gleicbungen gibt die Gleicbung des gesucbten Ortes in der Form 



d. b. derselbe ist ein Kegelscbnitt, der durcb die funf Punkte 
$ 2 =0, %=0; %==0, ^^O; ^==0, ^5!+^^+ a B 5 3 = 0; 

5 2 = 0, 5^! + Vs + &3' 9 3= Und ^J * 

bindurcbgebt. 

277. Die vollstandige Figur des Pascalschen Seetisecks. 
Wie im Falle des Satzes von Briancbori konnen wir 60 ver- 
schiedene Pascalscbe Secbsecke aus den namlichen secbs 
Pmikten erbalten, wenn wir die Ordnung ikrer Aufeiiiander- 
folge andern. Die entsprecbenden Pascalseben Geraden bilden ; 



Maclaurins Erzeugung der Kegelschnitte. Punkte von Steiner. 45 

wie dort die entspreehenden Brianchon- Punkte , ein System 
mit zahlreichen interessanten Eigenschaften, 

Da z. B. der Kegelscbnitt von Nr. 275 auch dem Viereck 
2356 umgesclirieben ist, so kann seine Gleichung aucli in 
der Form s^s B6 5 23 5 56 = ausgedriickt werden, und ihre 
Identitat mit der Form (58) in Nr. 275 gibt 



woraus wir wie dort scUiefien, dafi die Punkte 12, 36; 
34 ; 25; 56, 14 in einer 6eraden ? namlich der Geraden 
5 14 5 56 =0 liegen. In gleicher Weise lernen wir aus der 
Identitat der zweiten und dritten Form der Grleiclmng unseres 
Kegelsclinittes, dafi die drei Punkte 45, 36; 61, 25; 23, 14 
in einer Geraden S 2 s % 4 = liegen. Kun sclmeiden sick 
aber die drei Geraden 
(62) s 23 5 56 = 0, $ 56 s u = ; s i4; 5 23 = 

in einem Punkt. Damit ist der Satz yon Steiner bewiesen: 
Die drei Pascalschen Geraden, die man fur die Anordnung 
der Ecken in den Its. Folgen 123456; 143652 ; 163254*) 
erhalt, schneiden sich in einem Punlde. Da 234561 in der- 
selben Weise behandelt nicbts Neues gibt, so liegt in jeder 
Pascalschen Geraden nur ein Steinerscher Punkt; es gibt 0wan0ig 
solcher Punkte. 

Bbenso erhalt man fur die Pascalscten Geraden von 
123456, 154236, 156342 die folgenden Ergebnisse. 
Die Gleichung des Jlegelsclmittes bat, weil er den Vierecken 
1245, 5436, 6321 bez. umgescbrieben ist, die identischen 
Formen 



Also sind auck identisch 



*) Die geradzahligen Bcken sind zyldisch vertauscht. 



46 XIV. Lineare Systeme von Kegelschnitten. 277. 

d.h. 15, 34; 24, 56; 12, 36; 

34, 61; 56, 23; 45, 12; 
23, 15; 16, 24; 36, 45 

sind dreirnal drei Punkte in je einer Geraden, den Pascalschen 
Geraden der Sechsecke 156342, 123456, 154236, und diese 
drei Geraden gehen dnrcli einen Punkt ein Sate von Kirk- 
man. Da die zyklisclie Verschiebung die Gruppen 

234561, 265341, 261453; 
345612, 316452, 312564 

und keine weiteren gibt, so liegen in jeder Pascalschen Linie 
drei Kirkwansche PuwTcte, und die Anzahl dieser Punkte ist 
sedizig. 

Man katin deii groBten Teil aller Satze, die uber die 
Figur des vollstandigen Sechsecks "bekannt geworden sincl, 
aucli entwickeln, indem man die Grundlehren der Kombina- 
torik mit den elementaren Satzen fiber perspektive Dreiecke 
yerbindet (Fr. 67, 4). 

Sind 1, 2, 3, 4, 5, 6 die sechs Punkte des Kegelschnittes, 
die wir die Punkte P nennen wollen, so werden sie durch 
funfzelm Geraden verbunden, die wir die Geraden I nennen 
werden. Jede derselben, z. B. 12, wird von den vierzehn 
anderen geschnitten uiid zwar durch vier dieser Geraden im 
Pnnkte 1, durch. vier andere in 2, durch sechs andere in 
Punkten, die yon 1 und 2 rerschieden sind,, z. B. in 12 7 
34; usw. Wir wollen die letztgenannten als die Punkte P' 
bezeiclmen; ihre Anzahl ist fiinfundvierzig, denn in jeder Ge- 
raden I liegen sechs Punkte P', und da zwei Geraden I 
durch jeden Punkt P' gehen, so ist die Zahl dieser Punkte 
die dreifache Zahl der L Wenn wir die Seiten des Sechsecks 
in der Ordnung 123456 nehmen, so sagt Pascals Satz, daB 
diejenigen drei Punkte P' in einer Geraden liegen, die als 
12, 45; 23, 56; 34, 61 erhalten werden. Wir konnen diese 

Gerade als die Pascalsche Gerade I . e ... 00 [ bezeichnen. 

(.40 ol ^oj 

um die drei* Punkte beqnem erkennen zu lassen, durch die 
si geht. 



Die Punkte von Zirkman. Beweise durch perspektive Dreiecke. 47 

Dureh jeden Punkt P' gelien Tier Pascalsche Greraden, 
namlich z. B. durch (12,45) die Geraden 123456, 126453, 
123546, 126543; wir fin don also die Zahl der Pasealschen 
Geraden, indem wir die Zahl der Punkte P' mii vier multi- 
plizieren und durch drei dhidieren, weil jede YOU ihnen drei 
Punkte P' enthalt; sie ist also gleich sechzig, in der Tat 
die ZaM der yerschiedenen moglichen Anordnungen von seclis 
Elementen, wenn man die zyklischen Vertauschungen und 
direkten Umkehmngen nicht berucksichtigt. Betraehten wir 
nun drei Dreiecke I 7 II, III mit den Seiten 12, 34, 56; 45, 
61, 23: 36, 25, 14 bez., so liegen die Schnittpunkte der 
entsprechenden Seiten yon I und II in einer Pasealschen Ge- 
raden, die VerbindiiBgslinien ihrer entspredienden Ecken 
schneiden sich also in einem Punkte. Sine dieser Linien 
verbindet die Ecke 12-34 des einen mit der Ecke 45-61, 
und auf dieser Verbindungslinie liegt auch der Punkt 

36-25, man kann sie also durcli {34 ^ g! . 95 bezeichnen; 

diese Pascalsche Qerade und die beiden anderen der vorhin 
erwahnten Verbindungslinien oder Pasealschen Geraden, nam- 



, 

und denselben Punkt, womit wieder Steinera Satz gefmiden ist. 
Wir werden den Schnittpnnkt als den Punkt G und 

jl2-45-36| 
dnrch die Charakteristik 34.151-25 bezeiehnen. Damit 

156-23- 14J 

wird offenbar, daB in jeder Pasealschen Geraden nur ein ein- 
ziger Punkt G liegt; denn, wenn die durch die beiden ersten 
Zeilen charakterisierte Pascalsche Gerade gegeben ist, erhait 
man die Charakteristik des beziiglichen Punktes G durch 
Untersetzen der in ihren Yertikalreihen nicht enthaltenen 
Buchstaben unter dieselben* Da aber in jedem Punkte G 
drei Pascalsche Geraden zusamrnentreffen, so ist die Zahl 
dieser Punkte gleich zwanzig. Wenn wir die Dreieeke II, 
III und I, III betrachten, so sind die Verbindungslinien ent- 
sprechender Ecken in beiden Fallen dieselben, und die drei 



48 XIV. Lineare Systeme von Kegelscimitten. 278. 

Achsen der Kollineation treffen sich somit in einem Punkte; 
derselbe ist aber offenbar der Punkt G YOU der Charakteristik 

12.34.56j 

<45'61-23|- L. O.Hesse hat bemerkt, daB zwei solche 

.36 -25- 14) 

Punkte G in bezug auf den Kegelschnitt harmonisch konjugiert 
sind, so daB die zwanzig Punkte G in zehn Paare geteilt wer- 
den. Die Pascalschen Greraden, die durch dieselben gehen, 
sind fur den betrachteten Pall bez. 

123654, 163452 ; 143256; 
und 

123456, 163254 ; 143652. 

Wie man sieht, ergeben sich diese Grruppen yon je drei 
Pascalschen Geraden, indem man bei 123456 die Zalilen 
246 zykliscb vertauscht ; und zwar im einen bez. im ent- 
gegengesetzten Sinne ; wahrend die Zalilen 135 an ihren 
Stellen bleiben. 

B. Man zeige, daB die Schnittpunkte der sechs Paare ab- 
wechselnder Seiten eines Pascalschen Sechsecks in natiirlicher 
Ordnung ein Brianclionsclies Sechsseit bilden, und daB ebenso die 
Verbindnngslinien der sechs Paare abwechselnder Ecken eines Brian- 
chonschen Sechsseits in dieser Ordnung ein Pascalsches Sechseck 
bilden. 

* 278. Betrachten wir nun die Dreiecke 

12, 34, 56 I 
12-35-46} J34-26.15} |56-24.13} 



145 - 26 - 13J ; 116 - 35 24j ; 123 - 15 46 J ; 
(12^ 35-46) |34-26-15} (56-24-131 
136 - 24 - 15J ? 125 - 13 - 46J ; \14 - 35 26J ; 
so sind die Schnittpunkte der entsprechenden Seiten von I 
und IV drei Punkte derselben Pascalschen Greraden. Die Ver- 
bindungslinien entsprechender Ecken ? die daher durch einen 
Punkt gehen, sind aber die drei Pascalschen Greraden 
1 12 - 35 - 46} f 34 - 26 - 15} (56 * 13 24} 
1 34 26 - I5j ; 156 13 - 24J 7 [12 46 35 J ; 
wir konnen den Schnittpunkt bezeichnen als den Punkt H 



Satze von Hesse, Kirkinau, Cayley und Salmon 



49 



von der Ckarakteristik 



Sie weiekt von der der 



12-35.46 

34-26- 15 

56.13-24) 

Punkte G- darin ab, daB nur eine der Vertikalreiken die seeks 
Ziffern ohne Auslassung oder Wiederholung entkalt In jeder 
Pascalscken Geraden gibt es drei Punkte H, namliek in 

12-34-561 ,. , . 

die iolgenden: 



(12 


34 


56] 


12 


34 


56 


-, 45 


16 


23, 


45 


16 


23 




13 


25 


46) 


26 


35 


14 



45-16-23 

T2-34-56 
45-16-23 
36- 24-15 

wo der Stricli iiber der einen Spalte andeutet, da8 in ikr die 
seeks Ziffern vorkormnen. Daraus entspringt Kirkmans Er- 
weiterung des Steinerscken Satzes: Die PascalscJien Geraden 
schneiden sick zu dreien nicfit nur in Steiners zwanzig Pimlden 
G-j sondern auch in seclizig anderen PunTtten H. 

Wenn. wir ebenso die Dreiecke I und V betrackten, so 
sind die Verbindungslinien der entspreekenden Ecken die- 
selben wie fiir I und IV, und die entspreekenden Seiten 
sckneiden sick daker in einer Geraden ; offenbar einer Paseal- 
schen Geraden. Endlick niiissen sick die entspreckenden Seiten 
yon IV und V in drei Punkten einer Geraden sckneiden, d. k. 
die drei Punkte R yon den Ckarakteristiken 

(12-35-46 15-34.26] 13-24-56 
45-26-13 , 24-16-35, 46-15-23 
36- 15-24 13-25-46] 35-26-14 
liegen in einer Geraden. tlberdies muB die Aekse von IV 
und V durck den Scknittpunkt der Acksen von I, IV und I ; V 
geken, d. k. durck den Punkt 6r ; der aus den alle seeks 
Ziffern entkaltenden Spalten der vorigen Punkte H entsteht, 
namliek 12-34-56 

45-16-23 
36-25-14, 

Damit kaben wir den Cayley ~ Salmonschen Safe: $s gilt 
wan%ig Geraden g, derm jede einen Punkt G- und drei Punkte 
H enthalt. 

S aim on.- Fiedler: anal. Geom. d. Kegelsclm. H. 7 Au.fi. 4 



50 



XIV. Lineare Systeme von Kegelschnitten. 278. 



Ebenso kann man beweisen, daft die gwaneig Geraden y 
m vieren durcli funfeehn PunJcte J gehen. Die yier Geraden g 
Damlich, deren Punkte G in der vorigen Bezeiehnung eine 
Vertikalreihe gemein haben, gehen durch denselben Punkt 

Betrachten wir ferner die Pascalschen Geraden, die sick 
in einem Punkte H schneiden, z. B. 

j 12 -35. 46} (45 -26- 13} (36-15.24] 

145- 26-1 3 1' 136-15-24J 7 \12-46- 35 J 

Wir wahlen auf diesen Geraden der Reihe nach die- 
Punkte P/-46-13, P/-26-15, P 8 '-24-35 und er- 
halten so ein Dreieck, dessen Seiten P/P/ ; P^P^ PS PI 

durcli 

f 13 - 26 45\ 1 26 - 35 14) f 24 13 - 56 \ 

146- 15- 23 j ? U5.24-36J' 135 -46- 12 J 
charakterisiert sind. Auf jeder dieser Seiten nehmen wir einen* 
Punkt Hj indem wir nnter jede der obigen Pascalscten Ge- 
raden die Zeile 16-34-25 scfcreiben. Die Seiten S^H^ 
H$Hz) H^S i des so entstehenden Dreiecks H^H^H^ sind der 
Reihe nach durcli 

| 13- 26- 45} (36-15-24} |46.12-35} 

J25.34-16J' [25- 34- 16 j ; J25.34.16J 

charakterisiert. Die Sdinittpnnkte der entsprechenden Seiteiu 



der Dreiecke P/P/P/ und 
von den Charakteristiken 



25- 34.16) 

13.26.45, 

46.15-23 



25-34-16 
36'15-24 



d. L die drei Punkte 6- 



25-34.16 

46.12-35/ 

13-56-24) 



14.26-35 
liegen rnit dem yierten, der gleichfalls die Zeile 25 34 16 

25.34-16 
enthalt P,6 12 45 (vgl. S. 47), in einer Geraden. Da mais 

114.56-23 

fiinfzehn verschiedene Produkte yon der Form 2 5- 3 4* Id 
bilden kann ; so folgt aus dem Vorhergehenden der Satz yon 
Steiner: Die PunJde G liegen m vieren in fmfsekn Geraden j~ 
Hesse hat eine gewisse Dualitat zwischen den erhaltenen* 
Satzen heryorgehoben. Den 60 Kirkmanschen Punkten H ent- 
sprechen die 60 Pascabchen Geraden I in folgender Art: E& 



Dualitilt nach Hesse und Veronese. 51 

gibt 20 Steinersche Punkte G, durch deren jeden drei Pascal- 
sche Geraden Ji und eine Gerade g gehen; und es gibt 20 Ge- 
raden g, deren jede drei Kirkmansche Punkte H und einen 
Steinerschen Punkt G enthalt. Und so wie die 20 Geraden g 
zu vieren durch 15 Punkte J gehen, so liegen die 20 Punkte G 
zu vieren in 15 Geraden j. Diese Dualitat ist zuletzt durch 
zahlreiche neue Ergebnisse von Veronese naher bestimmt und 
vervollstandigt worden. 17 ) 

Um zu zeigen, welch er Punkt H der Pascalschen Ge- 
raden entspricht, die der Ordnung 123456 angekort, be- 
trachten wir die beiden eingescnriebenen Dreiecbe 135 ; 246 
und bemerken, wie wir bald (Nr. 287 ? 7) sehen werden, daB 
inre Seiten einen und denselben Kegelschnitt beriihren.*) Das 
durch die Geraden 35 ; 46, 15, 26, 13, 24 gebildete Secns- 
seit ist daher ein Briancnonsches. Aber seine Diagonalen sind 
die drei Pascalschen Geraden, die sica in dem Punkte H 
schneiden von der Oharakteristik 

35.26-14 

46- 13- 25 

15-24-36 

Und da bei Festhaltung der abwechselnden Seiten 35 ; 15 ; 13 
durch zyklische Permutation der tibrigen drei Brianchonscne 
Punkte erhalten werden, die naah dem zu dem Steinerschen 
dualen Satze in einer Geraden liegen mtissen, so ist bewiesen, 
daB drei Punkte H in einer Geraden g liegen. 



*) Der dual entsprechende Satz wurde schon in Nr. 266 bewiesen. 



Funfzehntes Kapitel.*) 

Projektiye Eigensctiafteii der Kegelseimitte, 

279. In den Gleidmngsforrnen des letzten Kapitels konnen 
wir die auftretenden linearen Funktionen als mit Konstanten 
multiplizierte Abstande deuten, wie sclton im IV. Kapitel ge- 
sclielien ist. 

So fuhrt die Gleichung %% ^s^ = (Nr. 25G) zu dem 
wiehtigen Satz: Das ProduM der Abstande eines Punktes des 
Kegelschnittes von zwei Oegenseiten eines Sehnenvierecks steht 
m dem ProduUe seiner Abstande von den leiden andern G-egen- 
seiten in Constant em Verhaltnis. 

Und s^- ls*= (Nr. 258) ergibt den SonderfaU: Das 
Produkt der Abstande eines Punktes des Kegelschnittes yon 
zwei festen Tangenten steht zu dein Quadrat seines Abstandes 
yon ihrer Beriihrungssehne in konstantem Verhaltnis. Fiir den 
Kreis wurde dies sclion in Nr. Ill ausgesprocben. 

Ferner konnen wir jeden Kegelsclinitt in der Grleichungs- 
form f ^5^3= darstellen (Nr. 256) ? wo f=0 insbesondere 
die Gleidiuug eines Kreises ist. IJnter dieser Voraussetzung 
bedeutet f die mit einer Konstanten multiplizierte Potenz 
eines Punktes in bezug auf den Kreis (Nr. 109). Das Quadrat 
der von einem Pwild des Kegelscfinittes an einen festen Kreis 
gehenden Tangenten stelit #u dem Produkt seiner Abstande von 
zwei Gegenseiten des Vierecks der Schnittpunkte in 'konstantem 
VerMltniB. Nimmt man ^=0, s 2 = als beliebige Sehnen 
eines gegebenen Kreises f = ; so kann man liiernaeh einen 
Kegelschnitt als Ort erzeugen. Fiir den Fall eines unendlich 
kleinen Kreises bat man insbesondere: Der Ort eines PunJctes? 



*) Das weitere Stadium setzt die Darcliarbeitung der friiberen 
mit dein Stem bezeidmeten Absclinitte voraus. 



Sehnen- und Tangentenviereck eines Kegelsclinittes. 53 

far den das Quadrat seiner Entfermmg von einem festen PunU 
0u dem Proditli seiner Abstande von #tvei festen Geraden in 
konstantem Verhaltnis steJtt, ist ein Kegelschnitt. 

Dasselbe gilt auch nocb, wenn die festen Geraden zu- 
sammenfallen, also fur die Gleichung /' ^s 2s ==0: Die Tan- 
gente aus einein PunM eines Kegelsclinittes an einen doppelt- 
beriifarenden JLreis stelit zu seinem Abstand von der Seriihnmgs- 
sehne in Jconstantem VerMUnis. Endlieh erkennen wir hierin 
im besoncleren Fall die Fundamentaleigenschaft des Brenn- 
punktes und der Leitlinie (Nr. 183), so claB wir den Brenn- 
punkt als emeu unendlich kleinen Kreis ansehen miissen, der 
den Kegelschnitt in zwei imaginaren Punkten der Leitlinie 
beriihii (Nr. 181). 

Die Verallgemeinerungen fur den Fall, dafi f == einen 
Kegelschnitt bedeutet ; folgen aus Nr, 150 fiir konstantes &: 
Das Ergebnis der Substitution der Koordinaten eines Punktes 
in das Polynorn der Grleichung einer Kurve ist dem Produkt 
der Absctnitte proportional, die die Kurve auf einer Greraden 
von gegebener Richtung durcli den Punkt abschneidet 
giiltig iibrigens fiir Kurven beliebiger Ordnung. 

Endlicli konnen wir diese Deutang auch auf die Glei- 
cliungsformen von Nr. 270 in Linienkoordinaten ausdeknen. 
Bedenken wir, daB eine lineare Funktion 6 von u v den mit 
"|/M 2 +fl 2 multiplizierten Abstand des Punktes 6 von der 
Geraden u \ v bedeutet, so driickt 6*.$^ i(5 1 6 2 =^ den Satz 
aus: Das ProdaM der Abstdnde einer Tangente des Kegel- 
schnittes von ewei Gegeneden eines Tangentenvierseits steJit 011 
dem Prodtikt seiner Alstdnde von den leiden anderen Gegen- 
ecken in konstantem Verhaltnis, usw. 

B. 1) Aus f- ls 2 ^ 0, g fis 2 == folgt fur f= 0, g = 
als Kreise mit pf Ig == : Die Sclinittpunkte soldier Kegel- 
schnitte liegen in eineoi Kreise, der von der Beruhruugssebne niclit 
abliangt und fest bleibt, so lange I : ft konstant ist. 

2), Wenn zwei Kegelschnitte einander doppelt beriihren, so 
stelit fiir jeden Punkt des einen das Quadrat seines Abstandes von 
der Beruhrungssehne beider in konstantem Verhaltnis zu dem Reeht- 
eck der Abschaitte, die der anclere auf dem den erwahnten Abstand 
messenden Lote bestirnmt. 



54 XY. Projektive Eigenscbaften der Kegelscbnitte. 279 

3) Wenn eine Gerade von gegebener Bicbtung zwei Kegel- 
scbnitte in den Punkten P, $; P', Q' scbneidet, und Punkte auf 
ibr so bestimmt werden, daB die Recbtecke OP' OQ und OP r - OQ' 
stets in konstantem Yerbaltnis sind, so ist der Ort der Punkte ein 
Kegelscbnitt, der durcb die Schnittpunkte der beiden gegebenea 
Kegelschnitte bindurcbgebt. 

4) Der Durcbmesser des Kreises, der dem von zwei Tangenten 
eines Mittelpunktskegelschnittes und ibrer Beriihrungssebne gebil- 
deten Dreieck umgescbrieben ist, ist = b'b":p fur &', I" als die 
den Tangenten parallelen Halbmesser und p als den senkrecbten 
Abstand der Beriibrungssebne vom. Mittelpunkt. 18 ) 

Wir setzen die Gleicbung f(x, y) = des Kegelscbnittes als 
durcb eine solcbe Konstante dividiert voraus, daB bei Einfiibrung der 
Koordinaten des Mittelpunkts dieser Kurve die Funktion f(x, y) 
der Einbeit gleicb wird (Nr. 150). Sind dann #', t" die Langen der 
Tangenten, und ist f das Ergebnis der Substitution der Koordi- 
naten ihres Scbnittpunktes, so gelten die Proportionen 



Ist aber Jt die senkrecbte Entfernung der Beiiibrungssebne von der 
Spitze des Dreiecks, so gilt aucb die Proportion h : p f ' : 1 ; denn 
nacb der Form von Is in Nr. 140 ist das Ergebnis der Substitu- 
tion der Koordinaten des Mittelpunktes in die Gleicbung der Polare 
eines Pimktes aucb das Ergebnis ibrer Substitution in die Gleicbung 
der Kurve. Daber ist t't"i h = &'&": p. Nacb der Elementargeo- 
metrie gibt bier die linke Seite den Durcbmesser des dena Dreieck 
umgeschriebenen Kreises, und der Satz ist bewiesen. 

5) Aus der Formel des vorigen Beisp. gebt der Ausdruck von 
Nr. 218, 2 fur den Eadius des Krummungskreises bervor, indem 
man die beiden Tangenten zusammenfallen lafit (Nr, 244). 

Man erhalt ibn aucb nait Hilfe des folgenden Satzes 19 ): 
Sind w, n die Langen von zwei sicb scbneidenden Normalen, $, p' 
die Abstande der zugeborigen Tangenten vom Mittelpunkt und ist 
?>' der der Yerbindungslinie beider Kurvenpunkte parallele Halb- 
inesser, so gilt die Beziebung 



Denn fur f als das Ergebnis der Substitution der Koordinaten 
des Mittelpunktes der Sebne in die Gleicbung des Kegelscbnittes, 
7z, // als die Abstande dieses Mittelpunktes von den beiden Tan- 
genten und 2|3 als die Lange der Sebne folgt, wie im letzten Beisp., 
f*=l'*f, h = pf, // = //", und man siebt leicbt, daB 



ist. Damit ist aber die angegebene Beziebung bewiesen. 



Doppelverhaltnis von vier Elementen eines Kegelschnittes. 55 

6) Tragt man die Koordinatea w 1? ^ einer Geraden w 1 -f v t y 
+ 1 = in die in Nr. 105 abgeleitete Gleichung 

f(yP 4. y8) _ ^ ^ ^ _j_ 1 j 2 ^ Q 

<eines Kreises in Linienkoordinaten em, so 1st das Ergebnis dieser 
Substitution gleich dem Produkt ans Wj 2 + t^ 2 und dem Quadrat 
der halbeu Sehne, die die G-erade im Kreis bestimmt. Dies ist zu 
beweisen Ferner mache man sich die folgende Deutung der Glei- 
chuBg <jo (w, v) l>i(u, v) = far y (, 0) = 0, jj (w, 0) . als Glei- 
chungea von Kreisen klar: Die Hullkurve einer Geraden, in der 
zwei gegebene Kreise Sehnen yon konstantem Verhaltnis bestimmen, 
ist ein Kegelschnitt, der die gemeinsamea Tangenten beider Kreise 
beriihrt. 

280. Boppeiverhaltnis YOU vier Slementea eines Kegel- 
scknittes* Bezeichnen ? wie in Nr. 69, s iy s%, s ft? s 4 die Ab- 
stande eines Punktes T von den vier Seiten 8^ = 0, 5 2 = 0, 
^ 3 = ; 5 4 =0 eines Vierecks ACBD, so ist 
Si-AC^TA-TCsmATC, s 2 -BC~ TB-TCsinBTC, us^r. 
Bildea wir nach Nr. 84 das Doppelverhaltnis der vier yon T 
ausgehenden Strahlen, so ist 
/I ~\ sin A TC sfaiTl) s^ AC AI) 

( ' 



Dasselbe ist von der Lage von T nicht abhangig, so lange 
SiV S s 5 4 =s * c einen konstanten Wert behali Daher gilt nach 
"Nr. 279 der Fundamentalsatz: 

Das Doppelverhaltnis eines StrahlenbiischelSj dessen Stralilen 
einen verdnderlichen Punltf cies Kegelschnittes mit vier fester 
Punkten desselben in gegebener Eeihenfolge verbindeu, hat fow- 
stanten Weri, und umgekehrt: Der Ort eines Punktes, dessen 
Verbindwigsgeraden mit vier festm P'imJden in bestimmter Beihen- 
folge ein Doppelverhaltnis von Tconstantem Wert ergeben, ist erne 
d'ltrch diese Punkte gehende Kurve &weiter Ordnung. 

In der Bezeichnnngsweise von Nr. 83 und 84 konnen wir 
die Gleichheit der Doppelverlialtnisse schreiben 
(2) (T - ASOD) - * . (ABCD). 

Der Klammerausdruck der rechten Seite ist aus den SeiteB- 
langen des Vierecks ASCD gauz so gebildet, als ob diese 
in einer Geraden ein Doppelverhaltnis bestimmten. Der Fakfeor K 
-eharakterisiert einen bestimmten Kegelschnitt cles dem "Vier- 



56 XV. Projektive Eigenschaften der Kegelschnitte. 281. 

eck umgeschriebenen Biischels. Daher nennt man die Unite 
Seite das DoppelverJialtnis von vier Punhten eines Kegelschnitte^ 
und bezeichnet dasselbe etwa mit { ABCD}. Es ist darunter 
also das Doppelverhaltnis des die vier Punkte aus irgend 
einem funften Punkte der Kurve projizierenden Strahlen- 
biischels zu verstehen. Der Kegelschnitt ist durcli vier Punkte 
und den Wert ihres Doppelverhaltnisses bestimmt. 

Betracliten wir ferner die Tangenten a, 6, c, d, t in den 
Punkten A, B, C, D, T. Sind A, ff, C', D' die Schnitt- 
punkte der letzten Tangente mit den vier ersten und sind 
GD ^2> ^3? ^ ^ e Abstande der Bcken ac, le, l)d, ad von der 
Tangente t, so liefert die Trigonometric 

JL'C'-sinai-sinc^ <? 2 sin &=]?' C'- sin & sin ctf ? 

Das DoppelverMltnis der vier Sohnittpunkte ist 
A' G f A'])' G I G S s'mac 



Nun sagt ^^^ %(? 2 ^ nach Nr. 270 mit Riicksiclit auf Nr. 81 
aus, daB t einen Kegelschnitt bertilirt. Also liaben wir den 
dual entsprechenden Hauptsatz: 

Das Doppelverlialtnis einer Puriktreihe, deren Punkte in 
einer lewegliclien Tangente des Kegelschnittes von vier festen 
Tangenten ausgesclinitten w&rden, hat Iwnslanten Wert und um~ 
gekelirt. 

Sckreiben wir wiederum in friiherer Art 
(4) (t * abed) = x(aJ>cc), 

indem wir das SinusdoppelverMltnis der Winkel der vier 
Tangenten bilden, als ob sie durcli einen gemeinsamen Scheitel 
gingen. Hiernaeh kann man wieder das Doppelverhaltnis der 
von vier Tangenten in einer fiinften ausgeschnittenen Punkt- 
reihe (t alcd) als das DoppelverMltnis {abed} der vier Tan- 
genten des Kegelschnitles auffassen. 

281. Projektive Erzengxmg der Zegelschnitte. Die vo- 
rigen Pundamentalslitze stehen so recht im belierrsclaenden 
Mittelpunkt der Theorie der Kegelschnitte. Sie knupfen nn- 
mittelbar an das an, was in Nr. 86 von den projektiven 
Strahlenbtischeln und Punktreilien gesagt wurde ? und man 



Projektive Erzeugung der Kegelschnitte. 



57 



tritt mit ihnen in den Zusammenhang der allgemeinen Ge- 
dankenentwickehmg des V. Kap. wieder ein. Denn sie lassen 
sich so ausspreehen: 



Der Ori der SchntttpunUe 
der entsprechenden StrcMen von 
gweiprojeMven Strdhlenbusclieln 
in allgemeiner Lage ist ein 
Kegelsclmitt, der aucli durdi 



Die Hiill'kurve der Verbin- 
dungsyeraden der entspredien- 
den Punlde von Mvei projek- 
tiven geraden Punlttreihen in 
allgemelner Lage ist ein Kegel- 



die Sclieitel (Trager) der leiden j sclmiti, der (wch die Trdger 
IBiischel JiindurcJigeJit. \ der beiden Reihen beriihrt. 

Direkt werden beide Satze folgendermaBen bewiesen: 
Sind | Sind 

(5) s, - 1^ - 0, V- *** ^ | tf i ~ Ktf s - ; <*L - ***' = 
die Gleichungen der beweg- 1 die Grleielmngen der beweg- 
liclien Stralilen beider Biiseliel, licten Pxuikte beider Reihen ? 



so wird die Gleichung des be- 
zeichneten Ortes durch Elimi- 
nation TOE 7v zwisclien den vori- 



so wird die Gleictung der be- 
zeichneten Hiillkurve durch Eli- 
mination yon K zwisdben den 



gen Gleichungen gefunden, also j vorigen Gleichungen gefunden, 
in der Form s^ s/fy == .J d. h. als tf^' tf/ffj - 0. 
Diese Gleichung ist vom zwei- j Diese Gleichung ist vom zwei- 



ten Grade und enthalt sechs 
Glieder, daher fiinf unbestimm te 
Koeffizienten; sie kann somit 
durch die Bedingung ? daB die 
dargestellte Kurve f dnf Punkte 
enthalte, zur Gleichung jeder 



ten Grade und enthalt sechs 
Glieder, daher funf unbestimmte 
Koeffizienten; sie kann somit 
durch die Bedingung, daB die 
dargestellte Kurve fiinf Geraden 
berilhre, zur Gleichuug jeder 



J V_l V 

beliebigen Kurye zweiter Ord-'beliebigen Kurve zweiterBaaisse 
nung geraacht werden, gemacht werden. 



Geometrisch bestimmen ftinf 
Punkte zwei projektive Bu- 
schel ? da drei von ihnen ; mit 
den beiden ubrigen verbunden ? 
drei Paare von entsprechenden 
Strahlen beider Buschel liefern 



Geometrisch bestinimen fiinf 
Geraden zwei projektive Eeihen, 
da drei von ihnen, mit den 
beiden ubrigen geschnitteii ; 
drei Paare von entsprechenden 
Punkten beider Reihen liefern 



(Nr. 86). Der erzeugte Kegel- ! (Nr. 86). Der Kegelschnitt be- 
schnitt geht auch durch die | rtfhrt auch die Trager beider 



58 XV. Projektive Eigenscliaften der Kegelschnitte. 282 



Scheitelpunkte beider Buschel 
hindurch, da seine Gleichung 
durch die Koordinatea des 
Schnittpunktes yon s 1 = mit 
s 2 = sowie Yon s 1 / = mit 
$l'=* erfiillt wird. Die Ver- 
binduBgslinie der Scheitel ist 
fur jedes der beiden Buscliel 
derjenige Strahl, der der Tan- 
gente des Kegelschnittes im 
Scheitel des andern Buschels 

! 

entspricht. Daraus entspringen | 
lineare Konstraktionen zur Be- 1 
stimmung dieser Tangenten. 

Derselbe Kegelschnitt wird j 
erzeugt durch projektive Bii- 1 
schel, die in irgend zwei seiner I 
Punkte ihre Scheitel haben. 
Sind deren Gleiehungen nam- 
lich 



so isfc die Gleichung der Kurve so ist die Gleiehung der Kurve 
0- jo- 



Reihen ; da seine Gleichung 
durch die Koordinaten der 
Verbiadungslinie des Punktes 
^ = mit <? 2 = und von 
^'=0 mit <? 2 '0 erftUt wird. 
Der Schnittpunkt der Trager 
ist fiir jede der beiden Reihen 
derjenige Punkt in ihr, der 
dem Beriihrungspunkt des Ke- 
gelschnittes mit dem Trager 
der andern Reihe entspricht. Da- 
raus entspringen lineare Kon~ 
struktionen zur Bestimmung 
dieser Bertihrungspunkte. 

Derselbe Kegelschnitt wird 
erzeugt durch projektiye Bei- 
hen ; die irgend zwei seiner 
Tangenten zu Tragern haben. 
Sind deren Gleiehungen nani- 
lich 



m 



also dieselbe wie zuror. 



1 



ef 



also dieselbe wie zuvor, 



282. Zerfallende Kurveu zweiter Ordnnng Oder IQasse. 
Wir haben inehrfach gesehen ; da6 die Ortsgleichung zweiteii 
Grades in Punktkoordinaten bei der linfuhrung ron Linien- 
koordinaten wieder vom zweiten Grade ist (Nr. 149), d. L: 
1m oXigemeinm ist eine Surve zweiter Ordnung von der gweiten 
Klasse. 

Aber dieses Gesetz hat zwei Ausnahrnefalle, die wir auch 
schon beruhrt haben (Nr. 62): Es gilt einen Ort sweiter Ord- 



Projektive Erzeugung; Ausnalimefalle. 



59 



der nicM von der gweiten Klasse ist, und eine Hullfiurve 
eweiter Klasse, die nicM von der meiten Ordnung ist. 



Wenn namlich die beiden er- 
zeugenden projektiven Biischel 
einen Strahl entspreehend ge- 
mein haben ? z.'B.s^s^, so sind 
sie perspektiv (Nr. 86). Die 
Gleiciiungen der beweglichen 
Strahlen der Biischel nehinen 
die Form an 

Sji n/Sg === \) , S-t " KS$ === U^ 

nnd die Elimination von J& 
liefert fur den Orfc der Schnitt- 
punkte entsprecliender Sferahlen 
die Gleicliung 

5 l( 5 2 V) ^ 0. 

Der Ort ist ein Geradenpaar, 
bestehend aus dem gemeia- 
samen Strahl und der Per- 
spektivachse der Biiscliel, auf 
der sicli alle tibrigen ent- 
sprechenden StraMenpaare der- 
selben schneiden. 

Es gibt keine Gleichung in 
Linienkoordinatenj die diese 
beiden Greraden definiert. 



Wenn namlich die beiden er- 
zeugenden projektiven Reihen 
einen Punkt entsprechend ge- 
mein haben ? z.B, e?^^', so srncl 
sie perspektiv (Nr. 86). Die 
Gleichungen der beweglichen 
Punkte der Reihen nehinen die 
Form an 

und die Elimination von % lie- 
fert fur die Hiillkurve der Ver- 
bindungsgeraden entsprechen- 
der Punkte 'die Grleichung 

DieHtilllcurve ist em PitnUe- 
paar, bestehend aus dein ge- 
meinsainen Punkt und dem 
Perspekfcivzentruni der Reihen, 
nach dem die Verbindungsge- 
raden aller iibrigen entsprechen- 
den Punktepaare gehen. 

Es gibt keine G-leichung in 
Punktkoordinaten, die cliese 
beiden Punkte definiert. 



283. Eonstruktioa des Kegelsciraittes aus projektiven 
Elementargefeilden. 

Zwei projektive Strahlen- , ZweiprojektivePunktreihen 
btisctiel mit verscMedenen mit verschiedenen Tragern t, t' 
Scheiteln T ; T sind durch die sind dureh die Tripel ent- 
Tripel entsprechender Strahlen sprechender Punkte A, 5 ; (7; 
a ? & ; c; a\ V, e bestimmt | A', 3?, C f bestimmt. 

Will man also irgend einen I Will man also irgend eine 
Punkt des durch zwei solche , Tangente des durch zwei solche 
Buschel naeh Kfr. 281 bestimm- 1 Punktreihen nach N"r. 281 be- 
tenKegelschnitteskonstruieren ; j stimmten Kegelschnittes kon- 



60 



XY. Projektive Eigensciiaften der Kegelschnitte. 283. 



so hat man nur zu irgend einem 
Strahl d des einen Buschels den 
entspreehenden d f des anderen 
zu konstruieren, der Schnitt- 
punkt von d mit d' ist ein 
Punkt des Kegelschnittes. 

Bevor gezeigt wird, wie 
man d' konstraiert, wenn d 
gegeben ist, beweisen wir fol- 
genden Saiz: 

Warden in zwei projektwen 
BuscJieln von Geraden a,b,c... 
unda, V 9 c'..., denen die ScJieitel 
T bea. T' gugelwren, entsprechen- 
de Strahlen weclisdweise mm 
Durclischnitt gebraclit, so gehen 
die Verbindunyslinien msam- 
mengelmiger Punlctcpaarc, z. B. 



struieren, so hat man nur zu 
irgend einem Punkt D der einen 
Punktreihe den entsprechenden 
D f der anderen zu konstruieren, 
die Verbindungslinie ron D mit 
D' ist eine Tangente des Kegel- 
schnittes. 

Bevor gezeigt wird, wie man 
D r konstruiert, wenn D gegeben 
ist, beweisen wir folgendert 
Satz: 

Werden in #tvei projeUiven 
Punktredien A, B, C, ... und 
A', B r , G r , . . . 7 denen die Trdger 
i lez. t r mgehorenj entsprechende 
PunJcte wechselweise durch Ge- 
raden verbiwden, so scJmeiden 
sich zusammengeMrige Geraden- 




von aV mit ab ) von ac f mit 
MC, von Ic mit Vc, usw^ durch 



, z.B.AB' undA!$, AC' 
und A'C, BC f und SC, u$w,, 



Konstruktioa des Kegelschnittes aus projektiven Elementargebilden. 61 



einen und denselben Pimkt T" 
(Fig. 15) 

NachVoraussetzung ist nam- 
lich die durch die Punkte aa, 
aV,ac', ... gebildete Reihe zu 
der Punktreihe a'a, aV, a'c, . , , 
projektiv; da aber der Punkt a o! 
beiden Reihen angehort, sind 
diese (Nr. 86) in perspektiyer 
Lage, die Verbindungslinien 
entsprechender Punkte dieser 
Reiben, also von aV mit ab j 
yon ac mit a'c, ... schneiden 
sich daher in einem und dem- 
selben Punkte ? dem Perspektiy- 
zentrum T". 

Will man nun den einem 
Strahl d des durch T gelegten 
Biischels entsprechenden Strahl 
d f des Biischels T konstruieren, 
so hat man nur den Punkt da! 
(oder dV oder do] mit dem 
Perspektivzentrum T" zu ver- 
binden, Wird alsdann der 
Schnittpunkt dieser Geraden 
und des Strahles a (oder 1) 
oder c) mit T' yerbunden, so 
ist diese Verbindungslinie der 
gesuchte Strahl d f . 

Je nachdem die Verbin- 
dungslinie TT' als Strahl o des 
Biischels T oder als Strahl/ des 
Biischels T f angesehen wird, ist 
der ihm entsprechende Strahl 
o f bez. jp des anderen Biischels 
die Verbindungslinie yon T r 
mit T" bez. yon T mit T". 



in Punlden einer und derselben 
Geraden t" (Fig. 1(3). 

NachVoraussetzung ist nam- 
lich das durch die StrahlenJ. A', 
AB' 7 AC', . . . gebildete Biischel 
zu dem Biischel A' A, A'B, 
A'C, . . . projektiy; da aber der 
Strahl A A' leiden Biischeln 
angehort ; sind diese (Nr. 86) 
in perspektiver Lage, die Strah- 
len AB', AG r ... schneiden 
daher die entsprechenden Strah- 
len A'B, AC, ... in Punk- 
ten einer und derselben Ge- 
raden, der Perspektiyach.se t". 

Will man nun den einem 
Punkt D der auf dem Trager t 
liegendenReihe entsprechenden 
Punkt D' des Tragers t' kou- 
struieren ; so hat man nur die 
Gerade DA' (oder DB' oder 
D C') zu ziehen und den Schnitt- 
punkt dieser Geraden und der 
Perspektiyachse t" mit A (oder 
J5 oder (7) zu yerbinden. Diese 
Verbindungslinie schneidet den 
Trager V im gesuchten Punk- 
te D'. 

Je nachdem der Schnitt- 
punkt der beiden Trager t und 
i r als Punkt der Reihe t 
oder als Punkt P' der Reihe t f 
angesehen wird ? ist der ihm 
entsprechende Punkt O r bez. P 
der anderen Reihe der Schnitt- 
punkt yon t r mit t" bez. yon 
t mit t". 



62 XV. Projektive Eigenscnaften 'der Kegelscnnitte, 283. 



Das Perspektivzentrum T" 
ist der Beriihrungspol yon T 
und T', d. h. der Pol des Schei- 
telstrahles TT'. Der Schnitt- 



Die Perspektivachse t" ist 
die Beriihrungssehne von t 
und t', d. h. die Polare des 
Punktes tt r . Die Verbindungs- 
gerade DD' mnhullt einen 



punkt dd f durchlauft einen 
Kegelschnitt. | Kegelschnitt. 

Diese projektiven Konstruktionen enthalten umnittelbar 
einfache Beweise des Pascalschen und des Brianchonschen 

Satzes. 



SindJL ? B,C,D,E,F sects 
Punkte des Kegelscknittes und 
nehmen wir A und E als Schei- 
tel yon Strahlenbiischeln ? so ist 
(JB . GDIS} = (A . CDFty, 
also, wenn man die ReOien 
der Schnittpunkte der Strahlen 
mit den Greraden BC, DC be- 
trachtet, 

(CRM3)=(CDNS), (Nr.84). 
Diese Biisohel sind perspektiy, 
weil ihr Schnittpunkt sich 
selbst entspricht; also gehen 



Sind a, I, c, d, e, f sects- 
Tangenten des Kegelschnittes 
und nehmen wir a und e als 
Tr'ager von Punktreihen, so ist 
(e . odfli) = (a . cdffy, also r 
wenn man die Bflschel der 
Verbindungslinien der Punkte 
mit den Punkten Ir^ dc be- 
trachtet ; 

(crmV) = (cdns), (Nr. 84). 
Diese Btischel sind perspektiv f 
weil der gemeinsame Strahl 
sicb. selbst entspricht; also lie- 



die Geraden DEE, MN und gen die Punkte dre, mn und 





Fig. 17. 

SSA dureb einen Punkt L oder 
L liegt in MN (Fig. 17). 



Pig. 18. 

*) in einer Geraden I oder I 
gebt durcb mn (Fig. 18). 



*) Hier bedeutet dre den geineinsamen Schnittpunkt der drei 
raden d, r, e $ und entsprechendes gilt von bsa. 



Gatttmg der projcktiven Erzeugnisse. 63 

B. Eiir zerfallende Kegelschnitte bestelieil die Satze von Pascal 
und Brianchon getrennt fort, namlich der erste fur das Geraden- 
paar, der zweite fur das Punktepaar. 

284. Gattmig des Erzeiignisses. Betrachten wir nur 
Biischel mit reellen Scheiteln, so sind die in den Asymp- 
totenrichtungen gezogenen Strahlen zugleieh mit diesen reell. 
Ddher ist das Erzeugnis erne Hypcrtel, Parabel oder Ellipse, 
je nachdem die projeJdivcn Bilschel tzwei Paare, ein oder ~kein 
Paar paralleler homologer Strahlen enfhalten. 

Um dies zu untersuchen, hat man nur dureh Parallel- 
yerschiebung des einen Biischels bis zur konzentrischen Lage 
mit dem andern die Doppelstrahlen dieser vereinigten pro- 
jektiven Buscliel zu ermitteln ; also diejenigen beiden Strahlen, 
die mit den ihnen entsprechenden zusammenfallen. Da diese 
direkt die Asyniptotenrichtungen haben ? so ist der Kegel- 
schnitt eine gleichseitige Hyperbel, wenn die Doppelstrahlen 
reell und zueinancler rechtwinklig sind, tind ein Kreis, wenn 
diese die absolute Richtung haben. Somit erizeugcn Jwngmente 
Suschel eine gleicliseitige Hyperbel oder einen Kreis (vgl. N"r. 100), 
je nachdem sie ungleiclien oder gleiclien DreJiungssinn haben. 

Zur analytischen Priifung hat man nur die zu den ge- 
gebenen parallelen Btischel am Nullpunkt der Koordinaten 
einznfiihren, d. li. in 5 l; 5 2 , $/, $% die konstanten Glieder gleicn 
Null zu setzen. 

Um die Gattung des dureh projektive Reihen in reellen 
Tragern erzeugten Kegelschnittes zu bestimmen, geht man 
von der Bemerkung aus, da6 nur bei Mittelpunktskegel- 
schnitten umgesctriebene Parallelogramme moglich sind, ud 
dafi dann die Beruhrungspunkte ihrer Seiten aufierhalb oder 
innerhalb der Ecken liegen, je nachdem die Kurve eine Hy- 
perbel oder eine Ellipse ist. Nun sind, zwei benachbarte 
Seiten als Trager gedacht, die Beruhrungspunkte die homo- 
logen Punkte des Schnittpunktes, die andern Ecken die homo- 
logen der Richtungen, d. h. die Gegenpunkte der Reihen 
(Nr. 93). Somit ist das Erzeugnis eine Hyperbel oder eine El- 
lipse, je nachdem die Perspektivachse der Reihen beide Streclten 
von ihren Gegenpunkten "bis mm SchnittpunU der Trager attfler- 



(34 XV, Projektive Ejgenschaften der Kegelsch.ni.tte. 284. 

licli Oder innerlicli teilt. Fiir parallele Trager reicht dies Kri- 
terium jedoch nicht, well in diesen die Gegenpnnkte selbst 
die Beruhrungspunkte sind. Man ubersieht leicht ; daB es in 
diesem Fall nur daranf ankommt ; ob die projektiven Reihen 
von gleicliem oder eatgegengesetztem Sinn sind. 

Eine Parabel entsteht, wenn eine Tangente unendlich 
fern liegt, wenn also die Richtungen irgend zweier Tangenten 
homolog sind in den projektiven Punktreihen auf ihnen. 
Gemafi Nr. 93 sind diese dann ahnlich, also ist das Erzeugnis 
ahnlicher Pmlrfreihen stets eine Parabel 

B. Wenn in den festen Geraden ^ 1? u> 2 v$ zwei projektive 
Reihen gegeben sind, so bestimme man analytiseh die Hiillkurve 
der Yerbindungsgeraden u \ v ihrer liomologen Punktepaare. 

Denken wir uns die Verbindungslinien eines Paares hoinologer 
Punkte mit dem Nullpunkt durch y = %), y = m%x ausgedr&ckt, 
so muB, weil das Strahlenbiiscliel iiber der Beihe in U L \ v 1 zu dein 
Biischel iiber der Beihe in u% \ v% projektiv ist, nacli Nr. 93 eine 
Beziehung von der Form rn?z 1 w 3 + Ijm^ + CM% + ^ = stattfinden, 
wo die Koeffizienten a, &, c, d etwa darch drei Paare bomologer 
Punkte zu bestimmen sind. 

Wenn wir aus den fur den Punkt x \ y der ersten oder zweiten 
Reihe gleichzeitig geltenden Gleichungen 

ux + vy + 1 = 0, i^x +- y^ + 1 = o> %^ y = 0, 
bez. ux + vy + 1 0, ^ 2 # -}- v%y + 1 = 0, w 2 # y == 
die Koordinaten ^, ^ eliminieren, so erhalten wir Bestimmungs- 
gleichungen fur w l7 m 2 , aus denen folgt: 

% (M M X ) : (^ v), m^ (w w a ) : (> 2 ;) . 

Die Einsetzung dieserWerte in die Gleicbung der Projektivitat gibt 

a(u ~~ u^)(u 2 ) + ~b(u wj^j t?) + c(u %)(% v) 

-f ^(^ ?) (t? 2 -y) == oder 



^ldi^v 

Die Hullkurve ist ein Kegelselinitt, der die festen Geraden beriikrt, 
weil u = %, v = v t und w == w a , v = % der Gleicliung gentigen; 
insbesondere ist sie eine Parabel, wenn man hat 



Hit a = d= = =l, 6 = c geht uns ere Gleichung liber in 

fc^ 
0, 



Beispiele zur projektiven Erzeugung von Kegelschnitten 65 

d. h. fur gleiche Buschel Ton gleichem Drekungssinn wird der An- 
fangspunkt zum Brennpunkt (Nr. 196). 

285. Beispiele. Aus den Eigenschaften Tom Doppel- 
Terhaltnis Ton Tier Punkten und Ton Tier Tangenten eines 
Kegelsehnittes gehen zahlreiche Satze herTor. 20 ) Denn Ton 
den Tier Punkten der KurTe konnen wir einen oder zwei im 
Unendlichen annehmen; der Scheitel des Biischels kann selbst 
unendlich entfernt sein; er kann mit eineni der Tier Punkte 
zusammenfallen ; so daB einer der Strahlen zur Tangente des 
Kegelsehnittes in diesem Punkte wird; endlich kann aber 
das Doppelverhaltnis des Biischels auf einer beliebigen Ge- 
raden gemessen werden, diese kann man insbesondere parallel 
:zu einem der Stralilen des Biischels wahlen, so daB das 
Doppelverhaltnis sich auf ein einfaches Verhaltnis reduziert. 
Ahnlich bei dem DoppelTerhaltnis von Tier Tangenten. 

Wir weisen zuersfc die beiden Fundamentaleigenschaften 
als Eigenschaften von Sechsecken und Sechsseiten nach ; die 
von der Kegelschnittstheorie unabhangig sinci In den folgen- 
den Beispielen liber besondere Falle geben wir nur die Lage 
des Biischels oder der Reihe, die Trans versale oder den Punkt, 
&n dem das Doppeiverh'altnis gemessen wird und clen sich 
ergebenden Satz an ; iiberlassen aber die nahere Nachweisung 
seiner Beziehung zum allgemeinen Grundgesetz dem Leser 
zur tJbimg. 

B. 1) Wenn von sechs Punkten -4, B, 0, D, J&, F irgend Tier 
C, Z>, jEJ, .F mit den beiden ubrigen A, B Buschel von gleichem 
Doppelverhaltnis bestim- 
men. so tun dies jede Tier 
mit den ubrigen zwei. 23 ) 




Wir beweisen zu- 
erst, daB aus der Voraus- 
setzung 

(A . CDEF) (B . CDEF) 
folgt 

(C . ABEF} = (D . ABEF}. 

Itfezmen wir die Schnittpunkte der den Grappen CDEF, AB~EF 
gemeinsamen Seite JSF mit den Gegenseitenpaaren des Vierecks 
ABCI>, namlich BC, AD\ CA, BD] AB, GD bez. ff, e' 5 H,H'\ 

Salmon-Fiedler: anal. Georn. d Kegelsclin. II. T. AufL 5 




66 X.V. Projektive Eigenschaften der Kegelschnitte, 285. 

J, JT', so folgt aus der Voraussetzung die Beziehung (HG-'EF) 
= (6-H'EF). Wird diese nach Nr. 83 ausftihrlich angeschrieben r 
so ergibt sich sofort (HG-EF}^(G-'H'EF) und hieraus (C.ABEF} 
= (D . ABEF}. In derselben Art ergibt 
sich der Beweis fur die iibrigen funf Falle r 
in denen beiden Gruppen zwei Punkte ge- 
meinsam angeh5ren. Fur die acht Falle, in. 
denen diese drei gemeinsame Punkte ent- 
halten, folgt aber der Satz hieraus ohne- 
weiteren Beweis. 

2) Wenn yon sechs Geraden irgend 
yier mit den beiden iibrigen Geraden Punkt- 
reihen mit gleichem Doppelverhaltnis be- 
stimmen, so tun es jede yier mit den iibri- 
gen zwei. 

Der Beweis entspricht dem Yorigea 
genau nach dem Prinzip der Dualitat. 

Da wir unter J.J., BB die Tangenten in A, B versteheB 
miissen, so geben diese Doppelverhaltnisse, durch die Abschnitte 
der Geraden CD gemessen, (TCKD} = (KCT'D). Vgl. Fig. 20. 
Wenn also cine Sehne CD &wei Tangenten in T, T' und Hire Be- 
riihrungsselme AB in K schneidet, so ist immer 

KD . TK . CT' - CK . KT' '. TD. 

Natiirlich ist bei Aufstellung der Doppelverhaltnisse sorgfaltig da- 
rauf zu achten, daB die entsprechenden Strablen und die zugeh5rigeni 
Punkte der Reihen in gleicher Ordnung folgen. 

4) Wenn T und T' zusammenf alien, so wird KD . CT = 
GK . TD] d.h. jede durch den Schnittpunkt von zwei Tangenten 
gehende Sehne wird yon der Beriihrungssehne harmonisch geteilt 
(Nr. 135). 

5) Ist T f unendlich entfernt oder CD parallel JPT', so erhalt 
man TK*** TO . TD. 

6) Ist einer von den vier Punkten des Kegelschnittes unend- 
lich entfernt, so ist (0 . ABC oc) konstant, wenn einen fiinfteit 
Punkt des Kegelschnitts bezeichnet. MiBt man dann dieses Doppel- 
verhaltnis auf der Geraden C oo, und schneiden 0-4, OB diese ia 
A', B f , so reduziert sich das Doppelverhaltnis auf A'C:B'C. Wena 
also zwei feste Punkte J., B einer Hyperbel (Parabel) mit einem 
veranderlichen Punkt derselben Kurve verbunden werden, und 
die Verbindungslinien eine feste, die Kurve in C schneidende Par- 
allele zu einer Asymptote (einem Durchmesser) in Punkten A', B" 



Saize aus der Gleichheit Ton Doppelverhaltnissen. 



67 



schneiden, so 1st das Verhaltnis AC : B'G der von diesen bis zur 
Kurve gemessenen Abschnitte konstant. 

7) Wenn man dasselbe Doppelverh'altnis anf einer anderen 
Parallelen miBt, so erfahrt man, daB die Verbindungsgeraden von 
drei festen Punkten einer Hyperbel oder Parabel mit einem. ver- 
anderlichen Punkt derselben von einer festen Parallelen zu einer 
Asymptote oder einem Durchmesser in Punkten JL, J?, C so ge- 
scbnitten werden, daB AS : AC konstant ist. 

8) Setzen wir in 6) voraus, daB die Geraden, die J, B mit 
einem vierten Punkt 0' der Kurve verbinden, den Strabl oc in 
A", B" schneiden, so ist A'B' : A"B" = AC: A'C, lassen wir nun 
auch noch den Punkt C so in unendlicbe Entfernung riieken, daB 
die Gerade Coo eine Asymptote wird, so wird das VerhSltnis 
A'B' : A'B" der Einheit gleich, und wir erhalten den Satz STr. 174, 2. 

9) (A . ABC oo) = (S . ABC oo). 

Werden diese Doppelverhaltnisse auf der Geraden C oo gemessen, 
und sclmeidet diese die Tangenten von A und B in a bez. &, die 
Beriihrungssehne AB in K, so ist aC:KC = KC:bC. Vgl. Fig. 21. 
Wenn also eine ParaUele zu einer Asymptote einer Hyperbel oder zwm 
Durchmesser einer Parabel zwei Tangenten und Hire Beriihrungs- 
seJine scJmeidet, so ist der auf dieser Parallelen gcmessene Abselmitt 
gwischen Kurve imd BeruhrungsseJine das geometrisclie Mittel swi- 
schen den Absclinitten von der Kurve $w dm Tangenten. Oder um- 
gekehrt: Wenn eine Gerade a b von fester Eichtung die Seiten eines 

Dreiecks in Punkten al)K sclmeidet, und ein Punkt in ihr so 

^ 

bestimmt wird, daB OK 1 = Ca . Cl> ist, so ist der Ort von G eine 
Parabel, wenn a~b der Halbierungslinie der Dreiecksbasis AB par- 
allel ist (Nr. 204); sonst immer eine Hyperbel, deren eine Asym- 
ptote zu al) parallel ist. 





Fig. 21. 



Fig. 23. 



10) Sind von den festen Punkten zwei unendlicn entfernt, so 
hat man z. B. (oo . AB oo oo') = (oo'. AB oo oo') und die Ge- 
raden oo oo, oo' oo' sind die beiden Asymptoten, oo oo' aber ist die 
unendlich ferne Gerade selbst. MiBt man diese Doppelverb'altnisse auf 
dem Durcbmesser A (Pig. 22), und wird dieser von den Parallelen zu 



68 XV. Projektive Eigenschaften der Kegelschnitte. 286. 

den Asymptoten Boo, Boo' in a, a geschnitten, so ist AO:aO 
*= a : -40, d. h. ParaUelen m den Asymptoten, die durch einen 
'beliebigen Punlrf B eincr Hyperbel gezogen werden, bestimmen in 
einem Halbmesser vom MittelpunU aus gemessene Absclmitte, die 
diescn selbst sur mittleren c/eometriscJien Proportionate liaben. 

Wenn dalier umgekehrt durch einen festen Punkt eine Ge- 
rade gezogen wird, die zwei festen vom Punkt B ausgehenden Strahlen 
in den Punkten a, a begegnet, so ist der Ort eines Punktes A auf 
ihr, dessen Abstand von das geornetrische Mittel zwischen Oa, Oa 
ist, eine Hyperbel, die zum Mittelpunkt hat; ihre Asjmptoten 
sind den festen Strahlen Ba, Ba r parallel. 

11) (oo . AB oo oo') = (cx>'. AS oo oo r ). 

Werden die Abschnitte in den Asymptoten gemessen, so er- 
halt man (0 ist wieder der Mittelpunkt) aO:bO == l'0:aO, oder: 
das aus den Asymptotenparallelen eines Kurveupunktes gebildete 
Parallelogramm hat konstanten Inhalt (Nr. 164). 

286. Zu den Beispielen der vorigen STr., die sich auf das 
Doppelverh.alta.is von vier Punkten beziehen, fiigen wir be- 
sondere Falle des Satzes vorn DoppelverMltnis von vier Tan- 
genten. 

B. l) Im Fall der Parabel liegt eine der Tangenten in un- 
endlicher Entfernung: Drei feste Tangenten einer Parabel sclmeiden 
jede vierte Tangente dersclben In Punlrten A , B, so, daft (A oo B C) 
= AB : AC Constant ist (Nr. 285, 7). Fallt die verSnderliche Tan- 
gente der Reihe nach mit jeder der gegebenen Tangenten zusammen, 
so erhalten wir (vgl. Fig, 23) den Satz 

pQ : QE = EP : Pq = Qr : rP. 

2) KonstruMlon des Krummwigsmittelpimlites fur die Kegel- 
scJmitte. Schneiden die in den Punkten P, P f eines Kegelschnittes 
gezogeneu Normalen desselben eine Achse in N t und N^ die andere 
in N 2 und JV 2 ', so findet nach Nr. 177 die Beziehung statt PN^ : PN% 
= P r N^:P'N^. Aus der vorigen Eigenschaft der Parabel folgt 
daher: Zwei Normakn ernes Kegelschnittes^ die die zugeliorigen 
Kurvenpurifote verUndende SeJinc und die leiden Aclisen der Kurve 
sind funf Tangenten einer Parabel.^} Daraus entspringen konstruk- 
tive Losungen mancher Aufgaben. Ist der Kegelschnitt insbesondere 
eine Parabel, so sind zwei Nonnalen, die Sehne ihrer FuBpunkte 
und die Achse der Parabel Tangenten einer anderen Parabel, die 
die Achse der ersten zur Scheiteltangente hat. 

LSfit man dann die Punkte P r P' zusammenfallen, so lilden 
die Achsm des Eegelschnittes, die Tangente und Normale in P Tan- 
genten derselben Paral)el f und (Nr. 218) ihr Beriihrungspunkt in 



Siitze aus deni Doppelverhaltnis von vier Tangenten. 69 

der Normale tst der Kriimmungsmittelpunkt filr den Punlt P. Jede 
Art der Anordnung, in der man die Normale als ein Paar Naehbar- 
seiten und die Achsen, die Tangente nnd die unendlich feme Ge- 
rade als die vier iibrigen Seiten eines Brian chonsehen Secbsseits 
bexeichnen karm, fiihrt auf eine bequeme Konstruktion des Krum- 
mungsmittelpunktes. 








3) Fur P als einen Punkt der Parabel, JV und T als die 
Schnittpunkte seiner Normale und Tangente mit Hirer Achse er- 
geben sich folgende Konstruktionen des Kriimmungsmittelpunktes K: 
1) Man ziehe PO und NO bez. parallel rar Achse und Tangente; 
OK normal zur Achse. 2) Man ziehe PQ und TQ normal zur 
Achse und zur Tangente, QK parallel zur Achse. 3) Man ziehe 
TE und NE normal zur Tangente und zur Achse, EK parallel 
zur Tangente. 22 ) 

4) Wenn wir zwei von den vier festen Tangenten einer Ellipse 
oder Hyperbel parallel annehmen (Fig. 24) und die veranderliche 
Tangente nacheinander mit beiden zusammenfallen lassen, so wird 
im ersten Fall das Doppelverhaltnis =Al):Ac und im zweiten 
Dc':D&'; daher ist das Eechteck Ab . Dl) f konstant. 

Aus dem Gesetz vom Doppelverh'altnis von yier Punkten 
leitet man ab, da6 die Geraden, die die Punkte A, I) mit eineni 
beliebigen Punkt der Kurve verbinden, die parallelen Tangenten 
in Punkten 6, ~b' schneiden, flir die das Rechteck Al . Dl r gleich- 
falls konstant ist. 

287. Wir geben ferner eine Eeihe von Anfgaben ; die 
mit Hilfe der JBigenschaften der projektiven Buschel und 
Reihen am Kegelschnitt gelost werden. 

B. 1) Beweis fur Hadaurim Erzeugungsweise der Kegel- 
schnitte: Ein Kegelsclmitt wird als der Ort der freien Ecke V eines 
Dreiecfo gefunden, dessen Seiten sich wn die festen Punkte A,H,C 
drehen, ir&hrend zwei seiner Ecken sich in drn festen G-eradcn Qa, 
01 (Fig. 25) bewegen (vgl. Nr. 49 ? 2), 

^Wenn vier solche Dreieeke alV, a"b'Y, al"T, d"l""V"' 
verzeichnet sind, so ergibt sich aus der Identitat der Biischel 



70 XV. Projektive Eigenschaften der Kegelschnitte. 287. 



daher auch 

(A.VV'V" V") - (B .TV V" V'"} . 

Also liegen die Punkte J., jB, 7, 7', 7", V"' in demselben Kegel- 
schnitt, oder der Ort von V'" ist stets der durch die Punkte J., B, 
7, 7', 7" gehende Kegelschnitt. In Worten: Die Strahlenbiischel 
aus A und B sind zueinander projektiv, well sie beide zu dem 
Strahlenbiischel aus C perspektiv sind; daher ist der Ort der Schnitt- 
punkte entsprechender Strahlen ein durch A und B gehender Kegel- 
schnitt. 

2) Der Maclaurinschen Erzeugungsweise der Kegelschnitte ent- 
spricht dual die folgende: Bewegen sich die Ecken eines verander- 
lichen Dreiseits auf drei festen Geraden, wahrend sich zwei seiner 
Seiten um feste Punkte drehen, so umhiillt die dritte Seite einen 
Kegelschnitt. 

3) Chasles^) hat darauf hingewiesen, daB der Beweis in 
l) noch anwendbar ist, wenn die Seite a&, statt durch einen festen 
Punkt G zu gehen, einen Kegelsehnitt beriihrt, der die Geraden Oa,0~b 
zu Tangenten hat, denn dann sehneiden irgend vier Lagen der Seite 
al diese Tangenten 0a, 01 so, daB (aaW') = (bl)"b'"b" f } ist 
(Nr, 280), und die Forts etzung des vorigen Beweises bleibt bestehen. 

4) Neivtons Erzeugungsweise der JZec/elschniUe: Zwei Winkel 
von konstanter GroBe drehen sich um ihre festen ScheitelPund , 
und der Schnittpunkt des einen Paares ihrer Schenkel durchlauft 
eine Gerade A A; dann ist der Ort des Schnittpunktes 7 ihrer 
andern Schenkel ein Kegelschnitt, der durch die beiden Punkte P 
und Q bindurchgeht (Pig. 26). 

Denn sind wieder vier Lagen der ersten Schenkel der sich 
drehenden Winkel gegeben, so ist 

(P . A A A' A"} - (Q . AA'A"A'"h 




Fig. 25. 




weil aber die Winkel in dem je vom ersten Schenkel beschriebenen 
Biischel mit den entsprechenden Winkeln des Btischels der zweiten 
Schenkel nach GrSfie und Sinn iibereinstimmen, so ist (P . 7 7' V" V'") 




Satze aus der Gleichheit von Doppelverhaltnissen. 71 

= (Q. 7T r '7"F'"), und der Ort von 7'" ist wie vorher ein durch 
Ji Q, 7, F', ?" gehender Kegelschnitt. 

5) CJiasles hat auch diese Methode dadurch erweitert, daB er 
*den Punkt A statt in einer Geraden in 

einem durch die Punkte P und Q gehen- 
den Kegelschnitt bewegt denkt; denn 
auch dann ist iminer (P . AA'A"A'"} 
^(Q.AA'A f 'A' fr }. 

6) Der Beweis bleibt auch noch 
derselbe, wenn statt der Unverander- Fig. 27. 
lichkeit der Winkel APV, AQV fest- 

gesetzt ware, daB diese in festen Geraden konstante Abschnitte be- 
stimmen; denn auch dann gilt die Gleichheit der Doppelverhalt- 
nisse (P. A A' A" A'"*) = (Q . VV'V"V f "), weil beide Buschel in 
<einer festen Geraden Abschnitte von derselben Lange bestimmen. 
Wenn also die Basis eines Dreiecks und der von den Seiten des- 
selben in irgend einer festen Geraden bestimmte Abschnitt gegeben 
sind, so ist der Ort der Spitze ein Kegelschnitt. 

7) Die Ecken von gwei demselben Kegelsclmitt umgeschrie'benen 
JDrelecken AjB C, DEF sind secJis Punkte eines Kegelsclmittes. (Vgl. 
Nr. 266 und Fig. 27.) 

Denn die Geraden AB, A C, DE, DF bestimmen nach Nr. 280 
in den beiden andern BC und EF Punktreihen von gleichem Doppel- 
verhaltnis 



also (D . B CEF) ^(A.S CEF} , 

was den Satz beweist. 

Ebenso beweist man den Satz: Die Seittn von zwei demselben 
Kegelsclmitt ewgeschriebenen Dreiecken sind secJis Tangenten eines 
Kegelsclmittes. 

Die Aufsuchung und den Beweis anderer den vorher enfcwickelten 
Eigenschaften dual entsprechender Satze tiberlassen wir dem Leser. 

8) Das Doppdverlwltnis von vier Durclimcssern eines Kegel- 
sclinittes ist dem der bez. Jtonjugierten DurcJmiesser gleich, 

Die konjugierten Durchmesser bilden nach ihrem vertausch- 
baren Entsprechen zwei projektive Buschel in Involution aus dem 
Mittelpunkt, oder die Eichtungen der Paare konjugierter Durch- 
messer bestimnaen in der unendlicn fernen Geraden zwei projektive 
Eeihen in Involution. Denn das Doppelverhaltnis von vier aus einem 
Punkt der Kurve gezogenen Sehnen ist dem Doppelverhaltnis ihrer 
-Supplementarsehnen gleich (Ur. 172). 

9) Mittelpunktsort der einem gegebenen Viereck umgesobrie- 
benen Kegelschnitte, (Vgl. NT. 255, l.) 



72 XV. Projektive Eigenschaften der Kegelschnitte 288. 

Denkt man Durclimesser ernes dieser KegelscliBitte naeh den 
Mittelpunkten der Seiten des Yierecks gezogen, so ist ihr Doppel- 
verhaltnis dem ihrer bez. konjugierten gleich und daher konstant, 
well diese den zugehorigen Seiten des Yierecks parallel sind. Der 
fragliche Ort ist daher ein durch die Mittelpunkte der gegehenen 
Seiten gehender Kegelschnitt Da aber das betrachtete System drei 
Kegelschnitte enthalt, die in Geradenpaare ausarten, namlich die 
Gegenseitenpaare und das Diagonalenpaar des Vierecks, so sind die 
Schnittpunkte der Gegenseitenpaare und der Diagocalen gleichfalls 
Punkte des Ortes. 

288. Projektivitat und Involution auf dem Kegelschnitt, 
Mit der Erweiterung des Begriffes eines Doppelverhaltnisses 
von den Elementargebilden auf Gebilde zweiten Grades ist 
auch eine analoge Ubertragung des Projektivitatsbegrifles ge- 
boten. Man bezeiclinet mitunter den Kegelschnitt als PtinM- 
reilie metier Ordnung oder als StrahlenMscltel swelter Klasse* 

Man nennt PunJct- oder Tangenteusysteme desselben Kegel- 
sehnittes projektiv, wenn lei eindeutiger Zuordnwiy die homo- 
logm Doppelverfiattnisse von vier liomologen Piuikten oder Tan- 
genten gleich sind. Dies f allt unter die Definition der allgemeinen 
KoUineation (Nr. 92) ? denn projektiv sind dann aucli die er- 
zeugenden Strablenblisckel an Punkten des Kegelschnittes 7 
die zu jenen Punktsysteinen perspektir sind ? oder die er- 
zeugenden Punktreihen in Tangenten des Kegelsclmittes, die 
zu jenen Tangentensystemen perspektiv sind. Diese Systeme 
an der Kurre liaben wiederum zwei reelle, imaginare oder 
vereinte Doppelpunkte. 

Sind namlicli A, B, C drei Punkte des einen und A\ 
B f , G f die entsprechenden Punki;e des anderen Systems 
also sects Punkte eines Kegelscitnittes so zeigt die Be- 
merkung, dafi fur irgend ein neues Paar X, X'(A'. ABCX} ===== 
(A.A'B'C'X') sein mufi und daB die Punkte A'JB, AS' und 
A'C, AC' die Perspektivachse p dieser Buschel bestimmen r 
sofort die Konstruktion von X' aus X oder uingekehrt, well 
sich A'X, AX' auf derselben Geraden schneiden iniissen, 
Weil die Gerade von A'S, AB' nack A'C, AC' die Pascal- 
sehe Gerade des dem Kegelsclinitt eingeschriebenen Secliseck& 
AB'GA'BC' ist, so enthalt sie auch den Punkt BC', B'C 



Piojektivitat and Involution auf dem Kegelscbnitt. 73 

(Genauigkeitsprobe). Zugleich sind die Schnittpunkte der Ge- 
raden p mit dem Kegelschnitt die sich selbst entsprechenden 
oder Doppelpnnkte der beiden projektiven Reihen auf ihm. 
Durcb drei Paare entsprechender Punkte des Kegelschnittes 
sind also diese projektiven Reihen bestimmt; sie sind es 
aber aucb durch den Kegelsebnitt, der sie tragt, ilire Paseal- 
sche Geradejp und ein Paar A, A'. 1st p Tangente des Kegel- 
schnittes, so bat die durch. A, A auf ihm bestimmte Projek- 
tivitat vereinigte Doppelpunkte. 

Und dual: Sind a, I, c und a', &', c zwei Gruppen ent- 
sprechender Tangenten eines Kegelscbnittes ; so folgt aus 

(a . alcx) == (a . a'Vc'x] 

das Perspektivzentrum P dieser Reiben in a' und a als Schnitt 
der Geraden a'l, aV und a'e, ac'] und weil aV ca'ld ein dem 
Kegelschnitt umgeschriebenes Secbsseit ist ? so gebt auch die 
Gerade be', Vc durch denselben Punkt. Zur Tangente x erbalt 
man die entsprechende x durch die Bemerkung, daB a'sc, ax' 
auf einerlei Strabl durch P liegen mlissen. Drei Paare ent- 
sprechender Tangenten des Kegelschnittes bestimmen also 
diese projektiven Tangentensysteme; sie sind aber auch durch 
den Kegelschnitt; ein Paar von Tangenten desselben a, a und 
den Brianchonpunkt P bestimmt. Gehen durch P an den 
Kegelschnitt zwei reelle Tangenten, so sind sie die Doppel- 
strahlen der Systeine; fiir P als Punkt der Kuive fallen sie 
in einen zusammen. 

Die projektiven Systeine bilden eine PmH- oder Tan- 
genteninvoluiion am Kegelsclmitt, sobald sich zwei und damit 
alle homologen Elemente vertauschbar entsprechen (Nr. 94). 
Wenn sich das Paar A, A' vertauschbar entspricht, so haben 
wir fiir die Projektivitat der drei Paare A A'] SS f ] CO' die 
Beziehungen 

(AAB'C) = (AABC'} - (AA'C'ty; 

die Projektion der ersten Gruppe aus und die der dritten 
aus C gibt perspektive Buschel mit A A! als Perspektivachse ; 
auf der sich auch die Geraden BB f und CO' schneiden 
mtissen. Die involutorischen Punktsysteme auf einem Kegel- 
schnitt liegen also perspektiv ; die Yerbindungsgeraden ihrer 



74 XV. Projektive Eigenschaften der Eegelsclinitte. 288. 

Paare AA' f BB f , CC f usw. gehen dnrcli einen Punkt P, den 
man den Pol der Involution nennen mag. Dieser Pol und 
der Kegelschnitt bestiinmen die Involution, ebenso wie zwei 
Paare ihrer Punkte A, A' und J5 ; B' auf dem Kegelschnitt; 
jede Gerade durch den Pol ; die den Kegelschnitt schneidet, 
liefert ein neues Paar; gehen vom Pol zwei reelle Tangenten, 
so sind ihre BertihruDgsptmkte mit dem Kegelschnitt die 
Doppelpunkte der Involution. Fallt der Pol auf die Peripherie, 
so ist die Involution paraboliscli (Nr. 18). 

Und dual fur die Involution von Tangenten von den 
Beziehungen (aa'Vc) = (ffab(T) = (aa'c'V) aus. Die involu- 
torisclien Tangentensysteme an einem Kegelsclinitt liegen per- 
spektiv, die Selmittpunkte ihrer Paare liegen in einer Ge- 
raden p, ihrer Polare. Eine solche Involution ist durch zwei 
Tangentenpaare eines Kegelschnittes oder durch diesen und 
ihre Polare bestimmt. Die Tangenten in den Schuittpunkten 
mit der Polare sind ihre Doppelstrahlen; wenn die Polare den 
Kegelschnitt beriihrt ; so ist die Involution parabolisch. Ver- 
einigt man beide Figuren, bilden also die Tangenten a, a* & ; V 
in den Punkten A } A'- B, B' einer Punktin volution die Tan- 
genteninvolutiou ; so sind P und p Pol und Polare in bezug 
auf den Kegelschnitt. Es liegt P auf A A r , BB' und ab, a'b' 
sowie auf aV, a!~b, und p enthalt ad, bV und AB, A'B' so- 
wie AB', A'B (Nr. 136). In Fig. 14, S. 43 ist fur als A 
und D als B' der Punkt Q der Pol und die Grerade g die 
Polare und sie enthalt alle diese Beziehungen; aber sie ent- 
halt sie auch fur die Involutionen mit H, e resp. jP ? f als 
Pol und Polare. Diese Bemerkungen liefern sehr praktische 
Konstruktionen der Involutionen iiberhaupt, indem man leicht 
Involutionen an einem Hilfolcreise einfiihrt ? die zu den ge- 
gebenen perspektiv sind. Die Benutzung des Hilfskreises gibt 
auch den Konstruktionen mit imaginareu Elementen ihre prak- 
tische Form. 

Andrerseits erkennt man, daft der KegdsctmiU auf siclt 
selbst sentriscli Jcollinear involutorisch l)egogen ist, wenn man 
einen leliebigen Pmkt als Pol wahlt and diesen als Zentrum, 
seine Polare als Achse der Kollineation nimmt. 




Involution von Tangenten. Involution bei Buscheln und Scharen. 75 

289. Die Kegelschnitte eines Biischels schneiden eine le- 
liebige Gerade in Punldepaaren einer Involution.^) 

Sind a, 6, c, d die Grund- 
punkte des Biischels und A, A! " Flg ' 28 ' 

die Schnittpunkte eines seiner 
Kegelschnitte mit der Geraden, 
so ist (Fig. 28) 

(6) (a . Adi A) = (c . Adi A), 
und, in der Trans versale A A gemessen, 

(7) (ACBA') = (AB'C'A) - (AC'S' A). 

Die Punktepaare A, A! gehoren somit zu der Involution, die 
durch die Paare J5, 1?'; C, O f bestimmt ist, in denen die 
Transversale zwei Gegenseitenpaare des durch die Grundpunkte 
bestimniten Vierecks schneidet. Die DoppelpunJrte der Involu- 
tion sind die Beriihrungspunhte der Geraden mit denjenigen 
zwei Kurven des Biisctids, die die Gerade mr Tangente liaben. 
Ztvei solche Kurven gibt es im Biischel, denn die zu flg = Q 
gehorige Gleichung in Linienkoordinaten ist in I vorn zweiten 
Grade (vgl. NV. 149 und 353). Denkt man das Biischel durch 
zwei Kegelschnitte f= ; # = bestimmt, deren allgemeine 
Gleichungen wie in Nr. 249 geschrieben sein mogen und 
nimmt man die Achse der x als die schneidende Gerade ? so 
daB die Substitution y die Paare der Scbnittpunkte mit 
/*== und g = liefert: 

so ist das System der Schnittpunktpaare mit den Kegel- 

schnitten des Btischels f Ig = ausgedriickt durch 
( f, 1 7, "\ /y.2 j_ 9 ( n i 7^ \ I f/ T, ~h 

\ttii AUiiJJ/ i tJ^Uf^ A(/ i3 y t 6 ~f- Wgg AU^ \Jj 

die Involution aus den zwei vorstehenden Paaren. (Vgl. Nr. 323 
und Nr. 331.) So schneiden auch Rreise eines Biischels jede 
Gerade in Punktepaaren einer Involution, die Potenzlinie be- 
stimmt den Mittelpunkt der Involution, die zwei Kreise des 
Systems, die die Gerade beriihren, geben die Doppelpunkte an. 
Nach dem Prinzip der Dualitat entsprieht dem vorigen 
Hauptsatz der andere: Die ran einem leliebigen PunU P an 
die Kegelschnitte einer Schar gelegten Tangentenpaare lildeti 
eine Involution, deren Doppelstralilen aus den in P gegogenen 



76 XV. Projektive Eigenscliaften der Kegelschnitte. 289. 

Tangenten der zwti durcJi P gelienden Ewroen der Schar le- 
stehen. Die drei Punktepaare der Schar liefern die Konstruk- 
tion der Involution rait Hilfe des vollst'andigen Vierseits. 
Diese Konstruktionen ans Viereck und Vierseit liefern zu 
einem durch fiinf Punkte bez. ftinf Tangenten bestimmten 
Kegelschnitt neue Punkte auf den Strahlen durch einen der- 
selben bez. neue Tangenten aus den Punkten einer der ge- 
gebenen. 

B. Ij Wenn ein Dreieck einem Kegelschnitt eingeschriebeu ist, 
so schneidet eine Transversale diesen und zwei Seiten des Dreiecks, 
die dritte Seite und die Tangente des Kegelschnittes in der gegen- 
uberliegenden Ecke in sechs Punkten einer Involution. 

Denn die Tangente bildet mit dem Dreieck ein eingeschriebenes 
Viereck. 

2 ) Jede Transversale schneidet einen Kegelschnitt und zwei 
feste Tangenten desselben in zwei Punktepaaren , die eine Involu- 
tion bestimmen; diese hat in der Beruhrungssehne jener festen Tan- 
genten einen Doppelpunkt. 

Denn die Beruhrungssehne bildet als ein Paar von Gegenseiten 
mit den Tangenten ein eingeschriebenes Yiereck. 

Man* bildet leicht die dual entsprechenden Satze. 

3) In jeder Transversale werden von einer Hyperbel und ihren 
Asyinptoten Absehnitte bestimmt, die denselben Mittelpunkt haben. 
Denn einer der Doppelpunkte ist unendlich fern. 

4) Wenn zwei Kegelschnitte demselben Viereck umgeschrieben 
sind, so sind die Beruhrungspunkte einer genaeinschaftlichen Tan- 
gente zu ihren Schnittpunkten mit den Gegenseitenpaaren des Vier- 
eeks harmonisch konjugiert. Denn sie sind die Doppelpunkte der 
Involution, die diese bestimmen. 

5) Weim drei Kegelschnitte demselben Viereck umgeschrieben 
sind, so wird eine gemeinschaftliche Tangente von zweien unter 
ihnen durch den dritten harmonisch geteilt. 

6) Wenn man durch den Schnittpunkt der Schnittsehnen von 
zwei Kegelschnitten eine Tangente an den einen derselben legt, so 
wird diese durch den andern harmonisch geteilt. 

Denn jener Punkt ist ein Doppelpunkt, usw. Darum halbiert 
der Beruhrungspunkt einer zur Potenzlinie zweier Kreise parallelen 
Tangente die in ihr gelegene Sehne, und in alien Sehnen des einen 
von zwei konzentrischen, ahnlichen und ahnlich gelegenen Kegel- 
schnitten, die Tangenten des andern sind, gibt der Beruhrungspunkt 
die Mitte an. (Nr. 226, 2.) 

7) Wenn zwei Kegelschnitte miteinander in doppelter Be- 



Projektivititt bei Biisebeln und Scharen. 77 

riihrung sind (oder wenn sie eine Beriibrung dritter Ordnung rait- 
cinander baben), wird jede Tangente des einen in ibren Scbnitt- 
punkten mit dem andern und in dem Scbnittpunkt mit der Beriib- 
rubrungssebne beider Kegelscbnitte barmoniscb geteilt. 

Denn die gemeinscbaftlicben Sebnen fallen zusammen, usw. 
Die Anwendung auf konzentriscbe Kreise, iiberbaupt auf ahnliche 
konzentriscbe und abnlicb gelegene Kegelscbnitte ist offenbar. 

8) Man soil einen Kegelschnitt durcb vier Punkte A^B, C^D 
konstruieren, der eine gegebene Gerade berlibrt. 

Der Beruhrungspunkt ist ein Doppelpunkt der Involution, die 
in der Geraden durcb die Schnittpunkte mit den Gegenseitenpaaren 
des Vierecks AS CD bestimmt ist; die Aufgabe bat daber zwei 
Losungen. 

9) Wenn eine Parallele zu emer Asymptote einen Kegel- 
schnitt in C und die Seiten eines eingescbriebenen Vierecks in den 
Punkten a, &, c, d sebneidet, so ist Ca. Cc = Cb , Gd, denn C ist 
der Mittelpunkt des involutoriscben Systems. 

10) Man bebandle 3) u. f. von Nr. 285 als FSlle der In- 
volution. 

In 3) ist K ein Doppelpunkt, in 4) ebenso I\ in 5 ) ist T der 
Mittelpunkt, usw. 

11) Zu einem System von Kegelscbnitten durcb dieselben vier 
Punkte gibt es auf jeder beliebigen Geraden zwei reelle oder ima- 
ginare Punkte, die in bezug auf alle seine Kegelscbnitte barmoniscbe 
Pole sind. 

Es sind die Doppelpunkte der durcb dieselben bestimmten In- 
volution. In Nr. 801, 1 werden sie durcb einen der Geraden ent- 
sprecbenden Kegelscbnitt bestimmt. 

Wenn ein System von Kegelscbnitten vier feste Geraden be- 
rilbrt, so geben durcb jeden Punkt zwei reelle oder imaginare 
Strablen, die in bezug auf alle diese Kegelscbnitte konjugierte oder 
barmoniscbe Polaren sind. 

12) Unter den Kegelsebnitten, die durcb vier feste Punkte 
geben, gibt es zwei (reelle oder imaginJire), die die unendlicb ferae 
Gerade bertibren (Parabeln); jede Kurve des Buscbels bat ein reelles 
oder imaginares Paar konjugierter Durcbmesser, das den Acbsen 
dieser Parabeln parallel ist 

Man denke die Transversale des Satzes der vorigen Aufgabe 
unendlicb entfernt. 

13) Man bestimme unter den durcb vier feste Punkte geb en- 
den Kegelscbnitten denjenigen, der eine gegebene Strecke EF har- 
mordscb teilt, insbesondere den von gegebenen Acbsemicbtungen. 

14) Der Ort des Pols einer Geraden in bezug auf die durcb 
vier Punkte gebenden Kegelscbnitte ist ein Kegelscbnitt, der durck 



78 XV. Projektive Eigenschaften der Kegelschnitte 289. 

die Schnittpunkte der Diagonalen und der Gegenseitenpaare des 
Tierecks gehi (Nr. 255, l) 

Denn die in bezug auf die Kegelschnitte genommenen Polaren 
zweier Punkte P und Q Mlden je ein Strahlenbuscbel; die Strahlen 
dieser beiden Biischel entsprechen sich eindeutig, d. h, projektiv, 
der Ort der Schnittpunkte entsprechender Strahlen ist daher ein 
Kegelschnitt. Diese Schnittpunkte sind aber die Pole der Geraden 
PQ in bezug auf die Kegelschnitte des Systems oder die Scheitel 
der Polarenbuschel fur den in der Geraden PQ fortbewegten Pol. 

15) Das Buschel der Polaren des Punktes P in bezug auf vier 
demselben Viereck umgeschriebene Kegelschnitte hat ein yon der 
Lage von P unabhangiges Doppelverhaltnis (Nr. 250). Die Reihen 
der Beriihrungspunkte, die in den gemeinsamen Tangenten von vier 
demselben Yierseit eingeschriebenen Kegelschnitten durch diese ge- 
bildet werden, haben dasselbe Doppelverhaltnis. 

Man kann infolge dieser Eigenschaften von dem DogpeUer- 
haltms von vier KegelschniHcn eines SuscMs oder ewer ScJiar 
sprechen. 



Sechzehntes KapiteL 

Besondere homogene GleicMngsformen 
zweiten Grades. 

290. Sich. selbst dnale G-leiehungsformen. Die fur die 
Tbeorie der Kegelscbnitte grundlegende EinftLhrung der pro- 
jektiven Buscbel und Reihen knflpfte sicb an die dualen 
Gleichungsformen s^'- &,$/=> und ^c?/ ^^/= ? ent- 
wickelte sich aber welter durcb die bloBe Anwendung cles 
Begriffes des Doppelverhaltnisses. 

Die beste analytische Ausdrucksform wird erst erreicht, 
wenn man die linearen FunMonen selbst als trimetrisclie oder 
projektive Koordinaten (Dreieckskoordinaten) emfiihrt. Dies 
weist auf solche GrleicliuDgsformeii hin ; die nur drei lineare 
Symbole enthalten. Die einfachsten sind 5^3 5 2 2 =0 ; bez. 
#1^3 <? 2 2 = ; wo % = ; s% = zwei Tangenten und $ 2 = 
die Polare ihres Sclinittpunktes ; bez. ^ = ; d" 3 = zwei 
Punkte und <? 2 = den Pol ihrer Verbindungsgeraden (Nr. 270) 
darstellen. 

Als erzeugende projektiye Buschel bez. Reiben bieten 
sich unmittelbar JiS 1 ^ 2 = ; s s 1cs% = bez. K^ I &% = ; 
^ 3 x<? 2 = ? so dafi als Lomologe Eleinente erscbeinen ^,^5 
$ 27 5 3 bez. er 1; <3 2 ; <? 2; 0%, wabrend s 2 bez. <? 2 die gemeinsamen 
Elemente sind. 

Nebmen wir nun ^ 2 = als den Pol von s%= Q, so ist 
das Dreiseit s^Sg^ mit dein Dreieck tf 1 tf 2 <? 8 = identisch. 
Diese Gleichungen sind sich also selbst dual, geboren daher in 
ganz derselben Weise der TJntersuclmng der Kegelschnitte als 
Ordnungs- oder Klassenkurven an. 

Dieselbe Eigenschaft werden wir der Gleichungsforni 
l^+l^+l^^O (Js T r. 260) zuerkennen (Nr. 299). Die 



80 XVI. Besondere homogene Gleiehungsformen zweiten Grades 290. 

iibrigen symbolisclien Gleichungen entspreclien einander zwar 
dual, aber sie sind nicht iin vorhin erwahnten Sinne selbst 
dual, deim das Viereck und das Vierseit in den zuerst er- 
wahnten Gleiehungsformen konnen fur clenselben Kegelschnitt 
nicht identisch sein. 

Wir beclienen uns zu den weiteren Untersuchungen ho- 
mogener Koordinaten. Zunachst nehnien wir f'iir Punktkoordi- 
naten das Fundamentaldreieck A 1 A^A S als das Ton den beiden 
Tangenteu ^ = 0, # 3 = und ihrer Bertihrungssehne # 2 =0 
gebildete Dreieck, fur Linienkoordinaten das Dreieck der beiden 
Beruhrungspunkte u t = ; ^* 3 = der Kurve und des Schnitt- 
punktes ^t 2 = ihrer Tangenten. Danu ist die Gleichung eines 
Kegelschnittes in projektiven Punkt- bez. Linienkoordinaten 

(1) 3^=^*, ^w 8 ==V; 

falls der Punkt bez. die Grerade von den Koordinaten Eins 
demselben angehoren, oder falls eine Konstante implizite ge- 
dacht wird, 

Ebenso ist die Gleichung eines Kegelschnittes ; bezogen 
auf ein Polardreieck als Fundamentaldreieck, in Punkt- bez, 
Linienkoordinaten . 

(2) a 11 fl? 1 2 +a 2g ar a s +a tJ8 ^ 2 ==0 bez. A n ii^+A^+A m u^=&. 
Im allgemeinen beschranken wir uns auf die Behandlung der 
Gleichungen in Punktkoordinaten, da das Dualitatsprinzip 
die Wiederholung einer solchen in Linienkoordinaten liber- 
fliissig macht. 

291. Parameterdarstellung. Fiir x t x 3 = x* als Gleichung 
des Kegelschnittes folgt aus der Beziehung itx^ = x% durch 
Einsetzen in die Gleichung der Kurve gleichmafiig # 3 == tix% 
und ^ 3 = ITX I . Also schneidet die vom Punkte x i = x% = 
ausgehende Gerade }iX 1 = x 2 den Kegelschnitt in einem zweiten 
Punkte, dessen Verbindungsgeraden mit den beiden andern 
Fundamentalpunkten durch die Gleichungen px^. = x 9 und 
$ = ^x { dargestellt sind. Die Koordinaten eines Kurven- 
punUes sind also Potenzen eines Parameters proportional, 



*) Durch die Einsetzung der Potenzen in x 1 x & =x^ wird die 
Oleichung identisch erfullt. 



Parameter darstellung aus Projektivitat. 81 

Wir konnen daher den Kurvenpunkt als den Punkt p be- 
.zeiehnen, und die Anwendung unseres Koordinatensystems 
bietet alle Vorteile der Rechnung mit einer einzigeu Verander- 
lichen dar. 

Die Verbindungslinie von zwei Punlien ft, \,i der Kurve 
ist durch (ifisc^ (^ + ft')#a + # s = dargestellt, da sie durch 

<eriillt wird. Dem Zusammenfallen der Pankte p und ^ r ent- 
tspricht die Gleiclmng der Tangente im Punkie ,a, namlich. 

Also sind die Koordinaten u t der Tangente durch den- 
<selben Parameter ahnlich ausgedriickt wie die $ 19 namlich 

Hieraus erkennt man, da8 die Tangenten durch die Beziehung 
4^^ w 2 3 =0 yerbunden sind, d. h. dies ist die Tangential- 
gleichung des Kegelschnittes x^ B = x% 2 . In der Tat ist sie 
also yon derselben Form, aber nicht etwa w 1 i%==w 2 2 selbst. 
B. l) Die Gerade ftf/ trifft AA in deni durch ^',2^ + #3=0 
ausgedruckten Punkte; nach ihm gelien auch die Geraden, die die 
Schnittpunkte ^ft, A%A^ Af 1 '? A%A 3 mit den Schnittpunkten 
J 3 j/, A^AZ] J 3 ft, AiA$ bez. verbinden (Fig. 29). So auch fiir zu- 
sammenfallende ft, ft'. 

2) Die Gleichung der Parabel, die die Seiten A A$ 7 A 3 A% in 
den Punkten.4 1? A% bez. bertihrt, wird in Dreieckskoordinaten aus 
l^^^ x^ durch die Bedingung der Beriihrung mit der unendlich 
fernen Geraden 21^= bestimmt, also durch 4? 1 ^=1Z 3 2 ; die 
Oleicliung ist / 2 2 ^ 2 " 2 = 4Z 1 Z 3 o? l o? 8 . Hier sincl Z 1? ^, / 3 den Laogen 
der Seiten des Koordinatendreiecks oder den Sinus der gegeniiber- 
liegendenWinkel proportional (Nr.75). 

3) Wenn die Tangente ^ den 
Kegelschnitt umhullt, so wird em den- 
selben in A^ A B doppelt beriihrender 
Kegelschnitt durch den Punkt Q er- 
aeugt, in dem sieh nach S. 43 die 
Verbindungslinien der Ecken des um- 
^eschriebenen Dreiecks mit den Beriih- 
rungspunkten der Gegenseiten schnei- 

^en. Die Harmonikale von Q in bezug auf das Dreieck (Nr. 67, l) 
umhullt ebenfalls einen Kegelschnitt, der den gegebenen in A L und 
^1 3 doppelt bertihrt. 

Salmon-Fiedler: anal. G eoin. d. Kegelsclxn, II. 7. Aufl. G 




82 XVI. Besondere homogene Gleichungsformen zweiten Grades. 292* 

4) Man bestimme den Pol der Verbindungslinie der Punkte 
^t, ft' der Kurve. 

Seine Koordinaten #/, # 2 ', tf 3 ' gentigen den beiden Gleichungen 

pV- 2fi*,'+ ff 8 '~ o, ^ /2 <~ W+ '- 0; 

aus ihnen folgt 

' oder ^ - 



292. Hiillkurven. Umgekehrt leriihrt erne Gerade, deren 
Gleiclmng einen Parameter ft im zweiten Grade enfhalt, einen 
Kegelschniti In der Tat bairn man die in x if x%, x% lineare 
Gleichung nacK ^ ordnen und die Koeffizienten so bezeichnen, 
da8 die Form entsteht jx 2 ^/ 2jLt^ 2 '-f ^ 8 r = 0. Diese stellt 
aber nact dem Vorigen stets eine Tangente des Kegelschnittes 
x^Xs = # 2 ' 2 dar. 

Allgemein stellt die Grleichung einer Geraden, falls sie 
einen Parameter algebraisch entlialt und man dieser nnbe- 
stimmten GrroBe alle mogliclien Werte gibt ? eine einfach un- 
endliclie Reihe von verschiedenen Geraden dar^ die alle eine 
gewisse algebraische Kurve beruhren. Man nennt diese die 
HtiWcwve des Geradensystems. Ilire Gleichung ist bereits firr 
einzelne einfaclie Falle ermittelt worden. Die nahere Unter- 
suchung des Problems ist aber von Wichtigkeit, weil sie das 
Mittel sum IJbergang wn der Darstellung einer Kurve in 
PunWwordinatm eur Darstellung derselben Kurve in Linien- 
koordinatcn liefert. 

Wir erlautern die allgemeine Methode zur Bestiinraung 
der Gleiclmng einer solcben Hiillkurve dadurch ; dafi wir den 
Satz dieses Paragraphen unabhangig von Nr. 291 beweisen. 
Der Schnittpunkt der den Werten p und p + Js entsprechen- 
den Geraden ist durcli die Gleichungen bestimmt 

l/x 1 2[tx% + ir 3 = ; 2(^1^ ar s ) + ft^ = 0. 
Von diesen geht die zweite aus der ersten hervor, indem 
man ^ + ^ ftr ^ setzt, dann die infolge der ersten ver- 
scliwindenden Grlieder beseitigt und den Best durcli "k divi- 
diert. Je kleiner "k ist ? desto mehr nahert sich die zweite 
Gerade dem Zusarnmenfallen mit der ersten, und fur den 
Grenzubergang I* == finden wir, daB der Schnittpunkt der 



Theorie der Hullknrven. 83 

ersten Gferaden mit einer unendlich nahe benachbarten, d. h. 
mit der nachstfolgenden Geraden des Systems durch die 
Gleichungen bestimmt ist 

yfx l 2t# 2 -f # 3 = 0, ^ix i # 2 = 0, 
oder, was dasselbe ist, durcli die Gleiehungen 

\3LX l # 2 0, ft #2 T 3 = 0. 

Da nun jeder Punkt der Kurve als der Schnittpunkt Ton 
zwei aufeinander folgenden Tangenten derselben angesehen 
werden clarf (Nr. 79), so ist der Punkt, den erne Kurve des 
Systems mit der Hiillkurve gemein hat, eben der, in deni sie 
auch die nliclistfolgende Tangente der Hiillkurve schneidet. 
Die beiden letzten Gleichuugen bestimmen also den Punkt 
dieser Kurve, der die Gerade ^ 2 # 3 2/i^ 2 + ^ 3 == zur Tan- 
gente hat; die Elimination von p, zwischen diesen Gleichungen 
gibt die Gleichung des Ortes aller Punkte der Hiillkurve in 
der Form # 1 $ 3 =# 2 2 . 

Analoge Grande beweisen, daB fiir ^0, X 2 ==0, X 3 =0 
als Gleichungen von Kurven, die durcli 
(6) ^X 1 -2 i aX 2 +X,^0 

dargestellte Kurve stets die Kurve 2 X X 3 = X 2 2 beriihrt. 

Zu denselben Ergebnissen fiihrt auch folgendes Ver- 
fahren: Die Gerade ^?x^ 2/# 2 + x% ist Tangente einer 
Kurve tsweiter Klasse (Nr. 105 und 147), da durch jeden 
Punht % nur zwei Geraden des Systems Jiindurchgelien, namlich 
diejenigen, die den aus ju, 2 ^' 2 l a^r 3 / + ^ 3 '= bestimmten 
Werten von ft entsprechen. Diese beiden Werte von ft fallen 
aber zusammen, oder der betrachtete Punkt ist der Schnitt- 
punkt von zwei aufeinander folgenden Tangenten, wenn seine 
Koordinaten der Gleichung Xi% z *** xf geniigen, 

Und allgemein wird die Gleichung einer Kurve n ter Klasse 
gefunden, indem man die Bedingung ausdriickt, unter der die 
Parametergleichung der Tangente, die in p vom n** n Grade 
ist, ein Paar gleiche Wurzeln hat. 

B. 1) Die Eckpunkte eines Dreiecks ABC bewegen sich in 
drei festen Geraden x 1 = 0, oc$ 0, % B ~ 0, wahrend seine Seiten 
CA, CB durch die beiden festen Punkte x f ' bez. x r gehen*, man 
soil die Hiillkurve der dritten Seite bestimmen. 



84 XVI. Besondere homogene Gleichungsformen zweiten Grades. 292, 

Wenu %+ ^2=0 die Gerade 1st, die den Punkt sc i =^x 2 =Q 
mit dem langs der Geraden X B *= sick bewegenden Eckpunkt C 
des Dreieclrs verbindet, so sind die Gleichungen der durch die festen 
Punkte A bez. S gehenden Seiten: 



Die Gleichimg der Basis ist 



denn die dieser Gleicliung entsprechende Gerade geht sowohl durch 
den Schnittpunkt der ersten Geraden rait x l = , als auch durch 
den der zweiten mit #3= 0. Indeni man nach Potenzen von t a 
ordnet, findet man die Gleichung der Hullkurve 

(f ft \ r ff f ff rr f\v 

X 1 X Z X 3 + ^2% X l "~ X B X i X Z ~ X B X 1 X Z J 



Man kann dieselbe Aufgabe auch auf Grand der nach Potenzen 
von a geordneten Gleichung von Nr. 52, 3 losen. 

2) Der Form der Kegelschnittsgleichung %^ 3 ==?b 2 ^ 2 2 ent- 
spricht jjfu L + 2f*fcw a + %~ als Gleichung des Benikrungs- 
punktes der Tangente ft, die die Koordinaten hat w i :w 2 :w 3 = 
ft 5 (-^):^. 

3) Wenn in irgend einem Koordinatensystem a?/, ^/' die Ko- 
ordinaten von zwei Punkten P\ P" eines Kegelschnittes und x"' 
die Koordinaten des Pols ihrer Sehne sind, so konnen die Koordi- 
naten eines beliebigen Punktes der Kurve in der Form 

p V+ 2 f**<'+ <', f^ 2 ^'+ 2 ^<"+ ^ 2 % fio; 8 '+ 2 ,ifc* s '"+ o; 3 ' r 

geschrieben werden; seine Tangente teilt die Tangenten von P' und 
P" nach den Yerhaltnissen ^ : /<;, |ii& : 1 . Fur k = 1 ist die Kurve 
nach Nr. 284 eine Parabel. 

4) Man soil den Ort eines Panktes (die Hiillkurve einer Ge- 
raden) bestimrnen, der (die) den zwischen zwei festen Tangenten 
eines Kegelschnittes gelegenen Abschnitt einer ver^nderlichen Tan- 
gente desselben (den von zwei festen Punkten eines Kegelschnittes 
an einem veranderlichen Punkte desselben bestimmten Winkel) nach 
gegebenem Verhaltnis (Sinus verb altnis) m : n teilt. 

Fiir MjWj = ^ 2 ^2 2 a -^ s Gleichung des gegebenen Kegelschnittes 
ist die Gleichung des Teilpunktes 

fi 2 (mw 2 +^%)&+M^%+ w % + (^+M)^ 
sein Ort ist also dargestellt durch 

. 2 -f w 8 ) = {wwj + mu B + (m -f 



Tacgente und Polare im Parameterausdruck. 85 

A $ 

5 J Man soil die Hiallkurve der Geraden + T/ - = 1 dar- 
/ ji ft 

stellen, wenn die unbestimmten Grofien ji, \f in der Gleichung der- 
selben durch die Beziebung p + p' C verbunden sind; .4, 5 and 
C f sind liueare Funktionen von und y. 

Indem man for ft' den Wert C p, einsetzt und die Bruehe 
beseitigtj findet man als Gleicbung der Hiillknrve 



oder 1/1 1/5 1/0 == 0. 

Wenn z. B. der Winkel an der Spitze und die Summe der 
ihn einschlieBenden Seiten eines Dreiecis gegeben sind, so 1st die 
GleicLung der Basis 

:! 4. 1 =1 fii r a + I = c ; 
& 

die Hiiilktirve ist also 

^2 + ^_ 2a?y 2<jfl5 - 2ci/ + c 2 = 0, 

d. h. eine die Seiten x == 0, y ^ bertibrende Parabel. 

Oder wenn von einer Ellipse die Lage zweier konjugierter 
Durehmesser und die Snmme ihrer Quadrate gegeben sind, wenn 

a l so f^ + l'^i und a'*+ l' l ^(? sind, so ist die Hiillkurve 

ct o 

dieser Ellipse durcb. x y c = dargestellt, und die Ellipse be- 
riihrt daber stets vier feste Geraden 

293. Um die GUiclmng der Polare eines Punktes #/ be- 
ziiglicli der KuiTe (1) zu bestimmen, denken wir die Koordi- 
naten des Punktes als der Gleiehung der (lurch ibn gehenden 
Tangente geniigend; nelimeE also an 

f tV-^<+< ==0 - 

Nun ist nach (3) im Beruhrungspunkte ^ 2 = ir 3 :^ 1; ^==%:^ u 
daher befriedigen die Koordinaten des Beriihrungspunktes die 
Beziehung 

(7) a? 8 X- 2 ^a+X^8- 

Dies ist die Gleiclrang der Polare. Ware der Punkt als 
Schnittpunkt der Geradei aa^ = x^ lx% ^ gegebeD ? so ware 
die Gleiehung seiner Polare ab^ 2a# 2 -f a? 3 = 0. 

Liegt der Pol in der Polare, so geniigen die a?/ der 
Gleiehung derselben, und man erhalt als Bedingnng der Lage 
auf der Kurve die Gleiehung $xj = / 2 wieder. 



86 XVI. Besondere homogene Gleichungsformen zweiten Grades. 294. 

B. l) Wenn man den vorher implizite gedachfcen Koeffizienten 
in die betrachtete Kegelschnittsgleichung explizite einftihrt, so ist 
sie # 1 # s = fc 2 # 2 2 . Die Schnittpunkte der Geraden x s = l^x l mit 
dem Kegelschnitt sind & 2 # 2 2 = ^ 2 % 2 i o^er 7c# 2 = + 1%; man er- 
kennt darin die harmoniscne Teilung der durch den Pol gehenden 
Sehne in der Polare wieder. Dem Punkte + I entspricht jetzt die 
Gruppe von Formeln 

lx^ = &# 2 , # 3 = 1 kx 2 , oder x l : x% : x% Jc : I : tfk. 
Die Gleiehimg der Sehne zwischen den Punkten A, if wird 



daher die der Tangente in I ebenso A 2 ^ 21?coJ 2 + #3= 0. Die 
Koordinaten des Pols der Sehne A, l r sind bestimmt durch 



"2" ^ l+T ^ "iu 7 ' 

man jene Sehne mit der unendlich fernen Geraden zu- 
sammenfallen, so erh'alt man fur die trimetrischen Normalkoordi- 
naten des Mittelpunktes x^ : x% : a; 3 '= 2^ 2 ? 3 : Z 2 : ^^ 2 ^i; wo ^D 
? 2 , Z 3 die Langen der Seiten des Koordinatendreiecks bedeuten. 

2) Wenn drei Kegelschnitte von den bez. Seitenpaaren eines 
Dreiecks in den Endpunkten der jedesmaligen dritten Seite beriihrt 
werden und durch einen Punkt geherj, so schneiden die Tangenten 
derselben in diesem Punkte die Dreiecksseiten, die ihnen bez. als Be- 
rtihrungssehnen entsprechen, in drei Punkten einer Geraden. 

294. Die Sehne ; die zwei Punkte n>ig<p und ft : tg cp 
verbindet ; wo 9 einen beliebigen konstanten Winkel bezeich- 
net, beriihrt stets einen Kegelschnitt , der mit dem Eegel- 
schnitt ^ X ir 3 x^ eine doppelte Beriihrung hat. 

Denn die Gleichung der Sehne ist (Nr. 293) 
(8) ^x l - [ix 2 (tg 9? + cot y) + ^ = 0, 

und diese ist wegen tgy + cot 93 = 2 : sin 2 9? die Grleichung 
einer Tangente des Kegelschnittes xx$ sin 2 2 9? = x^ im Punkte 
/i desselben. 

Man erkennt ebenso, daB der Ort des Schnittpunktes der 
Tangenten in den Punkten ^tg9? ? ^rtgy der Kegelschnitt 
a?! ^3 ~ %$* sin 2 2 9? ist. 

B. 1) Die Basis eines Dreiecks beruhrt einen gegebenen Kegel- 
schnitt, wahrend sich ihre Endpunkte in zwei festen Tangenten des- 
selben bewegen und die beiden anderen Seiten durch feste Punkte 
P', P" gehen: der Ort der Spitze ist ein Kegelschnitt durch JP', P" 
(Nr. 287, 3). 



Beispiele zur Parameterdarstellung. 87 

Sind ify = 0, # 3 = die festen Tangenten und ist 3r x s = x/ 
tier Kegelschnitt, so sind 1 | 2^u die Koordinaten des Sehnitt- 
punktes von 0^=0 mit der Tangente ft 2 ^ 2^0^ + x 3 = 0, und 
die Gleichung der Verbindungslinie dieses Punktes mit dem festen 
Punkte x! ist X 6 f t t\ x 1 'x$~%nfa'x 1 x 1 'x s ). Ebenso ist die 
Gleichung der Verbindungslinie des festen Punktes #/' mit dem 
Punkte 2 i ft | 0, in dem # 3 = die Tangente in ^ schneidet, 
*2(# 3 "# 2 #3"%) = p(%$"%i x^'x^). Die Elimination von ^ zwi- 
schen beiden Gleichungen gibt als den Ausdruck for den Ort des 
Scheitels 



2) Wenn in 1) die Basisecken in irgend einem Kegelschnitt 
liegen, der mit dem gegebenen eine doppelte Benihrung hat und 
die gegebenen festen Punkte enthalt, so ist immer noch der Ort der 
.Spitze ein Kegelschnitt. 

Sind x x s x<^ = 0, ^#3 sin 2 2 cp #/ = die Gleichungen 
der Kegelschnitte, so schneidet eine Tangente in ^ des zweiten den 
arsten in Punkten ft-tgg? und ^ cot <p\ wenn die auf dem ersten 
Kegelschnitt liegenden festen Punkte p, ft" sind, so sind die Glei- 
chungen der Seiten des Dreiecks 



die Elimination von ^ liefert die Gleichung des Ortes 



295. Fiir die Anwendungen ist es nutzlich, zu bemerken, 
die Elimination von x 2 zwischen den Gleichungen der 
Tangenten in den Punkten f& ; 4 u/ fiir die Verbindungslinie des 
Schnittpunktes dieser Tangenten mit dem Eckpunkt A% des 
Fundament aldreiecks die Gleichung ppx^ x% = lieferfc. 
Wenn also das Prodnkt a zweier Werte von ^ gegeben ist ? 
so liegt der Schnittpunkt der zugehorigen Tangenten in der 
festen Geraden ax^ # 3 . Substituiert man in demselben Falle 
-a fur ft ft' in die Gleichung der Sehne zwischen zwei Punkten, 
so erkennt man ? da8 diese Sehne durch den Schnittpunkt der 
Seite^=0 des Fundamentaldreiecks mit der Geraden a^ t +%==0 
hindurchgeht. F&rner liegen die Punkte + ^ und ^ in einer 
durch J. 3 gehenden Geraden, denn die Yerbindungslinie von 
A} mit ft hat die Gleichung ^ 2 % = %. 

B. 1) Ein Dreieck ABC bleibt einem festen Kegelschnitt um- 
geschrieben, wahrend sich zwei seiner Ecken, A und ^, ia festen 



88 XVI. Besoudere hornogene Gleietmngsforrnen zweiten Grades, 296'. 

Geraden bewegen; der Ort der dritten Ecke ist ein Kegeischnitt, 
der jenen in der Polare des Sclmittpunktes der festen Geradea 
doppelt beriihrt. 

Wir wahlen die beiden Tangenten des Kegelschnittes aus dem 
Sehnittpunkt der festen Geraden und ihre Beriihrungssehne als 
Fundamentallinien und setzen die Gleichungen der festen Ge- 
raden in der Form ax 1 x = 0, "bx i ^ = voraus, die Glei- 
ehung des Kegelschnittes aber als %i%$*= %^* Fur zwei sich in 
0,$! JC 8 = schneidende Tangenten dieser Kurve ist das Produkt- 
der (JL gleich a; wenn also die Dreiecksseite AS im Punkte ft be- 
riihrt, so beriihren die beiden anderen A C und B C in den Punkten> 
a: {i bez. ~b : fi, und es sind a 2 ^ 2ap# 2 + ^^^O. "b^os 1 
2 1} ft ^ 2 + p 2 ^^ iiire Gleichungen. Die Elimination von ft zwi- 
schen diesen Gleichungen ergibt for den Ort des Scheitels: 



(a + 6 

2) Die Hiillkurve der Grundlinie AS eines Dreiecks 
das einem festen Kegelschnitt eingeschrieben ist, und dessen beide- 
Scheitelseiten durch zwei feste Punkte gehen, ist ein Kegelschnitt y 
der jenen in derYerbindungslinie der festen Punkte doppelt beriihrt- 

Wir wahlen die Yerbindungslinie der festen Punkte als Seite- 
x%0 des Koordinatendreiecks, die Gleichung des festen Kegel- 
schnittes sei x^ ==% 2 , die Gleichungen der Geraden, die die festen- 
Punkte mit dem Punkt x X B == verbinden, seien ax t + % = O r 
6% + $ s = 0. Nun entsprechen den Endpunkten J., C einer durcb 
^^ + ^=0, #2=0 gehenden Sehne AC Werte von ft, deren Pro- 
dukt gleich a ist; wenn also der Parameter ft dem Scheitel ent- 
spricht, so gehoren zu den Enden A und B der Basis die Para- 
meter a : [i und b : ft, und die Gleichung der Basis ist a l)x i 
(a -\- &)fta? 2 + w 2 # 3 = 0. Diese beruhrt daher (Nr. 292) stets den 
Kegelschnitt 4^6%^ (a + Vf%^- 



296. Das Doppelverlialtnis von vier Tangenten eines Kegel- 
schniUes ist dem DoppelverliaUnis Hirer Berilhrungspunlde gleich r 
namlich 

(9) (^ 



Zunachst ist dies der Ausdrucb des Doppelverlialtnisse^ 
der vier Strahlen, die die gegebenen Punkte ^, ft, ^ 3; ^ 
mit einem beliebigen funften ^ verbinden. Demi nacli Nr. 291 
sind ^x l - 57 2 ) + (> 3 - ^5? 2 ) = 7 (< = 1, 2, 3, 4), die Glei- 
chungen dieser StraUen, wo die ^ den Teilverhaltnissen pro- 
porfcioDal sind (N*r. 85). 



Projektivitat und Involution am Eegelschnitt. 89 

Ferner stimmt das Doppelverhaltnis der Punktreihe ? die 
in der Tangente ft von den Tangenten ^ 1} ft 2? fi 3 , ^ 4 ausge- 
schnitten wird ? iiberein mit dem DoppelveiMltnis des zu ihr 
perspektiven Strahlenbtischels aus A$. Die Gleichungen dieser 
Strahlen sind aber (Nr. 295) 



also ist das Biischel zu dem tiber den Beriihrungspunkten 
aus dem Punkte p beschriebenen Biisehel projektiv oder 
doppelverhaltnisgleich (Nr. 86). 

Der Parameterausdruck (9) des Doppelverh'altnisses hat 
nun nach Nr. 93 die Eigenschaft ; dann und nur dann un- 
veranderten Wert zu behalten, wenn man jeden Parameter ft 
durch eine lineare gebrochene Funktion je eines neuen Para- 
meters p ersetzt. Demnach gehoren die Parameterwerte 

/ i c & '+ d f f . 

li und ^^^-^p^ (p =_oo.... + 3c) 

zu homologen Elementen in projektiven Punkt- oder Tan- 
gentensystemen an dem gegebenen Kegelsclinitt (Nr. 288). In 
dieser Parameierdarstellung definiert also die allgemeine bilineare 
Gleichung a{ip + hp + cp'+ d = die ProjeMivitat, die sym- 
metrische Gleicliung ajjb^+ l({t + pf) + d == die Involution 
auch in Punktreihen zweiter Ordnung und Stralileribusclieln 
livelier ILlasse. Offenbar gilt das erste selbst dann, wenn die 
homologen Parameter in versebiedenen Eegelschnitten ge- 
deutet werden. 

B. l) Wenn Tier Strahlen dureh einen Punkt A% gezogen 
werden, so ist das Doppelverh^ltnis von "vieren Hirer Schnittpunkte 
|U 1? fio, ft 3 , f*4 mit dem Kegelschnitt dem DoppelverMltnis der 
iibrigen gleich. 

Denn deren Parameter sind dann ^ ^ 2 , ft 3 , ^. 

2) Die Seiten eines Dreiecks drehen sich um feste Punkte A, 
Sj C, wahrend die Endpunkte a, 6 der urn C sich drehenden Seite 
auf einem die Punkte A und B enthaltenden Kegelschnitt fort- 
rucken; der Ort der freien Ecke 7" ist ein Kegelschnitt durch A 
und B. 

Denn fur vier Lagen des beweglichen Dreiecks ist nach 1) 
(aaW") Q>WV") 9 oder (A - aaVV") - (S - bVV'V"), 
daher auch 

(A - VY'VY"*) - (J5 VVV'T"). 



90 XVT. Besondere homogene OHeichungsfonnen zweiten Grades. 297. 

3) Hob en gwei KegdschniUe erne doppette Serilhnmg mitein- 
ander, so i$t das DoppelverMltnis von vier PmUen, in dmen vier 
Tangenten des einen den andern schneiden, dsm Doppelverhaltnis 
ihrer vier andern SclmittpwMe und dem der viw Bertihrmgspunltte 



Denn der Ausdruck fur das Doppelverkaltuis bleibt nngeanderfc, 
wemi man jedes ft entweder mit tg <p oder mit cot cp multipliziert 
(Nr. 294). 

297. Das Ergeugnis projeUiver Purikt- oder Tangenten- 
systeme eines Kegelschnities ist ein dopyelt bertihrender Kegel- 
scknitt. Man kann den Satz auch so anssprechen: Sind drei 
Punktepaare (Tangentenpaare) JL, J.'; 5, B'; 0, C r eines Kegel- 
schnittes gegeben, so umhiillt die Verbindungsgerade (durcli- 
lauft der Schnittpunkt) DD' einen Kegelschnitt, der den ge- 
gebenen in den Doppelelementen beruhrt ; falls { ABCD] 
{A'JB'C'D'} gemaciit wird*) 

Aus der bilinearen Beziehung 

(10) a MI + 6^ + Cfi + d = 0, 

deren Koeffizienten von den Parametern der gegebenen Ele- 

mente abhangen ; und der Gleichung ^^^-(^ + ^')^s + % ^ 

der Sebne (Nr. 291) ; eliminiert man // und erhalt 

^(6^ + flff*) + ^ { dx l + (c V)x% a% 3 } (dx 2 + c%) 0. 

Diese Gerade berahrt aber (Nr. 292) immer den Kegelschnitt 

4(6a? t + ax%)(dx 2 + cx%) + { dx + (c fyx 9 ax B }*=*0 
oder in leichter Umformung 

4(bc &<#)(#!% x/) + {d%i + (6 + <?)^ 2 + a #3 1 8= * 0. 

Derselbe hat 7 wie seine Gleichung zeigt (Nr. 258), mit 
%i% B ^ 2 2 =0 eine doppelte Beriihrung in der Sehne d r ^ 1 + 
(6 + c}x> 2 + ax z 0, die in der Tat die durch. a^+ (6 + e)p + 
<^ = definierten Doppelpunkte der projektiven Reihen aus- 
schneidet. 

Diese Gerade liefert aber auch das Mittel zur Konstrak- 
tion liomologer Punkte der projektiren Reihen ; nach dem 

*) Umgekehrt bilden die beiden Tangenten,' die von Punkten eines 
ersten Kegelscnnittes an einen zweiten gelegt werden, an diesem nur 
dann projektive Biischel zweiter Ordnnng, wenn sicn die Kegelschnitte 
doppelt berahren. 



Konstruktion aua der Parameterdarstellung. 91 

Satze: Die Sclmitipunkte der kreu^weisen Verbindungsgeraden 
AB' } A B meier Paare homologer PunJde liegen in der Ver- 
bindungsgeraden p der DoppelyunTtfe Z^, Z) 2 ; und ebenso: Die 
V&rbindungsgeraden der ScJmittpunMe aV, ab zweier Paare Jio- 
mologer Tangenten gelien durcli den Sclmittpunld P der Doppel- 
straMen d 19 d%. Denn die Differenz der Gleiehungen der Sehnen 
/( 1; fa und faj ft/ ergibt nacn Einsetzen der Werte von /z/, t u/ 
aus der Projektivitatsgleichung (10) und nach Streichung des 
Paktors ^ 2 fi t die Gleicnung der Berfthrungssehne p. Daner 
ist p einfach die Pascalsche Gerade bez. P der Brianchonsche 
Punkt des aus irgend drei homologen Elementenpaaren in der 
Beihenfolge AB'CA'BC' gebildeten Sectsecks bez. Seehsseits. 
In Fig. 17 (S. 62) konnen als homologe Tripel genommen 
werden ACE und DFB; K ist ein Doppelpunkt, d. h. 
{KACE} = {KDFB}, denn es ist auch 

(KPNL) = (D - KACE} = (A KDFB}. 
Im Falle der Involution dagegen Widen die VerUndungs- 
geraden liomologer Punkte ein Strahlenluscliel, die Schnittpwikte 
homologer Tangenten eine Punktreihe (Nr. 288). Denn bei b =* c 
wird die bilineare Gleichung (10) zu einer linearen Beziehiuig 
zwisclien p^t' und ^ + p, den Koeffizienten der Gleictung 
der Seline iip (N"r. 52), Man erkennt den Punkt ,' | 1 als 
den Seheitel des Biiscliels, dessen Straitlen nun die Involution 
(i + n'=Q ausschneiden (a = d = 0). Also gibt es auf dem 
Kegelschnitt kerne anderen Involutionen, als senhrische Kollinea- 
iionen des KegelschniUes mit sicli selbst. Alsdann ist klar ; daB 
sich die Sehnen ji 1? fa und - ^ 1; fa auf der Beruhrungs- 
sehne x% = als Kollineationsach.se sclineiden. 

B l) In Nr 296, 2 kann die Basis des Dreiecks, statt dureh 
einen festen Punkt zu gehen, als Tangente eines Kegelschnittes 
vorausgesetzt werden, der mit dem gegebenen KegelscLnitt eine 
doppelte Berulirung hat, 

2) Wenn sich ein Winkel von konstanter Gr56e um seinen 
Seheitel S dreht, so bestimmt er in einem durch S gehenden Eegel- 
ischnitt ^ eine Sehne, deren Htillkurve ein Kegelscluritt ist, der Jc 
doppelt beruhrt; die imaginaren Beruhrungspunkte sind von der 
GroBe des Winkels unabhEngig. 

3) Sind zwei Kegelselmitte ft, Tf ahnlich, konzentrisch und Stm- 



92 XVI Besoudere homogene Gleiehungsfonnen zweiten Grades. 298. 

licli gelegen, so haben die Tangentenpaare aus den Punkten des- 
einen k an den andern die Bichtungen der Strahlen Ton zwei kon- 
zentrischen projektiven Biischeln, deren Doppelstrahlen den Asym- 
ptoten beider Kegelsehnitte parallel sind (Nr. 259). 

4) Wenn ein Yieleck, dessen Seiten alle bis auf eine durch feste- 
Punkte gehen, einem Kegelsehnitt eingeschrieben 1st, so ist die Hiill- 
kurve der freien Seite ein Kegelschnitt, der mit dem gegebenen eine 
doppelte Beruhrung hat. 

Gibt man namlich dem Vieleck, dessen Ecken der Reihe nach 
A, J3, 7, usw. seien, yier verscMedene Lagen, so ist 

* {AA'A"A'"} = {BB'B"B'"} = {CC'C"C" f } 

und das Problem ist damit auf das Problem des Textes zuriick- 
gefiinrt, liefert also auch dasselbe Ergebnis. 

5) Wenn roan die entsprecbenden Punkte von zwei projektiven 
Systemen auf deniselben Kegelscbnitt mit zwei beliebigen festen 
Punkten P, P' des namlichen Kegelschnittes verbindet, so ist der 
Ort der Schnittpunkte der, entsprechenden Strahlen ein durch P, P' 
gehen der Kegelschnitt. 

6) Man konstruiere entsprechende Elemente und die Doppel- 
strahlen zweier konzentrischer Strahlenbuschel, die durch drei Paare- 
entsprechender Strahlen gegeben sind. Auch die duale Aufgabe 
lose man. 

Durch den gemeinsamen Mittelpunkt der beiden Biischel 
legt man irgend einen Kreis, der von den Paaren entsprechender 
Strahlen auBer in noch mA,A' bez. 5, IB r bez. (7, O r getroffen wircl 
t^Fig. 30). Schneiden sich die Geraden AB' und A'B in K, AC" 
und A'C in L und trifffc die Gerade KL den Kreis in den Punkten 
S l und ^ 2 9 so sm< ^ 05^ und OS% die Doppelstrahlen der beiden 
konzentrischen Strahlenbtlschel. Trifft KL den Kreis nicht in reellen 
Punkten, so sind die Doppelstrahlen imaginar. Bei der Konstruk- 
tion des einem Strahl OD entsprechenden Strahles OD' beachte 
man, dafi sich JL'D und AD' in einem Punkte der Geraden KL 

schneiden miissen. 

7) Man bestimme die Schnittpunkte einer 

Geraden mit dem durch fiinf Punkte -4, JJ, C> 

D, E gegebenen Kegelschnitt. 

Wenn man die Punkte J., S mit den drei 

Punkten (7, D, E verbindet, so erhalt man 

drei Paare entsprechender Strahlen von zwei 
m projektiven Biischeln. Dieselben bestimmen in 

der Geraden zwei projektive Eeihen, deren Dop- 
pelpunkte die gesuchten Punkte sind. Man konstruiert sie nach der 
vorigen Aufgabe. 




Konstruktionen bei projektiven Systemeii. SchlieBungsprobleme. 93 



Fig. SI 



8) Man konstruiere die von einem gegebenen Punkte aus- 

/ ^ o o 

gehenden Tangenten eines durch ftinf Tangenten bestimmten Kegel- 
schnittes. 

9) Man bestimme die 
Asymptotenriehtungen fur 
einen durch fiinf Punkte ge- 
gebenen Kegelschniti 

298. SchlieBungs- 
probleme. UnterdenAn- 
ivendungen der vorher- 
gehenden Projektivitats- 
betrachtungen haben die 
sog. SchlieBungsprobleme 
Interesse. Bei ihnen wird ft 
verlangt, einem Kegel- 
schnitt geschlossene Vielecke ein- oder umzuschreiben, deren 
Seiten oder Ecken noch weiteren Bedingungen genugen. 

Man soil einem Kcgelsclmitt ein Vieleck einschreiben, dessen 
Seiten in bestimmter Reihenfolge durch feste Punkte der Ebene 




gehen, n ) Diese Punkte seien P 1? 



P. Wahlen wir 



willkurlich einen Punkt A des Kegelsclinittes als Ecke des 
Vielecks nnd bilden einen gebrochenen Linienzug AA 1 A% . . . 
so, daB AA l durch P 1; A^A% durch P 2 usw. gehen, so falit 
im allgemeinen der zweite Schnittpunkt A r von P }l A n _ l nicht 
mit A zusammen. Fiihren wir aber diese Konstruktion vier- 
mal aus, so ist nach Nr. 296 {ASOD} ^{A^C^} = 
* {AB'C'D'}, und das Vieleck ist geschlossen, sobald D' 
auf D f allt Man erhalt also D als einen der Doppelprmkfce 
projektiver Eeihen ? die durch horuologe Tripel J. ; J5 7 6"; 
A', B r , G f bestimnit sind. Das Problem hat daher im allge- 
meinen swei Losmigen. 

Eine analytische Losung fur den Fall des eingesclirlebenen 
Dreiecks mit den Drehpunkten A, B, C liefert folgende Betrach- 
tung. Seien 123 und 456 (Fig. 31) die beiden Losungen, also 
SG die Pascalsche Gerade yon 123456. Dann ist im Viereck 
13461 die Diagonale AL die Polare des auf SO gelegenen 
Punktes 34, 61, also sind A und L konjugierte Pole 7 auch 
geht AL durch den Pol D YOU SO. Daher sind 1 und 4 ; 



94 XVI. Besondere homogene Gleidmngsformen zweiten Grades. 298. 

2 und 5, 3 und 6 die Sehnittpunkte des Kegelsclanitts in it 
<len Seiten LM bez. M N bez. NL eines Dreiecks LMN. 
Seine Eeken*werden erhalten, indem man zun'aclist das Drei- 
eck DEF bildet, dessen Seiten die Polaren der Punkte A, 
B, C sind; die Verbindungsgeraden AD, BE, CF der ent- 
sprecbenden Ecken (Nr. 113) sclmeiden die Gegenseiten des 
Dreiecks DEF in L, M, N Die Gleichung von MN er- 
gibt sich daher folgendermaBen: Die Verbindungslinie der 
festen Punkte B, C werde als Seite x% des Koordinaten- 
dreiecks gewahlt, die Gleiclmng des Kegelscbnittes sei 
#!#$ 2 2 =0; die Geraden, die die Punkte B nnd C mit 
%i = x% verbinden, seien aa^ + ^ 3 bez. &^ + ^ = 0. 
Endlicli sei A der Schnittpunkt TOB c^ ^ 2 ==0 mit rf%~ ^ 3 =0. 
Die Yerhaltnisse der Koordinaten der festen Punkte J., B, C 
sind also 1 : c : cd, bez/ 1 : : a bez. 1 : : &. Die Po- 
laren EF, FD } DE von .4, JB, C baben die Gleicbungen 

cd^ 2ca: a + rr s = 0, aa^ ^ 8 0, J^ ^r 3 =0 
und die Geraden AD, BE, CF die Gleichungen cdx 1 x s ^ 
&)^ 2 = (6 + cd) (a a;, + r 3 ) ? 
&)# 2 = (o + cd} (bx l + n? 8 ). 

Fur die Verbindungsgerade des Schnittpunktes M von 
BE rait .FD und des Schnittpunktes N yon OJ 1 mit DE 
ergibt sich alsdann: 

c(a + V)x% ~ a6^ cdx% 0. 

Diese Gleichung wird identisch Kull ; die Konstmktion 
versagt, wenn ABC mit DEF zusammenfallt, d. h. wenn 
ABC ein Polardreieck des Kegelsclinittes ist. Es gilt dann 
unendlicli mele Dreiecke der verlangten Art. 

B. l) Liegen die Drehpunkte eines Vielecks von ungerader 
Seitenzahl, z. B. eines Dreiecks, auf einer Geraden g, so ist die pro- 
jektive Zuordnung auf dem Kegelschnitt involutorisch. 

Denn die Schnittpunkte 6r, 6r von g sind vertauschbar als 
Endpunkte des ganz in g enthaltenen Linienzuges. 

2) Liegen die Drehpunkte eines Vielecks von gerader Seiten- 
xahl in einer Geraden #, so gibt es im allgemeinen keine Vielecke 
der gewtiDSchten Art; ist aber eines vorhanden, so gibt es gleich 
uttendlich viele, iudem alsdann jedcr Punkt des Kegelschnittes als 
eine Ecke gewahlt werden kann. 



ScHieBungsprobleme. Em Polardreieck als Fundamentaldreieck. 95 

Denn Gr und (?' sind nun die Doppelpunkte, da sie als Ecken 
des in g enthaltenen Linienzuges anzusehen sind. 

3) Man soil eincm Kegelsdmitt ein Vieleck elnsc/ireilen, von 
dessen Seiten jede einen Kegelsclmitt beriihrt, der mit dem gegebenen 
doppelte Benilirung liat. Der Beweis des Textes gilt auch fur das 
allgemeinere Problem. 

4) Man konstruiere zu drei gegebenen Tangenten einen Kegel- 
schmtt, der einen gegebenen Kegelsehmtt doppelt beruhrt (Nr. 297). 

299, Die Nonnalform der Jiomogenen Gleichung eines Kegel- 
schnittes, legogew auf ein Polardreieck als Fundamentaldreiecl', 

(11) a n x^ + a^x^ + a.^ = oder 2a, n x? = 
gewalirt wiedernm den Vorzug ; einen Pnnkt der Knrve von 
eineai einzigen Parameter abli'angig zu roachen. Denn^ nnter 
der Annalime, daB a n =*= a^, a 22 = a 2 2 ? % - a^ sei ? konnen 
"wir wie in Nr. 159 setzen 

(12) a 1 rc 1 : a 2 ^ 2 : a^x B == cos <p : sin <p : 1 . 

Dann lautet die Gleichung der Sehne durch die Punkte y, 99' 
a^ cos I- (9? + <p) + tf 2 0,sin(g? + y] %^ 3 cos-|-(g) <p'\ 
und die der Tangente vom Beriihrungspunkte 9) 

(13) &J x l cos cp + a- 2 # 2 sin 9 = # 3 # 3 . 

Dalier ist die Gleichung der Tangente in #/ allgemein 

(14) #!!#/#! + %2^2 /a: 2 + %^sX ^ oder Za u -^/^= ; 
und ebenso lautet die Gleichung der Polare eines beliebigen 
Punktes x t ' (Nr. 134). Umgekehrt lehrt die Vergleichung von 

(14) mit der allgemeiaen Gleichung der Geraclen 7 dafi der Pol 
der Geraden u^ + u^ + U$X B = die Koordinaten ti t : a n j 
2/2 : a n \ u*. : a^ hat. 

Da der Pol einer Tangente ihr Beriihrungspunkt ist, so 
ist die Tangentialgleichtmg des Kegelsclmittes, wiederum in 
Normalform 

(15) OH % V + % a u ^% 2 + a u a 2S w 3 J = oder 2 -~ w/ = . 

"M* 

Sobald also % w 8 j w 8 die Kurre berfihrt, sind auch die vier 
Geraden % ! ^ 3 1 % Tangenten derselben; geradeso wie 
stets gleiehzeitig vier Punkte a^ \ < | %' die Beriihrungs- 
punkte sind. DaJier lilden die Diagonalen eines Tangenten- 



96 XVI. Besondere homogene Gleichungsformen zweiten Grades. 299. 

vierseits die Seiten eines Polardreiecks, dessen Ecken die Dia- 
gonatyunkte des Viereclcs der Seruhrungspunkte sind und urn- 
gekehrt (vgl. Nr. 66 und 261, s). 

Die Gleichung (11) erhSlt man als Gleichung einer Hull- 
kurve nach der Methode von Nr. 292, wenn man zunaehst 
in (12) und (13) statt <p einen algebraischen Parameter ein- 
fiihrt. Setzt man 



(16) tgp-p, cos 9?--, sin 9 



oder %#! : a%%. 2 : a$x B = (1 jt 2 ) : 2p : (1 -f ^ 2 ), 
so laBt sieh die Gleichung der Tangente schreiben 

(17) fi 3 (a 3 ^ 3 + a^i) 2(ia a fl; 2 + ( 3 a: 3 - %%) = 0; 
ihre gleich. Null gesetzte Diskrirainante ergibt 

(18) (fl 3 3 ~ ^^(o,^ + a^) = ajxf. 

Zugleich erkeant man den Zusammenhang der Normal- 
form o?/ 2 + % /3 = x^ mit der friilieren %^ 3 ==^ 3 2 vermoge 
der Substitution x l :sc^i X B = (^ + ix%] : ^/ : (^/ ix{). Sind 
also % = ; ^3 = konjugiert imaginare Tangenten, so defi- 
nieren a?/=0, ^=0 konjugiert liarmonische Polaren, die 
niit x* % 9 ' = ein reelles Polardreieck bilden. Reelle Ko- 

2 d 

ordinatenverh'altnisse ^:^ 2; ^:^2 li e fern also konjugiert 
imaginare ^' : x% ', x$ : x% fur einen reellen Punkt und um- 
gekehrt. Aber immer kann x^ == x^ -\- x^ gesetzt werden ? 
so daB alle Kegelsclinittsgleichungen der Form (1) in Nr. 290 
gieickzeitig durch (11) reell yertreten werden. 

B. 1) Soil die IsTormalgleicliung (11) einen Kreis darstellen, 
so nmB naeli Nr, 110 die Gerade, die den Mittelpunkt M des Kreises 
mit einem Eckpunkt des Fundameataldreieeks verbindefc, auf der 
Gegenseite" des Polardreiecks recbtwinklig sein, d. h, M ist der 
HoKensclinittpunkt dieses Dreiecks (Nr. 113). Der Mittelpunkt YOU 
(ll) hat als Pol der unendliclt fernea C4eraden Z 1 # 1 + Z 2 # 2 + ^^g^ 5 
(vgl Nr. 71 und 75) die Koordinaten l { : a a , (i = 1, 2, 3), seine 
"Verbindungslinie mit ^ = x 5 wird daher a 22 ? 3 ^ 2 a 33 Z 2 ^ a == 0. 
und diese Gerade bildet mit ^ = einen rechten Winkel, falls 
%: a 3S == ^gcosj^: ? 8 cosJ. s ist (vgl. Nr. 65, 3). Soil die Glei- 
chung (11) einen Kreis darstellen, so muB also a {i zu J^cos A { pro- 
portional sein; die Gleicbung des Kreises in bezug auf ein Polar- 
dreieek ist also bei trimetrischen Normalkoordinaten 



Em Polardreieck als Fundamentaldreieck 97 

$i \ cos A i oder x? sin 2 A i ; 

<dieser Kreis ist somit nur fur em stumpfwinkliges Dreieck reell. 

2) Die Ecken von zwei Polardreiecken ABC, al)c des narn- 
lichen Kegelschnittes liegen auf einem Ke- 
gelschnitt. 




Fig. 32. Fig. 30 



Sind c, e (Mg. 32) die Schnitte von B mit a b und Ab, ebenso 
d') e die von BG mit J.C und ac, und 0, 0' die Sehnittpunkte der 
Geraden B C mit dem Kegelschnitt, so sind cZ, JB, e bez. die Pole von 
J.C, JLC, J.e', d. L. 00' ist durch dd', J30 und ee' harmoniscli 
oder in Punktepaaren einer Involution geteilt. Infolgedessen gilt 
die Kette von Qleiehungen 

(a ^5(7c) - (^ae') = (Orf'Se) - (Bedd") - (.4 - JB5Cc), 
somit liegen a, Jl, B, Z>, 0, c auf dem namlicnen Kegelsclmitt. 

3) Sind J.J50 und abc zwei einander polar konjugierte Drei- 
ecke (Nr. 113), so ist das Sechseck AbCaBc einem Kegelsclmitt 
umgeschrieben. 

Sind J5 X , B 2 (Fig. 33) die Schnittpunkte von a c mit AC,Bb bez., 
so sind ^, 1? die Pole von B 2?, J? 3 P 2 bez., also ist BB 1 B 2 em 
Polardreieck; ebenso O f O f 1 (7 2 , wenn {7 X , (7 2 die Schnittpunkte von 
ab mit AB, Cc bez, bezeicnnen. Daher liegen nacn B. 2 die Punkte 
B^^BQ^O^O auf demselben Kegelscnnitt, und nach dem Satze 
von Pascal gehoren die Sciinittpunkte von B i B z und CjOg, von 
B%B und 2 0, von JBCj und OB t einer Geraden an, Somit genen 
Aa, Bb^ Cc durcb einen Punkt, oder AbCaBc ist ein BrianclLon- 
sciies Sechsseifc. 

4) Die Hiillkurve einer Geraden, fiir die das Produkt ihrer 
senkrecnten Abstande von zwei festen Punk ten 4; c \ konstant 
gleich 5 2 ist, hat die Gleichtmg 



1st y * mx n = die Gleichung der beweglichen Geraden, 
so wird die von der Geraden zu erfiillende Bedingnng ausgedrtlckt 
dnrch die Beziehung 
(n + mc)(n me) == & 2 (1 + w 2 ) oder 3 5 2 

Salmon-3?iedler: anal. Greoin. d. Kegelscba. II. 7. Aufl. 7 



98 5TI. Besondere bomogene Gleicbungsformen zweiten Grades. 300. 

Wegen 

% 2 = if* 

folgt 



lf- & 2 = Q 

und als Gleichung der Hullkurve zunaebst 



5) Die Hullkurve einer Geraden, ftir die die Summe der Qua- 
drate der senkrecbten Abst'ande von zwei festen Punkten konstant 
ist, hat die Gleichung 



6) Die Hullkurve, die der Differenz der Quadrate dieser senk- 
rechten Abstande entspricbt, ist eine Parabel. 

7) Eine Gerade OP drebt sicb urn einen festen Punkt und 
scbneidet eine feste Gerade in P; man soil die Hullkurve der Ge- 
raden PQ finden, die mit der drenenden Geraden den konstanten 
Winkel OPQ bildet. 

Wir nebmen an, OPbilde mit deni von auf die feste Gerade ge- 
fallten Lote j) den Winkel #; die Lange von OP ist alsdann p : cos ^. 
Das von auf PQ gefallte Lot bilde mit OP den festen Winkel j3 
und babe daber die Lange p cos jS : cos -0 1 . Da dieses Lot mit der 
ISformalen der festen Geraden den Winkel ^-f"^ bildet, so ist fur 
diese Nonnale als a^-Acbse die Gleicbung von PQ: 

x cos (& -)- ]S) + y sin (# + ]S) = p cos /3 : cos #, oder 



eine Gleicbung von der Form x l cos cp + % sin qp = # 3 . 

Die Hullkurve der Geraden ist daber 

x 2 + / 2 = (/u cos j3 + 2/ sin ]8 2_p cos |S) 2 , 
also eine Parabel, die den Punkt zum Brennpunkt bat. 

300. Die ]STormalforin (11) wird mit Vorteil bei der 
Uniersm'hung der Eigensdiaften der Brennpunkte verwendet 
(Nr. 196). Sind namlictt x = ? x% = die Normalgleichungen 
von zwei zueinander recbtwinkligen Geraden durcli den Brenn- 
punkt, wakrend % 3 = die zugeliorige Leitlinie darstellt ; so 
bilden die drei Geraden ein Polardi*eieck der Kurve (Nr. 181). 
Nimmt man dieses als Koordinatendreieck, so lautet die Glei- 
Gbung der Kurve 

(19) # 1 2 +# 2 2 =e J V bez, e\u^+ V) = % 2 , 
wo e die numeriselie Exzentrizitat bedeutet. Der Parameter q> 



Eigenschaften und Bestimmung der Breimpunkte. 99 

driiekt dann, da % = ex% cos <p , # 2 ex sin qp, also x% = o? x tg <p 
1st, den Winkel des von < | 1 ausgehenden Vektors gegen 
die Fundamentallinie x 2 = aus. 

Die Gestalt der Gleichung zeigt deutlich einerseits die 
Definition des Kegelscknittes aus Brennpunkt und Leitlinie 
(Nr, 183), andrerseits die Definition des Brennpunktes als 
Schnittpunkt zweier Tangenten absolnter Richtung, oder als 
Scheitel einer rechtwinkligen Involution harmoniseher Polaren 
(N"r. 181). Diese projektive Anschauung 27 ) liefert neue Be- 
weise fiir eine Reihe der Fokaleigenscliaften des X. Kapitels. 
So bilden die Tangentenpaare aus einem "beliebigen Punkte 
an konfokale Kegelschnitte eine Involution ; zu der auch die 
Strahlen nach den in der Schar enthaltenen Punktepaaren 
d. h. die Strahlen nach den Brennpunkten und die Strahlen 
absolnter Richtung als Paare gehoren (Nr. 180 und 289). 
Dieselbe ist daher eine symmetrische Involution (Nr. 95), und 
ihre rechtwinkligen DoppelstraHen sind die Tangenten und 
Normalen der durch den Punkt gehenden konfokalen Kegel- 
schnitte (Nr. 229). 

33. 1) Die Brennpuwkte des durcJi die allgemeine Gleichung ge- 
gebenen Kegelschnittes &u lestimmen (Nr. 196, 2). 

In der Bedingung, unter der die Geraden x x f + (y y')i = () 
die Kurve beriiliren, setzen wir den reellen und den nicht-reellen 
Teil getrennt gleich Null; dann zeigen sieh die Brennpunkte als 
die Schnittpunkte der beiden Orte 



A m xy A^x A^y + A n = 0, 

d. i. von zwei gleichseitigen, mit dem gegebenen Kegelschnitt kon- 
zentrischen Hyperbeln. Fiir die Parabel, d, i. fur -4 33 = 0, werden 
beide Gleichungen linear und liefern 

^(^23" + As ) = As As + "ST AsC^ii ~ As): 

y (As" + As") == As As ~f~ 2 As (Aa Ai )- 

Irn allgemeinen Falle sclrreiben wir die Gleichungen in der Form 

(As 57 As)" (As# As) "^ As" Ai As (As Aa As) 



As) = As As "" As As = 

7* 



] 00 XVI. Besondere homogene Gleiehungsformen zweiten Grades. 300. 
dann erhalten wir die Koordinaten #, y der Brennpunkte aus: 



flr w - a u ). 

Hier ist A die Diskriininante des Kegelschnitts und J? 2 = 
(n- 22 ) 2 +4a 12 2 . (Vgl. Nr. 152.) 

2) Die Tangenten einer Parabel aus cineni Punkte der Leit- 
linie sind meinander recMwinMicj (Nr. 211). 

Denn die Tangenten der Kurve aus dem, Pankte x l = # 3 = 
sind nach (19) offenbar durch ex% x i dargestellt. Fur die 
Parabel ist e = 1 , und diese Tangenten sind die innere und anfiere 
Halbiernngslinie des Winkels zwisehen %== und # 3 = 0. 

3) Hiillkurve einer Sehne, die am Brennpunkte einen kon- 
stanten Winkel a spannt (Nr. 196, 4), Mr konstante Differenz 
cp y == a beriihrt die Senne 

^ cos|-(g? + 9') -f 
immer den Kegelsclinitt 

4) Die Verbindungslinie des BrennpunMes mit dem Schnitt- 
$unkte zweier Tangenten ist reclitwinlilig zu der G-eraden, die vom 
Brennpunkte nacli deni ScJmittpunkfe der Leitlinie mil der Berith- 
rungsseJme gesogen wird. 

Die Gleichung der vona Brennpunkt nach dem Schnittpunkt 
der Tangenten (p', q>" gezogenen Geraden ergibt sich durch Sub- 
traktion der Gleichungen der beiden Tangenten in der Form 

x t sin $((p f + y f ) % 2 cos -\(<p r + y"} = , 

diese Gerade halbiert also den Winkel der Brennstrahlen der Be- 
riihrungspunkte (Nr. 212). Die Gerade vom Brennpunkt nach dem 
Scknittpunkt der Leitlinie und der Beriihrungsseane ist aber 

x, cos -H<p' + 9") + sin $( 9 ' + 9") = 0. 

5) Bilden die yom einen Brennpunkt gezogenen Brennstrahlen 
der Beruhrungspunkte zweier Tangenteu eines Kegelschnitts mit- 
einander den konstanten Winkel 2<J, so ist der Ort des Schnitt- 
punktes der beiden Tangenten ein Kegelschnitt, der mit dem ge- 
gebenen den Brennpunkt und die Leitlinie gemeinsam hat; seine 
Exzentrizit&t ist e : eosS. 

Durch eine Elimination findet man die Gleichung des Ortes in 
der Form (^ 2 + ^ 2 )cos 3 d = c 2 ^ 2 . (Vgl. Nr. 107, 2.) Ist dieKurye 
eine Parabel, so ist der Winkel zwischen den Tangenten gegeben, 
Denn die Tangente von der Gleichung % cos g/ + %% sin q> r # 3 = 
halbiert den von # 3 =0 und x^ cos y + x% sin q>' = gebildeten 
Winkel. Der Winkel der Tangenten ist daher der halbe Winkel 



Brennpunkts-Eigenschaften. Ort d. Brexmpnnkte b, Biischel u, Strahl 101 

zwischen den Geraden x l cos q> -f oc% sin <p = und x cos 9?" + 
# 2 sin 9"= oder gleicli ^(cp f go"); d. h. der Winkel zwischen 
zwei Tangenten einer Parabel ist die Halfte des Winkels der Brenn- 
strahlen ihrer Beriihrungspunkte (Nr. 211). 

6) Die BrennpunJcte sind die Doppelpunlde der in der grofien 
Achse dwell die Paare zusamm&ngeliMger Tangenten und Normalen 
des Kegelsclmittes I estimmten Involution (Kr. 179). Belicbige Geraden 
wid Hire Normalen durcli Hire Pole liefern dleselbe Involution. 

7) Ort der Brenwpuriltie der Kcgelsclmitte elnes BiiscJiels. 

In allgemeinerer Fassung verlangt die Aufgabe den Ort der 
Schnittpunkte der Tangenten, die von zwei festen Punkten % 0, 0' an 
alle vier gegebenen Bedingungen unterworfene Kegelschnitte gelegt 
werden konnen, oder die ihnen init einem festen Kegelsclinitt U 
gemeinsam sind. Ist n die Zabl der Kegelschnitte des Systems, die 
eine feste Gerade g berubren, so hestimmen wir die Zabl der Scbnitt- 
punkte des fraglicben Ortes mit einer durch gebenden Geraden g. 
An die sie beriibrenden n Kegelscbnitte geben von 0' aus 2 n Tan- 
genten, die g in 2 n Punkten des Ortes scbneiden; die Gerade 00' 
ist iiberdies Tangente yon n Kegelschnitten des Systems, an die von 
aus n andere Tangenten geben, die in einen wfacben Punkt 
des Ortes erzeugen. Somit ist der fragliche Ort von der Ordming 
3n, insbesondere far die durcli mer feste Pwikte geJienden Kegel- 
sehmtte mit n = 2 (Nr. 250) eine Kurve sechster Ordnnng mit 
Doppelpunkten in und (f. Fallen und <7 mit den imaginftren 
Kreispunkten zusammen, so ist der betrachtete Ort der Ort der 
Brennpunkte; fur ibn ergibt sich also eine Kurve sechster Ordnnng, 
die die imagin&ren Kreispnnkte zu Doppelpunkten hat, mit leicht 
nachweisbaren sechs anderen Doppelpunkten. 

Eine Methode fiir die Entwickelung der Gleichnng dieser Kurve 
erlautern wir am folgenden Beispiel und bemerken hier nnr, daB 
der Ort von der vierten Ordnung wird, wenn die vier gemeinsamen 
Punkte ein Parallelogramm bilden (Beweis analog wie am SchluB 
von 8). 

8) Der Ort der Brennpunkte der Kegelsclmitte einer Scliar 
(Nr. 270) ist eine die imaginaren Kreispmhte co, 00' entlialtende Kurve 
dritter Ordnung. Dies folgt fiir n = 1 aus dem Vorigen, es ergeben 
sich aber folgende nahere Tatsachen. 

Unter den dem Vierseit al)a'"b f (Pig. 34) eingescbriebenen Kegel- 
schnitten befinden sich drei Punktepaare a, a'; &, &'; c, e und eine Pa- 
rabel. Die sechs eben genannten Punkte gehoren der Kurve an. Die Pa- 
rabel hat einen endlicben Brennpunkt F und einen unendlich fernen 
F f in der die Mittelpunkte der Diagonalen verbindenden Geraden, 
die nach BTr. 270 den Ort fiir die Mittelpunkte aller Kurven der 
Schar darstellt. Da das DreieckJ^oao)' mit jedem der Dreiecke "bca\ 



102 XVI. Besondere homogene Gleichungsforaien zweiten Grades, 300. 




l'j a&c', a'&Y der Parabel umgeschrieben 1st, so sind dieselben 
Paare von Dreieeken auen je einem Kegelschnitt eingeschrieben 
(Nr. 287, 7), d. L F ist der gemeinschaftliehe Punkt der vier den 
Dreiecken uingeschriebenen 
Kreise. So kennt man bereits 
gelin Purikte der Kurve. Sie i?ig si. 

geht aber auck durch die 
FuBpunkte der Hohen des 
alien Kurven der Scnar nach 
Nr. 270 zugekorigen Pol- 
dreiseits (Diagonaldreiseits) 
A C. 1st namlich li der 
dritte Schnittpunkt der Ge- 
raden a a' mit der Kurve, so sind ha und h Tangenten eines 
Kegelsclmittes der Schar und gehoren somit zu einer Involution. 
Der eine Doppelstrahl dieser Involution 1st a a', denn diese Gerade 
1st die einzige Tangente, die man von A an den aus dem Punkte- 
paar a, a bestehenden Eegelschnitt der Schar legen kann. Der 
andere Doppelstrahl wird dureh JiA gebildet, denn A 1st der Pol 
von ad for alle Kegelschnitte der Schar; somit ist JiA die Tangente 
des durch Ji gehenden Kegelschnittes der Schar. Als Doppelstrahlen 
der Involution sind aber endlich ha a und hA harmoniseh konjugiert 
zu /^Q, JIM', d. h. zueinander rechtwinklig. 28 ) 

Wenn man die Brennpunkte eines und desselben Kegelschnittes 
der Schar als ein Paar in unserer Ortskurve bezeichnet, so ergibt 
sich nach der allgemeinen Brennpunktsdefinition der Satz : Die Yer- 
bindungslinien eines Punktes der Brennpunktskurve mit alien Paaren 
derselben bilden Paare einer Eecktwinkel-Involution. Ferner: Die 
Involutionen aus den Punkten eines Paares sind projektiv, und ihr 
Scheitelstrahl entspricht sich selbst. Oder: Die Ortshirve ist das 
Erzeugnis weier projektwer Rechtwinkel-Invdutionen mit sich selbst 
cntsprecJiendcm ScMtelstraM. 29 ). 

Urn endlieh die Gleichung des Ortes zu bilden, setzen wir, nack 
der Form der Gleichung der Kegelschnitte einer Schar g>(%, v) 
l%(u, v) = (Nr. 270), in den Gleichungen von l) A^ lA{ t fur 
-4 U> usw. und eliminieren I zwischen denselben. Man erhalt alsdann 

2A n x + A n - J M } x 



{ ^!/ - A. 2Z x - A n y + AU } 

Der Ort ist eiae Kurve dritter Ordnung, weil sich die Glieder vom 
vierten Grad gegenseitig aufheben. 



Brennpunkte einer Schar. Polardreieck fiir Busehel und Schar. 103 

1st ein Kreis in der Schar, so wird sein Mittelpunkt ein 
Doppelpunkt der Kurve. 

Sind jedoch cp(u, v) = 0, %(w, v) = Parabeln, so ist g>(w, v) 
l%(ii, v) = eine Schar -von Parabeln, J. 33 , J.^ sind Null 
(Nr. 131 und 143), und der Ort der Brennpunkte geht in einen 
Kreis fiber. Sind die Kegelschnitte konzentrisch, so dafi die vier 
gegebenen Geraden ein Parallelograms 'bilden, so werden fur den 
Mittelpunkt als Nullpunkt J. 23 , A^ J. 13? J.^ 3 samtlich Null, und 
der Ort der Brennpunkte ist eine gleichseitige Hyperbel; usw. 

301. Zwei Normalgleiclmngen. Zwei beliebige Kegel- 
schnitte haben nach Nr. 253 ein gemeinsames Polardreieck. 
Nehmen wir dieses als Koordinatendreieck, so sind die Grlei- 
chungen beider Kegelschnitte gleichzeitig in den Normalformen 
zu schreiben 
(20j ^^ 2==0 ? -2X,a, s =0 bez. 

(21) ^>-0, ^-0. 

Uberhaupt sind dann die Gleichungen aller dem Viereck der 
Schnittpunkte Ton (20) umgescliriebenen bez. clem Vierseit der 
gemeinschaftlichen Tangenten von (21) eingeschriebenen Kegel- 
schnitte von der Form 



(22) 2;(a,,-Aa;>/=0 bez. 

DaB jenes Dreieck das Diagonaldreieck des Vierecks und 
des Vierseits*) gugleich ist ; bestatigt z. B. die Elimination 
von # 3; die die Grleichung 

(23) K^ - a^X 2 - (a 33 a; 2 - 0^033)^* = 

fiir ein Paar der Scknittsehnen liefert, usw. Auch ist dies 
dadurch. ojffenbar, dafi nur in einer gemeinsamen Sehne in 
bezug auf beide Kegelschnitte dieselbe Involution harmoni- 
scher Pole ; nur an einem Schnittpunkt genieinsamer Tangenten 
dieselbe Involution harmonischer Polaren vorhanden sein kann. 
Aber im Btischel und in der Schar ist das gemeinsame 
Polardreieck nur reell, wenn alle gemeinsamen Elemente der 
Kegelschnitte gleichartige Realitatsverhaltnisse aufweisen. Sind 



*) Beim Biischel geh5rt zu je zwei Kegelsdmitten eia aiideres 
Tangentenvierseit , bei der Schar aber je ein anderes Schnittpunkt- 
viereck. 



104: XVI. Besondere homogene Gleicliungsforraen zweiten Grades 301. 

nur zwei reelle Schnittpunkte und gemeinsame Tangenten vor- 
handen, z. B. in der Seite # 3 = und an der Ecke w 3 = 0^ 
so konnen wir jene als neue reelle Fundamentalelemente hin- 
zunehmen, also x^ statt x^+x^ einfiihren (Nr. 299). 

Aber nicht nur ein Biischel und eine Sehar haben ein 
gemeinsaines Polardreieck. Fiir allgemeinere Systeme, denen 
ein solches zugehort, gilt an Stelle von Nr. 289 der Satz: 
Sat ein System von KegeLchnitten ein gemeinschaftliches Polar- 
dreieclt, so Ulden in jeder Geraden, die durch eine Ecke des 
Dreiecks geld, die ScliniUpimMe^aare der Kegelschnitte, und an 
jedem PunU, der in einer Seite des Dreiecks liegt, die durcli 
ihn gezogenen Tangentenpaare eine Involution. 

Da namlich jede Ecke in alien Kegelschnitten dieselbe 
Polare hat, so sind die Schnittpunktepaare in jeder durch die 
Bcke gezogenen Geraden harmonisch getrennt durch dieselben 
zwei Punkte, namlich die gewahlte Ecke und den Schnitt- 
punkt init der Gegenseite; dies sind also die Doppelpunkte 
der Involution; ebenso dual. 

So wird z, B. eine Kegelschnittschar von jeder Geraden, 
die durch einen Diagonalpunkt des urageschriebenen Vierseits 
geht ; in einer Involution geschnitten, in der die Gegenseiten- 
paare des Vierseits konjugierte Punkte enthalten. Analoges 
gilt beim Kegelschnittbuschel von den Tangenten aus einem 
Punkte in einer Diagonale des eingeschriebenen Vierecks. 

B. 1) Der Ort des Pols einer Geraden Zu^ = in bezug auf 
einea Kegelschnitt, der die vier festen Punkte x \ + %% \ ;r 3 ' 
entbalt, ist (Nr. 289, 14) u^x^x^ + u^x^x^ + t%r 3 /2 ^ 1 a7 2 ==0. 

2) Der Ort des Pols einer Geraden Zu^ = in bezug auf 
einen Kegelsehnitt, der vier feste Geraden a^ + a%3C% + a 3 iC 3 = 

Diese Beispiele geben auch den Ort cles Mittelpunktes als den 
des Poles der unendlich fernen Geraden. 

3) Man soil den Ort der Spitze eines Dreiecks bestimrnen, 
dessert Basisecken sich langs des Kegelsclmittes a il x^ J r a^x^= a 33 x^" 
bewegen, wShrend seine Seiten einen anderen Kegelsehnitt sc^ 
f r s -= iT 3 2 beriibren, 30 ) 

Wie in Nr. 107, 1 siad die Koordinaten des Schnittpunktes 
der Tangenten in den Punkten g^, 9? 3 



cos 



Kegelschnitte mit gemeinsamem Polardreieck 105 

and die Bedingungen des Problems Hefern zuerst die Gleichung 



oder (a u + a 22 a 33 ) + (a n - a n 33 ) cos ^ cos 973 

4* (%2 <% # n ) sin^ sin g? 3 = 0. 
Ebenso (% -f- 6/ 22 a S3 ) + (a n ~ a& a 83 ) cos <p 2 cos g? 



Pur die Koordinaten des Punktes, dessen Ort wir suchen, bestehi 
nun die Proportion 



: X 2 : OC B cos ^ % : sn ^ + g? 2 : cos - 9?! g> 2 5 

Einfiihrung dieser Koordinaten in die letzten beiden Glei- 
cnungen und nach Elimination von 9 3 erhalt man daher als Glei- 
chiiDg des Ortes 



4) Ein Dreieck ist dem Kegelschnitt x^ + x% = ^ 3 2 ein- 
geschrieben, und zwei seiner Seiten beriihren den Kegelschnitt 
" ^22 ^s 2 #33#3 2 ; dann ist die Hiillkurve der dritten Seite 



5) Wenn zwei Kegelsohnitte U und V ihre gemeinschaftlicben 
Tangenten -4, J3, C, D in den Punkten a, &, c, t?; a', &', c', d' be- 
riihren, so hat ein Kegelschnitt $, der durch die Punkte a, &, a 
geht und D in cT bertihrt, zur zweiten Schnittpunktsehne mit 7 
die Gerade, die die Schnittpunkte yon A mit 6c, von jS mit co- 
und von (7 mit ab verbindel 

Schneidet der Kegelschnitt F die Gerade al) in a, /?, so ge- 
horen nach dem Satze des Textes, da al) einen Diagonalenschnitt- 
punkt von AS CD enthalt (Nr.261, s), a&, ajS zu einer Involution^ 
in der die Schnittpunkte von a~b mit G und D konjugierte Punkte 
sind. Nach Nr. 289 schneiden aber die gemeinschaftlichen Sehnen 
von 8 und V die Gerade a 2? in Punkten, die zu derselben Involu- 
tion gehoren, in der die Schnittpunkte von al) mit S und 7", d. h, 
a, 5; a, jS entsprechende Punkte sind. Ist daher D die eine der ge- 
meinschaftlichen Sehnen, so muB die andere durch den Schnittpunki 
von C mit a 5 gehen. 



106 3TI. Besondere homogene Gleichungsformen zweiten Grades, 302. 




Fig 35 



6) Einem Dreieck ABC wird eine Ellipse eingeschrieben, die 
die Seiten des Dreiecks in ihren Mittelpunkten a,l,c beriihrt; 
ferner seien a, &', c f die Beriihrungspunkte des dem Dreieck ein- 
gescliriebenen Erases. Beruhrt als- 
dann die vierte gemeinschaftliche 
Tangente D des Kreises und der El- 
lipse jenen in d\ so berflhrt auch der 
durch die Mittelpunkte der Seiten 
gehende Kreis den eingeschriebenen 
Kreis in d' (vgl. Fig. 35). 

Naeh 5) beriihrt ein durch a, 
&, c gehender Kegelschnitt den Kreis 
in d\ wenn er auch durch diePunkte 
geht, in denen der Kreis von der Ver- 
bindungslinie der Schnittpunkte von 
BC init &c, von CA mit Cfl, von 
AS mit al geschnitten wird. Diese 
Gerade ist aber in unserem Falle un- 
endlich. entfernt, der berdhrende Ke- 
gelschnitt also auch ein Kreis. So ergibt sich der Peuerbachsche Satz 
von der Beruhrung des durcli die Seitenmitten des Dreiecks geheii- 
den Kreises (Nr. 73, a) mit den die Seiten berfthrenden Kreisen als 
ein besonderer Pall 31 ) von 5). 

Der Punkt d' und die Gerade D konnen ohne Zeichnung der 
EUipse konstraiert werden. Da namlicn die Diagonalen eines ein- 
geschriebenen Vierecks und des entsprechenden nmgeschriebenen 
Vierseits sich in einem Punkte schneiden, so gehen die Geraden 
al, cd] a'b'i c'd' und die beiden Verbindungslinien der Ecke A 
mit dem Schnittpunkt von JSC und D sowie der Ecke B mit dem 
Schnitt von GA und D durcli den n'amlicaen Punkt. Sind also 
a, jj, y die Schnittpunkte von ~bc, 6V; ca, ca\ al), a"b r bez., so 
sehneiden sich die Geraden fl'a, l f $, c'y in d', Oder mit anderen 
Worten: das Dreieck a fly ist mit a&e, a! tic Mr die Mittelpunkte 
der Homologie rf, d r perspektiv. In derselben Weise ist das Dreieck 
ufiy mit ABC perspektiv fur die Gerade D als Achse. 

302. Kegelschnitte dtircli drei Punkte. ISFeben den bis- 
herigen sind noch andere besondere Gleichungsformen YOU 
Wiehtigkeit Zuniichst gehoren hierher die Gleichungen der 
einem Dreieck umgeschriebenen und der ihm eingescliriebenen 
Kegelsclinitte ? wobei die Gleichungen der ersten in Punkt- 
koordinateE naturlich dieselbe Gestalt haben wie die Grlei- 
ehtmgen der letztgenannten in Linienkoordinaten. 



Satz von FeuerbacL Kegelschnitte durch drei Punkte. 107 

Die Gleichung eines durch die Schnittpunkte der Geraden 
^ = 0, #3=0, ^ 3 =0 gehenden Kegelschnittes ist offenbar 

(24) OnW + OuW + auW-0, oder 3tt + fe+4i-0. 

Schreibt man die Gleichung in der Form ^3(^3^ + %^) 
+ 0^ #!#,,= 0, so erkeant man ? daB # 3 = die Kurve in den 
getrennten, %a? 2 + %^i = also in den zusammenfallenden 
Schnittpunkten derselben mit x l nnd x% = schneidet. 
Auf diesem Wege gelangt man zur Erzeugung der Knrve aus 
projektiven Biischeln oder zur Parameterdarstellung. Werden 
zwei Dreieckseiten ? z. B. x 1 = und ^ 3 0, als homologe 
Strahlen genonimen ? so entspricht der dritten Seite ^ 2 =0 
die Tangente in einem ihrer Bndpunkte, 

Daher sind die Gleichungen der Tangenten in den Ecken 
des Dreiecks 

(25) ^.4.3^0, -^- + -^=0, ^-+.3-^=0. 

V J a*l % 2 ' % 2 23 ? 38 Obi 

Die Schnittpunkte dieser Tangenten mit den Gregenseiten liegen 
offenbar in der Seraden 32 ) (Nr. 276): 

(26) A + 3 + ^ = 0. 

"2S fl 81 "18 

Ftir die Verbindungsgeraden der Ecken mit den entsprechen- 
den Eckpunkten des durch die Tangenten (25) gebildeten Drei- 
ecks erhalt man 

(27) s __ 3_ ^ Q 3_ _ 51, ^ Q 3. _ f_2 ^ Q. 

^ 8I 1S ; fl lS 23 ? 2S 81 ' 

diese Geraden schneiden sich in einem Punkte (Nr. 113). 33 ) 
Die Gleichung der Verbindungsgeraden zweier Punkte 
x l> %i der Kurve kann geschrieben werden 84 ) 

(28) -5*-*^ + -^a* + -^77^3 - 0, 

v J i i %% x % x $ x & 

weil (28) fflr x l = x! oder o? t = x" in die Kurvengleichung 
iibergeht. Daher hat die Tangente im Punkte x? die Ko- 
ordinaten 

Wj ~T i; % = ^, t( fi = ^4 

und die Gleichung des umgeschriebenen Kegelscbnittes in 
Linienkoordinaten lautet 



108 XVI. Besondere homogene Gleiehungsformen zweiten Grades. 302. 

(29) (% Mi)"'" + (% ^2)""" + ^12%^ ^ 

oder in rationales Gestalt 

(^OU) ^gs^^i*' ~*~ ^31 ^'2 ' 12 3 

*>/y o / ? 1^ ^(l (J <U$ti 2 dnn Qn* U lln isss 0. 

FaBt man in (24) die Koeffizienten a 28 , a- 31? a 12 als vollig 
willktirliche Parameter auf, so stellt (24) ein besonderes System 
von oo 2 Kegelsclmitten, ein besonderes Kegclsclinittnete dar 
(Nr. 271). 

Unter den Kurven dieses Netzes befinden sich unendlich 
viele gleieliseitige Hyperbebi, die ein Busctel bilden (Nr. 165, s) 7 
und unendlicli viele Parabeln ? aber nur ein Kreis, Die Glei- 
ciiungen dieser Kurven konnen leicht dargestellt werden, so- 
bald wir die x l als Dreieckskoordinaten auffassen ; wie in den 
Beispielen. 

B. 1) Die GleicHungen der dem Koordinatendreieck umge- 
schriebenen gleicliseitigen Hyperbeln geniigen ftir A. als Gegen- 
winkel der Seiten x l *= bei Benutzung von Normalkoordinaten 
der BedicguDg % cos A l + a 31 cos A% + a 12 cos A B = (vgl. Nr. 7S 
und 255, 2). 

2) Die umgesckriebenen Kegelschuitte sind Parabeln, falls die 
Bedingung (a 23 sin^)^ + (#31 sin^ 2 )^" + (a 12 sm^ s )^ ==> erfullt ist. 

sin A* 



Man beachte (29) und die Tatsache, dafi sin^ ! sin A 
die Koordinaten der unendlieh fernen Geraden sind. 

3) Die G-lciclnmg des umgesclmebenen Kreises lautet 

Setzt man in die Gleichung (24) ftir x i den Ausdruck ttGosct. 
+ 2/sina^ ^^. ein, ordnet man nacli a?, y und wendet die Kriterien 
von Nr. 97 an, so iiinfi 

sein, also sind a. n , a qi . a, zu sin (a,, or,), sin(cr aA sin (cc* 9 ) 

' tiSt' 01' IA \)a o/' \o I/' -"*" ^^"l 2/ 

oder zu sinyl 1? sin-4 g , sin^ 3 proportional. 

Die geometrische Bedeuttmg der Gleichung liegt in dem Satze: 
Die Fufyunlde P, Q f E der von etnem PimJcte des umgeschriebenen 
Kreises aitf die Dreieckssciten gefaUten Lote liegen in einer Gre- 
radm. Denn fur ganz icillMrllcIie Lage von ist ^^sinJ^ 
offenbar das Doppelte vom Inhalt des Dreiecks POQ, dessen Winkel 
bei je nacli der Lage gleieli A s oder gleich 180 -4 3 ist; 
ebenso ist jfj^sin^ 2-J?OjP, ^^sin^^ 2-QOR, also deren 
Smnme = 2 PQS, Diese verschwindet, d. h. PQ E ist eine Ge- 
rade, wenn auf dem Kreise A t A^A B liegt. Die Gleiclmng x^ sir 



Kegelschnitte durch drei Punkte oder an drei Tangenten. 109 

sin Ji 3 -f- jc t j\ 2 sin A B = konstant stellt ferner einen mit dem 
urageschriebenen konzentrischen Kreis dar (Nr. 97), 

Da sin J. 1? sin^g, sin^ 3 den Langen Z n 7 2 , Z 3 der Seiten des 
Koordinatendreiecks proportional sind, kann die Gleicliung des um- 
geschriebenen Kreises auch in der Form 

^#2 % + I^x d x 1 + L t x 1 x^ = 
geschrieben werden. 

303. Kegelschnitte an drei Tangenten, Dual entsprecliend 
muB die Gleichung des einem Dreiseit mit den Ecken ^ = 0, 
^ 8 = ; U B = eingescJiriebenen Kegelschnittes in Linienkoordi- 
naten lauten 

(31) a t w 2 z% + a 2 i/8 Wi + % i3 = oder ~ + ^ + ^ = - 
Die Gleichung des Schnittpunktes zweier Tangenten n t ', u" ist 

(32) -^L-MI + -^ - w s + -- ?/ w, = 0. 

! % ^2 % ^3 ^3 

Fur zwei aufeinanderfolgende Tangenten 2^'= u" definiert sie 
den BerutLrungspnnkt mit den Koordinaten 

ct, a., cfo 

/y - _ _ t_ /v , __ .- . /y _ . ? . 

tA/-J -^ f f * Kt/g - /> 4 Kt'O ~~~ /J> 

1 Wj_ 2? J W 2 - ; Zf 3 " ? 

die daher die Orfcsgleichung erfullen 

(33) (a^ + fax$ + ( a ^ - - 

In rationale! Form erhalten wir daher die Gleichung der 
dem Koordinatendreiseit eingeschriebenen Kegelschnitte: 

(34) ^V+^V+flsV 

2a 2 a 3 rr 2 ir s 2a 3 a 1 ^ 3 ^ 1 2a i a^x i x, i = 0. 

Man bestatigt dies direkt dadureh ? daB bei Nnllsetzen einer 
Veranderlichen die linke Seite der Grleiehung ein vollstandiges 
Quadrat wird ; also x i = die Kurve in ztisammenfallenden 
Punkten schneidet. 

Schreibt man die Gleichun in der Form von Nr. 291 






so erweisen sich %=0 nnd 2%^ t + 2a 2 # 2 a 3 %= als 
Tangenten mit der Beruhrungssehne a^ & s $ 2 = 0. Wir 
konnen also ebenso wie dort einen Parameter 1 durch a^ 
a 2 ^ 2 = I a 3 % einfiihren nnd erhalten 
(35) o^ : a 2 ^ 2 : a s ^ 3 - (A + I) 2 : (A - I) 2 : 4. 



110 XVI. Besondere bomogene Gleicbungsformen zweiteu Grades. 303. 

Unter den Kegelschnitten dieses Systems sind ausge- 
zeichnet die Schar der Parabeln 35 ) and die vier dem. Dreiseit 
erageschriebenen Kreise. 

B. 1) In dem umgescbriebenen Dreiseit ist 1 : a t 1 : a 2 j 1 : 3 
der Briancbonpunkt tmd %% + a 2 ^ 2 + a s x B ^ dessen Harmoni- 
kale oder die Pascalscbe Gerade des Dreiseits (vgl. den ScbluB des 
Textes von Nr. 276). 

2) Die Gleicbung der Sehne x'. x>" des eingeschriebenen Kegel- 
schnittes ist 36 ) 



^ v + vv ) ^ - o. 



3) Wie lautet die Gleichiuig des Kegelscknittes, der fiinf Ge- 
raden x t == 0, %% = 0, % = 0, -Se^ = 0, -Sa/a:, == beriihrt? 



Sie ist ( a i x i} + (%%) + (^3^3)= 
mit den Bedingungen for a 1? a 2 , 3 : 



Also ist 



Insbesondere fiir Zx t nnd 2^ + # 2 a? 8 ~ als vierte 
imd fiinfte Tangente ist der Kegelschnitt 



l 1 \ / _J_ 1 \ . / 1 1 \ 

, ~, I ! I ~~ ~~7 " f I I 1 / ;; I 

cc 2 K s KI a s / \or 3 1 !/ \<*i<* 2 ^ a 2 / 



4) Die Gleiclrang des Kegelscnnittes , der die Seiten des Ko- 
ordinatendreiecks in ihren Mittelpnnkten berukrtj lantet in trime- 
triscben Normalkoordinaten 



5) Die Grlekliung des dem Dreieck innerlich ehigeschriebenen 
Kreises lautet in trimetrlschen Normalkoordinaten 



cos IfrAi ]% -f cos -|-4 2 - 1^2 + c os-|^L 3 ]/x 3 = 0. 

Der Mittelpunkt des dem Koordinatendreieck eingescbriebenen 
Kreises bat die Koordinaten ^ : '$% : 3 == 1:1:1; andererseits bat 
der Mittelpunkt des Kegelscbnitts 0,^11$ + c^u B u 1 + a 3 %^ 2 = 
als Pol der unendlicb fernen Geraden ^^+^^4-^=0 die 
Koordinaten | t : fe: | 3 - (a^+ 3 ? 2 ) : (% Z i 
So ergibt sich 



Kegelschnitte an drei Tangenten. Pleonastische Koordinaten. Ill 
und bei Einfiihrung von 2Z = l t + 7 3 -f- / 3 folgt 

a . a . a ^i /j__ i \ . j /j __ i\ . / (2 __ / \ _. LzA ; Lui . inl* . 



Mit Bucksieht auf cos 2 -^--^ = p= -- usw. bat man auch a i : a^i <% 

= cos 2 -^-^ : cos 2 ,^ 2 : cos 2 -| J 3 ; nach (33) erhalt man daher als 
Gleichung des eingeschriebenen Kreises 

Die Gleichung des in ^ = iiuBerlich bertihrenden Kreises 
gelit aus der vorigen hervor, indem man das Yorzeichen von ^ 
andert und A%, t -4 3 durch ihre Supplements ersetzt; sie lautet also 

6) Die Gleichung des eingeschriebenen Kreises entsteht fol- 
gendermafien 87 ) aus der des umgeschriebenen. 

Sind ^'= 0, /= 0, ^3'= die Seiten, 4u A'? A' ^ ie 
Winkel desjenigen Dreiecks, das die Beriihrungspunkte des dem 
Koordinatendreiseit eingeschriebenen Kreises zu Ecken hat, so ist 
nach Nr.302, 3 die Gleichung dieses Kreises ^x^sinA^+XQ^'smA^ 
+ tf/o/sin-Ag' = 0. Aber nach Nr. Ill lautet diese Gleichung, be- 
zogen auf die Dreiecke A^A^A^ A^A^A^ A^A^A^ auch x^^x^ 
bez. ^ 2 ' 2 == #3^ bez. ^/ 2 =%^ 2 . Man beaehte noch J./==^-(180 JL-). 

304. Pleonastiselie Yiererkoordinaten. Die Gleichung 
des einem Yiereck umgeschriebenen Eegelschnittes (Nr. 279) 
gestattet, manche Probleme durch Beziehungen zwischen den 
Abstanden s z eines Punktes Ton den Seiten des Yierecks aus- 
zudriicken, wie die Beispiele 1 5 zeigen. 

Da zwischen irgend yier linearen Funktionen, die nach 
Teil I, Nr. 69 den eben erwahnten Abstanden proportional 
sind, eine lineare homogene Identitat (Nr. 67) besteht ? sind 
die 5, nicht unabJiangige homogene Koordinaten, sondern durch 
eine Identitat untereinander verbundene Yeranderliche. Sie 
bilden so ein erstes Beispiel fur pleonastische Koordinaten- 
systeme, d. h. ftir solche, die tLberzahlige Yeranderliche ent- 
halten. Uin die Yerwendung zu Yereinfachen, nehmen wir 

symmetrisclien Identitat 

d. h. die Gleichungen der aufeinander folgenden Seiten abybof, 
a,'V, Va eines Yierecks sollen ^ = 0, o? 2 = 0, ^ 3 =* 0, # 4 = 



112 XVI. Besondere homogene Grleichungsformen zweiten Grades. 304. 



sein ? wo aber in den x b geeignete konstante Faktoren implizite 
zu denken sind. An die fruheren Dreiecksfcoordinaten (Nr. 88) 
knfipft diese Auffassung dadnrch an ; daB x 4: ^=(x i +x^-\-x B ) = 
die Einbeitslinie im Fundamentaldreieck der ubrigen darsteilt. 
Alle homogenen Gleichungen zwischen den vier a?/ konnen 
ohne Anderuug der Bedeutung dadnrch umgeformt werden, 
da8 man ein Vielfaches einerPotenzderKoordinatensumme (36) 
hinzufugt So ist die Gleichung einer beliebigen Geraden: 

(37) ftj x l + u 2 x z + %% + % 4 = 
oder 

(37 a) (HJ - w 4 ) x i + (w s - w 4 ) % + (w s - e 4 ) ^ 3 == . 

Man erhalt fur die Tangente ini Punkte x' % des Kegel- 
schnittes XiX$ /r^,^ 4 == 0, indem man znerst durch Elimina- 
tion Ton x^ auf Nr. 135 zuriickgelit, scilieBlich die Grleiclinng 

(38) x B f x i + Xi'xs 1s(x^x 9 + Xt'x^) == 

mit der Bedingting x t 'x B f Tcx^x^ = ; also dnrch Elimina- 
tion Yon It die Gleichung der Tangente eines Punktes in bezug 

auf Tier feste Punkte ^ - ^ + & - -% = 0. 

3C-^ SCet CCr^ 05^ 

Soil sie mit einer willkiirlichen Greraden (37) zusammen- 
fallen, so mufi 

(u l + tyx i '= (iii+ A) a?/ - (U B + ty% 3 '^~~~ (w 
oder konstant sein. Eliminiert man sc f dnrch 



so liefert die Determinate der ersten drei Gleichnngen, fiir 
/; nnd G als Unbekannte, naeh leichten Umformnngen 
(39) ( MI - w s )( t - 4 )^' s (M, - ^(uj - wja?/ 8 - 

als die Gleichung der bei- 
denGeraden ? diedieBertih- 
rnngspunkte der beiden 
Kegelscbnitte des Systems 
ala'V (Fig. 36) in der 
Tangente mit dern Punkte 
c, dem Schnittpunkt von 
x l = oder ab nnd % B = 




Fig. 86. 



oder a'J' 7 Terbinden. 



Pleonastische Koordinaten. Mittelpunkte der Kurven einer Schar. 113 

Man hat also den Satz: Wenn der ScJiniUpunM von ewel 
gemeinschafflichen SeJinen gtceier Kegdsclmitte mit den Beruh- 
rmgspunkten einer gemeinscliaftlichen Tangenie durcli Geraden 
ver'bunden wird, so entstelit ein harmonisches Siiscfiel. Dies 
folgt aucli aus dem Satze von der Involution in der Trans- 
versale eines Kegelschnittbuscliels, wenn man das Sehnenpaar 
als einen seiner Kegelselmitte betrachtet (Nr. 289). 

Insbesondere ist die Tangente von o^g &# 2 # 4 = im 
Punkte re/ = # 2 ' durcli x l + /^ 2 = ausgedriickt nnd 
bildet also fur & = 1 mit den anstofienden Seiten uncl der 
Diagonale # x + % des Vierecks ein harmonisci.es Buschel. 
Den vier Geraden entsprechen daher in den Ordnnngen^rg^^, 
# 2 #30?! #4, x &!%%% die drei Kegelschnitte 

X-^ XQ ~j~ 3C< X^ == v 5 <x/2 OC ^ ~p iZ'g I// ^ ^ U ^ 5/g ^/g ~y~ OC-^ CC^ === U 

als solcie, deren Tangenten in den Ecken des Vierseits mit 
den Seiten und der Diagonale ein harinonisehes Biischel bilden. 

B. 1) Ort der Mittelpunkte der Kegelsclinitte einer Schar. 3[ j 
Es seien s i = (x cos a t . + y sin c^ $J == , i = 1 , 2 , 3 , 4 die 
IsTormalgleichungen der gemeinsamen Tangenten in recbtwinkligen 
Koordinaten, und & sei der Winkel der Hauptaehse eines der Kegel- 
schnitte gegen die as-Achse. Alsdann sind +(a i #) mit ^ = 1, 2, B, 4 
die Winkel der Hauptaehse gegen die Lote der Tangenten. Bedeuten 
die in s i enthaltenen x y die Koordinaten des Hittelpunktes, so ist 
nach Nr. 167, 1 

5. 2 = a 2 cos 2 (a,~ ) + & 2 sin 2 (c:^ 6-), 

= (cf cos 2 ^ + & 2 sia 2 ^) cos 2 c^. + 2 (a 2 5 2 ) cos & sin $ cos a. sin 



Vier Gleichungen dieser Form erlauben die Elimination der 
Unbekannten a 2 , 5 2 , -O- 2 oder der Aggregate 

s^gin^, (a 2 & 
Das Eliminationsergebnis ist 



I j $!*, cos 2 ^, cosc^sin^, 



coscv 2 , 

cos 2 of 3 . cosor 3 sina 37 sin 2 a 3 J 



| $, cosa 4 , 
-oder entwickelt A^ + A 2 s^ + J1 3 5 3 2 f A^s^^ fiir ^ als le- 

S aim on-Eiedler, anal Geom. d. Kegelschn. II. 7.Aufl. 8 



114 XYI. Besondere hoinogene Gleichungsformen zweiten Grades. 304, 

kannte Konstanten. Diese Gleichung ist aber nur scheinbar vom 
zweiten Grade; denn die s? geben entwiekelt als Koeffizienten YOU 
$ 2 die cos 2 ^, so daB, well diese mit einer Spalte der Determinants 
iibereinstimmen, der Faktor von # 2 versehwindet. Auf analogeWeise 
verschwinden die Koeffizienten von xy und / 2 . Der gesuchte Ort 
ist daher eine Gerade (S. 34). 

Hire geometrische Bestimmung hangt von dem Umstande ab t 
daB die Polare eines beliebigen Punktes in bezug auf irgend einen 
Kegeischnitt B^* + B&* + - 3 s 3 2 + ^ = durch JViV 
+ J? 2 v/ + AW + AW " tfargestellt wird (vgl STr. 307) 
und somit die Polare von s^ | S 2 durch % | 5 4 gebt. Wenn aber, wie 
im jetzt vorliegenden Palle, ein Kegeischnitt durch das Verschwinden 
der hochsten Glieder seiner Gleichung in eine Gerade iibergeht, so 
ist die Polare eines Punktes eine zu ibr parallele Gerade in der 
doppelten Entfernung von dem Punkte (Nr. 137). Die durch die 
erhaltene Gleichung dargestellte Gerade halbiert daher dieVerbin- 
dungslinien der Punktepaare s 1 s 2 , s% \ s^ s t l s% , 5 2 j s 4 ; s 1 s^ s% I S B . 

Wenn umgekehrt in irgend einer Eorra die Gleichungen s* = 
von vier Geraden gegeben sind, so kann die Verbindungslinie der 
Mittelpunkte der Diagonalen ihres Vierseits zumeist am leichtesten 
gebildet werden, indem man die Konstanten A ^ so bestimmt, da& 
A^ + A 2 s^ + A%s*~ + A^s^ = eine Gerade darstellt. 

2) Die Mittelpunkte aller einem Dreiseit eingeschriebenen 
Kegelschnitte, fur die die Summe der Quadrate der Halbachsen kon- 
stant, etwa gleich A' 2 , ist, liegen auf einem Kreis. 40 ) 

Mit drei Gleichungen der Seiten des Dreiseits von der Form 
derjenigen in l) ist 

a *+tf=*tf=~ (a 2 cos 2 ^ + 6 2 sin 2 #) + (a 2 sin 2 -9- 
als vierte zu verbinden; das Ergebnis der Elimination ist 



cos 2 ^ cosc^sina-j 





' 



oder B l s^ + S 2 % 2 + j$ 3 5 3 2 + B 4 = . 

Man erkennt wie in 1), daB der Koeffizient von xy ver- 
schwindet, und daB die Koeffizienten von a? 2 und y* einander gleich 
sind. Der Ort ist somit ein Kreis, Wenn aber die Gleichung E^* 
+ $ 2 > 2 + JV 3 2 = einen Kreis darstellt, bezogen auf ein Polar- 
dreieck, dessenH5henschnittpunkt seinMittelpunkt ist (vgl. Nr. 2 9 9, l), 
so stellt die zuvor abgeleitete Gleichung einen Kreis dar, dessert 
Mittelpunkt der Hdhenschnittpunkt des Tangentendreiseits ist. 



Mitt^lpunktsorte. Brennpunkte der Kegelaclinitte eines Buschels. 115 

3) Jeder Kegelschnitt, der zwei von den Diagonalen eines 
Vierseits harmonisch teilt, teilt auch die dritte so. 

Sind $. die linken Seiten der Gleichungen der vier Geraden, 
so ist ^AjS^ die Gleichung eines Kegelsehnittes, far den die 
Polare eines beliebigen Punktes in der Form ZA^s^ erscheint. 
Die Polare von s l \ $ 2 geht also durch s 3 > s 4 , oder die Gegenecken- 
paare des Vierseits s 1 s^s i sind dureh den fraglichen Kegelschnitt 
harmonisch getrennt. 41 ) 

Durch Verfugung fiber die KonStanten A t kann ein Kegelschnitt 
dieser Art durcn drei beliebige Punkte gelegt warden. Wenn durch 
besondere Wahl derselben drei Punkte der harmonisch konjugierten 
Paare der Diagonalen in eine Gerade E t = fallen, so liegen die 
andern in einer Geraden J57 2 =0, so daB 2A^=E 1 E 2 ist. Liegen 
jene Pnnkte unendlich fern, so sind diese die Mitten der Diagonalen. 

4) Die Mittelpunkte der beiden in einer Kegelschnittschar be- 
findlichen gleiehseitigen- Hyperbeln sind die Schnittpunkte der in 
l) gefundenen Mittelpunktgeraden mit den Tier Kreisen, yon denen 
je einer eines der vier durch drei Grundtangenten der Schar be- 
stimmten Dreiecke zum Polardreieck hat. Die Mittelpunkte dieser 
vier Kreise sind nach Nr. 113 die Hohenschnittpunkte dieser Drei- 
ecke und liegen nach Nr. 213, 1 auf der Leitlinie der ein en in der 
Schar befindlichen ParabeL 

"Uber die Mittelpunkte der gleichseitigen Hyperbeln, die ein 
gegebenes Dreieck zum Polardreieck haben, vgl. Nr. 165, 3. 

5) Ort der Brennpunkte der Kegelschnitte eines Biischels. 
Die Entfernung r. eines der vier Grundpunkte A, B, C, D 

yon einem Brennpunkte genugt nach Nr. 183 der Gleichung r z = a-x % 
J r'by i j r c (?'==!, 2, 3, 4), und durch Elimination von A : : G 
aus diesen vier Gleichungen ergibt sich 



; r s ^3 2/3 

! 4 4 2/4 1 ! 

oder dureh Entwickelung L^\ + 3&r% + -ZW 3 + -P^ = 0. Mit Biick- 
sicht auf die geonaetrische Bedeutung der Werte von L, Jf, N, P 
(Nr. 7), erhalt man den Satss 42 ) 

OA -CD+ OC-ASD** OB AOD + OD-ABC 

fur als den Brennpunkt und BCD, usw, als Macheninhalt des 
Dreiecks der Punkte J?, C, D usw. Man erkennt so, daB L + M 
+ N -f- P = sein mufi. Substltuiert man flu* die r t ihre Werte 

8* 



116 XVI, Besondere homogene Gleichungsformen zweiten Grades* 304. 

1/(i~ -^i^-p ~(y - y^fi so kommt durch die Entfernung der Wurzel- 
groBen die Gleichung des Ortes auf den sechsten Grad (Mr. 300, 7). 

6) Liegen die Grundpunkte des Biischels in einem Kreise, so 
daB nach Nr. 99 

ist, so zerfallt der Ort der Brennpunkte in zwei Kurven dritter 
Ordnung 43 ). Denn dann ist 

(L + M)(Lr^ + Jfr 2 2 ) = ($T + P)(-/W 3 2 + P>' 4 2 ) 
und (Lr + Mr^f = (Nr, + Pr 4 ) 2 , 

woraus durch Subtraktion LM (r t r 2 ) 2 = NP(r^ rj 2 hervor- 
geht, nnd diese Gleichung zerfallt offenbar in Faktoren. Jeder 
Faktor liefert mit 

Zfj + Mr a i- Nr B + Pr 4 = 

Terbunden ein Ergebnis von der Form l^\ + A 2 f 2 + A 3 ^ s = mit 
^ j. ^ 4. i s = o, das eine Kurve dritter Ordnung darstellt. 

7) Man zeige, daB die nachstehend genannten Geraden ron 
Fig. 36 die beigefugten GleichuDgen haben: 

cc : ^+ a: 3 =- oder ,^3+ C 4 = 0; a^4 : ^ 4 = ; a A : x% %= . 

Daher sehneiden sich a A und T}S in c r (7; &.B nnd cC in a'JL; c<7 
und a A in &'!?; a'J. und &B in c'(7. 

8) Die Tangenten der durch den Punkt P oder x! gehenden 
Kegelschnitte der Biischel mit den Grundpnnkten aba' I' bez. 
1)1} GC sind 



sie bilden mit den Geraden 

X l X 2 /\ 

- - , \J . 

^ re/ 3 4 

ein bannonisclies Biischel, d. h. mit den Geraden P&, P!?'. 

9) Gegeben seien die beiden Kegelschnitte x^ Jc^x^^= 
nnd ^^g Zd? 2 aJ 4 = 0, die sich in Tier reellen Punkten sehneiden. 
Ist x- der Beruhrungspunkt des zweiten Kegelschnittes mit einer 
gemeinschaftlichen Tangente beider Kegelschnitte, so bertthrt die 

f sr f m 
Gerade -S ~, + - ~? = den ersten Kegelschnitt, und die 

X i ^2 lT 8 ^4 

Beziehung -S^=0 bestimnit den Benihrungspnnkt, indem man 
zunachst <r s und x^ aus den beiden letzten Gleichungen nnd aus 
a^a'j ^bic 2 a; 4 eliminierl Dies ergibt 



Kegelschnittberuhrungen in Viererkoordinaten. 117 

| x 1 # 2 1 1 ; 

I " i = 

J J $15 #2 I ' 

! x l + # 2 , 1 , 1 

und nun ist noch die Diskriminante dieser Gleiehung zu bilden: 
Jc l,l\* l . 7 /l. 



die mit Hilfe von xx = lx%f{ in 
oder in 



umgeformt warden kann, nnd diese letzte Gleichung laflt sich er- 
setzen durch 



Hiernach liegen die vier Punkte x{ in zwei Geraden, die durch 
den Schnittpunkt von x l = X B und x% = % gehen und mit dies en 
ein harmonisches Buschel bilden, oder nach 7) in zwei Geraden 
durch Oj die mit cC und cC ein harmonisches Buschel bilden. 
Dieselbe Gleichung erhalt aber auch die Form 

+ 2 = o 



oder ^(aj/ - <) 2 + 4Z - ^(^/ + </ 

oder &(/ - <) 2 + 4 W - ?(^?/ + <) 2 ^ 

und zeigt, daB die vier Punkte a?/ in zwei Geraden aus dem Punkte 
x l == ; o: 3 = oder c liegen; sie liegen nach der Symmetrie der 
Gleichungen auch in zwei Geraden aus c'. 

Man hat also den Satz: Wenn die vier dem einen Kegelschnitt an- 
gehorigen Beriihrungspunkte der gemeinschaftlichen Tangenten eines 
Paares von K"egelschnitten, die sich in reellen Punkten schneiden, 
durch sechs Geraden verbunden werden, so fallen ihre drei Sehnitt- 
punkte mit den Schnittpunkten der drei Paare gemeinsamer Sehnen 
zusammen. 

10) Der Kegelsehnitt % 2 -f $ 2 2 + x^-{- x^= hat mit den drei 
Kegelschnitten je eine doppelte Beruhrung, die zu den durch vier 
Geraden bestimmten Vierecken abab'a, aWaa unda^Sa'a derart 
gehSren, dafi die Tangenten in den Ecken die vierten harmoni- 
schen Geraden zu den beiden Seiten und der betreffenden Diagonals 
bilden, und zwar sind die Berukrungssehnen die Diagonalen des 
Yierecks. 

Der Kegelschnitt $/ + ^ "H x ^ + ^/ ^ 



118 XVI. Besondere homogene Gleichungsformen zweiten Grades. 304. 

x 1 x% + #2 a% -f % #1 + #1 ^4 + % #4 + #s #4 dargestellt warden, weil 
(% L + ^2 + % + %) 2 subtrahiert werden kann. 

Diese Form 1st aber mit # g # 3 +- x^ + (x + # 4 )(# 2 + #3) == 
oder mit # 2 & 3 -f- %% * (#2 + %) 2 = Equivalent und zeigt, da6 
der betrachtete Kegelscbnitt mit <r 2 # 8 + ^^ 4 in der Geraden 
$ 2 -[- $ y = o eine doppelte Beruhrung hat. Ebenso ergeben sich als 
mit der obigen Grundforni aquivalente Formen: 



11) Die zw51f Kegelscbnitte 



entaalten je drei Pnnkte des Yierecks, beriihren zu zweien in jedem 
dieser Punkte die Nacbbarseiten des Vierecks und gehen zu dreien 
durcn die acht Punkte, die die Seiten des Vierecks mit dem Kegel- 
sclinitt E$f = gemein naben. Die Seite x = scbneidet diesen 
inPunkten, fiir die zugleicli a? 1 +a? 3 +a? 3 =0 und x^+x^x^+x^^O 
ist, die also den Gleichungen x^^x^x^ ^ 2 2==;/ 3^i? ^^x^ ent- 
sprechen. 

12) Die Gleichung des Kegelsclinittes, der die vier Funda- 
mentallinien und die Gerade a^ + ^ 2 %+ %a? 3 +- ^4^4= be- 
rfihrt, ist 44 ) 



^ 

Setzcn wir a 1; <jf 3 , 8 fiir (% aj(a s -- a 3 ), usw. und beracksich- 
tigen o? 1 + a 2 + ^3 = 0, so erhalten die Bertinrungspunkte der vier 
Ftmdamentallinien die Koordinaten 

0, a s , 2 , a l5 ff 3 , 0, n of 2 ; a a , a n 0, a 3 ; n or a , a 8 , 0. 
Die Koordinaten des Beriihrungspunktes mit der Geraden a- sind 



Siebenzehntes KapiteL 
Die aUgemeiae fromogene Gleichung zweiten. Grades 

305. Die allgexneine Gleielmng in projektiven Koordi- 
naten. Im 8. Kapitel wurde gezeigt 7 in welcher Weise die 
aUgemeine Gleielmng einer Kurre zweiten Grades in recht- 
winkligen oder schiefwinkligen Parallelkoordinaten in gewisse 
^infache, durclx die Gattung der Kurre bestimmte Normal- 
form en iibergefiihrt werden kann ; UPC! cs warden Kriterien 
abgeleitet, mit deren Hilfe sicli leicht entschoiden lafit, welcher 
Gattung der durch. ein beliebig gegebenes Beispiel der Glei- 
chnng zweiten Grades dargestellte Kegelsclinitt angehort. 

Bei den folgenden Betrachtungen soil nun vorausgesetzt 
werden ? dafi die Gleichung der Kurve in projeMiven Dreiecks- 
Jcoordinaten % 19 x^ x% (vgl. NT. 87) yorliege, Sie hat alsdann 
die Gestalt Sa ik x^x k = oder 
(1) f(x v x 2 , a:,) s a^x* + o sfi V -f % 3 ^ 2 

+ 2a 23 %^ 3 "{- 2a 31 ^ 3 ^ 1 + 2a 12 $ 1 # 2 = 0. 

Statt f(x lf X 2 , # 3 ) wird im Folgenden haufig f(x, x) gesetzt, 
wobei das doppelte x anzeigen soil, dafi (1) in den x YOIII 
zweiten Grade isi 

Wie bei Parallelkoordinaten entlialt aucli jetzt die Grlei- 
ckung der Kurre fiinf unabhangige Konstanten; diese lassen 
sich dalier so bestiinmen, daB die Kurve (1) durch funf ge 
gebene Punkte geht und also mit einem beliebigen gegebenen 
Kegelsclinitt zusanimenfaJll 

Die Gleichung (1) enthalt die Gleicbung in Parallel- 
koordinaten als einen besonderen Fall, den wir erhalten, wenn 
wir x 1 und a? 2 durch. x und y ersetzen und die Seite # 3 = 
des Koordiuatendreiecks (Fundamentaldreiecks) im Unendlicliea ; 
d. h. # 3 = 1 ? annehmen (N"r. 76). 



120 XVII. Die allgemeine homogene Grleichnng zweiten Grades. 
Andererseits kann die dual entsprecbende Gleichung 





in projektiyen Linienkoordinaten jeden beliebigen nicht zer- 
fallenden Kegelscknitt darsteEen ? well sie fiir ftinf willkurlich 
gewahlte Tangenten eines solchen erfullt werden kann. Wenn 
die duale Deutung im folgenden der Ktirze wegen zumeist 
unterlassen 1st, so sollte sicli der Leser doch cliese ubertragung 
zur selbstyerstandliclaen Gewohnheit maclien. 

Uberhanpt kann jede Kurve von einer gegebenen Ord- 
nung mit Hilfe einer homogenen Funktion yon demselben 
Grade in a: 1? x%, x% dargestellt werden; denn man erkennt 
leicht, daB die Zahl der Giieder in der vollstandigen Gleichung 
n tfln Grades zwiscben zwei Unbekannten iibereinstimmt mit 
der Zalil cler Giieder in der bomogenen Gleichung n i&n Grades 
zwischen drei Veranderlichen. Diese beiden Grleichungen sind 
gleich fahig, irgend eine besondere Kurye darzustellen, da 
sie dieselbe Zahl yon Konstanten enthalten. 

306. Tangente. Da die Koordinaien irgend eines in der 
Verbindungsgeraden yon P f \x^\x^\x^} und f f '(x^ r \x^\x^} 
liegenden Punktes yon der Form lx{ + mx" sincl (Nr. 72)^ 
so konneia die Punkte ? in denen jene Gerade irgend eine 
Knrye sclmeidet ? dadurch bestimmt werden, daB man diese 
Werte an Stella der Veranderlichen in ibre Gleiehnng ein- 
setzt und die aus der so erhaltenen Gleicbung entspringenden 
Werte des Verbaltnisses I : m ermitfcelt. 

So werden (ygl, Nr. 132) die Sclmittpunkte jener Ge- 
raden mit dem Kegelschnitt f($ l9 x$, X B ) = durcb die qua- 
dratische Gleicbnng 45 ) 



Xt"x i ')+au(xS^ 

+ 2%+ 2a 81 a? 8 V+ 2a 12 <V) = ' 
bestimmt^ die wir mit leicht yerstandlichen Abkurzungen in 
der Form schreiben wollen 
(2) ^ Pf(x\^ + 2lmf(tf,af^ + m*f(tf\^ = Q. 

Liegt der Punkt P' auf der Kurve, so yersctwindet 



Tangente nnd Polare des Kegelscbnlttes, 121 

f(x : x'\ und die quadratiseke Gleickimg geiit in eine lineare 
iiber. Ihre AuflosuBg fur I : m = - f (x", x"} : 2f(x', #") gibt 
fur die Koordinaten des Punktes ; in dem der Kegelschnitt 
durcii die Gerade yon einem seiner Punkte P' naeh. einem 
willkurlicli aufier ifon gewahlten Punkte P" geschnitten wird> 
die Werte f(x", x")x t '2f(x', x")x". Diese reduzieren sich 
anf x ( ' selbst ; sobald /"(#', x") = ist. Wenn also die Ko- 
ordinaten x l = x!' die Grleichnng 

(3) f(x, %') = 011^1^1'+ a 22^2^s' + %3^3^s' 

+ %fe% / + ^2^3) + ^3i(%^i'+%'%) + ^(x^'+Xi'xz) = 
erfulleji ; so schneidet die Verbindungsgerade der Punkte P r 
und P" die Kurve in zwei in P' znsammenfallenden Punkten, 
oder nait andern Worten, der Pnnkt P" liegt in der Tangente 
des Kegelschnittes iin Pnnkte P'. Somit ist f(x, a? 7 ) = rffe 
Gleicliung der Tangente des KegelscJmittes. 

307. Polare. Anf Grand der yollstandigen Symmetric der 
Grleichung (3) nack den GroBen x i und a?/ erkennen wir (Nr. 134), 
daB diese Gleichnng die Polare des Punktes P f darstellt, so- 
bald dieser niclit in der Kurye liegt. Wir konnen den nam- 
lichen ScltluB aus der Bemerkungbegriiaden ; daB /*($', #") = G 
die Bedingung ausdruekt ; unter der die Verbindungsgerade 
der Punkte P' und P" durcii die Kurve harmonised ge- 
teilt wird. 

Die Gleichung der Polare des Punktes P r kann ? wenn 
wieder die Verabredung a tk a ki getroffen wird, in der Form 
(3 a) x l '(a ll x l 



geschrieben werden. Der hier auftretende trinomisclie Faktor 
Ton Xt ist aber je die Halfte f.^\~f'(x?) der nach. x t ge- 
nominenen Ableitung der linken Seite der Gleiehung (1) des 
Kegelsclmittes. So gei.t (3) iiber in 
(4) f(x, x) s Zxffi = ^ + xj & + x,% - 0. 

Insbesondere ist far #/= 0, x=* die Polare der Ecke des 
Koordinatendreiecks A^ JO JO) durcii / t = dargestellt*), 



*) Die im Falle a n =^Q gestaitete Darstellung von f(x, aj) 
in der Form 



122 XVII. Die allgemeirie homogene GleichuBg zweiten Grades. SOS. 

die Grleiehung der Polare der Ecke A t wird also gebildet, 
incleni man die nacfa ,r, genominene Ableitung f (#$) der linfcen 
Seite der Gleichung des Kegelschnittes gleieh Null setzt. 

Da die Gleichung der Polare bei der Vertausclmng der 
x t mit den x' % ungeandert bleibt, so kami sie auch. in der 
Form gesckrieben werden 
(5) /"(>, x] == ^ (a n %i ' 4- fli 2 < + 13 ff 8 'j 



Diese Vertauschbarkeit der x % und x[ begriindet aber die 
Satze von NT. 135. Wir konnen die /^' geradezu als die Linien- 
koordinaten der Polare YOU P' neJimen. 

B. lj Perspektiye Lage der polar-koajugierten Dreiecke. 

Dem Fundanientaldreieck ^ == 0, ^O, x% == ist polar- 
konjugiert das Dreieck ^=0, /' 2 = 0, /g= 0. Die Yerbindungs- 
linien entsprechender Ecken siud a sl f 2 a lg /3 = 0, ^/i %/i=0, 
a 23/i 31 /2=0. Die Schnittpunkfce entsprechender Seiten haben 
die Gleichungen a si H*a lz /f 3 = , a ls ?e rt a 23 1^= , % % a 31 %= . 
(Xr. 67,4). 

2) Eiu Polardreieck P f P"P' fr ist bestimint durch x^ x%, o? 3 '; 

" " " f"\T Htf>A\ " ff n f ftpf //// T 

^i ) " X 2 i % '^ r - 136) vermoge a; 3 f 3 = x i f 1 %% f% und 

r '" . //x . , r '" ___ ^- V" f"f f \'if r f" f ff f r \-(f f f' r "L- f " r \ 

a i ^ ^3 { >A; /s /a /3 ) V3 /i ~" h h ) l/i /a /i /a J 
308. Biskriminante. Wenn eine Kurve zweiter Ordnung 
in ein Greradenpaar ausartet, gelit Bach. Nr. 137 die Polare 
eines jeden Punktes ihrer Ebene durch den Scbnittpunkt 8 
der beiden Geraden. Wenn daher die allgenieine Grleicbung 
f(x, x) ~ ein Geradenpaar darstellt, sind die Polaren der 
Pundamentalpunkte 1 j | 0, i 1 ! 0, ! 0jl bez. ^ == 0, 
/0 /-0 Oder 



drei Geraden durch einen Punkt. Indeni wir ahnlioh wie in 
Nr. 37 aus diesen drei Gleictungen x lf # 2? X B eliminieren, er- 
gibt sich als Bedingung dafiir, dafi die Gleichung f(x, x) == 



in der die letzten drei Glieder dnrch iLr Yerschwinden zwei Geraden 
durch A t darstellen, gibt aucla (Nr. 258) a 11 x 1 + a^x* + a u x s = als 
die Polare von J^ und begriindet damifc ibrerseits das Folgende. 



Diskriminante und Grleiehung in Linienkoordinaten. 

ein Geradenpaar darstellt, das Versehwinden der aus den a lk 
gebildeten Determinate dritten Grades A, also dieselbe Be- 
dingung, die schon bei Parallelkoordinaten in NY. 62 gefunden 
wurde. 

Auch im Folgenden werden wir die Unterdeterminanten 
von A stets mit A lk bezeichnen. Es sei daran erinnert, dafi 
die aus den A tk gebildete symrnetrisclie Determiuante den 
Wert A 2 und ihre Unterdeterminanten A a . die Werte Aa ik 
erhalten (vgl. Teil 1, S. 81 und 284). Die Koordinaten des 
Doppelpunktes des Geradenpaares /"(# 7 ,r) = lauten darn 
wie in Nr. 138 

Xi : x% : x$ = A n : A f % : A t $ (i = 1 oder 2 oder 3). 

309. Tangentialgleielmng. Die Auflosmig linearer Glei- 
chungen wenclen wir ferner an auf die Prage nach der Se- 
stimmung der Koordinaten des Poles einer Geraden u i oder 
W 1 ^ 1 +w 2 ^2 + e{ s ^ 3 ==0 in bezng auf den Kegelschniit f(x, x) = 0. 
Sind xl die gesuchten Koorclinaten ? so gelten die drei linearen 
GleichungeB 

(7) /i'-zi, f^-^y f 3 /= =^- 

Durch Auflosnng von (7) nacli a?/ erhalt man 
A n u 1 

(8) 

Die Koordinaten des Poles sind also stets reell ? wenn die 
Grerade es ist, und umgekebrt; sie sind vollig bestimmt, so 
lange A 4= ist. 

Da insbesondere der Pol einer Tangente des Kegel- 
schnittes ihr Berulirungspiuikt, also ein Punkt dieser Tangente 
selbst ist, erhalten wir durck Einsetzen der Koordinaten- 
werte x- an Stelle der Yeranderlichen x in die Gleichung 
der Geraden die Bedingung, unter der im Falle A 4 s die 
(jerade u t den durch die allgemeine Gleichung (1) dargestellten 
Kegelschnitt beriilirt, n'arnlieli 

(9) AU^ + A^ + ASM* 

= 0, 



124 XVII. Die allgemeine homogene Gleichung zweiten Grades. 309. 

die Gleichtng Ffa, u 2 , %) == des Kegelschnittes in Linien- 
koordinaten. 

Wir erinnern daran, daB diese Gleichung, falls f(x, a?) = 
em Geradenpaar ist, dessert Schnittpunkt doppelt zahlend dar- 
stellt; im Falle einer Doppelgeraden yerschwindet (9) iden- 
tisch (vgL Teil 1, S. 307). 

Die Tangentialgleichung (9) kann natfirlich auch in ana- 
loger Weise wie in Nr. 149 abgeleitet werden. Man erhalt 
sie alsdann in der Form einer gleich Null gesetzten sym- 
metrisclien Determinante 



(10) - 







= 0, 



die aus der Disbriminante A durch ?; Randern" mit den Linien- 
koordinaten % 1? u^ s herYorgeht. 

Die BedingTing ? unter der sich zwei Geraden ^ nnd v 
auf dem Kegelschnitt f(x, x) schneideri, wird offenbar 

(11) %(VS- M |Z? *) S + " 

T 2 2S (%% 



wobei sich die durcH Punkte angedeuteten Glieder aus dem 
Yorhergehenden Gliede durch zyklische Vertauscnung der In- 
dizes ergeben. Die Gleichung (11) lafit sich auch in der 
Form schreiben: 

j % % % i % | 

I <^ 21 a 22 033 w 2 ^ 2 | 

(11 a) % % a 33 tij 8 =0. 

| % w 2 t( 3 

; t^ % v 3 j 

Werden w 1; w g; w s als Koordinaten irgend einer Geraden 
betraclitet ? so steflt diese Gleichung in Linienkoordinaten fy 
das Paar der Schnittpuakte einer gegebenen Geraden ^==0 
mit dem Kegelschnitte (1) dar. 

Dual zu (3 a) und (4) folgt, daB die Eoordinaten des Pols 
der Geraden v x = in bezug auf den Kegelschnitt 



Tangentialgleichung der Knrve. Pol einer Geraden, 125 
(12) (f (u, foss 



a 38 w s s = 

durch die Ausdrficke 9>'(fy) gegeben sind ; die man erhalt, 
wenn man in den partiellen Differentialquotienten von (12) 
nach den u i die GrroBen u l? %, u s durch 1; g? # 3 ersetzt. 

Irgend ein Strahl des durch zwei Geraden u x = nnd 
#3 = bestimmten Buschels liat Koordinaten yon der Form 
1^+ itv daher ist <p(lu! + pv l9 A 3 + ^i: 2; A^ 3 + P%) = 
die Bedingung dafiir, da6 dieser Strahl eine Tangente des 
Kegelsclinitts (12) sei. Die Entwickelung nach Potenzen von 
1 und 11 ergibt: 

(13) ~CP(UJ u} + 2&(JL<p(u, v) + !*?g)(v, v) = wobei 

(14) y(w, t?) s (a u i\ + a n v 2 



Hier ist (p(u ? v) = die Bedingung dafiir, daB zwei Geraden 
w f und ^. in bezug auf den Kegelschnitt (12) konjugierte Po- 
lar en seien, und bei veranderlichen Linienkoordinaten ^ ist 
(14) die Gleichung des Poles der Geraden v z in bezug auf (12). 
Vgl. auch Nr. 132 und 134. 

B. 1) Man soil die Koordinaten des Poles der Geraden i\ in 

bezug auf den Kegelschnitt (%%)^+ (^^)'*+ (#3#s)^ == be- 
stimmen. In diesem Ealle ist nach Nr. 303 die Tangentialgleichung : 

%%% + 0^3% + a no u t u 2 = 0; 
die Koordinaten des Poles sind also 



2) Den Ort des Poles der Geraden ^ in bezug auf einen Kegel- 
schnitt zu bestimraen^ fiir den drei Tangenten und eine aridere Be- 
dingung gegeben sind. 46 j 

Wenn wir die SchluB-Gleichungen von 1) nach a 1? <^ 2 , a 3 auf- 
losen, so finden wir a 1? a 25 a- 3 den GroBen ^(vg^ + ^s~~ V i2/i)* 
+ %% %\ ^C 61 i2/i + ^2% l 'sft) Proportional. 

Die gegebene Gleichung bezeichnet aber einen Kegelschnitt, 
der die drei Pundamentallinien x l = 0, ^ 2 =0, %=0 beruhrt; 
eine yierte Bedingung, der der Kegelschnitt geniigea mu6 ; begrundet 
eine weitere Beziehung zvrischen %,%,%, aus der durch Einsetzen 
der eben angegebenen Werte die Gleichung des Ortes hervorgeht, 
den der Pol von v l beschreibt. Trgt man fiir i o i die Seitenllngen l 
des Fundamentaldreiecks ein, so erhalt man in derselben Gleichung 
den Ort des Mittelpunktes in Normalkoordinaten. So schlieBen wir 



126 XVII. Die allgemeine homogene Gleicbung zweiten Grades. 309 

aus dem Nachweis, daB der Kegelscbnitt die Gerade w i beriibrt, 
wenn 2(a.: wj) =0, daB der Ort des Pols der Geraden v t in bezug 
auf den die vier Geraden x 1 = 0, 8 0, o? 3 0, 2tc t x^ be- 
rUhrenden Kegelscbnitt die durcb 



dargestellte Gerade 1st (Nr. 304, 1 fur den Fall des Mittelpunktes). 
In dieser Gleichung sind die friiheren y l durch die ss t ersetzt. 

Oder, well der Kegelscbnitt durcb den Punkt y. gebt, wenn 

die Bedingung sY&Jli) *** erj ^ ulit is ^ so ist ^ er ^ rt ^ es ^ oles 
der Geraden ? t in bezug auf die Kegelscbnitte , die die Geraden 
^ = 0, ^ 2 0, ^ 3 =0 bertibren und den Punkt & entbalten, 
durcb 

{ ^yiOsffji + 13^ - ^1^1) ) ' + 1 ^W 2 <>3% + ^1^1 - ^2^2) } * 
+ ! ^%C y i% + % - %%) } * = 

ausgedriicki Dieser Ort 1st also ein Kegelscbnitt, der die Geraden 



beruhrt. Wean man den Ort des Mittelpunktes sucbt, d. b. bei 
isormalkoordinaten die v. durcb die l t ersetzt, so sind diese drei 
Geraden die Verbindungsgeraden der Mittelpunkte der Seiten des 
von x l = 0, tf 2 = 0, % 2 gebildeten Dreiecks. 

3) Man soil die Koordinaten des Pols der Geraden i\ in bezug 
auf den durcb die Fundamentalpunkte gehenden Kegelscbnitt a 23 # 2 $ 3 
+ a^x^ + # 12 %% = bestimmen. 

Nacb (30) in Nr. 302 ist die Tangentialgleicbung 



1 8 *= 0; 
die Koordinaten des Poles sind daber 
y l = a n (a^'V t 

Man bat also 
und ebenso 



und findet wie in 2) %, 31; % bez. proportional zn 



Da nuu die Bedingung, unter der ein dem Dreieck ^ 0, x s = 0, 
j 3 = umgeschriebener Kegelscbnitt durcb einen yierten Punkt o; f 



Polorte einer Geraden bei Zegelschniifcsjstemei]. 127 

liindurchgeht, durch -'-* + , + -" =- dargestellt wird, so 1st 

OC-i SCq SCn 

der Ort des Poles Ton 0, in. bezug atif einen durch vier Punkte ge- 
henden Kegelschnitt: 

- t a: 



Fur den Ort des Mttelpimktes ergibt sich daraus ein durch die Seiten- 
mitten des Fundamentaldreiecks gehender Kegelschnitt (Xr. 287, 9). 
Die Bedingung, unter der der Kegelschnitt eine Gerade a i x 1 
+ a%x 2 + a%x B = beriihrt, liefert den Ort des Poles der Geraden v i 
in bezug auf einen durch die drei Fundamentalpunkte gehenden 
und jene Gerade beriihrenden Kegelschnitt als 

2 + ^s^s - ^1*1) ! " + ! a ^( i ^z + i \^i ^^2) 1 " 



Dieser Ort ist im allgemeinen eine Rurvo vierter Ordnung. 47 ) 

4) Man beweise folgende Satze: Wenn zwei Kegelschnitte nait 
einem dritten Kegelschnitt in doppelter Bertihrung sind, so liegen 
die Schnittpunkte der gemeinschaftlichen Tangenten nait den Polen 
der Beruhrirngssebnen in einer Geraden und bilden mit ihnen eine 
harmonische Gruppe (vgl Nr. 261). 

Wenn drei Kegelschnitte zwei zu alien gemeinschaftliche Tan- 
genten haben, so liegen die Scbnittpunkte der tibrigen, jedem Paare 
gemeinsamen Tangenten in einer Geraden. (Ygl. Nr, 267.) 

5) Wenn man ron einem Pnnkte, der auf einer festen Geraden 
fortriickt, an eine Kurve zweiten Grades die Tangenten zieht und 
zu diesen und der festen Geraden in jedem Palle einen vierten 
Strahl so bestimmt, daB er mit jenen ein konstantes Doppelverhaltnis 
a hat, so umhtillen alle Lagen dieses Strahles einen Kegelschnitt, 
der den gegebenen doppelt beruhrt. 

Dies folgt dual aus Nr. 133. Ist g?('/?, u) = die Gleichung 
des gegebenen Kegelschnitts in Linienkoordinaten und sind v ^ die 
Koordinaten der festen Geraden, so umimllen die genannten vierten 
Strahlen die Kunre zweiter Klasse 

(a + I) 2 {OP>i)i + f'(^)% + y'U'a^O 2 "- 4< 5P(^ 5 ^) ' 9( w ? 01 

- (of l) 2 {9'(^l) W l + ^'W W S+ ^(%) W '3} 2==: ^ 

und diese Gleichung kann auch in folgende Form gebracht werden: 
(a+l) s (p(v^^g)(u 9 u}^c{g>\v l )u 1 + g>\^^ 
Ersetzt man. hier (a + l) 2 *- & durch einen Parameter I, so stellt 
^die Gleichung, den unendlich vielen Werten YOH 1 entsprecheud, 
ein. System von Kegelschnitten dar ; die mit dem festen Kegelschnitt 



128 XVII. Die allgeineine komogene Gleichuag zweiten Grades. 310. 

yfa ) = eine doppelte Beriihrung liaben; hierbei ist der Punkt 
gj'/i; )?/-{- w'(vt>}u* + <P'(VZ)US ^ der Pol der Berahrungssekae 
(Ygl Nr. 258).'" 

6) Man soil ein Vielseit konstmieren, das einem festen Kegel- 
selmitt umgeschrieben ist und dessen Ecken in gegebenen Geraden 
liegen. (Ygl. lS T r. 298.) 

310. Unbestimmtlieit polarer Zuordnnng. Die Unter- 
suchung in Nr. 309 wird hinf allig, wenn die eindeutige Zu- 
ordnung des Pols zu einer gegebenen Polare eine Ausnahme 
erleidet. Es entspringt so die Frage: Wann hat in "bemg auf 
einen Kegelschnitt eine Gerade unendlicli vide Pole? 

Genau in derselben Weise wie schon in NT. 137 bei Be- 
nutzung von schief- oder rechtwinkligen Cartesischen Ko- 
ordinaten gezeigt wurde ? folgt aucli jetzt bei Yerwendung yon 
projektiven Dreieckskoordinaten, daB diese Unbestimmtlieit 
eintritt ; wenn die aus den Koeffizienten a ik gebildete Deter- 
minante A Yerschwindet. In diesem Falle bestelit der Kegel- 
sclinitt bekanntlicb. (Nr. 308) aus einem Geradenpaar, der zu 
einer gegebenen Geraden gehorige Pol ist nun Yollig unbe- 
stimmt. In gleicher Weise wie in Nr. 137 und 138 folgt, daB 
die Dreieckskoordinaten ^ | 3 1 # 3 des Schnittpunktes 8 dieses 
Geradenpaares Gleichungen erfullen YOU der Form 

(15) e*A~4*, 

wobei $ einen Proportionalitatsfaktor bedeutet (vgl. (27 a) in 
Nr. 138). 

Die Geraden, in die der Kegelschnitt zerfaEt, werden 
bestimmt, wie folgt Sind ibre Koordinaten a i9 & z; d. b. ist 
f(x, #) ^ a x * b x , so hat man ^= |-(^^+ ^.^-); 

Aus ^~0 und J z =0 folgt fur die Koordinaten des 
Scbuittpunktes S 



und wenn man den Proporfcionalit'atsfaktor g bei 
gleicb. 1 annimmt, ist zu setzen 



Alsdann bestebt das System Yon Gleiclungen 



tibergang von LinienkoordiEaten zu Punktkoordinaten. 129 



3 & s 



Fiir die Linienkoordinaten ^ = /'(j/;) der Polare eiiies ge- 
gebenen Poles y erhalt mau 

^ = /"(2/iJ = 6,^y/. - L <*>Sb k y L = i^y + aj) r 

Derselbe Gang der Untersuchung beleuchtet den Aus- 
nalimefall der zerfallenden Kurcen sweiter Klasse. wo also 
die Kurve aus einem Punktepaar besteht. Dual zu den Be- 
traclitungen in N"r. 137 folgt, daB der Pol des Tragers g des 
Punktepaares unbestimmt ist. Der Pol irgend einer Geraden g l 
ist der yierte harinonisclie Punkt P l zu dem gegebenen Punkte- 
paar und zu dem Scknittpunkt der beiden Geraden g und g l . 
Die Polare eines beliebigen Punktes P ist unbestimmt. Liegt 
P auf y, so kann jede durci. P 1 gehende Gerade als zu P 
gehorige Polare betrachtet werden. 

311. GleicJmng In. Punktkoordmaten fur eine Kurve 
zweiter Klasse. Dual zu Nr. 149 und 309 folgt, da8 der 
Kurve zweiter Elasse 
(16) <p(u, ) = a n % 2 + 2^1(^2 + cwv + 2 



die Gleieliung in Punktkoordinaten 

(17) 4>(ar, x) A n ^ 2 + 2A 11 ,^ 1 ^ 2 + A 22 ^ 2 -f 2A 13 ^^ 3 

+ 2A 2 ^ 2 ^-rA 33 V=0 

2ugela6rt ; in der t\ lk die Unterdeterminante von a lk in der 
Diskriminante 

; u is ^ia 

(18) A - . flfc Gf 22 , 3 ! , (k- a^) 

j 31 ^ 32 o; 33 | 
bezeichnet. Ferner ist, analog zu Nr. 149 und 309; 



erne Gleicliung gweiten Grades in Linimkoordi- 
naten einm Kegelschnitt*dar, dessen GMchung in PunJcfkoordi- 

Salmon-Fiedler, anal. Geom* d. Kegelsclin. II, 7. Aufl. 9 



130 XVII. Die allgemeine bomogene Gleichtmg zweiten Grades. 312i 

naten erhalten wird, indem man die Diskriminante der gegebenew 
mit den x l ,,randert". 

Im Palle A = zerfallt die Kurve zweiter IQasse in ein 
Punktepaar; hat dessen Trager die Koordinaten v 1 \ v%\ v$, so- 
ist nun t^ == A^ (vgl. Nr. 138), und die zugehorige Grleichung; 
in Punktkoordinaten 

(20) 0>(x x) = (y x + v x + v #.) 2 = 

steUt den Trager des Punktepaares doppelt zahlend dar. 

Will man von der zu f(x 9 x) = 22a ik x { x k = gehorigen- 
Gleichung (10) in Linienkoordinaten F(u f u) = ausgebend 
wieder die Gleicbung in Punktkoordinaten ableiten, so sind 
die a ik in (16) zu ersetzen durch die A ik9 an Stelle von A 
tritt die aus den A ile gebildete Determinante, deren Wert nacb- 
Nr. 90 gleicb A 2 ist. Ferner sind die Koeffizienten A a , von 
(17) durch die Unterdeterminanten Sl a der eben erwabnten. 
Determinante zu ersetzen. Hierbei ist aber (vgl. Teil I> S. 81 
und 284) Sl^^ Aa iJs , die aus F(u, u] = abgeleitete Glei- 
chung in Punktkoordinaten <t>(# ; x) == wird daher nunmehr 

312. Allgemeine Parametermethode. Betrachten wir den 
Kegelschnitt als Erzeugnis projektiver Strahlenbuschel ; so kann 
man diese, falls sie nicht perspektiv sind ; immer so gegebea 
denken^ dafi die Gleichungen lauten (Nr. 290) 

V / X ' JS t X *^ X 

Die Grleichung des Erzeugnisses ist dann 
(23) a - c b 2 =0, 

\ / XXX? 

wo a ar ? ^=0 die Tangenten in den Endpunkten der 
Sehne & x sind. Eliminiert man aus den Biischelgleichungen: 
mit Hilfe von w x die Koordinaten x^ so erhalt man zur 
Bestimmung derjenigen Werte von 1% die den beiden Schnitt- 
punkten der Geraden u. mit der Kurve entsprechen, die Be- 
dingungsgleichung 

! 

Wir bezeicbnen nun das System der adjungierten Ele- 



Projektive Erzengnng nnd Parametermethode. 131 

mente der nach der Yoraussetzung nicht Tersdiwindenden 
Determinate 



A 



mit j J? J? | A 2 . 



Dann ist die Entwiekelung des Eliminationsergebnisses 
(25) C.-fcB.+ aU.-O, 

falls die lineareu Symbole gebraueht werden 



Dabei dofinieren J. w =0 ; C w =0 die Beruhrungspunkte der 
Tangenten ^=0 bez. a x = ; nnd -B M = deren Sckaittpnakt. 
SoE nun die Grerade u t eine Tangente der Store seia ; 
so muB die &leielnmg (25) fur "k gleiche Wurzeln liaben, 
d. h. man hat 

(26) 4A U C U - U *=Q. 

Diese Tangentialgleichung der Kurve kann wiederum an- 
gesehen werden als das Ergebnis der Elimination yon 7^ aus 

(27) J^-Sfc^O, 20.-iJB.-0. 

Diese Gleictungen stellen aber projektive Eeihen in den Tan- 
genten c x ^0 } a x = dar. Sie sind auch zn den Buscbeln 
projektiY ? nnd zwar entspreclien den Tangenten ihre Benih- 
rungspxinkte A u -* 0, M fiir Jc = oo bez, k 0. 

Demnacli ist das Ergeugnis zweiter Ordnung zweier pro- 
jeMiver StraMenbuscJiel auch tin Erzeugnis sweiter Klasse 
zweier projektiver PunMrdhm (vgL Nr. 281 ff.). 

Aber diese Erzeugung liefert unmittelbar aucn die all- 
gemeinsie Parametermethode. Denn nach Nr. 291 konnen wir 
je zwei liomogene Parameter 1, [i einfiihren mit Hilfe der 
Definitionen 

pa.-A 2 -^, pft,-^--^'^, QC x ^v?*~Q r A u , 
wobei 9 und g' Proportionalit'atsfaktoren bedenten. 

Durcb. Auflosung folgt 



A 2 , (i - 1, 2, 3). 
Diese ;% w t . sind aber aUgemeine qnadratisclie Funktionen 
der Parameter 2 ; p. DaJier steUm umgekehrt drei quadratische 



132 XVII Die allgenteine homogene Gleichung zweiten Grades. 312. 

Formen eweier ttnabkangiger VeranderlicJier , deren Werte als 
PunJct- oder Linienkoordinaten gedeutet werden y PunJcte oder 
Tangenten einer Kwve zweiten Grades dar.*} 

Die Yorstehenden Definitionen ; deren kleine Unterschiede 
zn beachten sind ; sind so gewahlt, dafi dieselben Parameter- 
werte je PunU und gugehorige Tangents charakterisieren. Man 
iiberzeugt sich leicht, daB infolge der Determinanteneigen- 
sehaften Hu, i x i bei Einsetzung der Paranieterausdrucke iden- 
tisch verschwindet. 

B. 1) 1st eine Kurve zweiter Ordnung durch 



gegeben, so lautet ihre Gleichting 

(A^ -f JVa + G Q x 9 )(A 9 x l + B^ + 



Hierbei sind A Q , JB , C , -4 1? . . die Uuterdetenainanten der Elemente 
a , & , c , a t , . . der aus den netin Koeffizienten a^ 5 P c^ (^ = 1,2,3) 
gebildeten Determinante dritten Grades. 

2) Die Tangente des dem Parana eterpaar I ] ft zugeborigen 
FuBktcs hat die Gleiclinng 



Man bilde die Gleicbung der Yerbindungslinie der dnrch I \ ^ 
tmd A' | $ gegebenen Punkte; fiir "benacKbarte Parameter werte bieten 
sich Beduktionen, die zu der yerlangten Tangentengleicbung fiihren. 

3) Man bestimme die Gleicbung eines Kegelscbnittes, der mit 
zwei anderen f(x, x) = 0, g(x, x) == je eine doppelte Berub- 
rttng bat. 

Bezeicbnen wir durch ^=0, ^=0 ein Paar der Schnitt- 
sehnen von f(x, x) = 0, g(x, x) == 0, so dafi f(x, x)Kg(%, x) ^ u x v x 
1st, so stellt y?u* 2ft {f(x, x) + %g(x, x) } + v x 3 = fur beliebige 
Werte von p. ein System von Kegelschnitton dar, die mit f(x, )~0 , 
g(x, x} eine doppelte Beruhrung haben. Denn diese Gleicbung 
hat die beiden iquivalenten Formen 



Dte Bertbrungssehnen pu x + v x = bilden mit den Scbnittsebnen 
k 0, w^w em-barmoniscbes BiiscbeL 



Projektive Erzengung und Parametermethode. ]33 

Da die Gleichung in ft YOHI zweiten Grade ist, so gehen duroh 
jeden Punkt zwei Kegelselirdtte des Systems, und weil es tiberdies 
drei Paare von Schnittsehnen der beiden Kegelsclinitte gibt, so gibt 
es auch drei solcne Systeme Ton Kegelschnitten. Ihre Anzahl redu- 
ziert sich auf zwei, wenn der Kegelschnitt g(x, x) in ein Paar 
von Geraden ausartet, weil dann nur zwei von diesen verschiedenen 
Paaren von Schnittsehnen vorhanden sind. Wenn endlich sowohl 
f(x, x) = als auch g(x ? x) = Q in Geradenpaare ausarten, so 
gibt es, wie bekannt, nur ein System doppelt beriihrender Kegel- 
schnitte. 

4) Die Gleichung eines Kegelschnittes, der vier Geraden y = 0, 
S/s^ * ^s^ ? ?/4 ===0 keriihrt, lautet, falls #!% # 2 y 4 = q% *=*0 
die Gleichnng der Diagonalen des Yierseits ist, 

pV 2^(7/^3 + ^yj + ^ 2 2 - 0. 

Setzt man nacheinander die y i gleich Null, so erhalt man die Be- 
ruiiningspunkte der Seiten und sieht, daB ihre Verbindungslinien 
mit den Diagonalen ein harmonisches Biischel bilden (vgl. 3). Ein 
durch diese Beruhmngspunkte gehender Kegelschnitt hat eine Glei- 
chung von der Form 

^+ l(v?^~ ^) - 0, 



und die den Werten 11 und l r entsprechende Gleichung wird mit 
dieser identiseh fur I = X (ft' ^) : (ft 7 -f ft). 

Hiernach gibt es einen durch die acht BeruhrungspunMe VOE 
zwei solchen eingescbriebenen Kegelschnitten genenden Kegelsebnitt, 
der die Gleichung hat 

ft ft'^ 2 (fi + f*') (y^s + %^) + ^ = - 



Wenn man das Diagonalendreieck des Yierseits zum Funda- 
mentaldreieck %i%*x = w&hlt, wobei nun ^ + #2 + #3 === 0, ^ 
x% + %s *= 0, ^ + o; 2 % 0, rcj a? 2 ^ 3 = der Eeihe 
nach. die Seiten 2/ 2 -= 0, (i == 1, 2, 3, 4), des Yierseits darstellen 3 
so erhalt man die Gleichung des eingesctriebenen Kegelschnittes in 
der Form 



(Es ist ^ + #2^= 2 (x 1 2 +% 2 ^ 3 2 ) 7 %%-7 2/2^ =4^, 
^ == 2^, % 2C 2 ). Dieses System von Kegelschnitten hat in der 
Tat zur Hullkurve 

(^ 2 + x/ x^f = x^x/ oder 

(^ + # 2 + ay 8 )(a* a + aJ 3 ^)(a% + % ^(^ + o; 2 x 3 ) 0. 
Die Gleichung des Systems kann mit Hilfe von cos 2 9 = 1 : (l fi) 



134 XVII. Die allgemeine homogene Gleichitng zwei ten G-rades. 312, 
in der Form geschrieben werden 

,, a = jV - + -V . ( vg i. Sfr. 299). 
3 cos 2 <p Bin s <3p v to ' 

5) Die Gleichung eines Kegelschnittes, der mit zwei durch die 
Normalformen l\ = 0, & 2 = ihrer Gleichungen gegebenen Kreisen 
je eine doppelte Beriihrung hat, 49 ) nimmt eine einfachere Form an, 
namlich 



Die Beriihrungsselinen des Kegelschnittes mit den beiden Kreisen 
sind dureh Tc t 1% + ft = 0, 7^ & 2 ^ = dargestellt und daher 
zueinander parallel raid gleich entfernt Yon der Potenzlinie der 
Kreise. Da man die Gleichung dieses doppelt beruhrenden Kegel- 
schnittes auch in der Form 



schreiben kann ; so ist er der Ort eines Punktes, fiir den die Summe 
oder Differenz der Tangenten zn zwei gegebenen Kreisen konstant 
ist. Denken wir beide Kreise als unendlich klein, so erhalten wir 
die Eigenschaft der Brennpunkte des Kegelschnittes rticksichtlich 
der Summe und Differenz der Brennstrahlen. Nehmen wir ft dem 
Quadrate des Abschnittes gleich, der zwischen den beiden Kreisen 
auf einer ihrer gemeinschaftlichen Tangenten liegt, so bezeichnet 
die Gleichung ein Paar der gemeinschaftlichen Tangenten bolder 
Kreise (Nr. 128). 

6) Nach dieser Methode sind die gemeinschaftlichen Tangenten 
der Kreise in 



Nr. 117,1) y^ + y^ 2 -4 oder =2, 

Nr. 118, l) I/ft" + yi^ = 1 oder = )/-79, 

7) Drei Kreise sind gegeben durch ^ 0, ^ 2 = 0, & 3 = 0; 
sind dann ^=0, ^=0 die gemeinschaftlichen Tangenten zu 
^ = 0^ ^3=05 ebenso ir 2 =0, 2/ 3 ==0 die zu k B 0, 7^=0, 
und X B == 0, #3=0 die zu 7^ == 0,\ = 0; gehen feraer x l 0, 
J 2 0, r s = durch einen Pnnkt, so gehen auch ^=0,^ = 0, 
% durch einen Punkt. 

Denn sind die Gleichungen der Paare gemeinsamer Tangenten 



so ist die Bedingung, unter der sich ^=0, .%= 0, ^r s = in 
einem Punkte schneiden, ^ ^= f 3) und man sieht, daS mit der 
Erfollnng dieser Bedingung sich auch y l = 0, y 2 0, z/ 3 = in 
einem Punkte sehneideu miissen. 



Doppelt beriihrende Kegelschnitte. Tangentenpaare. 135 

8) Daran kniipft sich die Losnng des Problems von Halfatti: 
Drei Kreise zu lestimmen, die elnander "beridiren, und deren jeder 
swei Seitcn eincs gegebenen Drciecks zw Tangenten liat. 

Steiner gab die Losung: Man zeiehne die eingeschriebenen 
Kreise der Dreiecke, die yon je einer Seite des gegebenen Dreiecks 
und den Halbierungslinien der anliegenden Winkel gebildet werden; 
da diese Kreise drei gemeinschaftliche Tangenten liaben, die durch 
einen Punkt gelien, so gehen auch ihre zugehorigen andern gemein- 
scbaftlichen Tangenten durch einer Punkt. Diese sind die geinein- 
scbaftlicben Tangenten der gesucbten Kreise. 50 ). 

9) Der Satz von 8) laBt sicb auf Kegelscbnitte iibertragen, 
die einen gegebenen Kegelscnnitt doppelt berunren. 

Drei Kegelscbnitte f(x, x) - ^ = 0, f(x, x) - ^ = 0, 
f(x,x) ^s Ssa= > die eineD g" e g etenerL Kegelscbnitt doppelt be- 
rukreu, werden yon drei gemeinscbaftlicben Sehnen, die ein Dreieck 
bilden, wie ^ + ^ = 0, ^ + z = 0, % + % = in secbs Punkten 
gescbnitten, die auf einem Kegelschnitt liegen. Denn es ist 

/(a?, x) + * a *3 + Vi + *\ ** = (f&* $ ~~ ^ + ^ + ^)(fi + ^ ' 
Liegen also von jenen Punkten drei in einer Geraden, so liegen die 
andern gleichfalls in eiaer Geraden. Die Deutung der Gleicbungen 
in Linienkoordinaten gibt einen weiteren Satz. Mit Hilfe dieser 
Satze kann das Malfattiscbe Problem und seine Losung von den 
Kreisen auf Kegelschnitte tibertragen werden, die mit einem ge- 
gebenen Kegelschnitt in doppelter Berubrung sind. 

313. Tangentenpaare. In gleicher Weise wie in Nr. 147 
bei Benutzung von Cartesischen Koordinaten gezeigt wurde ; 
folgt aucb. bei Verwendung projektiver Dreieckskoordinaten, 
dafi das von einem Punkte y i an die Knrve zweiter Ordnung 
f(x t x] gelegte Tangentenpaar die Gleicliung hat 

(29) ' fly*y)-f(*>$-f (*>$-*> 

wobei f(x 9 y) zur Abkiirzung gesetzt ist fur 
(30) 



Die Gleichung (29) ist anch die Bedingimg dafiir, da6 
xwei Punkte x t und y i auf einer Tangente von f(x, x) = 
liegen. Die Ausdrucke 

(31) % = x 2 y s - x s y^ % = ^ - xtf^ ^ = a^Jfe - Wi 
stellen also die Koordinaten einer solchen Tangente dar, und 
es kann daher der Ausdruck (29) von der linken Seite der 
Gleichung (9), in der die u ( durch ihre Weite (31) m er-, 



136 SYIL Die allgemeine homogene G-Ieiehung zweiten Grades. 318. 

setzen- sind ; nur nm einen Zahlenfaktor yerschieden sein. Man 
findet in der Tat 

(32) f(y,y)f(*> *) 



tlbrigens laBt sich (29) auci. in der Form schreiben: 
, AU AU A n y x x l \ 
A 21 A$9 -4 23 y 2 ^2 I 

(33) AU A m A B y B x% | == 0. 

2/i ?/s ^8 | 
y > l x% x z j 

Dual folgt ; daB 

(34) (p(v, v)y(u, u) tp(w, v) 2 = 

die Crleichung des Schnittpunktepaares der Greraden %^i 

+ 1? 3 ^ 3 =0 mit der Kurve zweiter Klasse qp(w, w) dar- 

sleUi VgL auch (11) tmd (11 a) in Nr. 309. 

B. l) Man soil durch Umformen tmd Entwickelung zeigen, 
daB die Diskriminante der Gleicbung fd/,y)f(x,ot) f *($)%) = 
verschwindei 

2) Ort der Scbnittpunkte der zueinander rechtwinkligen Tan- 
genten eines Kegelschnittes (Haupfkrds, vgl. Nr. 167, 6). formal- 
koordinaten seien yorausgesetzt. Man denke sich die Gleichung (29) 
angeordnet in der Gestalt 

- 



nnd wende auf diese Gleichnng die in Nr. 68 abgeleitete Bedingnng 
(12) for die Orthogonalitat eines Geradenpaares an. Zu diesem 
Zweck bat man daselbst a^ zu ersetzen durch & 11 



So ergibt sich bei Anordnung nach Potenzen der laufenden Ko 
ordinaten y t : 

(A n + 4^ + 24,3 cos A^y* +- 

f 2(A n cos^ - ^ 23 - AM cos^l 2 - ui ls cos^ 3 / + . - = 0. 



1st die G-leichrmg des gegebenen Kegelschnitts auf Cartesisehe 
Koordinaten x } y bezogen, also von der Form 



33 = 0, 

so ist die Gleichnng des vom Punkt g, ^ an die Zurve gelegten 
Taugentenpaares 



Tangentenpaare des Kegelschnittes. Satz von Carnot. 337 



2-4 u (* - J)(y - ij) = 0. 

Die Bedingung der Ortbogonalit&t ergibt daier insbesondere bei 
rechtivinkligen Koordinaten | ^ als Glelcliung des Hauptlweises 

A + A ~ 0. 



Fur .4 S3 =0, d. h. fiir die Parabel, geht der Hauptkreis in das 
aus Leitlinie und unendlicb. ferner Geraden bestehende Geraden- 
paar fiber. 

3) Die Hauptkreise der Kegelschnitte einer Scliar 9?(% ? 2 ,^s) 
^%(%, w 2 , M S ) bilden em Bilschel. 

Denn als liaeare Eunktion der Koeffizienten der Gleichnng in 
Linienkoordinaten wird die Gleichnng des Hauptkreis es durch die 
Substitution von a ijfc k ik ftir A ik (Nr. 270) auf die Form 
/j i _ ^ 7^= Q gebracht. Die Direktorkreise eines Gewebes ^ <p (t^ , w 2 ? ^3) 
-f ^2%( w i? %7 tt s) + ^s^(%5 ^21 %) ^ bilden ein Netz ^^ + A 2 Jfc 2 
A s fc s =0 (Nr. 122). Insbesondere ergibt sich, dafi die uber den 
drei Diagonalen ein^s vollstandigen Vierseits als Durchmessern be- 
sclariebenen Kreise eine gemeinsame Potenzlinie haben. Das um- 
geschriebene Yierseit der Scbar liefert sie for das Biischel der 
Hauptkreise. 51 ) 

314. Satz von Carnot. Schneiden die Seiten-4 2 .4 s , A A 1? 
A t A% eines Dreiecks ein en Kegelschnitt bez. in den Punkte- 
paaren ^JB/; 5 2 -B/; J-^/? so findet die Beziehung statt 



* A l jB 2 - A, J5/ 

Dieser von Carnot gefundene Satz lafit sicli folgender- 
mafien leicht beweisen. Haben die Ecken A ly A^ A% des 
Dreiecks die Koordinaten x ly rc 2? x^ y iy y 2 , y s ; & 1} z^ ^ 3? so 
haben die Schnittpunkte S 2) B s ' des Kegelschnitts mit der 
Seite A l A^ t Koordinaten von der Form y + lx iy (i = 1, 2 ; 3), 
und zwar sind die den Punkten J3 3 und J5 g ' entsprechenden 
Werte A 3 und 1 8 ' nach (2) in Nr. 306 Wurzeln der quadra- 
tischen Gleiehung 



Es 1st dann ferner 
dalier 



138 XYIL Die allgemeine bomogene Gleichung zweiten Grades. 314* 
Analog findet man 

Durcb Multiplikation dieser drei Gleiehungen ergibt sicb die 
gevriinscbte Grleicbung (35). 

Dem Carnotselien Satze entspricbt dual der folgende Satz 
von CJiasles 52 ): 

Sind a<, &,, fl* die Seiten eines Dreiseits und t. t/: 

17 Jil O * ' A / 

/ 2? ^'5 t^ 9 t% die von seinen Ecken an einen Kegelschnitt ge- 
zogenen Tangenten ? so findet die Beziebung statt: 



Diese S'atze umfassen bemerkenswerte Sonderfalle, die in den 
Beispielen behandelt werden. 

B. 1 ) Wenn von den Seiten des Fundamentaldreiecks im ersten 
Satze eine, etwa A 1 A 2J den Kegelscbnitt beriihrt, so daB ihre 
Sclinittpunkte mit ibm (J5 3 , ^ 3 ') zusammenfallen , so erhalt man 



Dadurcii siad mit der Bestimmung des Yerhaltnisses A 1 
die Beriihrungspunkte einer gegebenen Geraden mit einem durch 
vier Punkte gehenden Kegelsehnitt bestimmt, deren harmonisclie 
Lage zu gewisseD gegebenen Elcmenten offeabar ist. 

LaBt man die Ecken des Eundamentaldreiecks anf dem Kegel- 
sehnitt liegen oder seine Seiten ihn beruhren, so kommt man auf 
bekannte S^tze zuriick (Nr. 302). Wenn einer der Punkte A i un- 
eEdlich entfernt gedacht wird, z.B. JL 2 , so liefert die Gleichang (35) 

gleichfaUs bekaonte Satze, namlich 44" T^ = 4 ' ^ 



1 

aus denen die Satze yon Nr. 151 hervorgehen; der anderen Be- 
ziebung eatspringen dual entsprecbende Satze. 

2) Wenn von den Ecken des Fundamentaldreiecks im zweiten 
Satze eine, etwa A$, deni Kegelscbnitt angehort, so fallen die beiden 
von ihr ausgebenden Tangenten 3 und t in eine zusammen, und 
man erbalt eine Gleicbung 

sin (a t t%} sin^ t^) sin ( 
" 



sin (a s ^ sin ( 1) sin (o^ ) sin 



die zu den vier Tangenten f 1? ^', ^ 2 , f/ und znm Pnnkte -4 3 durch 
die Werte des Verbaltnisses sin(a g ^) :sin(%if s ) die Eichtung der 
Tangente in diesem Punkte bestimmt. 



Der Satz von Carnot und seine Anwendungen. 139 

3) Der Satz Yon Carnot liefert auck erne Losung der Aufgabe, 
den Kriimmungskreis in einem gegebenen Punkte J5 3 eines Kegel- 
scknittes zu bestimmen, wenn dieser dutch die Tangente von B*. 
nnd drei andere Punkte gegeben ist. 

Sind J5 2 , B%, B z drei Punkte des Kegelscknittes, die wir 
spSter in B$ zusammenriicken lassen, und sind J?/, B, B drei 
andere Punkte des Kegelschnittes, so besteht far den Scknitt K 
des durck J? 2 , J2 2 ', B$ gehenden Kreises mit der Geraden A l A* die 
Gleickung 

A i B 3 -A 1 K=* A^BS* -Ai-B*, also 
daher ist nacn dem Satze von Carnot 



Beini Zusammenriicken von J5 2 , B 2 \ ^ 3 , wobei A 1 und 5 3 auf der 
Kurve zusammenfallen, gibt S 2 B^, f die zugenorige Tangente und 
es wird 

A K-AE 

A A - ^3 



Per so gefundene Punkt K bestimmt den Krummnngskreis. 

Ist der Punkt A 3 unendlich entfernt, so reduziert sick dies auf 



und wenn uberdies Ji s , der Schnittpunkt der Sehnen 



die Mitte von beiden ist, so wird A t K j = 2 A%B 1 : 
Hierbei deuten die senkrechten Striche an, daE die absoluten Werte 
der Langen der Strecken A^K und A^A 1 zu nehmen sind. Fin* ^ 
als den Halbmesser des Kreises und A^D als seinen zur Tangente 
in A% rechtwinkligen Durchmesser hat man A l K == 2$ cos^T^D^ 
d. L pg = A% B l , wenn p die senkrecnte Entfernung des Punktes A<> 
von der Tangente in A l ist. 

4) Die Vereinigung der Satze von Carnot und Chasles liefert 
ferner den Satz: Wenn die drei Seiten eines Dreiecks einen Kegel- 
schnitt schneiden, so sind die seeks Geraden, die die Sehnittpmkte 
mit den bez. Gegenecken verbinden, Tangenten eines Kegelscknittes 
und als besondex*en Fall: Die Geraden, die von zwei festen Punkten 
nack den Ecken eines Dreiecks gezogen werden konnen, sckneiden 
die bez. Gegenseiten desselben in seeks Punkten eines Kegel- 
scknittes. 58 ) 

5) Drei Paare von Punkten auf den Diagonalen eines Yier- 
seits, die zu den beziiglicken Endpunkten konjugiert karmonisck 
Hegen, sind seeks Punkte eines Kegelscknittes (Nr. 304, 3). 

Die Geraden EAB und EDO seien das eine Paar von Gegen- 
seiten des Yierseits, FAD und FBG das andere Paar; die Dia- 



140 XVII. Die allgemeine homogene Gleichuug zweiten Grades. 315, 

gonalen EF, BD und AC bilden alsdann ein Dreiseit. bei dem die 
den genannten G-eraden gegenuberliegenden Ecken bez. mit A lt 
A% , J. s bezeichnet werden mogen. Die Punktepaare J? 1? JB/; B^ J5 2 '; 
JSg, _?/ seien die auf den Geraden EF, BD, AC bez, gewShlten 
konjugiert harmonisehen Paare. Dann sind A^ A%\ J? 3 , J3 3 ' Paare 
einer Involution mit den Doppelpunkten .4, C\ ebenso A % , A%\ B i ^ B 
ucd A%, A\ J3 25 B$ bez. Paare yon Involutionen mit den Doppel- 
punkten , F und J?, J); daher gelten die drei Beziehungen 



A. B A, B z ' A^O 1 A,B A* J5/ ~A~E A l B A, B, f A 

und ihre Multiplikaiion liefert 

& A^B^ A S B Z ' (A,0 A^E_ A^ 1 
JB/ A, Bl A,B^ f "~ [A, C J^S A^D \ 



Da hier die recbte Seite nach Fr. 54, i den Wert Eins hat, well 
J7, D, C Punkte in einer Geraden auf den Seiten des Dreiecks 
AI^A^AQ sind, so liegen die Punkte J? 1? -B x ', B^ JB 2 7 , 5 3 , ^ s ' nack 
dem Satze von Carnot auf einem Kegelschnitt, 

315. Um die Gleichnngen der Geraden zu bilden, die 
irgend einen gegebenen Punkt y mit den Sdmittpunkten von 
zwei Kurven der Ebene verbinden, haben wir fur x i in die 
Gleicliungen der beiden Kurven #.-f ^x t einzusetzen und als- 
dann A zu eliminieren. Denn jeder Punkt in einer der frag- 
lichen Geraden hat die Eigensehaft, claB die ihn mit dem 
Punkt y. verbindende Gerade beide Eurren in dem namlichen 
Punkte schneidet; so da6 die Gleichnngen , die die Schnitt- 
punkte dieser Geraden mit den Kurven bestimmen ; eine ge- 
meinsehaftliche Wurzel haben miissen. Infolgedessen ist die 
Eesultante der Elimination von 1 zwischen beiden gleich Null. 

So wird die Gleichung des Paares von Geraden, die den 
Punkt y { mit den Sehnittpunkten der Geraden ^ = und 
des Kegelschnittes f(x, x) = verbinden, aus 

^+K=0 md f(y,y) + 2lf(y,x) + Jtf(x, x) = 
in der Form 

fly> y) ' u *- 2,/(y, ar) + //(, x) = 
erhalten. Liegt der Punkt y i auf der Kurve f(x 9 x) = 0, so 
reduziert sich die letzte Gleichung auf U 9 f(x f x)2u x f(y 9 x)^0. 

B* 1) Um die Gleichung der beiden Geradexi zu erhalten, die 
man durch den Punkt y. parallel zu den Asjmptoten von f(a?,o?)=0 



Strahlenbuschel duich die Schnittpnnkte von Kurven. 141 

ziehen kann, hat man fur u x = nur die Gleiehung der unendlieh 
fernen Geraden zu nehmen (Nr. 317), 

2) Dreht sich ein recliter "Winkel um seinen im Punkte P 
eines Kegelschnitts befindlichen Seheitel, so geht die Verbindungs- 
linie der zwei anderen Punkte, in denen die Sehenkel des Winkels 
die Kurve noch schneiden, durch einen Punkt Q der Normale von 
P (Satz von Fregier). 

Wir gebrauchen reehtwinklige Koordinaten &\y und bilden 
wie oben die Gleichung der Yerbindungslinien des gegebenen Punk- 
tes PQ(XQ\^/Q) mit &Qn Schnittpunkten des Kegelschnittes und der 
Geraden ux -f vy + 1 0. Diese Verbindungslinien sind recht- 
winklig zueinander, wenn (Nr. 58) in ibrer Gleiehnng die Summe 
der Koeffizienten von as 2 und / 2 verschwindet; daraus entspringt, falls 
die Gleichung des Kegeischnitts in der Form a n x^ + a 2 %y 2 + & 33 = 
angenommen wird, die Bedingung 

(UX Q + vy Q + l)(a u + a 22 ) = 2(a n UX Q + a 23 ^^ ). 
Da w, v in dieser Gleichung im ersten Grade vorkommen, so geht 
die Sehne immer durch einen festen Punkt $, nSmlich durch 



Wenn der Punkt P Q die Kurve durchlauft, beschreibt Q einen neuen 
Kegelschnitt. 

1st der an dem gegebenen Punkt P gespannte Winkel kein 
rechter, oder liegt der gegebene Punkt nicht in der Kurve, so um- 
hullt die Sehne einen Kegelschnitt. (Nr. 292.) 

316. Schnittpnnkte mit einer Geraden. In Nr. 306 
und Nr. 132 Trurde das Paar der Scbaittpunkte eines Kegel- 
sehnittes mit der Verbindungsgeraden zweier Punkte #/, x" 
bestimmt; wir wollen nun die Sclmittpunkte einer durch die 
allgemeine Gleicliung gegebenen Geraden nit einem durch die 
allgemeine Gleicliung lestimmten Kegelschnitt ermitteln und 
zwar auf andere Art als in Nr. 309. 

Bei Anwendung der Bezeichnung f { fiir $f(x^, (*- 1,2,3) 
ist 27a?/,= mit f(x 9 x) == identisch ? aus der Verbindung 
dieser Gleichung mit der Gleicliung der Geraden Ztyfy = 
erhalt man 

oder durch Einfuhrung eines znnachst imbestimmten Faktors 6: 

f -f (\ ja* I J? f C\ 



142 XVII. Die allgemeine homogene Gleiclmng zweiten Grades. 316. 
d. h. in entwickelter Form nach den %i geordnet 



f 



(39) 



+ #3(^8 i "" 018*2 0- 

Man bestimmt somit bei bekanntem 6 die Verhaltnisse 
der Koordinaten der Scknittpnnkte aus drei linearen homo- 
genen Gleiehungen. 

Zur Berechnung von 6 beachte man, daB Ax i == A il f l 
+ As/a + A-3/s*7 3.1sdann folgt mit Eucksicht auf (38): 

*Gv; -f ^/i + Ai/i) + -A(V. - ^/s) - o. 

i'40) ^(Aufi + A,,f, + A/ s ) + A(*Jt - %/;) - 0, 

^(As/i + As/s + As/a) + ^(^2/i ~ i/i) = 0, 

woraus nach Elimination der /i, /* 27 f s die Gleichung 







hervorgeht. Die Ausrechnung dieser Determinante ergibt 



(41) i tA 19 Ai) z <sA n <s A^ + Av l 



(42) GA\tf + F(v, v)) = oder <? = y^TF^l;) . 
Nur bei negativem Werte yon F(v, v) sind die Schnittpnnkte 
reell und verschieden; sie fallen znsammen fiir F(y, v) 0. 

Um die Scknittpnnkte einer Geraden v x = mit einem 
Kegelschnitt zu finden, bestimmt man also die Qnadratwurzel 
aus der mit den Linienkoordinaten / o i geranderten Diskriminante 
(nacb. Gleiclmng (10) 7 S. 124); alsdann hat man nnr noch. die 
Gleiehungen (39) nach x l : ^ ; x% aufzulosen. 54 ) Im Falle & = ; 
^1 4 s ist die Gerade v x = eine Tangente des Kegelsehnitte 
mit dem Beruhrungspunkt x t \ % | x%. 

Die Yorstehenden Betrachtungen liefern nach dem Duali- 
tatsprinzip bei Vertauschung der x { mit den u t und der a ik 
mit den a ik die Gleichungen zur Bestimmnng der Koordi- 
naten u, der Tangenten^ die man Yon einem gegebenen Punkt 
^i^i+J/A+^s^s^O m & Kurvezweiter Klassey(w ;t ^ 2? %)=0 
legen kann. An die Stelle yon ^ tritt alsdann der Ansdruck 



Schnittpunkte von Gerade und Kegelscimitt. Gattnagskriterien. 143 



]/- $(y, y), vgl. Nr. 311. Will man diese Tangenten be- 
stimmen, wenn die Gleichung der Kurve in Punktkoordi- 
naten f(cc, x) = gegeben ist, so hat man erst die Funktion 
F(u i} u%, %) zu bilden, die an Stelle von <p( 1; s , %) tritt, 
wahrend tf ; also ]/ 0(y 9 y), nunmelir nach (21), S. 130, 



durch ")/ -4/Q/, j/) zu ersetzen ist. 

317. GattungslsTiterien. Dem Vorstehenden zufolge ist 
die Realitat der Losungen des Gleichungssystems (39) von 
der Realitat der GrroBe 6 abhangig. Eine reelle Gerade schneidet 
daher den Kegelscliniti f(x, x) = in zicei reellen oder ima- 
ginaren Pwnkten, je nachdem das Ergebnis der Substitution 
ihrer Koordinaten u { in die linke Seite F(u 1J u 2 , w 3 ) der Tan- 
gentialgleicliung negativ oder positiv ist. 

Aus der Bemerkung am Ende von Nr. 316 folgt ferner: 
Das aus einem reellen Punltie y f an einen Kegelschnittf(x, x) = 
zu ziefimde Tangentenpaar ist reell oder imaginar, je nachdem 
die Ergelnisse der Substittttion seiner Koordinaten in f(x, x} 
imd in die Dislmminante A entgegengesetzte oder gleiclie For- 
zeichen liaben. Damit ist auch das lufiere und Innere der 
Kurve definiert. 

Die Kriterien der Gattung des Kegelsclmittes f(x, x) = 
bilden nur den Sonderfall des ersten Satzes ftir die nnendlich 
ferne Transversale. Sie hangen also davon ab, wie die Ko- 
ordinaten derselben in dem gegebenen System lauten. Ist 
f(x, x) = in trimetrischen Normalkoordinaten gegeben und 
bedeuten wieder ^ die Langen der Seiten, A t die Winkel des 
PundamentaldreieckSj so ist der Kegelschnitt eine Hyperbel, 
Pardbel oder Ellipse, je nachdem die mit den \ oder sin A i 
geranderte DisJcriminante positiv, Null oder negativ ist. Sind 
aber allgemeine projektive Koordinaten gegeben mit dem Ein- 
heitsptinkte E, dessen Abstande von den Seiten des Koor- 
dinatendreiecks gleich %, e 2? e s sind ; so liat die unendlich feme 
Gerade nacli (36) in Nr. 88 die Gleichung 



hierbei bezeichnen \, Ji 2 , ~h% die Hohen des Koordinatendrei- 
ecks. Offenbar kann (43) anch ersetzt werden *durch 



144 XVII. Die allgemeine homogene Gleichung zweiten Grades. 317. 

(43a; ej^ + e^\x^ + ej,& = 0, 

man hat daher bei Anwendung des vorstehend erwahnten 
Kriteriums die Determinante der a ik mit den e t l t zu randern. 
Am einfaehsten gestaltet sicli dieser Ausdruck bei Flaehen- 
koordinaten, da fur diese die unendlich feme Gerade nacli 
Nr. 88 Einheitslinie ist; die Gleichung f(x, x) = stellt als- 
dann im Falle A + eine Eyperbel, Parabel oder Ellipse dar, 
jenachdem die Koeffimntensumme A n + A^ + A m + 2 A n 
+ 2A S1 + 2A U negativ, Null oder positiv ist. 
B. l) Die Gleichung 

(a^ + (a^$ + (a 3 %p- ==0, (% , %, a 3 + 0) , 
stellt, wenn a? 1? a? 2 ? a 'z trimetrische Nonnalkoordinaten bedeuten, 
eine Parabel dar, falls 



2) Man soil den Ort des Brennpunktes der Schar von Parabeln 
bestimmen, die die Seiten des Puridamentaldreiecks beriikren. 

Ist der Punkt y i der eine Brennpunkt irgend eines eingescbrie- 
benen Kegelsclinittes und sind daher 7/ 2 x y% x% = , y$ x i y^ x s , 
y^ *- y^i s=s ^ e Gleicbungen der Verbindungsgeraden desselben 
mit den Ecken des Fundarnentaldreiecks, so sind die Verbindungs- 
geraden derselben Ecken mit dem andern Brennpunkte solehe Ge- 
raden, die mit den Seiten des Dreiecks die namlichen Winkel bilden 
(Nr. 188). Ihre Gleichungen lauten also in Normalkoordinaten 

^^!IA *** %^3 ^1^1 ^ ? ^1^1 %#8 = j und man kann 
daher fiir die Koordinaten des andern Brennpunktes die reziproken 

Werte der y. nehiaen, 55 ) Wenn also die Gleichung des Ortes ge- 
geben ist, den der eine Brennpunkt durehlauft, so kann daraus so- 
fort die Gleichung des Ortes gebildet werden, den der zweite be- 
schreibt, 

Wenn insbesondere der eine in der unendlich fernen Geraden 
I 1 x 1 + ?2%+ ?3^a ^ bleibt, so durehlauft der andere den dem 
Pundamentaldreieck umgeschriebenen Kreis (vgl. Nr. 302, 3) 

i + ^ + i = Oder 2^=0. 

#! X% ' X & % 

Die Normalkoordinaten des unendlich entfernten Brennpunktes 
der Parabel sind nacb der Beziehung in 1) durch f\ ^\ j\ dar- 

^l" ^2 ^3 

gestellt, weil diese Werte den beiden Gleichungen 

2^ 0, 2?(a,^)*0 

geniigen; daher sind die Koordinaten des in endlicher Entfernung 
gelegenen Brennpunktes die Eeziproken l?:a fUr i = 1, 2, 3 



Brennpunkte. Mittelpunkt und Durchmesser. 145 

3) Die Gleichung der Leitlinie dieser Parabel zu bestimmen. 
Wir finden nacli NT. 307 als Gleicliung der Polare des eben 

genannten Brennpunktes 

*i*i(V+ tf-Vl+WAtf+k*- *)+ 3 W + I./- V) = 
oder a L x Z 2 \ cos A + % i \ \ cos ^2 "f" a s ^ \ 4 cos A Q. 

Wenn man fiir a 3 den aus l) entspringenden Wert eintrilgt. 
so wird diese Gleiehung in 

a l VsO&l Q ^A 1 #3 COS^ 3 ) + #2^1 (#2 COS J-2 # 3 COS Jig) = 

tibergeftinrt und dies zeigt, daB die Leitlinie stets durch den Huhen- 
sclinittpunkt des Dreiecks gelit. (Vgl. j^r. 65, 3 und Nr. 2J3, i). 

4) Ort der Brennpunkte derKegelschnitte einer Scnar(Nr. 300,8), 
Wenn wir die vier gemeinschaftlichen Tangenten durch x t = , 

x 2 BS= , # 3 = , o? 4 = darstellen und zwar mit der identischen 
Beziehung (Nr. 304) -S 1 ^ === , so muB diese nicht nur durch die 
Koordinaten des einen Brennpunktes ^ ! ^ g j 2% \ ^, sondern auch 
durch die des andern, d. h. ihre reziproken Werte, erfullt werden. 
Der fragliche Ort 1st daher eine Kurve dritter Ordnung mit der 
{rleichung 



318. Mittelpnnkt und Burclimesser. Die projebtiven 
Eoordinaten c i \ c 2 \ c s des Mittelpunktes der Kurve f(x, x) = 
lassen sich leicht bestimrnen, wenn man beachtet ; daB dieser 
Punkt der Pol der unendlieli fernen Geraden ist ? die nach. 
(43 a) die Gleichung hat: 

(44) p^ + PA + JPs% ^ ? wo Pi = e i l a i - !; 2 > 3 - 
Nach (8), S. 123, folgt daher 

(45) q : C 2 : c s - (A n p, + A^j). 2 + A n p,} 

: (A n y l + -4^ ft + J^ft) : (^A + ^ 32 jp 2 + Jss&j)- 
Als Bedingung dafur ; daB eine Gerade f o i ein Durch messer des 
Kegelsehnittes sei ? ergibt sich offenbar 
(46) 



Die Gleichung des zu der Richtung einer gegebenen Ge- 
raden ^=0 Jconjugierten Durchmessers erhalt man als Polare 
des in der Richtung von v x = im TJnendlichen gelegenen 
Pols. Als Schnittpuntt von v a mit p^ = hat dieser Pol 
die Koordinaten t; 2 jp s v%p% | ^^ i 1 !^ ! t?j; 2 ^ 2 j? 1? die Glei- 

Salmoa-Mectler, anaL Geoza. d. Kegelsolni. H. 7- AuL 10 



146 XVII. Die allgemeine homogene Gleichtmg zweiten Grades. 318 . 

cluing des gesucbten konjugierten Durcbmessers ist daber m 
laufenden Koordinaten # 1? # 2; x%: 

(47) f 



Allgemein ergeben sicb die Bedingungen dafur, dafi zwei 
Greraden v iy w i konjugierte Durchmesser seien, indem man 
ausdriickt, da8 beide Greraden durcb den Mittelpunkt c t der 
Kurve gehen und konjugierte Polaren sind; die gewunscbten 
Bedingungen sind daber (vgl. Nr. 309) 



(48) (A n ^ + 

{ + (A n i\ + A^VZ + AMV^WS = 0. 

Sollen die Geraden v x = und w x == das Achsenpaar dar- 
stellen ; so tritt zu den Grleicbungen (48) noch die Bedingung 
der Ortbogonalitat. Ffir die jetzt vorliegenden allgemeinen 
projektiyen Koordinaten ergibt sie sicb aus der in Gleichung (12) 
YOU Nr. 68 angegebenen Bedingung fiir Normalkoordinaten 
durcb Division der dort Torkommenden Koeffizienten a i und 
a? durch die e t . Sie lautet also 





V/ 



Die Gleicbung des Asymptotenpaares ergibt sicb aus der 
durcb (33), S. 136 ; gegebenen Gleicbung des Tangentenpaare*s ; 
das aus einem Punkt y i an die Kurve gelegt werden kann ? 
wenn man daselbst die y { durcb die Koordinaten c { des 
Mittelpunktes der Kurve ersetzt. Man erbalt also zunacbst 



/nfH \ A A A f> <V 

. j >. " L si 32 <j! ^S3 3 3 ) 

00 



wo c t durcb A il p l -j- A^p s + ^-*3ft zu ersetzen Ist. Wenn man 
alsdann bei dieser Determinante die drei ersten Zeilen bez. 
mit J? 3? jp 27 jp s multipliziert und von der vierten Zeile sub- 



Konjugierte Dnrchmesser, Aehsen, Asymptoten. Kreis. 147 

traliiert ; und wenn man in gleieher Weise mit den drei ersten 
und mit der rierten Spalte verfahrfc, so folgt 
: A u A n A r , ^ ! 

, -^3-01 "^ 22 -"3L<3 v Xo 

(51) \A^ An A S3 x, =0. 
i 0-F(p,p } -p,, 

x l x% x p x 

Hier ist nun zu beachten, daB die Unterdeterrainante des Ele- 
mentes A a in der aus den A ik gebildeten Determinante dritten 
Grades gleicn Aa ik ist; die Berecnnung yon (51) ergibt alsdann 

AF(p, p)f(x, x) - A 2 (p A + p,x 2 + p,x,Y = 
oder nach Wegheben des Faktors A: 

(52) F(p, p)f(x, x) - A(p l x 1 + p 2 x 2 +p^^Q. 

319. Kreisgleiehnng und imaginares Kreispunktepaar 
in trimetrisclien Lmienkoordinaten. Sind s l} $%, % die Ab- 
stande eines Punktes P yon den Seiten des Fundamental- 
dreiecks ; so kann nach Nr. 67 die Gleichung einer jeien Ge- 
raden der Ebene in die Form U 1 s 1 + w 2 s 2 + % 3 = gebracht 
werden, und der Abstand eines *beliebigen Punktes P' 
yon dieser Geraden ist nach (15), S. 130 in Teil I: 

(53) fast + u 2 s% + te 3 5/) : Vfa, %? %)> 
wenn zur Abkurzung gesetzt wird 

(54) c^ , tt 2} MJ) = ttj 2 + % 2 + w s 2 
2i(w cos 2^ 



Will man in (53) statt der s? Zahlen y? einfdhren, die 
den s/ proportional sind, so muB dies Bach Teil I ; S. 
mit Hilfe der Gleichungen 



geschehen, in denen JSf den doppelten Inhalt des Fundamental- 
dreiecks bedeutet; Z 1? Z g? Z s sind die Langen seiner Seiten. 
Setzt man den Quotienten (53) gleich @ ; so ist 

(56) $ = 

tfi3 
der Ausdruck fur den Abstand des Punktes 34 von der Ge 

raden u i9 und wenn man statt der Seitenlangen die Hohe des 
Dreiecks durch l l ^M:Ji i einfuhrt 3 geht aus (56) die Gleichung 

10* 



148 XVII. Die allgemeine homogene Gleichung zweiten Grades. 319. 
(57) 



hervor. Dies ist in Linienkoordinaten u l} & 2? 3 die Gleichung 
eines Kreises, der durch seinen Eadius 9 und die trimetrischen 
Jformalkoordinaten y i seines Mittelpunktes gegeben ist, denn 
sie driickt aus, dafi das Quadrat des Abstandes des Punktes y l 
Ton der Geraden w f gleich p 2 ist. Hierbei sind die Linien- 
koordinaten^ (i= 1,2 ; 3) proportional den Quotienten ^ : \ , 
falls die ^ die Abstande der Geraden w a = von den Ecken 
des Fundamentaldreiecks bedenten. Nacli Nr. 87 sind nain- 
lich die u t proportional den Quotienten st. : wenn man mit 
,. die Abstande der Einheitslinie o) L + X 2 + x d = Q Ton den 
Ecken des Fundamentaldreiecks bezeichnet; fur diese findet 
man aber mit Hilfe Ton (56): 

(58) j_ : 2 : % = /^ : A 3 : /? . 

Die Diskriminante der Funktion o( 1; 11%, 3 J, namlich 

(59) 1 2 cos J. t cos Jt 2 cos J. 3 cos 2 A t cos 2 ^ 2 cos 2 J. 3; 
versehwindet, weil A^+A^rA^^t ist; daherzerfalltco(w j; w 2; 2( 8 ) 
in zwei lineare Faktoren # w ' und 3 u "j deren jeder ? gleich Null 
gesetzt, einen Punkt darstellt, Mit Rucksicht auf S. 80 folgt 
also, dafi diese beiden Punkte die Beriihrungspunkte der Tom 
Kreismittelpunkt y. an den Ereis gelegten Tangenten (Asym- 
ptoten), also die beiden imaginaren Ereispwikte sind. 

Die Zerlegnng der Funktion o(w x , 3f 3 ) in ihre beiden 
Faktoren ergibt 

(60) (Dftfi, ttj, Hfc) 

= ( % + ^e*- 4 ' + M s e"*^)( M! + M 9 e-* A * + * 5 e* J a) = 0, 
fur die trimetrisclien Normalkoordinaten ^'l^/j^' und ^"j^/'I^" 
der beiden imaginaren Ereispunkte besteten daher die Be- 
zieliungen 

(61) Va':V-- l:^:e~'^ 
und jar/': jr 2 ": V'= - 1 - ""^ : ***, 

wofur nach Erweiterung durch e~ sA * sowie mit Rucksicht auf 
AL + AI+ AS-*X und ^^ 1 auch 

(62) ^ : ^ : ^ = $-'^ : - 1 : e^i 
und ^": *i": 5/'== ^^ : - 1 : e'*^ 

gesetzt warden kann. 



(rleichung cles Kreises In trimetrischen Koordinaten. 149 



B. l) Eine Gleichung von der Form 

stellt einen Kegelschnitt mit den Brennpunkten a t und ^ dar; sie 
sagt iiberdies aus, daB bei jedem Kegelschnitt das Produkt der Ab- 
stande irgend einer Tangente von den beiden Brennpunkten kon- 
stant ist. 

die gegebene Gleichung aus, daB der Kegelschnitt dem durch die 
Verbindungslinien /, /', |S/ und /?/' gebildeten Vierseit ein- 
geschrieben ist. Die Punkte c< und f? sind daher als Schnittpunkte 
der von den imaginaren Kreispunkten an den Kegelschnitt gelegten 
Tangenten die Brennpunkte (vgl. Xr. 181). DaB das Produkt der 
Abstande einer Tangente von den beiden Brennpunkten konstant 
ist, folgt aus Formel (56) fiir den Abstand eines Punktes von einer 
Geraden M^ 0. Vgl. hierzu auch Nr. 188 und 299, 4. 

320. Die Gleiehung des Kreises in trimetriscnen Nor- 
malkoordmaten ergibt sich sofort aus der Formel fiir das 
Quadrat d~ des Abstandes zweier Punkte, die durch ihre tri- 
metrischen Normalkoordinaten gegeben sind (Gleichung 28 in 
Nr. 74). Ersetzt man in ihr die $/ und $/' durch die %. und 
y^ d durch Q, so drtickt sie aus ; daB der Abstand eines ver- 
anderlichen Punktes P mit den Koordinaten x i von einem 
festen Punkt y i konstant gleich 9 sei* Die Gleichung des 
Kreises vom Radius p und mit dem Mittelpunkt y i lautet 

daher: 

1 cos A* ( 



(63) 



cos A* 
!/i 






V>2 



2/3 








(W^ 

Die hier auftretende Determinante fiinften Grades entsteht, 
indein man die Determinante dritten Grades, die der durch 
(54) definierten Fnnktion (u ly u% 9 %) zugehort, mit den y. 
und den x i randert. Wir wollen die Koeffizienten dieser Funk- 
tion mit co a . bezeichnen, so dafi also co n = (D 22 = G) 33 == 1 ? 

ist; ferner 



150 XVII. Die allgemeine homogene Gleichung- zweiten Grades. 321. 

fur die eben erwahnte Determinante funften Grades das 
Symbol 



benutzt warden. 
Die Gleiehung 



stellt dann offenbar einen Ereis vom Radius nnd mit dem 
Mittelpunkt y i dar ? oder, in anderer Auffassung, das durch 
diesen Punkt gelegte tzirkulare Geradenpaar (Nr. 103). Es 
folgt dies auch daraus, dafi sich die Gleiefoing (64) aus der 
Grleichung co(V 1; ?/ 2? ^i 3 ) == des imagmaren Ereispnnktepaares 
ergibt ? wenn man in ihr die , durch die Koordmaten^ 3 % y%x, 
2/i% #3^1? 2/2^1 2/1^2 e ^ ner dure ^ den Puakt & gehenden 
G-eraden ersetzt. 

Bei allgemeinen projektiven Koordinaten ist iibrigens 

4 cos A* cos A 

- 1 : % f , ^a --- ^e s -' !-- -^" 

321. "Wann ist f(x 19 x^ X 3 ) == die (Heiclnmg eines 
Kreises? Dies ist nach ISTr. 103 dram der Fall, wena die 
Kurve f(x v ^ 2 , ^3) = durck die imaginaren Kreispunkte 
geht, wenn also o(u v u 3J u B ) = gleichbedeutend ist mit dem 
Ausdruck fur die Schnittpunkte der unendlick fernen Geraden 
^=0 und der Kurve. Dieses Schnittpunktepaar hat nach (11), 
S. 124 die Crleichung 
(65) s(u if %, %) 



bei der der Koeffizient yon M { U & durch s^ bezeielinet werden 
moge. Alsdann ist 

(66) 

wahrend die tibrigen $ ik aus den hier angegebenen durch zy- 
klische Vertatischnng der Indizes heryorgehen, Infolge der 
Pordernng^ daB s(u lj u%, u%) ~ mit e&(% ? t^ 2 , W 3 ) = gleicli- 
bedentend sein soil, ergeben sich die Bedingungen fiir den 
Kreis sofort in der Gestalt 



<lKreis bei trimetrischen Koordinaten. Potenz in bezug auf den Kreis. 151 

Diese Gleichungen sind natiirlich nicht voneinander un- 
abhangig, da ja nur zwei Bedingungen zu erfullen sind, wenn 
f( x i> x n #s) ^ einen Kreis darstellen soil; yielmehr bestetom 
die drei Bezieliungen 

(68) $nPi + s i%P2 H~ s i2Ps ==s ; (?' = 1? 2 ; <>j ? 

irgend zwei aus (67) entnommene Gleichungen habeu also 
(die drei fibrigen zur Folge. 

Insbesondere "bei trimetrischen Nonnalkoordinaten konnen 
die p i gleich den Langen If der Seiten des Funclainental- 
<dreiecks gesefczt werden. 

Bei solchen Koordinaten stellt daher die Gleichung 

'eines dem Fundamentaldreieck umschriebenen Kegelschnitts 
einen Kreis dar ; falls s n : 1 = 5 22 : 1 = 5 S3 : 1 oder also a 2 ^l 2 L 
= a si Z 3 1 = a ls Z t 1% ist, d. h. man tat alsdann a 23 : a 31 : a 1:J = ^ : ? 2 : ?, 7 
in ftbereinstimmung mit Nr. 302 ; 3. 
Bei Einfiilirung der Abktirzung 

'(69) ^(^1? #2; #3) = ^l^2^3 "f" ^2%^1 "1~ ^3 ^1^2 

und mit Benutzung eines Parameters 1 ist 

/7A\ n m r i T^Yr r -r ^ = 

*1 lUj ^xs: x "* "^ \ 1 7 2? 3/ 

die Gleichung eines beliebigen Kreises, der mit jST^^, a? 3 ) = 
die Gerade a x = zur Potenzlinie hafc. 

Zur Bestimrnung der Potenz U eines Punktes P'(%' ; ^V^s'^ 
in bezug auf einen Kreis f(^ 1; a? 2? # 3 ) = beachte niau ; daB 
die Potenz nach Nr. 109 gleich der aus dem Quadrate c 2 der 
Zentraldistanz des Punktes P' und dem Quadrate ^ des Kreis- 
radius gebildeten Differenz r ^ ist. Sind y l y s j y 3 die Ko- 
ordinaten des Kreismittelpunktes, so folgt 



daher wird 

<72) n - -^ 

r * 

Der Zahler dieses Ausdrueks kaim gleich der linken Seite 



152 XVII. Die allgemeine liomogene Gleichung zweiten Grades. 321. 



ffai) %2) V) der Caking des Kreises gesetzt werden, in die 
nian die Koordinaten von P' eingetragen hat. Bei Einfuhrung- 
eines noeh zu besfammenden, jedenfalls von den y i abhangigen 
Faktors m kann also U= mffa', a? 2 ', # 8 ') : IJ gesetzt werden. 
Hier laBt sich m bestimmen, wenn man beachtet, da8 die 
Potenz des Kreismittelpunktes gleich p 2 ist; so folgt 

= : also - - : 



Da die Koordinaten des Mittelpunktes y^ 
+ A t ils + A tZ ls sind, wird l^Fd^l^l^) und f(y l9 y*, yj 
= -4-F(Z 17 Z 2 , Z 8 ), man hat also das Ergebnis: Die Potent eines 
Punldes x^ \ x* \ x$ m "bemg auf einen Kreis f(x^ x%, ir 3 ) = 
vom Radius s o ist bei trimetrisclien NormalJcoordinaten gegeben 
durcli die Formel: 



B. 1) Sind 

A + VfTfo, ^ 2 ^s) = nnd & ^ + ^ /f (^i ? %? ^3) ^ 
die Gleiclmngen zweier Kreise, so ist A 2 a^, A x ^, = die Gleichung 
iiirer Potenzlinie. 

2) Die drei Mitielpitnkte der Seiten und die drei Fufipurikte 
der HoJien in ein&m DreiccJc llegen in demselben Kreise, dem Feuer- 
bachsdien Kreise des Dreiccks. 

Erne Knrve zweiten Grades dureh diese sechs Punkte ist 
^ 2 sin A cosA 1 + z% 2 sin A% cos J 2 + &j 2 sin J. 3 cos^i 3 

(a? 2 ^ 3 sinA^ + %%x sin J 2 + a^a/g sin^g) 0; 
denn fiir x% = erbiilt man aus ihr 
x 1 ^smA 1 cos-4 1 +% 2 sin-4 2 cos A 2 x 1 x% (sin^ cos^+cos-Aj s 
oder (z\ sinA i x% sin J. 2 ) (^ cos J[ t a7 2 cos A) ^ ^ 
nnd ntm beachte man, da6 n\ BinA i #<> sin-4 2 = und x l 
a? 8 cos-4 8 = nach Nr. 65, 4 und 65, 3 die dureh den Scheitel 
des Winkels A% gezogene Mittellinie bez. Hohe des Dreiecks dar- 
stelleia. Die Kurve ist aber ein Kreis, weil man die Gleichung 
schreiben kann 

(% cos^ + ,r 2 cos A> + #3 eos^ 3 ) (^ sin A 1 + x% sin Jl, + o? 3 sin -4 8 ) 

2(^ 2 ir 3 sin-Aj + ^3^1 sin^i 2 + %iC 2 sin.4 3 ) , 
oder fo cosJ-j + o; 2 cos^ 2 + ir s cos J 3 )^ SJT^, a^, # s ) = 0. 
Man sieht darans, dafi die Potenzlinie des umgeschriebenen und, des, 



Kreise des JDreiecks, insbesondere der Feuerbachsche. 153 

Feuerbachschen Kreises die Gerade von der Gleiekung x l cos A l 
+ #2 cosJ 2 + a? 3 cos J 3 == 1st. 

3) Potenzlinie des eingesehriebenen und des Feuerbaehschen 
Kreises. Die Gleichung des ersten (Xr. 303, 5) kann gesehrieben 
werden 

j cos 4 -^ , ^eo^-Ms , ? cos 4 4 A\ 
"^" ' 



. t * 

4 cos 2 -V A. cos 2 i A o cos 2 -?, JL _ r / " 

------ __* ____ ,.^_ J_ ___ -_s Air T 

sin ^ sin J 2 sin A, ^ * ' 

Also lautet die Gleichung der Potenzlinie: 

2 COS 2 -^ A COS 2 -4 2 COS 2 -J^ 3 {^ COS^ -r 2 COS A, + '^3 COS 

. x . , . . f cos 4 -?,-^, , cos 4 4--t . cos 4 -i 

= sin A* sin -4, sin JJ rr, r----- + ^ - . -"-, -' + % ......... . ...... i 

1 J " x ' 2 ' u 



oder nach Division durch 2 cos^^ cos^J 2 cos-i J, mid mit Hilfe 
goniometrischer Umformung: 



- J * z s __ - 

~ Zj + sin"-vi"-- ) sin"i'(l-i"l Xj ~"~ u * 



Man erkennt nun (Nr. 303, o), daB diese Gerade den eingeschrie- 
benen Kreis in einem Punkte beruhrt, dessen Koordinaten 
sin 2 i(J 2 -^ 3 ) | sin 2 -K^3- A) sin 2 i-(^- A) 
sind. In diesero Punkte beriihren sich also der eingeschriebene und 
der Feuerbachsche Kreis; die Mittelpunkte dieser beiden Knrven 
haben die Koordinaten 1 j 1 1 1 und cos(/4 s A%) \ cos(^4 s A^) 
| cos (A A%). Man zeigt in gleicher Weise, daB sich auch die 
drei angeschriebenen Kreise und der Feuerbachsche Kreis bertihren, 
Nach diesem Satze von F&tterbach ftihrt der Kreis seinen Namen. 56 ) 

Der folgende Beweis dehnt den Satz auf die acht Kreise des 
Apollonischen Problems aus, die in der Art in Gruppen von vier 
zerfallen, daB die Kreise jeder Gruppe von einem und demselben 
neuen Kreise beruhrt werden. (Kr. 123,) 

Sind ? 1? ? 27 ? 3 die nach der GrdBe geordneten Seitenlangen des 
DreieckSj nennen wir die zugehorigen aufien beriihrenden Kreise 
1, 2, 3 und den eingeschriebenen Kreis 4, bezeichnen wir ferner 
die Langen der auBeren und inneren gemeinsamen Tangenten 
der Kreise 1 und 2 mit 12, l'2' 3 usw., so muB, weil die Seite ? x 
den Kreis 1 auf der einen und die Kreise 2,3,4 auf der andern 
Seite hat, nach Nr. 128 die Beziehung stattfinden l'3'-24 



/ *12 sein. Durch Addition folgt 2'4''1 
1'4' 23 + 3'4'- 12, d. L die vier Beriihrungskreise des Drei- 
ecks werden von einem und demselben fiinften Kreise beruhrt, der 
den Kreis 4 auf der einen und die Kreise 1,2,3 auf der andern 
Seite hat. Zu den acht Kreisen des Apollonischen Problems erhalt 



154 XVII. Die allgemeine homogene Gleichung zweiten Grades. 321. 

man so acht neue Kreise; das Verhaltnis beider Gruppen zueinander 
ist ein gegenseitiges. Zu denselben kommen noch seclis Kreise, die 
zwar je vier der Apollonischen beriihren, wUhrend doeh jeder von 
ihneii nur durch drei der letzten beriihrt wird. 

4) In dem Ausdrnck IT - mf(x^ < %') : IJ fur die Potenz 
eines Punktes in bezug auf einen Kreis (bei trimetrischen^Normal- 
koordinatea) bestimme man die Konstante m, wenn f(x^x^ tf 3 ') = 
die erste Gleichung des Feuerbachsehen Kreises in 2) bedeutet. 

Weil der Kreis eine Seite # 3 = des Dreiecks in Punkten 
sebneidet, deren Entfernungen von der Ecke A l bez. gleich -|-Z 3 und 
/gcos^i sind, so ist das Quadrat der Tangente von A l an diesen 
Kreis gleich |ZJ 3 cosJ. r Aus der Gleichung des Kreises folgt 
ffa o, 0) - a* sin J. t cos A$ ferner wird Z/= \*x^ - 4^ 2 
sin-J^ ^ /2 , wo E den Kadius des dem Pundamentaldreieck nm- 
schriebenen Kreises bedeutet. Daher folgt die gewiinschte Kon- 
stante aus 

ia AI sin A * * i 



5) Die Konstante m fur den Kreis 

5? 2 ^ 8 sin A! + ir s % sin A$ + x^ sin A z = 
ist m 16R jt smA 1 sin-4 2 sin J 3 , 

und fur den eingeselniebenen Kreis 



3 cos 4 



2^2 cos 2 ^ cos "^ 1 *" 

erhalt man m = A 2 : (cos 2 -^ cos 2 |J 2 - cos 2 -^ 3 ), wo A den 
Flacheninhalt des Fnndamentaldreiecks bedeutet. 

6) Man bestinime die Entfernung D der Mittelpunkte des ein- 
geschriebenen und des umgeschriebenen Kreises voneinander; B, 
bez. E seien die Eadien dieser beiden Kreise. 

Das Quadrat der Tangente vom Mittelpunkt des eingeschrie- 
benen Kreises an den umgeschriebenen Kreis (D 2 E^) findet man 

/ / / - ^ -, i i 4B 4 8inJ sin ^ sin 
wegen ^:^: <= 1 : 1 : 1 gleich - 8 



nach bekannten Formeln der Trigonometric gleich 2SE r ^ da- 
lier ist 



7) Der Mittelpunkt des Kreises 

^)ft%+^^^ 

hat Koordinaten ^ | % | %, die bei Anwendung eines Proportionali- 
tatsfaktors die Gleichungen erffillen 



Die Potenz-Konstante. Polaritat in bezug auf ein Buschel. 155 

MI ffj a 2 cos J 3 <7 3 cos J 2 + A cos A 19 
tf = cr 2 a 3 cos JL X a x cos J. 3 + ^ cos J 2 , 



8) Die FuBpunkte der Yon den Punkten y. und 1 : y i auf die 
Seiten des Fundamentaldreiecks gef&llten Lote liegen in einem 
Kreise. 

Mit Riicksieht auf Nr. 68, 5 wird seine Gleiehung in der Form 
gefunden 

y t sin J. t + ) (j/ 2 y 8 sin J t -f ) = sin A t sin A 2 sin J s 

.OP^^^ 

322. Polaritat in Kegelsclmittsystemen. Da die Glei- 
der Polare ernes Punktes die Koeffizienten a ik der Knrven- 
gleicliung im ersten Grade entlialt, so geht eine unbestimmte 
GrroBe ; die im ersten Grade in der Gleichung eines Kegel- 
scnnittes enthalten ist, anch in diesein Grade in die Glei- 
'Ctuiig der Polare ein. Sind aber p =- und q == die Polaren 
eines Punktes y % in bezug auf zwei Kegelschnitte f(x, x) = 
und g(%, x) = ? so ist die Polare desselben Punktes in bezug 
auf einen Kegelschnitt des Buschels f(x, x) lg(x, x) 
durch p 1% = dargestellt. Denn es ist 

(75) (a n - M^Vi*! + ~ s a ny^i + - - WnViVi + 0- 

Die Polaren eines gegeben&n, PunJctes in lezug auf die 
Zegelschnitte eines BiiscMs Iflden daher ein StraUenWscliel, 
schneiden sicli also in einem zweiten festen Pmikte.^) 

Wenn p = und q' = die Polaren eines andern Punktes 
#/ in bezug auf die Kegelscbuitte f= und g darstellen, 
so hat seine Polare in bezug auf die Kegelschnitte f /l# = 
die Gleichung/ Jlg' = 0. Wir erkennen daniit (Nr. 250) ; 
daft die Polaren von swei Punkten in lemg auf die Eegd- 
schnitte eines BiiscMs wei projeltive Strahlenbuschel lilden. 

Ebenso liegen die Pole einer Geraden in bezug auf die 
Kegelschnitte einer Sehar (p 1% = (Nr. 270) in einer Ge- 
raden, und die Pole von zwei Geraden in bezug auf eine 
jolche Schar bilden zwei projektive gerade Punktreihen, 

Wir erinnern dabei an die Erzeugung der Kegelschnitte 
durch projektive Buschel und Reihen, wie sie in Nf. 283 
entwickelt worden ist. Da der Schnittpunkt der Strahlea 



156 XVII. Die allgemeine bomogene Gleichung zweiten Grades. 322. 

p lq = 0, p ig'*** der in bezug auf flg = Q ge- 
nommene Pol der Verbindungslinie der beiden gegebenen 
Punkte ist, so erkennen wir, daft der Ort des Pols eincr ge- 
gebenen Geraden in lezug auf alle KegelschniUe eines Biischels 
em Kcgelsclmitt ist. Die Gleiehung dieses Ortes istpq' p'q = Q 
(vgl.Nr. 301 ; i). 

Ist tine wibestimnte Grofie im zweiten Grade in der 
Gleichung eines Kegelschnittes enthalten, so muB sie auch 
in demselben Grade in die Gleichung der Polare irgend eines 
Punktes in bezug anf die Kurve eingelien; diese wird einen 
Kegelsebnitt umhullen^ wenn jene GroBe yeranderlich gedacht 
wird (Nr. 312). 

Wenn z. B. ein Eegelschnitt mit zwei festen Kegel- 
schnitten je eine cloppelte Beruhrung hat ; so umliullt die 
Polare eines festen Punktes einen yon drei festen Kegel- 
sekaitten; denn nacli Nr. 312 7 3 gibt es drei solche Sysfcerne 
von Kegelsclinitten, und die Gleichung jedes Systems entbalt 
die GroBe ^ im zweiten Grade. 

B. l) Wenn der Pol^. eine Gerade ^=0 durchlauft, so be- 
sehreibt der Schnitt seiner in bezug auf die Kurven eines Biischels 
f(#, of) A^ffl5, #) == gewonnenen Polaren einen Kegelschnitt N, 
der die Gleichung hat 



2f /&) 



Der Kegelschnitt entsteht aus projektiven Strahlenbuscheln, weil 
das Doppelverhaltnis von Yier Punkten in einer Geraden gleich dem 
Doppelverhaltnis ihrer Yier Polaren in bezug auf einen Kegelschnitt 
ist. Das DoppelverhSltnis der Punkte 



ist in der Tat identiseh mit dem der vier Geraden 



2) Gleichung des Paares der Tangenten eines Kegelschnittes 
f(#, a?) in seinen Schnittpunkten mit der Geraden %= 0. 

Die Gleichung der Polare irgend eines Punktes y l | y% \ ist 
(nach Nr. 307) y^f(x^ + y^ffe] == 0. Die Schnittpankte YOU 
%=0 mit derKurve erhaltmandurch tfn?/ 



Folarit'at in bezug auf Kegelsehnittbiischel. 157 

ausgedriickt Die Elimination von y^y z zwischen diesen beiden 
Gleichungen liefert als Gleichnng des Tangentenpaares 



Bei Cartesisehen Koordinaten x 1 : # 2 : X B ~ x : y : 1 stellt diese 
Gleictmng das Asymptotenpaar des Kegelscbnittes dar, denn die 
Asymptoten sind die Tangenten der Kurve in ihren Schnittpunkten 
mit der unendlich fernen Geraden. (VgL Nr. 76.) 

3) Wenn ein Kegelschnitt drei feste Punkte, z. B. die drei 
Fundamentalpunkte, entnalt und die eine seiner Asymptoten durcli 
einen festen Punkt geht, so umhiillt die andere einen Kegelschnitt, 
der dem Dreieck der festen Punkte eingeschrieben ist. 

Sind ^=0, 1 2 = die Asymptoten, und ist l x *= Q die un- 
endlich feme Gerade, so ist die Gleichung des Kegelsehnittes ^ t, 2 = I*. 
Da er durch die Fundamentalpunkte gebt, darf seine Gleichung die 
Glieder mit x^, x^ % 2 nicht entbalten; ist also t t von der Form 
a so ist von der Form 



geht also f a = durch den Punkt y i bindurch, so beriihrt nacb 
Nr. 303 die andere Gerade ^ = den Kegelsehnitt 



Dasselbe Argument beweist, dafi, wenn ein Kegelsehnitt durch 
drei feste Punkte geht, und wenn eine seiner Scbnittsehnen mit 
ii'gend einem Kegelsehnitt /"(a/, a?) = die Gleichung hat a^ 
+ & 2 #2 + %% =* 0, der anderen die Gleichung entspricht 

?u. + ^l^ o + ^ 0. 
a x 1 ' a 2 2 l a s 3 

4) Wenn ein in bezug auf einen Kegelsehnitt Jc sich selbst kon- 
jugiertes Dreieck gegeben ist und eine der Schnittsehnen von 7c mit 
dem Kegelsehnitt f($, #) = durch einen festen Punkt geht, so 
umhiillt die andere einen Kegelsehnitt. 58 ) 

Da die Glieder ^2^, %%%%, x^ in der Gleiehung des ersten 
Kegelschnittes fehlen, so entspricht der Gleichung der einen Be- 
ruhrungssehne a^x^ + a x a: 2 + %^ 3 = die der andern 



5) Die Beruhrungspunkte A', A" der gemeinsamen Tangente t 
zweier Kegelschnitte /*(#, x) == bez. g(x^ x) = haben die Ko- 
ordinaten yf bez. y^'\ ferner seien Q' und Q" Punkte, die den Kegel- 
sehnitt f * bez. g durchlaufen. Man bestimme den Ort des 
Punktes P, in dem sieh A'Q' und A"tf r schneiden, unter der Yoraus- 
setzung, daB Q'Q" durch einen festen Punkt in t geht. 59 ) 



158 XVII. Die allgemeine hornogene Gleichung zweiten Grades. 322. 

Sind zuniichst A 9 , A" noch nicht die Beriihrungspunkte einer 
gemeinsamm Tangente der beiden Kegelschnitte, sondern irgend 
welche Punkte von /= bez, g und sind Z'= 0, t f = die 
Gleiclmngen ihrer Tangenten, so ergeben sich Bach Nr. 306 ans 
den Koordinaten x t des Punktes P die des zweiten Schnittpunktes Q' 
der Geraden A'P mit /* = in der Form /"(>, %/- 2 x. 9 (i~* 1, 2, 3) 
und die Koordinaten von Q" analog in der Form g(x, x}y { 2t"x., 
(t = 1, 2, 3). Hier ist f'== l/(#/K, *" an a lo g- Geht die Ver ' 
bindungsgerade dieser Punkte durch den festen Punkt 0, den wir 
als den Fundamentalpunkt ^=^ = annehmen konnen, so muB 



sein; der gesucnte Ort ist daher eine Kurve vierter Ordnung, so 
lange die Punkte A\ A", beliebig gewahlt werden konnen. 
Mtissen dieselben jedocb. in einer Geraden Hegen, so konnen wir 
diese als die Lime %== wablen, und fur y/* 0, y t " = wird 
die vorige Gleicliung durch % teilbar und stellt die Kurve dritter 

Ordnung t' g(x, %)y "=**" f($, )%' dar - 

Wenn aber endlich die gegebenen Punkte die Beruhrungs- 
punkte einer gemeinsamen Tangente t siad, so ist l'***Q dieselbe 
Gerade wie "= 0, und es laBt sich die Gleichung der Kurve durch 
einen weiteren Faktor dividieren; sie wird von der Form /"(ar, #) 
A^(a;, x) und stellt daher einen Kegelschnitt dar, der durch die 
Schnittpunkte der gegebenen Kegelschnitte hindurchgeht. 

6) Man soil dem Kegelschnitt f(^, x) = ein Dreieck ein- 
schreiben, dessen Seiten durch die drei Fundamentalpunkte gehen 
(Ur. 298). 

Die Yerbindungslinie des Punktes P(^ | x% \ rc s ) der Kurve mit 
dem Punkte <?(^ | y$ \ y 3 ) ihrer Ebene hat noch einen Punkt mit 
der Kurve gemein, dessen Koordinaten den Ausdnicken f(y, y)^ 
2#/(y, a?), (i = 1, 2, 3) proportional sind. Ist der Punkt Q 
der Fundamentalpunkt 1 1 1 0, so wird /(y, y) gleich a u , f(y, x) 
^^f'fai) und die Koordinaten des zweiten Schnittpunktes der Geraden 
PQ und der Kurve haben die Werte %^i f'(#i) 1 %%] %i%- 
Ebenso schneidet die Gerade von P nach dem Punkte | 1 | die 
Kurve noch in <%% | ^rr, f (# 2 ) | ^22^3- -^ ie Verbindungslinie 
dieser zwei Punkte geht durch den Punkt | | 1 , wenn 



oder 

ist. Dies ist die von den Koordinaten des Scheitels P zu erfullende 
Bedingung. Setzt man in ibr 



Beispiele znr allgeineinen Gleicbuog der Kegelselmitte. 159 

so wird sie in 

*n(*if( x i} + V'M + ^(flas/'fri' + % fW) - 
und, wegen Sx i f(x^) in 

%/Oi) + %f 2 ) ~ flu /"(*) = 

iibergefiihrt. Der Paktor x z hat fur die georaetrisene Losung des 
Problems keinen Wert; denn obwobl jeder der Punkte, in denen 
#3 die Kurve scbneidet, die Bedingung erfiilli:, daB seine Yer~ 
bindungslinien mit den beiden anliegenden Fundamentalpunkten die 
Kurve ferner in Punkten schneiden, die mit dem gegeniiberliegenden 
| O'| 1 in einer Geraden Hegen, so entspreeben sie docn der Auf~ 
gabe insofern nicnt, als diese Yerbindungslinien zusammenfallen und 
daner nieht Seiten eines Dreiecks sein konnen. 

Die Spitze des gesuchten Dreieeks ist daher einer von den 
Punkten, in denen die Kurre durch die Gerade a*>%f(%i) + <%f '(%%) 
) == gescknitten wird. Man bestatigt nun direkt, daB 



"~ a szf'( x t) ^ ^ e Yerbindungslinien der entsprechenden Ecken 
der Dreiecke x l =0, x 2 = 0, x% = und f(x^ = 0, f(x^) == 0, 
ffa) == darstellen; daber ist nacn Nr. 67, 1 und 307, 1 die Ge- 

rade %f'(X) 4~ a i3/"(^2) ~~ a isf(tf$) *= ^ e nac ^ & QT Konstrak- 
tion von Nr. 298 erbaltene. 

7) Wenn zwei Kegelschnitte eine doppelte Beriinrung mit- 
einander baben, so wird jede Tangente des einen in ihrem Be- 
rubrungspunkte, in der Berubruagssebne beider Kegelschnitte und 
in den Scbnittpunkten mit dem zweiten Kegelseimitt barmoniscb 
geteilt (Nr. 289, 7). 

Wenn wir in die Gleicbung /"(or, x) ~=^g (x,x) + /= des ersten 
Kegelscbnittes fur x i die Werte lx t ' 4~ mx!' einsetzen, wo die Ko- 
ordinaten der Punkte x{, x^' der Gleicbung s x = geniigen, so er- 
balten wir aus ibr 

(Is^+ms^+lmW^") + aa'fM + V/"(OJ = 0. 

Wenn nun die Yerbindungslinie #/, x" den Kegelscbnit t g (x , x) +/==() 
beriibrt, so muB die zuvor angegebene Gleiebung ein vollstandiges 
Quadrat sein, d. h. es muB 

*i'fM + **'fM + x*'f(** fr ) - - 4 w 

werden, so daB die Gleicbung selbst in (ls xf ~ ms xf ^f= ubergeht. 
Dies beweist aber den Satz. 

323. Durcn jeden yon den vier Grundpunkten des Kegel- 
sclinittbuscliels f(x, x) lg(%i a) 'verscliiedenen Punkt 
Qd/i \ y% \ y$) ^ er Ebene gebt ein einziger Kegelschnitt des B(i 
schels (Nr. 249). Seiae Q-leiclmng wird offenbar g(y, y) f(x, %) 
f(y, y)g(x, x) == 0. Ebenso wird jede von den vier Grand- 



160 XVII. Die allgemeiae homogene Gleiciiung zweiten Grades. 



tangenten der Kegelsclmittschar y(u, u) ^(u, u) = ver- 
schiedene Gerade VOB einer einzigen Kurve der Schar beriihrt. 
Dagegen wird in jenem Btischel jede durch keinen der 
Grundpunkte gehende Gerade u t durch ztcei Kurven desselben 
berfihrt (Nr. 289, 8), fur die die entsprechenden Parameter & 
durch die Substitution von a u . M) lk fur a a in die Deter- 
niinante (10) von Nr. 309 gefunden werden, so daB man 
erhalt 



C76) D s ' a ^ ~~ 21 "" 22 3 "" 2S 2 I = 0; 

^31 ^^31 ^82 ^^32 ^33"" ^^38 *^3 j 

; A tej W 3 I 

dies ist eine in bezug auf I qiiadratisclie Grleichung. Ebenso 
gehen durch jeden auf keiner Grundtangente liegenden Punkt 
x i zwei Kegelschnitte der Schar y(w, u) lty(ii, u) = 0. 

Die Schnittpunkte einer Geraden v t mit den Kurven des 
Systems f(x, x) lg($, x) = findet man durch Znsammen- 
fassung der drei Gleichungen 

^=; %=; /"(, ^) - ^(a?, a?) - 0; 
also ist die Gleichung eines solchen Schnittpunktepaares 



(77) 







v i% v 00 

*, , w 00 

tv^ 61' o cvg \y v 

eine in 1 lineare Gleichung, die wir in der Form O(M ; w) 

i(w, tc) = schreiben konnen. Setzt man fiir JL die 
Wurzeln l ly L der Gleichung D = Q ein, so wird <t>(it, w) 

AY(w, w) jedesmal ein vollstandiges Quadrat K x 2 bez. K 2 2 , 
denn alsdann stellt 0( ; w) lY(w ; w) = doppelt zahlend 
den einen oder den anderen der beiden Punkte dar ; in denen 
die Gerade u a = von je einem Kegelschnitt des Biischels 
beriihrt wird. 

Aus 0( ; w)- 
folgt nun 

(78) <D(H, )i 



Buschel und Schar von Kegelschnitten, 161 

Die Gleichung 4>(u, u) A(w, ) = fur das Paar der 
Schnittpunkte der Geraden v x = mit der Biisehelkurve 
f(x 9 x) kg(x, X) = kann daher auch in der Form 
(79) Ki 8 (As - A) - K 2 2 1 A 1 - A) - 

geschrieben werden, woraus hervorgeht, dafi die Paare der 
Schnittpunkte eine Involution bilden, die die Beruhramgs- 
punkte der Geraden mit zwei Kegelschnitten des Biischels zu 
Doppelpunkten hat. (Nr. 289). 

Dual bestimmt ein Punkt mit der Schar g>(it, w) 
A^(w, w) = ein inyolutorisches Btischel yon Tangenten- 
paaren, das die in ihm beriihrenden Tangenten der beiden 
durch ihn hindurchgehenden Kegelschnitte der Schar zu Doppel- 
strahlen hat. 

Wenn insbesondere der eine der beiden festen Kegel- 
schnitte, etwa #(M ; u) = 7 in das Paar der imaginaren Kreis- 
punkte oo (^ ? it) = ausartet (Nr. 319), so sind die ihm mit 
dem andern festen Kegelschnitt 9?(w ; u) = gemeinschaft- 
lichen Tangenten die vier Verbindungslinien der imaginaren 
Kreispunkte mit den Brennpunkten von <p( ; u} == (vgl. 
Teil 1, Nr. 181), und q>(u 9 u] Aco(t^ ? w) = ist dann 6/we 
^Sc^ar ^on JconfoJcalen Kegelschnitten (Nr. 232). Auch von dieser 
Schar gehen durch jeden Punkt zwei Kegelschnitte, wahrend 
jede Gerade von einer Scharkurve beruhrt wird. Die Involution 
der Tangentenpaare der Schar an irgend einem Punkte hat 
rechtwinklige Doppelstrahlen, da diese mit jedem Paare ? also 
auch mit dem zirkularen Geradenpaar, eine harmonische Gruppe 
bilden (Nr. 289, 12). Da die Doppelstrahlen die Tangenten 
der beiden durch den Punkt gehenden Kegelschnitte des Sy- 
stems sind^ schneiden sich konfokale Kegelschnitte recht- 
winklig. 

B. 1) Man bestimme die Koordinaten der Bertihrungspunkte 
eiaer Geraden u x ^= mit dem Biischel f(x, x) ^(#, x) = 0. 



Ordnet man die Determinants D naeh den Potenzen und Pro- 
dukten der u^ 2 , ^ 3 , so hat man ftir die Koordinaten x. der be- 
treffenden Beruknragspunkte die Beziebungen 

^ : % : % 3 D'(%) : &M : D'M- 
2) Die Tangenten der Kurven des Biischels in ihren Schnitt- 

Tj anaL Geom. d. Kegelsohn. IL 7. Anfl. 11 



162 XVII. Die allgemeine homogene Gleicnurig zweiten Grades. 324. 

punkten mit einer Geraden umhullen eine Kurve dritter Klasse r 
die die gegebene Geracle zur Doppeltangente hat. 

Man bildet die Gleielmng dieser Kurve fiir a x = als die 
Gleichung der Geraden, u x = als die der Tangente und mit den 
drei Beziehungen ^?^= f (x.) A#'(X), indem man in die durch 
Elimination von a und I erhaltene Determinante dritten Grades 
fur die .r. die Werte einsetzt, die'aus der Gleiehung der Tangente 
und der Gleicnung der gegebenen Geraden gewonnen werden. 

Stellt a x = die unendliea ferne Gerade dar, so ist die zu- 
gehorige Kurve dritter Klasse die Hiillkurve der Asymptoten aller 
Busclielkurven. 

324. Bestimmiing der Kegelsehnifcte durcli lineare Be- 
dingungen. Funf Bedingungen bestimmen einen Kegelschnitt^ 
so daB im allgemeinen m Punl'te und n Tangenten desseTben 
gegeben scin konnen, sofern m + -^ = 5 ist. Die besonderen 
FSHe der Lage eines dieser Bestimmungs-Elemente oder 
mekrerer yon ihnen erfordera nur sehr eirifeche Umformimgen 
der Konstruktion cles entsprechenden allgemeinen Falles. 

Wenn z. B. eine Parallele zu einer Asymptote gegeben 
ist, so vertritt dieselbe einen unendlieli fernen Punkt, die An- 
gabe derEichtuBg einer Asymptote ist also gleichbedeutend mit 
einer Bedingung, Eine Asymptote der Kurve ist mit zwei Be- 
dingungen gleiclibedeutend ; sowohl mit zwei unendlich. nahen 
Tangenten wie mit zwei unendlich nahen Punkten, weil eine 
Tangente und ihr Beriihrungspiinkt gegeben sind. Die Be- 
stimmucg, daB die Kurve eine Parabel sein soil, ist eine Be- 
dingung, denn es ist damit die unendlieli ferne Tangente ge- 
geben, Dagegen wiegt die Bezeichnung der Kurve als Kreis 
$wei Bedingungen auf, weil dann die Kurve durch zwei be- 
stimmte unendlich ferne Punkte gehen mu6. Die Angabe 
eines Brennpunktes ersetzt 0ivei Bedingungen, denn sie be- 
stimmt zwei Tangenten der Kurve (Nr. 300 und 181), in der 
Tat bestimmt ein Brennpunkt mit drei andern Bedingungen 
den Kegelschnitt. 

Die Angabe des Pols einer gegebenen Geraden in lezug 
auf den Kegelschnitt ist gleidibedeutend mit 0wei Bedingungen, 
drei weitere Bedingungen "bestimmen die Kurve. Denn (vgL 
Fig. 75 in TeH I, S. 280) fBr P als den Pol von KK' in 



Lineare Bedingungen fur den Kegelscbuitt. 163 

bezug auf den Kegelscknitt und T als Punkt desselben ist 
auck T', der vierte karmoniscke Punkt zu T in bezug auf 
das Punktepaar P, R, ein Punkt des Kegelscknitts; und die 
Tangenten in T und T' sckneiden sick in einem Punkte 
der Polare R'E". So bestimmt man aus einem gegebenen 
Pol und seiner Polare zu drei Punkten oder Tangenten drei 
weitere Punkte oder Tangenten derselben Kurve und damit 
diese selbst Darum ist auek insbesondere die Angabe des 
Mittelpunktes als des Pols der unendlick femen Geraden init 
8wei Bedingungen gleickbedeutend. Brennpunkt und Leitlinie 
zaklen fur vier Bedingungen, weil zwei Tangenten und ikre 
Beruhrungspunkte damit gegeben sind. (VgL Nr. 181.) 

Dagegen ist die Angabe zweier Punkte als karmoniscker 
Pole gleickbedeutend mit einer Bedingung. Hierher gehort 
auch die Bestimmung der Kurve als gleichseitige Hyperbel; 
denn sie sagt aus, daB die unendlich. feruen Kreispunkte bar- 
monisctte Pole sind. Somit ist die Bestimmung eines sick 
selbst konjugierten Dreiecks mit drei Bedingungen gleick- 
bedeutend, wie auck die auf dasselbe bezogene Grleickung der 
Kurye nur zwei unabhangige Konstanten entkalt (Nr. 299). 
Wenn fiir eine Parabel ein Tripel karmoniscker Pole gegeben 
ist ? so sind durck dasselbe drei endlicke Tangenten der Kurre 
bestimmt und ist daker nur nock einer Bedingung zu ge- 
ntigen moglick. Bedinguugen, die linear sind fur PunMJcoordi- 
naten, sind quadratiscJi fur LinienJwordinaten, insofern es sick 
urn die Bestimmung der Koeffizienten der allgemeinen Glei- 
ckung kandelt. Dual entspreckendes gilt fur ein Paar karmo- 
niscker Polaren. Die Angabe eines Durckmessers ist ein be- 
sonderer Fall kiervon. Zwei konjugierte Durckmesser zaklen 
fur drei und die Inyolution konjugierter Durckmesser fur vier 
Bedingungen; jede Involution karmoniscker Pole fur zwei Be- 
dingungen, usw. 

1. Fiinf PunUe. Man kat zur Bestimmung der Koeffi- 
zienten von /*(#, x) = ftinf lineare Gleickungen. Aus jenen 
Punkten konnen mit Hilfe des Lineals allein beliebig viele 
andere Punkte der Kurve konstruiert werden. Auck kann man 
durck dieselbe Konstruktion die Polare eines Punktes in bezug 

11* 



164 XVII. Die allgemeine homogene Gleichung- zweiten Grades. 324. 

anf den Kegelschnitt ennitteln. Die Polaren von zwei Punkten 
einer Geraden liefern als ihren Schnittpunkt den Pol derselben, 
insbesondere z. B. den Mittelpunkt. Die Tangente eines Punktes 
der Knrve bestimmt sieh als die Verbindungsgerade desselben 
mit dem unendlieh nahen Punkte der Kurve. Ob die darch 
funf Punkte bestiminte Knrve elliptiscli oder hyperbolisch 1st, 
entscheidet sicb durch die sick selbst entsprecbenden Eich- 
tungen der Strahlenbuschel von zweien derselben nach den 
ubrigen (Nr. 284). 

2. Fiinf Tangenten. Die Koeffizienten von <p(u, w) = 
bestimmen sich durch ffinf lineare Gleichungen, daher alle 
andem Tangenten durch lineare Konstruktion, zugleich die 
Beriihrungspnnkte als Schnitte unendlich naher Tangenten 
(Nr. 269). 

Der Pol einer Geraden g, insbesondere der Mittelpunkt der 
Kurve als Pol der unendlich fernen Geraden, bestimmt sich 
als der Schnittpunkt von zwei Geraden, die zu g polar-kon- 
jugiert sind (Nr. 318). 

3. Vier Punkte und eine TamgenU f (ihren durch eine qua- 
dratische Gleichung zur Bestimmung fiir den Parameter der 
Kegelschnitte durch die vier gegebenen Punkte (Nr. 323). Man 
konstruiert nach der Eigenschaft des eingeschriebenen Vier- 
ecks durch seine Gegenseitenpaare auf jeder Greraclen eine 
Involution, der anch die Schnittpunkte mit der Kurve an- 
gehoreju; die Berilhrungspunkte der Tangente sind die Doppel- 
puakte (Nr. 289, 8). 

Weil diese Aufgabe zwei Los'p.Dgen hat, so kann eine 
lineare Konstruktion derselben nicht erwartet werden. Auch 
der Satz von Carnot laBt sich zur Auflosung des Problems 
verwenden (B. 1 in Nr. 314). Indem man bemerkt, daB durch 
rier Punkte des Kegelschnittes in dem Diagonalendreiseit des 
durch sie bestimmten Vierecks drei Pole und ihre Polaren 
gegeben sind, leitet man aus der einen bekannten Tangente 
drei andere Tangenten ab und gelangt so zu vier Punkten 
mid vier Tangenten. 

4. Vier Tangwten und ein PunU bestimmen den Kegel- 
schnitt durch die dualen Bedingungen und Konstruktionen. 



Lineaie Best-manning der Kegelscbnitte. 165 

5. Drei Punkte a, 5 ; c und zwei Tangenten. Man hat fur 
die a ik drei lineare und zwei quadratisehe Bedingungen, und 
man schliefit nach einem besonderen Falle des Satzes in 
Nr. 289 ; daB die Gerade ul den Kegelschnitt und zwei seiner 
Tangenten in Punktepaaren a ; J und A, S einer Involution 
schneidet, der der Schnittpunkt init der Beriihrungssehne der 
Tangenten als einer der Doppelpunkte der Involution angehori 
Jede der drei Geraden ab,"bc,ca bestimmt so in denDoppel- 
punkten der durch ihre Enden nnd ihre Schnitte mit den 
gegebenen Tangenten gebildeten Involution Punkte der Be- 
riihrungsseline jener Tangenten; sie liegen viermal zu dreiea 
in einer Geraden. Hierher gehort aucli die Bestimmung der 
Kegelschnitte durch drei Punkte und einen Brennpunkt. 

6. Drei Tangenten und &wei ^Punkte. Man hat die dnalen 
Gleichungen und Konstruktionen; das Dreieck der drei Be- 
riihrungsselinen hat seine Ecken in den gegebenen Tan- 
genten und nach dem Vorigen gehen seine Seiten je durch 
einen festen Punkt der Verbindungsgeraden der gegebenen 
Punkte. 

7. Die Angabe von zwei Punkten oder zwei Tangenten 
ist ein besonderer Fall der doppelten Beruhrung mit einem 
gegebenen Kegelschnitt] des allgeraeineren Problems ist an ver 
schiedenen Stellen des Vorigen gedacht worden. Fur die Be- 
stimmung durch drei Tangenten oder drei Punkte und die 
doppelte Beriihrung mit einem gegebenen Kegelschnitt sehe 
man Nr. 298,4; fur die durch Punkt oder Tangente und die 
doppelte Beriihrung mit zwei gegebenen KegelschnittenNr. 3 12 ; 3 5 
fiir die doppelte Beriihrung mit einem gegebenen Kegelschnitt 
und die Beruhrung mit drei andern Kegelschnitten, die diesen 
selbst doppelt beruhren, haben wir im Apollonischen Problem 
das elementare, aber vollgultige Analogon (vgl. Nr. 361 und 
Teil 1, Nr. 123). 

8. Zwei Punkte oder Tangenten sind ersetzbar durch die 
dem Kegelschnitt entsprechende Involution harmonischer Pole 
bez. Polaren in ihrer Verbindungslinie bez. um ihren Schnitt- 
punki So werden die Folk ~konjugi&rt imaginarer Paare be- 
stimmender Punkte oder Tangenten umfafife 



166 XVII, Die allgemeine bomogene Gleicbung zweiten Grades, 324. 

Normalen als Bestimmungselemente gestatten keine Kon- 
struktioneE mit Lineal und Zirkel, ebenso die Ton beriihren- 
den Kegelschnitten im allgemeinen oder TOE Kegelschnitten, 
die unter gegebeneE WiEkelE geschnitten werdeE; usw. 

EiEe allgemeinere Art linearer Bedingtkeit der Kegel- 
sehnitte, die alle bisher behaudelten UEd Eoch weitere ? z. B. 
die harmonische Teilung TOE Strecken UEd WiEkelE ; als 
SoEderfalle umfaBt ; wird uns die lETariaEteEtheorie 
lehren. fVgl. Nr. 349 ; 391 md 395 ? 6.) 



Achtzehntes KapiteL 
Inyariantentlieorie der Mnftren Formen. 

325. Binare Gleielmngen. Jede Kurve ?* ter Ordnung be- 
stimmt mit einer beliebigen Geraden eine Grruppe von n Schnitt- 
punkten (Nr. 27), jede Kurve w ter Klasse mit einem beliebigen 
Punkte eine Gruppe von n Tangenten. Dureh Transformation 
der Koordinaten kann die Gerade stets zu einer Seite, der 
Punkt zu einer Ecke eines Fundament aldreiecks gemacht wer- 
den. Dann liefert die Substitution von x i =Q bez. ^.= in 
die ternare Gleichung der Kurve die binare Gleichung des 
w- stralili gen ? zur Schnittpunktgrappe perspektiven Biischels 
aus der Gegenecke, bez. die Gleichung der w-punktigen ? ziun 
Tangentenbiischel perspektiven Reihe in der Gegenseite. 

Nun brauchen wir zur TJntersuckung der Punktreihen 
und Strahlenbuscliel uberhaupt nur zwei homogene Koordi- 
naten. Sind in einer Reilie zwei Fundamentalpunkte gegeben^ 
so konnen als die Koordinaten x l \ x% eines beliebigen Punktes 
seine durch Konstanten ^ ; e% dividierten Abstande von jenen 
genommen werden (Nr. 87). Ebenso sind die Koordinaten 
%|w 2 eines Stralils im Biisciiel in bezug auf zwei Funda- 
mentalstrahlen die durct Konstanten 1 f 2 dividierten Sinus 
seiner Winkel gegen diese. Definieren wir diese Konstanten 
als Koordinaten eines Einheitspunktes und einer Einheits- 
geraden (Nr. 87) 7 so ist die Bedeutung der Koordinaten in 
Reihe und Buschel dieselbe, d. h. eine Unterscheidung von 
Punkt- und Linienkoordinaten ist gegenstandslos. 

Bei soldier Deutung sind die Sehnittpuiiktreilien und 
"Tangentenbusehel einer Kurve durct homogene Gleiehungen 
mit zwei Veranderliehen analytisch ausgedriickt. Eine Unter- 



168 XVIII. Invariantentheorie der binaren Formen. 326, 

suchung solcher binarer Gleichungen wird daher die Grund- 
lage zu weiteren Ergebnissen des iin yorigen Kapitel be- 
gonnenen Studiums der ternaren Gleichungen zweiten Grades- 
bilden. 50 ) 

Die lineare binare Form schreiben wir 



und die Form n iGn Grades symbolisch als n ie Potenz a. Die* 

Transformation der Koordinaten zu neuen Fundamentalele- 

menten wird vermittelt durch 

(2) $ ^ % x l ' + cc^ fy', ? ^ 2 = flf 21 x l ' + a 22 %'. 

Bei unveranderter Koordinatendeutung ist dies zugleich der 

Ausdruck der projektiven Zuordnung zweier Eeihen (Buschel) 

$1 nnd a;/. 

Die allgemeine binare GleichuBg n i&n Grades hat n + 1 
Koeffizienten oder n voneinander unabhangige Konstanten^ 
die n Wnrzeln z^:%*>W, . . * x^-.x^ oder <* 1; . . . a a . Die 
Ausdrticke x^x : ^^^g nennt man die Linearfaktoren der 
Form. 

826. Biskriminante. Projektiye Pnnktreilien oder Strahlen- 
buschel sind dnrch drei Paare homologer Elemente bestimmt^ 
denn die Koeffizienten der linearen Substitution sind dann 
bis auf einen konstanten gemeinsamen Faktor zu berecknen^ 
Somit kanu im allgememen jede quadratische bez. kubische- 
Gleietung in jede andere quadratische bez, kubische Gleichung 
linear transformiert werden, da deren Koeffizientenzahl die 
der Substitution nicht tibersteigt. Dagegen konnen Gleichun- 
gen hoherer Grade im allgemeinen niclit ineinander linear trans- 
formiert werden. Zwei biquadratische GleichuBgen stellen nur 
dann projektive Gruppen von je Tier Punkten dar, wenn 
bei irgend einer ZuordnuDg derselben die Doppelverhaltnisse- 
gleich sind. 

Wir haben auch schon erkannt, weiche quadratische* 
Gleichungen oder welche Punktepaare nicht linear verwandt 
sind. Da jeder einzelne Linearfaktor wieder in einen Linear- 
faktor transformiert wird ? kann ein vollstandiges Quadrat nur 
wieder in ein solches tibergehen, Wenn also die Diskrimi-- 
nante zf einer gegebenen quadratischen Gleichung Null ist^ 



Die Diskriminante als Invariante. 169 

so verschwinden aucli die Diskriminauten aller ilirer linear 
transformierten Grleidmngen. Daher kann die Diskriminante 
durch. die Transformation nur durch den Zutritt eines von 
dieser abhangigen Faktors geaudert werden. In der Tat wird 
a x 2 =z a n x 1 2 + 2a 1 ^x 1 x^ + a 22 # 2 2 = durch die Transformation 
(2) mit 9 = 1 ubergefiihrt in 



tmd nacit dem Multiplikationsgesetz der Deterininanten er- 
lialt man 

/O\ jf ' / / 2 / \^ f *>> A 9 >* 

(o) zl = a n a 22 a n *= (a n ^ 2 2~" a i2 ^irv^ii^ga "~~ a is /~ A . <#. 

Die Disfaiminante <d r der transformierten Form ist das 
ProduU aus der "Diskriminante d der urspriinglichen Form in 
das Quadrat des Sulstitutionsmoduls A. 

Allgemein verstelit man unter der Diskriminante einer 
durch 

dargestellten binaren Form ^ ten Grades diejenige Funktion 
der Koeffizienten a 0? a 1} a 2; . . . a n von (4) ; deren Verschwin- 
den notwendig ist, wenn zwei Elemente der dnrch U == 
bestimmten Grruppe von n Elementen zusammenfallen sollen* 
Im folgenden werden wir zeigen, daB man die Diskriminante 
durcla Elimination von x 1 und x% aus 

(&\ JT * ^ ^ rmrl TT = A. c 

f / I O* = rt \J U.11U. L/;> =s o V 

erhalt. 

Zum Beweise dieser Behauptung beachte man, daB ein 
in U doppelt enthaltener linearer Faktor a^-f- u%x% in TJ t 
und ?7 2 als einfaclier Faktor anftritt; denn wenn U von der 
Form (cc i x l + cc^} 2 'U ist, so wird 
9U A , 



; 3 ) ~ 



170 XVIII InvariantentLeorie der binaren Formen. 326. 

Fur ##! + a 2 # 2 = Q verschwinden also neben U auch 
7j und Z7 2 . 

Umgekehrt kann man zeigen, dafi die Form U durch 
(^x^i+tf^s) 2 teilbar ist ; wenn t^ und 6 r 3 den gemein- 
samen Faktor a i x l -\- a%x% haben. In diesem Falle ist nam- 
lich aucb U zunachst durch (^i^i+tfg^) 1 hne Rest teil- 
bar, denn auf Grund des Eulerschen Satzes iiber homogene 
Funktionen ist 

Ein in Ui und U 2 enthaltener Faktor ist daher auch Faktor 
yon U 9 man kann also Z7= (a^ + # 2 # 2 )0 setzen ? und hier- 
aus folgt 



I T- ^ ^ / , \ f I 

w / 2 == ? -- == (cq^i + ^2^2) i ^ 

^ 2 Ca7 3 V 1 1 ' **' \03Ci l 



Da nun U und Z7 2 ganze Funktionen yon x l und x% mit 
dem. Faktor #!#!+ ^ 2 ^s s ^ n< ^; mn S v durch a^ -f ^ 2 ^ 2 ^ ne 
Eest teilbar sein 7 es ist etwa v ^ (c^x l + <x 2 x^)u } soinit in 

ffpv Taf T r =(rtr J_ // /r V . -?/ 61 ^ 

ti.Ci JLctL O =^ I Lvj tC-j "j~ U*C)JLs)j w J 

Da man das Ergebnis der Elimination von # t und x 2 aus 
zwei in # 1? ^' 2 homogenen Gleichungen als Eesultante dieser 
Grleichungen bezeiclinet, is afeo ^'e Diskriminante irgend einer 
binaren Form allgemein die Resultante ihrer pariiellen Ab- 
leitungen. 

Die Diskriminante einer quadratiscJien Form ist daher 
die Determinate ihrer linearen Ableitungen 

i A i /~\ 

n f \ ft T - ( i ft ft* I ft ff - 1 1 * 

11 1 ^ Lv-j^tX/Q ~' \f * ^'12*^1 l^ M/gQiX/e) \J * 

als Funktion der Wurzeln a 1} cc% lautet sie dann ? wegen 



(9) 

Die Ableitungen der transformierten quadratischen Form 
a x ? gehen aus den vorigen nicht einfach dadurch hervor, daB 
man die ursprtinglichen Ableitungen transformiert ? sondern 
es besteht die Identitat 



Diskriminante. Invaruinten im allgeineinen. 171 

sobald die x i linear durch die z ' ausgedriickt werden. Die 
neuen Ableitungen entstelien daher aus den ursprunglichen 
so, wie wenn diese als Elemente einer Transformation unter- 
worfen wtirden, die zu der auf die y { angewandten als die 
transponierte (Nr. 91) gehSrt. 

327. Invarianten. Die Diskriminante gehort 211 der Gat- 
tung wichtiger Funktionen, die man Invarianten nennt (Nr. 91). 
Eine algebraisclte Funktion I (a) der Koeffmenten a einer Form 
heifit Invariant^ wenn nacli linearer Transformation der Form 
dieselbe, in den transformierten Koeffizienten a gelildete Funl'- 
tion J(a') ein Prodiikk von J(a) in eine Potent des Siibstihir 
tionsmoduls ist: 

(10) J(oT)A r -J(a). 

Man bezeichnet eine solche Funktion als unveranderlich. oder 
invariant bis auf einen Faktor A r , und insbesondere als absolute 
Invariants, wenn dieser Faktor Ems (J (a') = J (a)) ist. 

Die Bildung solcher Inyarianten ist von groBter WicHig- 
keit fur die analytisclie Greometrie 7 denn das VerscMvinden 
viner Invariante drucU eine projeMive Eigenschaft des durch 
die Gleicliung dargestellten Gebildes aits. In der Tat ver- 
schwindet dieselbe Koeffizientenfunktion fiir alle projektiven 
Oebilde gleichzeitig. Wir konnen dafur aucli gleichbedeutend 
sagen, da6 die definierte Eigenschaft des gegebenen Gebildes 
vom Koordinatensystem unabhangig ist, denn eine Koordi- 
naten-Transformation ist eine lineare Transformation. 

In dem Teil der Algebra, den man als Invariantentheorie 
oder Algebra der linearen Transformationen bezeielmet, wird 
gezeigt, wie man Invarianten bildet. 

Hat eine Form metr als eine Invariante, so hat sie 
auch absolute Invarianten, z. B. i^ : J 2 r , wenn zwei Invarianten 
l^(a f ) = A r ^(a), J 2 (X) *** ^ s ' 4( a ) vor&anden sind. Damit 
zwei Formen linear verwandt seien, mussen auch ihre absolute 
Invarianten ubereinstimmen. Nun konnen die Substitutions- 
koeffizienten stets so bestimmt werden, daB vier transformierte 
Koeffizienten gegebene Werte kaben, also mussen im Falle 
einer binaren Form n^ n Grades noch n 3 Beziebungen 
zwischen den Koeffizienten der beiden Formen erfdllt sein. 



172 XVIII. Invariantentheorie der binaren Formen. 328. 

Diese Bezietoragen lassen sick aber stets durch Gleichheiten 
absoluter Invarianten ersetzen. 62 ; Demnach hat eine binare 
Form n im Grades n 3 unabhangige absolute Invarianten,. 
die biquadratische Form z. B. eizie. Eine quadratische oder 
kubische Form kann daher tiberhaupt niclit mehr als eine 
Invariante haben, nanilicb ihre Diskriminante, 

Die Definition der Invarianteneigenschaft durch. die Glei- 
chung (10) ist nicht an Funktionen yon Koeffizienten nur 
einer Form gebunden. Eine algebraische Funktion J der Koeffi- 
gienten a, &> . . . mehrerer Formen, die lei gleichmtiger Trans- 
formation dersellen invariant ist, heiftt eine Simultaninvarianie 
derseTben (Invariante des Systems simultaner Formen): 

(11) ^ J(o',&',..) = A r -Kf^, : -)- 

Das Versctwinden einer Simultaninvariante definiert eine 

projektive Beziebung der gleicbzeitig untersuchten Gebilde. 

Zivei lineare Formen a x , ~b x lidben nur eine Simultan- 
invariante, ihre Determinate a^ a%b r Denn es ist 

a/& 2 ' a 2 ' 6/ A (<% & 2 "" a 2 ^i) 5 

und es kann keine zweite Invariante geben, weil zwei ge- 
trennten Punkten irgend zwei andere getrennte Punkte pro- 
jektiv zugeordnet werden konnen. 

Ganz allgemein gilt der Satz: Gleichungen oder Glei- 
chungssysteme derselben Grade sind Equivalent oder stellen 
projektive Gebilde dar, wenn gleichgebildete Invarianten gleich- 
zeitig Null und alle gleichgebildeten absoluten Invarianten 
gleicbwertig sind. 

328. Harmonisclie Invariante. Zwei quadratiselie Glei- 
ckungen a a , 2 =0 ; ^=0 konnen nicht simultan in zwei be- 
liebige andere a x ' 2 =Q } &^ 2 =0 linear transformiert werden: 
als geometriscbe Bedingung hierfiir ist notwendig und hin- 
reichend die Gleichheit der Doppelverhaltnisse der Elementen- 
paare. Bildet man aus den Wurzelpaaren a 19 ^ 2 ; ^3 1; j3 2 der 
gegebenen Gleichungen das Doppelverhaltnis 

(12) rf.^^^.a^.-azA, 

"2 Pi K s Pi 

so ist 



Simultaninvarianten. Hannonische Invariante. 173 

und in den Koeffizienten ausgedriickt 



\l~-d 

Somit ist die reehte Seite Her eine absolute Simultaninvariante 
des Gleichungspaares. 

Der Nenner ist das Produkt der beiden Diskriminanten 
4 19 A^ andert sieh. also um A 4 bei der Transformation. 
Dalier ist auch die Quadratwurzel aus dem Zahler eine In- 
Tariante ; die sich um A 2 andert. Das Verscliwinden des 
Nenners zeigt ; daB zwei Elementenpaare nar dann d = 1 
ergeben, wenn das eine TOEL ihnen aus zusammenfallenden 
Elementen besteht (Nr. 83). Der Zahler dagegen verschwindet ? 
wenn d 1 ist ; d. h. die TSedingung fur die hannonisclie 
Trennung der beiden Elementenpaare ist 

(15) EE5 a n &22 + ^22^11 "~" 2^ 12 ^ 12 = ; 

in der Tat die schon in Nr. 16 gefundene Beziehung. 

Die linke Seite dieser Grleichung mag dalier als die Jiar- 
monische Simultaninvariante & bezeichnet warden. Algebraisch 
folgt ihre Invarianteneigenscliaft unmittelbar daraus, dafi sick 
& in der symboliseben Form (%&2"~ a 2^i) 2 schreiben Ia6t ; 
d. L als das Quadrat der Simultaninvariante der linearen 
Formen a x9 b x (Nr. 327). 

329. Resultante. Aus der absoluten Simultaninrariante 
(14) sind weitere Invarianten abzuleiten. Sowotl d == als 
d = oo ergibt z. B. die Beziehung 
(16) @ 2 -4^^ 2 =0 

als Bedingung dafiir, da8 die Gleichungen a/ = 0, b x % 
eine gemeinsame Wurzel haben ; d. h. als ihre Resultante. In 
der Tat lautet die linke Seite, in den Wurzeln gesclirieben, 

{(* + *)(& + A) -2(^ + A&^ 

oder 4(i - ft) (^ - ft) fa - ft) fa - ft). 
Nun ist aber 2 4^^ eine Invariante ? denn jede rationale 
Function van z/ 1? ^/ 2? & hat die Invariantmeigmsdiaft. Ab- 
solute Inrarianten sind unter den rational gebrochenen Funk- 
tionen offenbar diejenigen ; die beztiglich der Koeffizienten 
die nullte Dimension haben. Umgekehrt lehrt die Invarianten- 



174 XVIII. Invariantentlieorie der binaren Fonnen. 329. 

tkeorie, daft sicli iiberJiaupt alle Invarianten des qtiadratiscfien 
Formenpaares durch J 19 J%, & rational (wsdr'ticken lassen. 

Die Eesultante insbesondere kann man auch in Deter- 
minantenform bilden. Multipliziert man namlicb die beiden 
Pormen a*, & r s mit den linearen Binomen fi x bez. a^ die die 
nicht gemeinsamen in "h* bez. a x * enthaltenen linearen Fak- 
toren darstellen, BO mflssen die Produkte a^ft a und b*^ 
identiscli sein. Die viergliedrige Identitat 

.'/.- X=o 

liefert somit die in a if a i} /3 1; |3 2 linearen Gleiehungen 



Die Resultante ist die Bedingung dafur, da8 diese in /J x , /J 27 
a 1; a s homogenen und linearen Grleiclmngen nebeneinander 
bestehen, sie lautet also 



IJL4J 7 07 

\ / / f ft t\ / 1\ 

j (f o wj > C*2^ Vjig 

i a 2 2 i s j 
die man leicht nmformt in 

| ^11^22" ^22^11 ; ^(^12^22 ~~" ' 

B. 1) Das Doppelverhaltnis zweier Elementenpaare, als Funk- 
tion der Invarianten ausgedriickt, ist 



oder 



D6Z. 



2) Man soli den Ort eines Punktes so bestimmen, daB die 
von ihm an zwei feste Kegelschnitte gezogenen Tangenten ein bar- 
monisclies Biischel bilden. 

Wir denken die beiden Kegelsclinitte auf ihr gemeinsames 
Polardreieck bezogen: 



Dann wird das Tom Pnnkte y an den ersten Kegelschnitt gekende 
Tangentenpaar nach Nr. 313 ausgedriickt dnrch 



Result-ante und harmoniscbe Invariante zweier qnadratischerFormen. 175 



und ftir die Scbnittpunkte ties Tangentenpaares in der Fundamental- 
lime # 8 folgt 



Indem man die Bedingung bildet, miter cler das so bestimmte 
Punktepaar mit dem ebenso aus der Gleicbung des zweiten Kegel- 
scbnittes abgeleiteten Paare eine barmoniscbe Teiltmg gibt, erhalt 
man die Gleicbung des fraglicben Ortes in der Form 

(*2s % 3 + flasks 2 ) (^33 y>* + b n Vi) 



woraus nacb Abscheidung des Faktors ?/ 3 2 und nacb Yertauscbung 
der y i mit laufenden Koordinaten x i die Gleicbung 



bervorgebt, 

Die wicbtigen Beziebungen dieses Kegelscbnittes 2&(a/,a/)=0, 
der sogenannten Mrmonisclten JLur&e 2. Ordmtng, zu den gegebenen 
werden wir in Nr. 354 und 356 kennen lernen. 

3) Wenn in die Gleicbungen von zwei Kegelscbnitten f(x> x) = 0, 
0(#,&) = ffir % die Ausdriicke A^-f fty f eingesetzt werden, so 
folgt aus den in der Form 



(Nr. 306) gescbriebenen Substitutionsergebnissen nacb den vor- 
stehenden Betracbtungen, daS g(y^j}f(^,oc) + f(y,y)ff(&,x) ~ 
%f(x,y)$(x,ij) = das durcb den Punkt ^ gebende Geradenpaar 
darstellt, das Yon den beiden Kegelscbnitten in barmoniscben Punk- 
ten gescbnitten wird. In demselben Falle ist die Gleicbung des 
Systems der vier vom Punkte y { nacb den Scbnittpunkten derKegel- 
scbnitte gezogenen Geraden: 



,, 
sind die Paare der yon % an die Kegelsebnitte gezogenen Tangenten. 

4) Welches ist die Hiillkurve der Kegelscbrdtte, die durcb drei 
gegebene Punkte geben und eine feste Strecke harmoniscb teilen? 

Wir nebmen die drei Punkte als Fundamentalpunkte, der 
Eegelscbnitt bat alsdann die Gleicbung 



y i und ^ seien die Koordinaten der Streckenendpunkte. Dann haben 



176 XVIII. InvariaQtentheorie der binaren Formen, 330. 

die dem Doppelverhaltnis at entsprecbenden Teilpunkte Koordinaten 
von der Form y 4 + l^ bez. y i + f*^ wobei (i = la ist und A einen 
veranderlicben Parameter bedeutet. Die Gleichung des durch diese 
Punkte und die Ecken des Fundamentaldreieeks gehenden Kegel- 
schnittes wird 



i* 8 ) (% + ffi *8J 0/3 + fti ^) (^ + ai *i) ( 

oder, wenn man /* = y^ k ^ setzt: 

(Vi^-'i^^ + h^A^i + h 
+ 1(1 + a] {y&l'&Xs + # 2 V C 2 Vi + y&kW* } + 



Demnach ist die Gleichung der Hullkurve 

(1 + tf) 2 {ft VW3 + h*AW\ + 

- iff^^arjai + y^a?^ + y 

(VMs8+ ^^s^^i + 
oder 

(1 - c/) 2 ^^^ + iJ^AVi + 



Diese ist also eine Kurve vierter Ordnung, die die Ecken des Eun- 
damentaldreiecks zu Doppelpunkten hat und von der Geraden der 
Strecke in ihren beiden Endpunkten beriihrt wird, Fiir die harmo- 
nische Teilung insbesondere geht die Gleiehung fiber in das Produkt 
der Kegelschnittgleiclmngen 

y*\%*i + + y%\v* = und ZI\^A + * + h\ x A = ? 

d. h. die Htllkurve ist der vierte Punkt, der diesen beiden Kegel- 
schnitten gemeinsam ist. Alle einem festen Dreieclt umgeschriebenen 
Kegdsclmitte, die eine feste Strcelw Jiarmonisch teikn, geJien (lurch 
einen merten festen PwU. (VgL Bfr. 349, 8f.) 

330. Kovarianten. In der Form (18) auf Seite 174 er- 
scheint die Resultante zweier quadratischer Formen als die 
Diskriminante einer dritten qnadratischen Gleichung 

(20) f ( ^ 

I ^ 

Diese definiert nach Nr. 17 das m den beiden gegebenen 
gleichzeitig harmonisch konjngierte Elementenpaar. 

Nnn smd in der Projektivitat ; die ^' 2 =0 ? V 2== ^ ^ eB 
Paaren a^ = 0, &/ == zuordnet, aueh die gemeinsamen har- 
monischen Paare homolog. Also nra8 der Ausdruck (20) dnrch 



Die Fuuktlonalcletermlnante als Kovaiiante. 177 

lineare Transformation gleiehbedeutend werden mit cleni Aus- 
druck, der ebenso aus deni transformierten Gleiebungspaar 
'< 2 =0 ; ft/^O gebildet isi Wirklich isfc die linke Seite 
des letztgenannten Ausdruckes gleich der mit L, izmltiplizier- 
ten linken Seite yon (20). 

Man beweist dies durch die Darstellung der Gleichung (20) 
in Gestalt der FtmUionaldeternunante: 



22; 121 22* _ A 

i 7 i 7 ' ^J 

&13 #3? ^12^1 + ^22^2 

deren Eleniente die mit -^ multiplizierten partieJlen Ableituii- 
gen von a/, ?v nach n? 1? ^ 2 sind. Sofern x x nnd a?/, a 1 / 
durch die Substitution (2) ? wobei p = 1 sei ? identiscli ver- 
bunden sind ; bestehen zwischen den Ableitungen einer Form S 
beliebigen Grades die Identitaten (Nr. 325): 

$ s __ 2S issi , 8Ji d_&* = $S . a 2^ 
' "" " * ^ * ' n " 21 ' 



> 

Da somit die Ableitungen inyers transformiert werden, gilt 
allgemein fur zwei bin'are Form en S 1J 5 S die Determinanteu- 
beziehung 

^ OO N f SS, ZS ___ 3^ dti, _ A ioS, cS, _ a^ _8fii\ 
(- ^^ I ^' a^ a ' aarj' Si/ \^^i ex, csr^ dxj f 

z. B. auch F' = A- F. 

Kovariante einer Form oder mehrerer simultaner Fonnen 
Mfit elne Funldion C(^, a) der VeranderlicJien und der Koeffi- 
zienten, wmn nacli linearer Transformation dieselle, in den 
transformierten Veranderlichen x und Koeffizienten a' gebildete 
FunUion G(x, a 1 } ein Prodiikt von C(a? ; a) in eine Potent A r 
des Substitutionsmoduls ist. Somit ist die Funktionaldeter- 
minante zweier binarer Formen eine simultane KoTariante 
derselben; man nennt sie die JacobiscJie Kovariante. Die De- 
finition der Kovarianten umfafit die Inyarianten als SonderfaJl. 

Aus der definierenden Identitat folgt aueh die weitere 
(23) C(^^) = A r -C(^, 

Das Verschwinden einer Koyariante oder eine Jcowriante GRei- 
chung drilckt daJier ein geometrisches Gebilde aus, dessen Ite- 
tielwng m dem gegeben&i oder den gegebenen projeMv ist 

- Salmon-Fiedler, anal, Geom. d. Kegelschn. II. 7. Aufl. 12 



178 XVni. InvariaDteEtheorie der bin'aren Formen. 331. 

Also haben diese und das kovariaute Gebilde notwendig ge- 
wisse verschwindende Simnltauinvarianten, z. B, eines der 
Punktepaare mit F=Q die liarmonische -= 0. Sine In- 
-variante einer Jovariante ist nacli der Definition aucJi eine 
Invariants der Original form 9 z. B. ist die Diskriminante von 
jF die Eesultante von a x 2 , &/. 

Die Inyariantentlieorie lehrt, claB eine binare quadratische 
Form keine von ihr selbst yerschiedene, swei solche Formen 
S, S' auBer F und rationalen Funktionen von S, S' ; F keine 
anderen siinultanea Kovariaaten haben. 

331. Invariantentheorie der Involution. Zwei Elementen- 
paare /= 0, b/= bestimmeB nacli Nr. 17 eine Involution,,. 
deren Paare in der Gleichung 

(24) a^+iV-0 

enthalten sind. Wir betrachten also eine Parameterverbin- 
dung von zwei quadratischen Formen wiederum als eine- 
solche Form. 

Setzt man die Diskriminante dieser Form gleich Null ? 
so bestimint die so entsteliende Gleichung 

(25) (a n + ii u ) ( M + i& ss ) - (i 2 + i& 18 ) - 

die Parameter zweier je in einen Punkt zusammenfallenden 
Paare, der beiden Doppelelemente (Nr. 17). Diese Funktion 
hat ihre Invarianteneigenschaft fiir jeden beliebigen Wert 
des Parameters ; also nnabhangig von L Dalier sind sehon 
die Koeffizienten der naeh Potenzen von I geordneten Dis- 
kriminante Invarianten. In der Tat lautet die Entwickelung 

(26) ^+^0 + ^^/2, 

fiihrt also attssehlieBlicli auf die Diskriminanten der einzelnen- 
und die harmonische Simultaninvariante beider Paare*). 

Die Parameter der Doppelelemente sind absolute Invari- 
anten, namlieh 

^?L4~ _~ e r 
" ~ " 



Deslialb liaben die Doppelelemente eine projektive Bezielmng 
*) Ebenso ist die harmomsclie Invariante der Paare X', 31": 

24 + (r + r) e + 2 rr x 4 . 



Die Involution und iiue Doppelelemente. 179 

zu den gegebenen Elementenpaaren. Das aus ihnen gebildete, 
der Involution niclit angehorige Elementenpaar ist also dureh 
eine kovariante Grleiclmng darzustellen. Das Quadrat derselben 
lafit sich unmittelbar als das Produkt der die Doppelelemente 
einzeln definierenden Grleiciungen bilden ? als 



, 

{ l} 22 - ** 2 - . 



Man bestatigt leicht, dafi diese biquadratische KoTariante 
gleich jF 2 ist, wo F die fruhere quadratisdhe Kovariante 
ist. Also bilden die Doppelelemente das gemeinsame har- 
monische Paar zu den Involntionspaaren, in tJbereinstimmung 
mit Nr. 17. 

In einer Involution konnen die im allgemeinen getrennten 
Doppelelemente zu Fundamentalelementen gewaiilt werden. 
Bezeiclinen wir sie als # 1? % mit ^/+ ZJ)^^^, /+ %>$* 
= ^2 2 ? (^i ^ ^2)^ so kann die Grleielmng der Involution in der 
Gestalt 
(28) % ^^^=0 

gesckrieben werden, aus der die harmonische Trennung der 
Paare durch die Doppelelemente sofort hervorgeht. 

Die Doppelelemente fallen zusammen (^ 2 2 ), die In- 
volution ist parabolisch, wenn die Invariante 
verschwindet. Denn fur (a n + ^&n) (#22 + ^22) ~ 
ist es erlaubt zu setzen 

= m a 



Dann geht die Gleichung der Involution fiber in 

(% 2 + M i s)(m% 1 z + 2^^ 2 + ia;/) + (jh+ip^^~ 
oder 

o 0. 



Somit lost sich die parabolische Involution in einen Punkt 
und eine einfache Punktreilie ; bez. in einen Strahl und ein 
einfaclies Strahlenbiisciiel auf (Kr. 18). 

12* 



180 XVIII. Invariantentheorie der binaren Formen. 332. 
B. 1) Nach Gleickung (80) In Nr. 17 ist 

f 1 -(ofj + 03) flfjtfg ! 

I i -Cft + fc) Afc'-o 

1 i - (ft + y*) j i I 

die Bedingung dafiir, daB die Elementenpaare CS L , # 2 ; ft, ft; y l5 j' 2 
einer Involution angehoren. Die Multiplikation dieser Bedingung mit 

19 -t 1 ! v *> t -i ' 

i flf 8 flf 1 ; d- (5 1 j 

bez. j ^ ^ 1 I 
; a 2 2 cf s 1 ; 

oder mit (ft %) (/i i) (^""ftjj ^ez, mit -~ (c^ cr 3 ) 
(cf 2 <J) (<J ttj) liefert Gleichungen, die die Doppelverhaltnis- 
gleichlieiteE 



und die durch die Vertauschung von ^ t -4 2 , J?i5 s , C^Q unter sich, 
bez. von ^.Igmit Jl^JSg oder C^C^ daraus liervorgehenden aussprechen. 
} - 2) Man bestimme in zwei involutorischen Reihen anf derselben 
Geraden das beiden gemeinsame Paar eutsprechender Pnnkte. 

Siad jene durch die Punktepaare #/=*= 0, 6/== 0, G x ' 3 0, 
6^*= gegeben, so sind nacn (74") in Nr. 17 die Paa,re ibrer sica 
selbst konjugierten Punkte: 



Das gemeinsame Paar muB mit beiden zugleich harmonisch sein, 
d. n. seine Gleichung muB aus den beiden letzteu Gleichungen 
6benso gebildet sein, wie diese aus den Paaren der gegebenen. 
Wann ist es nicht reell? (Nr. 18.) 

332. ProjektMtat. Wenii vier Paare von Elementen 
A 19 Atf J3 iy BZ^GI, Og; D 19 D 2? die wir durct. die Wurzel- 
paare a lf a^ ft, ft; y 9 ^ 2 ; <J 1; <J 2 von vier Gleicliungea zwei- 
ten Grades dargestellt denken ; die beiden Gruppen cc ly ft, y 1; ^5 
o^ ? j3 2; j/ 2; <J 2 von gleiehem Doppelverhaltnis bestininien, so 
folgt aus der Parametergleickmg der Projefctmtat in Nr. 93 
die schon dori aufgestellte Bedingung der Projektivitat von 

El&mentm 

I 1 1 1 ! 



(29) 



ftft 



0. 



Piojektivitat von Tier Elemeiatenpaaren. 



181 



Wenn man in der Determinante die mit ^S^ 7 <5 2; ft 
bez. multiplizierten ersten Zeilen zur letzten addiert, nach den 
Elementen der letzten Zeile entwiekelt, die Determinanten- 
faktoren zu Determinanten zweiter Ordnung umformt, so lautet 
die Bedingung einfacher 

/ $ AN \^2 ft/ Vrl 

(30) . -fe-A)fc- 

zum direkten Ausdruck der DoppelYerhaltnisgleichheit 



entsprechender Elemente. 

Auf dieselbe Weise kann die Projektivitat zwd&r ReiJien 
von "beliebig vielen Elementen ansgedriickt werden. Denn die 
Doppelverhaltnisgleictiieit afler homologen Elementenquadrnpel 
kann durch das Verschwinden der Matrix 
!! 1 1 1 1 1 . 



(32) 



ft ft 







angezeigt werden, wenn dies bedeutet, daB jede der aus Yier 
Spalten derselben Matrix gebildetenDeterminanten verschwindei 
DaB zwei projektive Systeme durch das eine und drei Paare 
entsprechender Punkte aus beiden Yollkommen und auf lineare 
Weise bestimmt sind (Nr. 93 ; 288), ist daraus ersichtlich ? daB 
alle Determinanten, die die zwei ersten Spalten enthalten, in 
den fehlenden Elementen linear sind. 

Ebenso sind beliebige Paare cc ly a 2 ; ft, /J 2 ; usw. desselben 
Tragers in Involution, wenn die Beziehungen 

1 1 1 

(33) 



erfailt sind, denn jede der aus drei Spalten dieses Systems 
gebildeten Determinanten gibt durch ihr Verschwinden die 
involutorische Beziehung (80) in Nr. 17 der drei in sie ein- 
tretenden Paare. 

Die Gleichung, die bei Berticksiclitignng der drei ersten, 
Spalten YOU (33) entsteht, ist aber aueh eine einfache Urn- 



182 XVIH. Invananfcentheorie der binEren Formen. 333. 

fonnung der Beziehung der ProjeMvitak zwischen den beiden 
durch oj, ft, y 1? ^ und o s , ft, r 2 > ** bestimmten Gruppen. 
Man hat namlich 

i i i i i ! i A ft * 2 i 

1111; 

A + Aft + ft 

A A ^l^S 

und durch Subtraktion der Elemente der letzten Spalte von 
den entsprecbenden Elementen der ersten folgt 

! l l l i 



= 



o 



Involution der Paare a i 



i + ^2 



A A 



+ n 



Projektivitat 

der aus vier Elementen derselben gebildeten Quadrupel o^, ft, 
y a * #o /3 S ,70 % sind daher geometrisch. gleichbedeutende 
Bedingungen. 

B. l) Doppelelemente von zwei vereinigten projektiven Reihen. 

Sind 0^,05,5 ft,ft; ft y 2 die zur Bestimmung Mnreichenden 
Paare homologer Punkte, und ist durch d einer der Doppelpunkte 
bestimmt, so hat man fur $ die quadratische G-leichung 



72 



0. 



Die Doppelelemente einer Involution sind in 3S"r, 331 gegeben. 

2) Sind irgend sechs Elemente 1, 2, . . ., 6 eines Elementar- 
gebildes gegeben und konstruiert man die drei Elementenpaare, die 
bez. zu 12 und 45, 23 und 56, 34 und 61 gleichzeitig harmonisch 
konjugiert sind, so bilden diese Paare erne Involution. 

333. Polaren. Die durch a* = bestimmten Elemente 
konnen als Doppelelemente einer Involution aufgefaBt werden. 
In dieser sind y 1 \ # 2 und ^ 1 2% honiologe Elemente, wenn die 
Doppelelemente durch m 2 y^ m^ \ W 2 y 2 m i^ darstellbar 
sind. Die Einsetzung dieser Werte in a c * = ergibt zur Be- 
stimmung von m i :m% 

%^i) 2 + 2^(^1/1 %%)Ky 2 h^) 





Doppelelemente. Die Polaren als Jxovarianten von Pol und Form. 183 

Dazu ist notwendig und hinreicliend das Verschwinden der 
Differenz dieser Grleiclmngen oder 

(34) <hiVi g i + <*js(yi*s -r y**i ) + %&% =- 

Man erkennt in ihr einerseits die Parametergleicliiing der 
Involution wieder (Nr. 17 und 94),, andrerseits die sogenannte 
Polarform oder Polare von a x 2 = 0. In der symbolischen Schreib- 
weise erscheint sie als ein Produkt a f a s , das fur y = r = x 
mit a x 2 identisch wird. 

Auch die Polare mu8 gemaB ihrer projektiyen Bedeutung 
InYarianteneigenschaft besitzen. In der Tat zeigt dies die 
Anordnung 

(35) fcfai*! + ^i^ 2 ) 4- y 2 (a ls ^ + M*J) - 0, 

da die Klammergrofien die transponierte Substitution erleiden, 
wenn y^ \ y 2 und % j # 2 gleichzeitig und gleichartig transfor- 
miert werden (Nr. 330). 

Somit miissen wir die Definition in Nr. 330 dadurch er- 
weitern, dafi wir auct Kovarianten mit mefireren Beiken Don 
Jcogredi&nten Veranderlicken zulassen. Die Polarentheorie bietet 
die wichtigsten Beispiele mit zweierlei Veranderliclien. 

Die Polare der Gleichung a/ + ib^ = enthalt den 
Parameter ebenfalls linear: 

(36) a,a,+ M> Jf 1>,~Q. 

Einem Elemente oder Pole y entsprielit also eine Reihe kon- 
jugierter Pole und diese Reihen sind projektir ; wenn sicli y 
andert. Man nenut diese Reihen aucli zu der Involution pro- 
jektiv, weil in jeder die Zuordnung der Elemente und der Paare 
eindeutig ist. Indessen ist der Satz in voller Allgemeinlieit 
nur walir 7 wenn der Fall singularer Projektivitat mit einge- 
schlossen wird. Denn fur einen Doppelpunkt reduziert sick 
die Reihe konjugierter Pole offenbar auf den anderen Doppel- 
punkt. 

B. 1) Um zu finden, fiir welche y^\y^ die konjugierten Pole 
in einen % j % zusammenfallen, ist nur auszudrucken, daB die Polare 
unabhSngig von "k in ein Produkt 



zerfalle. Man erhalt als Bedingung 



184 XVIIT. InYariantentheorie der binaren Formen. 334. 



(a n + ?0ig)(&is 

deren Identitat mit der Kovariante (20) von Nr. 330 offenbar 1st 
2) Wenn die Elementenpaare # 15 a' 2 ; ft, ft; 7n>'g? ^1*^2 e * ne 
Involution bilden, so baben die in bezug auf die einzelnen Paare 
konjugiert hannonisehen Blemente a, b, c, b eines beliebigen Ele- 
mentes o> ein von w unabbangiges Doppelverbaltnis c?, d. b. die zn 
eineni anderen Elemente CD' in gleicber Weise gehorigen a\ b', c', b r 
haben dasselbe Doppelverhaltnis d. Kacb Nr. 332 ist also 
; 1 1 1 1 J . 
a B c b 



( a' b' c' b' "" 
i a a' bb' cc' bb' ' 



Zum Beweise beacbte man, daB die Gfiitigkeit dieser Gleichung 
durcb Koordinatentransformation nicbt gestSrt wird. man kann da- 
*=, o, co'^ oo setzen nnd erbalt (jSTr. 328) 

~ 



Die vorausgesetzte Gleicbung geht iiber in die neue 

; i i i i 



_ 
1+S A+A 



die, nacli den Elenaenten der zweiten Zeile entwickelt, tatsacblicb 
nacb (80) in Nr. 17 nur eine Folge der involutorischen Beziehung 
der Paare ist. 63 ) 

334. Holiere Polaren. Wir verfolgen diese Betrachiungen 
wenigstens in einigen Hauptzfigen auf das Gebiet der binaren 
Formen hoheren Grades. 64 ) Es sei 



f 

1 ; 1 



eine allgemeine Form n ten Grades; alsdann bestimmt U x ^=0 
eine Gruppe wn n Elementen x. Wir konnen nun das Er- 
gebnis der Einsetzung von w 2 y +%5. statt x i in die Glei- 
chung nactt dem Taylorschen Theorem angeben. Es soil Mer- 
bei die symbolische Schreibweise (Nr. 325) auch auf die 
Bildung der hoheren Ableitungen ausgedebnt werden, so daB 
die r te Potenz des Differentiationszeicnens das Symbol der 
r tett Differentiation ist, z. B. 



Hdhere Polaren. 185 



Dann hat das Ergebnis die gleichbedeutenden Formen 

(38) ,-z7 r + - t - 



und 

(39) 4'J7 r + -f^- 

'-' Z7 f +".. + *?- o. 



Notwendig sind die Entwiekelungskoeffizienten beidernal die- 
selben; man nennt sie Polarformen von TJ X nnd sielit ; daB es 
n 1 solche gibt. 1st r < n, so gibt es eine Polarform, die 
in fy yon der r ten und zugleicli in y f von der (n r) ten Ord- 
nung ist. 

Demnacli ordnet die Gleichung 



jedem Elemente y i r Elemente s i und jedem Elemente # f um- 
gekelirt w r 'Elemente y i zu. Jenadidera ein Element y oder 
jer gegeben ist, definiert die Gleichung die Polare r^ Ordnung 
des Pols y oder die Polare (n r) fcr Ordnung des Pols $ in 
bezng auf die Gruppe U a = 0. GeMrt also z #ur Polare 
r fer Ordnung wn y, so gehort aucJi y mr Polare (n r) fer Ord- 
nung von #. 

Nnn bestimmt die Taylorsclie Entwickelung durcli ihre 

Wurzeln m% : m l die n Teilyerhaltnisse*) der einzelnen Ele- 

mente von Ux = mit angenommenen Elementen y und ^ ? also 

zx f zx" ' " 



jenaehdem U x =0 als Gruppe von Ptmkten oder von Strahlen 
gedeutet wird. Wenn der Koeffizient von m 2 7l ^ r m 1 r verschwindet^ 
so fiat die Summe aller ProduJcte von je r TdlverMltnissen 
$x:yx der n Elemente x mit $wei Polmi 8, y den W&rt Null: 
diese Zuordnung von r Elementen % ist die geometrische Be- 
deutung der Polare f ter Ordnnng von y. So ist fiir den 



*) Im allgemeinen ein konstantcs Yielfaclie derselben. 



186 XVIII. Invariantentheorie der binaren Formen. 334. 

Punkt s der Polare erster Qrdnung von y die Summe der 
Teilverlialtmsse 

?;+ *_*;; + . ._o. 

yx yv 

Die entwickelten Ausdrficke jener Polaren lassen sich. 
durch Symbole von der Form 
(41) a/- r a/-0 

darstellen, wenn in dem ausgefiihrten Produkt der Polynome 
jedes symbolische Glied &f~ 1: a,f durch a k ersetzt wird. Geht 
man von aj 1 aus und bildet nacheinander a y n ~ l a gf a v n ~*a* t 
usw. 7 so nennt man die Polare (n I)* 01 , (n 2) ter ; . . . Ordnung 
von 8 auch. bez. die erste ; zweite ? . . . , also a*~ r a[ die 
r te Polare von g. Weil nun a*a*a 8 r *=a*a*+ r ist, gilt der 
Satz: Bildet man die g^ und die (q + rf Polare von 2 in 
lezug auf die gegebene Gruppe y so ist die letzte eugleich die 
r ts Polare von in be&ug auf die erste. Dagegen erlialt man 
a y p a/a u r als r te Polare eines neuen Elementes u in bezug auf 
die g tc Polare a* a* von oder als die # te Polare von 2 in 
bezug auf die r te Polare #/&/ von u. So liest man iiber- 
haupt eine Reihe von Eigenschaften daraus ab ? daB die sym- 
bolische Darstelluag a p a s 9 aj . . . ungeandert bleibt ; wenn die 
Elemente y, 8, u . , . und zugleich die Ordmingszahlen jp ; g ; r . . . 
der fur sie gebildeten Polare vertauscht werden. 

Denkt man die gegebene Gruppe aus einem Elemente 
^=0 und einer Gruppe von (n 1) Elementen c/" 1 
gebildet ? so ist na y a* " 1 - l y c~ 1 + (n 1) "b 9 c y c^~ 2 ; fur 
5 y =*0 und c y c, n " a -0 ist also auch a a, n " liaB -0, d. L die 
(w 2) te Polare einer Gruppe von (n 1) Elementen ist auch 
die (n l) te Polare der Grruppe ? die aus jenen (n 1) Ele- 
menten und ihm selbst gebildet wird. 

Fallen -p Elemente der gegebenen Gruppe zusammen ; so 
enthalt die r te Polare eines beliebigen Elementes a ""~ r a/= 
das betreffende Element (p r) mal. Ist das vielfache Ele- 
ment c t zugleich der Pol 7 so folgt aus a/= c/b*-* durcb 
BHdung der r im Polare a*~ r a, r =* lc*b*-*- r l> 9 r , d. L die 
r t6 Polare des melfachen Elementes selbst besteht aus diesem 
Element als einem p-faehen und aus der r** n Polare dessdben 



Ho'here Polaren Die Kovarianten von Jacob! und Hesse. 187 

in lemg auf die ubrigen (n p) Elemente der Gruppe, so 
lange p + r < n ist. 

335. Jacobisclte und Hessescke Determinante. Alle Po- 
laren sind Kovarianten mit mekreren Paaren kogredienter 

O O 

Veranderlicter, da die durch j^- +y^ angedeutete Ope- 
ration Invarianteneigenseliaft hat (Nr. 333). Die Betrachtung 
der Polaren erster und zweiter Ordnung f&hrt zu .einigen 
wichtigen Kovarianten mit nur einem Paar von Verander- 
licten. Wenn die ersten und zweiten Ableitungen einer Form 
durci. Indizes bezeichnet werden ; so da8 65 ) 

(4%\ TT -I ^ TT ~ - -~ J 

^ } f n dyl 9 u ' nin-^Wy.d^ 

so lautet die lineare und die quadratische Polare von y 

(43) U& + U& = und U^* + 2 C7 t2 ^ 2 + U^ = . 
Nehmen wir gleickzeitig die lineare Polare eines Punktes 

y in bezug auf zwei Gruppen U X =Q, V x ^0 von n und m 
Punkten, so konnen die durch U^ + U^ == ? V^ + F 2 ^ 2 = 
bestimmten Elemente 8 nur dann zusarnmenfallenj wenn y 
die Bedingung erfullt 

(44) ^F.-JJ^-O. 

Die Jacobische Determinante Jz= ZJ^Fj U^ der Funktionen 
U und V ist eine Kovariante (n + m ~ 2) fer Ordnung derselben, 
denn sie ist die Determinante von Ausdrucken, die sich wie 
die Koeffizienten linearer Formen transformieren. 

Die quadratisclie Polare von y kami zwei vereinigte 
Elemente oder ein Doppelelement % bestimmen, wenn ikre 
Diskriminante 

(45) H=U n Uv-U ls *=Q 
verschwindet. Diese Funktion H der zweiten Ableitungen 
einer Form teiBt die Hessesche Determinante der Form and 
ist eine Kovariante (2n 4) fer Ordnung derselben, da sie eine 
Invariante einer Kovariante ist (Nr. 327). Fur eine quadratisclie 
Form U sind die zweiten Ableitungen die Koeffizienten, H ist 
in diesem Fall die Diskriminante von Z7; wie fur diese ? so gilt' 
allgemein der Satz, dafi analog die Hessesehe Determinante sicli 
bei einer linearea Transformation um den Faktor A 2 andert. 



188 XVIIL Invariantentheorie der bin'dren Formen. 336. 

Die 2^-4 Elements y d&r Jcovarianten Gruppe H^0 7 
deren quadratisclie Polaren Doppelelemente sind, gehoren sdlst 
als Doppelelemente &u den enten Polaren von 2n 4 PwJsten 0, 
Denn soil U&+ U&^Q zu einem g zwei vereinigte Ele- 
mente y liefera, so ist notwendig und hixireichend, da6 die 
Ableitnngen gleichzeitig Yerschwinden : U n ^ + Z7 12 # 2 "* 0, 
K, r ^ + J7 22 % 0. J.feo ^ fe Sessesche Determinants einer 
Form einfach die JacoUsche Determinate ihrer ersten Ab- 
Idtungen. 

Man kann nun neiie Kovarianten von U bilden als Ko- 
Tarianten von H oder von U und S. So ist die Jacobiscke 
Kovariante von U und H 

(46) r=Difli-Z7 a J^-0 

von der (3n 6) ten Ordming. Sie ist das Ergebnis der Eli- 
mination von f zwischen D^ jsr t + ?7 2 # 2 = tind S" x ^ + H^ == 0. 
Also gibt es 3w 6 Elemente j?, deren erste Polaren in "bezug 
au f u ^ Q ^^ 3"= ein gerneinsanies Element haben ; und 
T==0 ist die Gleicliirng dieser gemeinsamen Elemente. 

336. Involutionen h51ieren Grades. Denken wir durch 
U^a****Q, Fs &/ zwei Gruppen von je n Elementen 
im Gebilfle erster Stafe bestimnit ; so gibt die Grleichung 

(47) a^ifc^-O 

far I als einen veranderlidiea Parameter eine B.eibe von 
Gruppen, die je aus n Elementen bestehen; jede dieser Grnp- 
pen ist durcli eines ihrer Elemente bestimmt, wShrend offen- 
bar das ganze System durch irgend 0wei seiner Gruppen von 
n Elementen bestimmt wird. Man nennt es eine Involution 
n fen Grades, fllnter Involution scblechtweg verstehen wir die- 
jenige zweiten Grades.) So bilden die ersten Polaren c/^=0 
einer gegebenen Gruppe c/" hl = von n + 1 Elementen eine 
Involution n teE Grades. 

Unter den Gruppen der Involution n im Grades gibt es 
solche, die Doppelelemente enthalten; mit der Indexbezeich- 
nnng (42) der Ableitungen entsprechen jene der gleiclizeitigen 
ErfiiEung der beiden Gleichungen U l + AF a = 7 Z7 2 + AF, = 0. 
Also sind sie bestimmt durch die Gleichung (2n 2) ten Grades 

(48) DiF.-ZTjFi-O. 



lavolutionen hoheren Grades; ihre Projektivit'at. 189 

Diese Gleichung der Doppelelemente ist die glelcli Null yesetzte 
JacoUsche Kovariante der FunMonen U und V: die Bestim- 
mung der Doppelelemente in der quadratiscten Involution 
(Nr. 331) ist der einfachste Fall Mervon. 

Man nennt zwei Involutionen projettiv. wenn derselbe 
veranderliclie Parameter 1 in beiden die homologen Gruppen 
bestimmt: 

(49) ^ ^ a/ + M* - 0, *; + *&; - 0. 

So bilden die ersten Polaren irgend zweier Systeme projek- 
tive Involutionen, in denen zwei homologe Gruppen demselben 
Pol entspreclien. Allgemeiner gilt der Satz: Wenn man fur 
alle Gruppen einer Inyolution ; eine beliebige Zahl fester Pole 
benutzend ; die Polaren derselben Ordnucg bildet ? so sind alle 
Reihen dieser Systeme involutorisch und cliese Involutionen 
zueinander projektiv. Da die (n lj ten Polarsysteme insbe- 
sondere einfaclie PunLtreihen (Strahlenbuschel) sind ? so soil 
das Doppelyerhaltnis YOU irgend vier Elementen dieser Reihe 
auch das der entspreclienden Gruppen der gegebenen Involu- 
tion oder der fur ein beliebiges Element gebildeten Polaren 
heifien (Nr. 334). Da dasselbe nur von den Werten der I 
abhangig ist ; erhalt man den Satz: Das Doppelverhaltnis einer 
Involution von vier Gruppen, die durch Polarenbildung oder 
Polarisiemng am vier Gruppen einer gegebenen Involution ent- 
standen sind, ist gleicfi dem Doppelverhaltnis dieser Gruppen 
und von dem als Pol lenutzten Element unabluinguj. 

In projektiven Involutionen gibt es hoinologe Gruppen ? 
die ein Element gemein kaben. Sie werden durch. die Glei- 
chung a/- ft/" 1 &/ a x ' m bestimmtj die aus der Elimina- 
tion des Parameters zwischen den Gleicliiingen der Involu- 
tionen entspringt. Also ist ihre Anzahl fur zwei Involntionen 
von den Graden m bez. n gleich (m + ). 

Man darf dies aucb. so aussprechen: Wenn sich in einem 
ElementargeUlde m*ei Eeifien von Elementen gegenseitig so ent- 
sprecJien, da/3 jedem Element der ersten HeiJie n Elemente der 
meiten und jedem Element der zwdten m Elemente der ersten 
entspreefien , so gibt es (m + n) Elemente, die mit ihren jedes- 
maligen entspreelienden 2usammenfallen. Denn fur A, I' als die 



190 XVIIL Invarianteatheorie der binaren Formeru 337. 

Teilverhaltnisse entsprechender Elemenie in bezug auf zwei 
feste Elemente des Systems 1st der algebraisehe Ausdruck 
tier ausgesprochenen Beziehung von der Form 

(a o ;> + a x X m ~ l + TISW.) JL* + usw. = 

und liefert fur Z = 7! eine Gleiehung- vom Grade (m + n) zur 
Bestimmung YOU L 

Habeu die Form en a/ und b x n einen Faktor yom Grade j> 
gemeinsam ? so gehoren dessen p Elemente jeder Gruppe der 
Involution an ? so da8 diese aus p festen Elementen und einer 
Involution voin (n pf en Grade besteht. Wenn das namliche 
mit den Formen a x ' Vt und l x m fiir einen Faktor vom Grade p 
der Fall ist, so zerfallt die GleichuBg der beiden Involutionen 
der gemeinscliafttichen Elemente a* - b x ' m 6/ a^ m = in 
die Faktoren von den Graden p und p f und einen Faktor 
vom Grade m + n (p + jp0; der die gemeinsamen Elemente 
liefert. 

Entbalt eine bestiinmte Gruppe der einen involutoriscben 
Reihe einen Faktor jpfach, die entsprechende Gruppe der an- 
dern denselbm Faktor ^fach ; so tritt das betreffende Element 
mit der Vielfachheit der Heineren von diesen beiden Zatlen 
in die Gruppe der gemeinsamen Elemente der Involutionen 
ein. 66 j 

337. Biskriminante der kubisclien Form. Eine kutische 
Gleichwig zwischen den Veranderlichen x t) x* 
(50) Uz= a Q x^+ 3%^^ + 3a^x x^+ a s # 2 3 *= 
ist der algebraiscbe Ausdruck eines Punktetripels x, x", x r " 
in einer Geraden oder eines Strahlentripels x' 9 x", %'" aus 
einem Punkte. 

Zwei Elemente des Tripels fallen nach Nir. 326 zusammen, 
wenn die Diskriminante zf von (50), also die Eesultante der 
zwei Gleichungen 



(51) 

{ U^a^ 

versehwmdet Man findet 

(52) A = (a Q a, - % a 2 ) 2 ^ 4(a a, - af)(a,a B ~~ of) = 0, 



Die Diskriminante der kubiselien Form, 191 

oder entwickelt 

,// == & 2 a 3 2 + 4# a 2 :i -f 4# 1 3 a a ~ ^a^a.r Qa^a^a^^ 0. 

Ffir l ^ ~ A *- ^ - 4 1 d J - A l dJ -A* 
* UT 2 ca, ~ ^> ~6 So, ~~ - 4 " G gZ "" ^' 2" 2a s ~ ^ 

wird 2z/ = a Q A + 3^^ + 3a 3 JL + ^ J 3 . 

Im Falle zf = finden die Beziehtmgen statt 
^ ^ = J.^ A A S - ^ J 2 , ^^3 - J 2 2 ; 
fur das Doppelelement ^ j 2 ergibt sich daher 

(53) g 1 : ^ == A Q : A l == ^ : A% = ^ 2 : A$. 

In den Koordinaten a?/ j #/, ^" ^ 2 ", a:/'' ^'^ der dnrch 
die kubische Gieicliung dargestellten Elemente wird die Dis- 
kriminante, da 

(54) J7 = fa x$ - ^1^2) fa x %' x i' x <t) fa x %" ~ ^"^3) ? 

r A __ _ i Tr V r "r ^ 3 (r "r "' r " r ir ^ 2 

(tt\ t "" 2'V X 1 ^2 ''! X 2J \^l ^3 *! X 2 / 

^ ^ fr "'r ' r 'r ""i 2 

1 (X 1 X 2 ^ X% ) . 

Iii der Theorie der kubischen Gleicliungen wird ge- 
zeigt, daB die Wurzeln von (50) reell und verschieden ; reell 
und paarweise gleict oder endlich paarweise imaginar sind, 
jenachdem die Diskriminante negativ, gleich Null oder positiY 
isi Die Diskriminante ist eine Invariants der JcuUschen Form 
und zwar die eingige (Nr. 327). 

Die Gleicliheit aller Wurzeln fordert die gleietzeitige Er- 
fullung der Bezielmngen 



oder der dnrch Elimination von x^\x^ entstehenden Bedingungen 
(56) a 2 % s = 7 a$a% % a% = 0, ^ 3 a 2 2 == 7 
ron denen je zwei die dritte nach, sick ziehen; man kanu 
Herfiir anch ^f : % = a t : a% = a 2 : % sekreiben. 

338. Kovarianten der kubisclieii Form* Die lineare 
Polare Ton y in bezug anf erne durch (50) bestimmte Gruppe 
von drei Elementen hat die Gleichung 
(a^y* + So^y, + %y 2 2 )^ + (a^ + 2a.^y, + %y 2 2 )% - 0, 
und die quadratiscte Polare ist 



192 XVIII. Invariantentheorie der binaren Formen. 338. 

Jedem Element y ordnet die erste ein einziges 2, die letzte 
zwei Elemente $ zu, so da6 die Teilrerhaltnisbeziehungen 
stattfinden: 

zx' , zx" . zx'" A r sx" zx" . s,r'" sx . zx' zx" n 
- - 4- .,4. ... = bez. , -f i , ~\ -- ; ?? ~ v. 
yx l yx ' yx y^ yx yx yx yx yx 

Wenn also y mit einem der Elemente x zusammenfaJlt, so 
ist mit ihm aucli ein z vereinigt. 

Die quadratische Polare liefert ein Doppelelenaent % fiir 
sim Pole y, die durch die Hessesche Kovariante H^ 

(5?) (tfo^-fliW- ^^-^2)2/i%+(%^-% 2 )^ 2== 
bestimrat sincl 

Nach Xr. 3Sr> gibt es ferner drei Elemente^ deren erste 
Polaren in bezug auf ?7=0 imcl 5=0 ein gemeinsames 
Element habeu, und die Gleichung dieser gemeinsamen Ele- 
mente ist 2('r L JK PJJ//JJ -= oder 
8 , f r-(a 2 ^2a 1 s -3r/ a 1 a^ 
^IrS^a^-floaafla-a^ 

Wenu man die Elemente der Hessesclien Kovariante %,% 
zu den fundamentalen w*ahlt ; so da8 sick H anf das Pro- 
dnkt y i y* reduziert, so muB a A == a 2 = sein und man erhalt 
die einfacheren Ausdriicke der kubischen Form, ihrer Diskri- 
minante tmd ihrer Korarianten 



(59) 

aus ilinen aber die allgemeingiiltige Beziehung 

(60 1 JV*~T*+4:S*. 

Hit T und U itit die Bildung von Kovarianten hier abzu- 

scliliefieD, denn es gilt der Satz: Jede Kovariante der Mischen 

Form ist ehw ganze Function n/ti z/ ? U 9 H, T mit numerischen 

Koeffizicnteu. 

Zugleich liefert jenc reduzierte Form eine geometrisdie 
Beziehung der beiden Elemente der Hessesclien Kovariante 
zu denen der ursprunglich gegebenen Form. Derm fur 
y a s : a a und s, a- als die beiden komplexen Kubikwurzeln 
der Einheit sind f/ t ay s = 0, y l - asy 2 =* ; ^ ^ 2 y 2 = 
4ie Elemente des gegebenen Tripels^ und die drei fundamen- 



Die Ko\arianten dei kubiochen Form. 193 

talen DoppelverLaltnisse, die das Tripel mit r n bez. i; 3 be- 
sfcimmt sincl samtlieh gleich s bez. r. Die Elements der 
Hessescfien Kovariante liltkn daJier mit dcnen des Tripel s 
Systems ron gleicli&n fundamentalen DoppelverMUnissen. Da 
die Zeichenanderung von a die Elemente der kubischen Ko- 
variante T liefert, wie aus (59) folgt, so bilden die Elemente 
der faibiscJien Form und die ihrer laibisclien Kovariante drei 
Paare von Elementen, die in lezug auf das Paar der guaflra- 
Usclien Sovarianfe einander Jiarmomsch Tconjitgiert soul Jene 
seclis Elemente bilden also eine Involution, die diese letzten 
zu Doppelelementen hat. Und iiberdies erkennt man, dafi die 
Jnibisehe Kovariante die drei Elemente darstdlt, von denen jedes 
zu einem Elemente des Tripels in lezug auf seme leidcn an- 
dern Elemente Jconjugiert Itarmoniscli ist. Denn das Element, 
das zu y l cty<> = konjngiert harmoniseli ist in bezug auf 
y 1 asy^ = und y 1 ai-y*,, = 0, ist y l -f wj* = 0. 

Die Disbiminante von S ist, wie (57) zeigt, zugleicli 
die Distriminante J von TJ. Itn Falle z/ = haben die 
Formen U und H einen zweifachen linearen Faktor ; und zwar 
kann man zeigen, da6 dieser fiir beide derselbe ist; nach (60) 
ist alsdann T die dritte Potenz des linearen Paktors. 

Das identische' Yerschwinden von H hat das identische 
Verschwinden von J und T zur Folge-, dann ist U eine dritte 
Potenz. 

B. l) Wenn eia Kegelselmitt einem Dreieck so umgeschrieben 
ist, daB die drei Geraden, die den Tangenten desselben in den 
Ecken des Dreiecks in berag auf die anstoBenden Seiten harmoniscli 
konjngiert sind, in einem Punkte ausammentreffen, so bestimmea 
die von diesem Punkte ausgehenden Tangenten des Kegelselinittes 
mit jenen zwei Systeme von gloielieii fundamentalen Doppekerhiilt- 
nissen* 67 ) 

FUr den Kegelsclmitt x',x% + %& + *&=* sind die den 
Tangenten in den Ecken harmonisch konjugierten Geraden: o: s ^=0 9 
X^X^Q^ ^^=0; diese gehen durch den Punkt ^==#2 = %, 
und ihre Sehnitte mit # 5 sind durch a^fa - ^ 2 ) = darge- 
stellt. Das Tangentenpaar von jenem Punkte an den Kegelschnitt 
ist (KrJ 313) 

fa + %% + %) 2 - 3(^% + %^ + ^JT,) - 0, 
seine Sctaitte mit ^==0 smd also durch % 2 - a? 1 2 + V"* 8 

Salmon-Fiedler, anal. Oeom, d. Kegelsclm. II. 7. Anfi. IS 



194 XVIII Imariaiiteritheorle der binaren Forinen. 338. 

ausgedriickt. Dies ist aber die Hessesclie Kovariante einer kubi- 
sehenForm fur a & === # 3 =* 0, 3^ = 3 , 3cr 3 = 1; also gerade der 
Form x l x. :t (x l J 2 ). Der dual entspreehende Satz kann ebenso be- 
wiesen werden. 

2) Wenn zwei projektive Gruppen von Elementen desselben 
Grandgebildes, von den en die eine aus einfachen Elementen, die 
undere aus Paaren in Involution besteht, so gelegen sind, da8 die 
Doppeleleroente des involutorisehen Systems mit den drei gemein- 
schaftlicben Elementen bolder Gruppen Systeme von gleicben fun- 
darnentalen Doppelverhaltnissen bilden, so entspricht jedes der 
Doppelelemente als Element der xweiten Gruppe dem anderen Ele- 
ment der ersten Gruppe. 

Die Gruppen sind darstellbar durch 

?i + AX,- 0, (a x + A s )y 1 s + (\ + ^ 2 )y 2 2 = 0, 
die gemeinschattlichen Elemente also durch 

flU^ 3 "i% 2 ^2"T ^s^i^ 2 bi$ s *~ 0. 
Damit ihre Hessesche Kovariante 

(3/r 2 & 8 a^)x^+ K& 2 9a 2 & 1 )x 1 ir 2 + (3%^ 5 2 8 j^ 2 2 = 
sicb auf X} x% == rednziere, mtussen die Bedingungen 3 <7 2 1>% = a^ 
"^a l b l == l^ erfiilit sein, was nur durcb a^ ~ 0, & 2 = gescbeben 
kann, wiihrend a 2 und \ von Null verscbieden sein mussen. Dann 
wird aber die Gleicbung der gemeinsebaftlicben Elemente 

2 % 3 ~^ 3 ==0, 
und diese beweist den Satz. 

3) Die Jacobische Determinante der beiden Hessescben Ko- 
varianten zweier kubiscber Formen ist eine Kovariante derselben, 
durcb deren Verscbwinden das Elementenpaar bestimmt ist, das 
zu beiden Paaren der Hesseschen Kovarianten barmoniseh konju- 
giert 1st, oder deren jedes mit den Elementen der kubiscben Formen 
selbst Systeme von gleicben fundamentalen Doppelverhaltnissen 
bildet 

Folgt aus Nr. 330 nnd Nr. 338, 

4) Sind 27, F, W drei kubisclie Fonnen in Involution, und 
warden die Koeffizienten derselben bez. durch a, 6, c bezeicbnet, so 
versehvrinden die Determinanten der Matrix 



339. Ittvariantea der "biquadratisclien Form 
(61) U s a^+ 4c( 1 ^ 1 ^ a 4- 6a 2 ^ 2 ^/+ 4^^^ 
Die Gleichung i70 bestimmt vier Elemente einer Reihe 



Eubische Fonneri: fnvarianten cler biquadratischen Form. 195 

oder ernes Biisehels, ein Quadrupel P 1? P, ; P 3; P 4 YOU den 
Koordinaten x^ \ <; . . x"" : x^"". Filr 

('*/' <'- W ) (a/ <"- sT'V j - A , 



x i %$ # - J == 3 

ist Di + A + A = 0. Die Quotienten - D 2 : J5, , - J5 S : D 3 , 
Dj : D 3 driicken die drei fundamentalen Doppelverhaltnisse 
des Qnadrnpels, namlich (P l P 2 P s P 4 ), ( P 2 P 3 P, P J, (P 3 P t P 2 P 4 ) 
aus. Die drei Wurzeln 6 1} 6 2 , 3 der Gleichuns: 



-(A-A)(A-A)(AA)-o 

sind die GroBen D i D 2 , D 2 -D 37 D 3 D n die Koeffi- 
zienten sind aber symmetrische Punktionen der Wurzeln, also 
auch ganze Funktionen der Koeffizienten von U. Mit den 



abkiirzenden Bezeichnungen 



erhalt (62) die Gestalt 
(64) 3 

Die GroBen J^ und J^ sind 7 da die Doppelverhaltnisse durck 
lineare Transformationen ihre Werte nicht andern, Invarianten 
der biquadratischen Form und zwar ist J 2 die quadratische 
und / 3 die kubische Invariante. Ftir J" 3 = werden notwendig 
z\vei der GroBen D einander gleich, so daB eines der drei 
fundamentalen Doppelyerhaltnisse den Wert 1 hat; die 
Gleichung stellt mie Jiarmonische Gruype dar. Fur J% == 
ist notwendig D s : D 2 = D 2 : D l == D^ : D 3 ; so daB alle drei 
fundamentalen Doppelverlialtnisse den nilmlichen Wert haben: 
die Gleichwng stellt eine aquianharmoniscJie Gmppe dar (ygl. 
Teil 1, 8. 160). 

Der Gleiehheit zweier Werte yon 6 endlich ejatspricit 
nach Nr. 3S7 die Beziehung 

J 2 3 - 27 J 3 2 = 0, d. i. ^rA'-Ds'A*- 

und das Zusammenf alien zweier Wurzeln der biquadratischen 
Gleiehung 7=0; daher ist die zusammengesetzte Invariante 

13* 



196 XVIII Irr.ariantentheorie net binMren Formen. 339. 

(65) .'_/=,#- 27 J 8 8 

die DisLfiminavte der Form f. Ihr entwickelter Ausdruck ist 



Man r^rhiilt auch 



und fOr ,s f als die Summe eines Paares # t ~f ^r 1 der rezipro- 
ken fundamentalen Doppelverhalinisse der Gruppe der P.: 
fiu i 108 JT, 2 ^ - ! , 3 - J?(* -f 2)!'2,s' - 5) 2 = . 

BH Einftihrunj? ?OB / -= '\';^T"'^">-'' iSfit sich diese Grlei- 

4 ' t j<t/ ft "/;'; 

cluing auch in der Form schreiben: 

* 68 i ^ - 3s- -f 7/5 -r o - 2/r - . 

.4/.so kanyen die Dappelverhaltnisse der Gruppe nur von dent 

VerMUnis des Kiibus und des Quadrats der leiden Invarianten, 

d. i. (Jer absolitten Invariants der biquadratischm Form cib (vgl. 

Xr. 327). Die sects rerschiedenen Doppelyerhaitnisse, die nach 

Xr. 83 den ?ier Elementea P lt P 2 , P 3 , J\ zugelioren, sin<i 

Wurzeln der Gleichung H. Grades: 

f69i 3s + m ^^ (5 _ 2)wj 3 + ma 2 - 3a + 1 - ; 

wobei 



Man sieht sofort, daft die Summe der sedis Doppelverhalt- 
nisse gleich 3 ist*] 9 so lange J = / 2 8 27J/+ 0. 



Die (jleichung (67) geht tibrigens bei Emfiihrung von 
an Stella yon $ fiber in: 



(69ai 



*) Diese elementare Tatsacbe, die man sofort durch Addieren der 
seeks Werte Z, 1 : X, 1 X, 1 : (1 Z), (X 1) : Z, 1 : (Z 1) der Doppel- 

verMltnisse (fgl. TeH 1, S. 15S) best&tigen kann, scheint nocli kaum 
bemerkt worden zu seiii: jedenfalls wird pie iij den LenrMchern der 

Geometric 



Invariant eii und Kovariaiiteii der biquadratic eL en Form. 197 

340.. Kovarianten der biquadratisehen Form. In bezug 

auf ein Quadrupel 27=0 gibt es eine lineare,, eine quadra- 
tische und eine kubische Polare, namlieh bez. 



Die Diskriminaiite der quadratiscLen Polare ist zuglekli 
die Hessesche Kovariante 



s (> a 2 - VJft* -f ^(a a, 



der gegebenen biquadratischen Form Z7. Die Diskriminante 
der kubischen Polare ist gleicli JHJ$U. 

Die Jacobische Kovariante T von L^ und If (Xr. 335; 
lautet in entwickelter Form: 



Mat 15a a 2 a, + IQafa^yfi 

+ (10a 1 2 a 4 



Fur ^ === a 3 *= reduzieren sich die Form U und ihre 
Inyarianten und Koyarianten auf: 



-f 



(72) 



Man findet aus diesen reduzierten Formen die allgemein giiltige 
Beziehung 

(73) T* J,jffJ7*- J 3 Z7 8 -4jBP. 

Die reduzderten Formen YOB 6 T und jEF zeigen, da6 diese Aus- 



198 XVIII. Imariaiiteiitheorie der binaren Fonnen. 340. 

driicke iu f aktoren ion der Gestalt y^ py/= 0, yf~ ^/ 2 2 = 
zerlegbar sind, wahrend zugleich die Kovariante T drei Paare 
24 y 2 =-0, 2/j-- At/ 2 2 = 0, y^-r^y^^^ darstellt. Dies gibt 
den Satz: Die vier Elemente einer biqiiadratisclien Form und 
ebensn die Hirer Hessesclien Kovariante lestimmen je drei In- 
volutionen, and die drei Paare ihrer Doppeldemente die fiir 
"beidc, dinelben, T=0 ? sind stehen in soldier gegenseitiger 
Jksichimg, daft jedes von ihnen fiir die Involution dev beiden 
andemi das Paar der Doppdclemente ist. 

Mit den zwei Invarianten J" 2; / 3 und den zwei Kovarianten 
Hj T ist die Invariantentheorie der biquadratischen Form im 
Sinne YOU Xr. 339 erledigfc. Cberhaupt aber ist der Nacli- 
\veis erbraelit wordeu, 6 '*) daft jede binare Form ein endliches 
Fonnemystcm hat: AVe Lirarianten imd Kovarianten einer 
F<tnn fader simultaner Fornwn) sind nls ganze FunUionen 
einer endlichftf Aiwtlil von s^khfn, mil numerischen Koeffi- 
zienten, darsfallhar. 



Neimzehntes Kapitel. 
InvariaEtentheorie der Kegelsehnitte. 

341. Invarianten ternarer Iformen. Die Begriffe und Be- 
nennungen des vorigen Kapitels lassen sick unmittelbar auf 
das Gebiet der ternaren Formen und homogenen Gleichungen 
iibertragen. Die ternare lineare Substitution x i = 2a ik $ k ', 
deren Modul A nicht Null ist, drfickt einerseits die allge- 
rneine Koordinatentransformation, andrerseits die kollineare 
Zuordnung ebener Gebiide aus (Nr. 92). Transformieren wir 
erne oder gleichzeitig niehrere gegebene ternare Formen linear, 
so kann eine gleich Null gesetzte Koeffizientenfunktion 7"(a) 
nur dann eine projektive Eigenschaft des Gebildes oder der 
Gebilde ausdriicken, wenn dieselbe Funktion der transfor- 
mierten Koeffizienten J(a') gleichzeitig verschwindet. Alsdann 
zeigt sich, dafi dies Invarianten, d. h. wieder Funktionen der 
Koeffizienten einer oder mehrerer Formen sind ; die sich bei 
linearer Transformation derselben nur dm eine Potenz des 
Substitutionsmoduls als Faktor andern: 
(1) j(aT) = A r - J(a) oder J(a', V, . .) = A r * J(a, 6, . .) 

Soil insbesondere ein gegebenes Formensystem, das von 
fe Konstanten abhangt, in ein anderes System von Formen 
derselben Grade transformiert werden konnen, so muB natur- 
lich die Zabl der zu erfullenden Bedingungen kleiner als die 
der verfugbaren Konstanten der Substitution sein. Also muB 
entweder Jc ^ 8 sein ? oder falls i Koeffizientenbeziehungen 
stattfinden ; muB "k i ^ 8 sein. Demnach hat das Formen- 
system mindestens Jc 8 absolute Invarianten , eine Form 

w ter Ordnnng also deren n^~- 8. Unter den ternaren all- 

genieinem Formen hdben (aufier den linearen) nur die quadra- 
tischen (Jc = 5) keine absolute, also nicM meJir als eine gewohn- 
Uehe Invariants (Nr. 327). 



200 XIX Iiivarianti'ntheorip tier KcgelscLnitte. 'Ml. 

Man pflegt den Xamen luvarianten vorzugsweise auf die 
ttllgeniciiten linearen Umforinungen zu beziehen, Jedoch kann 
man otfenbar auch relative Inmrkmten bilden, die nur gegen- 
iiber Substitutionen besonderen Charakters die Invarianten- 
eigensehaft haben. So gibt es z. B Transtbrmationen, bei 
denen die unendlich feme Gerade in sich selbst iibergefuhrt 
wird und im Endliclien gelegene Elemente (Tunkte oder 
Geraden) wieder in solclie derselben Art ubergehen. Parallele 
Geraden warden liierbei wieder In Parallelen iibei-geiuhrt, nieht 
parallele Geraden bleiben solclie mit Schnittpunkt im End- 
lichen. Man bezeichuet Trunsfonnationen dieser Art als affin. 

Fur zwei auf Oartesiscbe Koordinaten bezogene Geraden 
!/ -f a a y J r a zZ und ~b t x -f h*y -f b8 = ist a^ a^\ 
eine ^Affinitats- odrr l J amlMimariantf^. Ebenso ist das durch 
das Vorzeiehen von -4 ;!3 = a n 22 a 12 2 bestimrate Verhalten 
eines Kegelsclinitts fix, //, : } = zur unendlich fernen Gera- 
den z = eine affine Eigenschaft (VgL Teil 1, S. 299). 

Einen besonderen Fall der uffinen Substitutionen bilden 
die AhnUcJiJxitstransfijrMationett f also die orthogonalen Siib- 
stittitionen. Bei ihnen warden Paare rechtwinkliger Geraden 
wieder in solche ilbergefiihrt, irgend welche Figuren in 
iihnliche Figuren. Auf die entsprechenden metrisclien oder 
Orthogonalinvarianten wird spater besonders einzugehen sein 
(Nr. 370). 

Aus der allgerneinen Invariantentheorie der ternaren 
Formen heben wir hier nur die Grandziige derjenigen der 
tjwidratischen Formen heraus 

342. Biskriminante. Eine quadratische Form U hat nur 
clue Invariante, nilrolich ihre Diskriminante A. Diese ist in- 
variant, da ihr Yerrfchwinden eine projektive Bedingung ? das 
Zerfallen in ein Geradenpaar ausdruckt. In der Tat sind alle 
nichtzerfallcnden Eegelschnitte untereinander kollinear, d. L 
ihre Gieichungen konnen durch lineare Transformations in- 
einander libergefiihrt werden. 

Den Iiivariantencharakter der Diskriminante A erkennen 
wir rein analytisch, da 
'2) * A' -A* -A 



Piskriroinante" tier terniireii quadratischen Form. 201 

ist, wenn A dieselbe Detenninante der Koeftizienten a tk ' der 
tran sformiert en Form U' ist, wie die aus den a tk gebildete 
Determinante A. Man hat namlich zuerst 



A A = 

fur o u = u fl fi + tt sft a i2 + a sjfrtf|3 lv S^- Teil I. S. 176/7) und 
sodann 



fiir ,/= ^i/^ij-h ^;; a **"l" c: 3A a ai- Durch. die Determinanten- 
inultiplikation erlialt man so 



d. k genau dasselbe, wie fur den Koeffizienten a?/a;/ in der 
Entwickelung 



Diese konnen wir auch durcli Benutzung der symbolischen 
llethode ersetzen, wonacli U = aj* ist ? falls das Produkt der 
Symbole a, and a L den Koeffizienten a a nur vertritt. Denn 
die Symbole a i werden, verglichen rait den Yer'anderlichen ;r z? 



invers transform iert; also ist 



Offenlar legriindet dersclbe Seiceisgang die Invariantenelgmscliaft 
der analog gebildden Dislmminante fiir giiadratisclie Formen von 
leliebig melen Veranderlichen. 

Die Bedingung A = wurde in Xr. 137 als diejeuige 
erhalten, die ausdruckt ; daB die Polaren von willkiirlichen 
Punkten in bezug auf U = durcli einen Punkt gelien. Nun 
ist die BuschelbilduDg dreier Greraden a x =* 0, l) x =* 0, c x *** U 
eine projektiTe Eigenschaft; aZso ?5i rfze Kocffizientendeier- 
minante dreier linear er Formen eine Simultaninvanante der- 
selben. Wirklicb. ist 



202 XIX. Invariantontbeorie tier Kegelsclinitte. 348. 

a i a a' a s' a n a i ~r #21^2 "f" %i a s ' a i a * a B 

^i V V = % & i + a 2i ^2 T si &j ^ A ! &! kj & 3 : . 
<?/ c/ ,' c^ q + cr si , + #31 j I c i ^2 e a 

Die Diskriminante andert sich dagegen urn das Quadrat des 
Moduls, well die Determinante der transformierten Koeffi- 
zienten nietit einfacli die Resultante der transformierten Ab- 
leitungen ist ? sondern diejenige der Ableitungen der trans- 
formierten Form; diese sind lineare Aggregrate der ersten, 
und zwar beweist man nach Xr. 330 allgemein: Die Ablei- 
tungm einer Form ron Icliebig vielen Veranderlichen werden 
I'ontragredient su dicscn transformiert (Xr. 91), 

343. Simultane Invarianten zweier Eegelschnitte. Aus 
der Dislirimwante cntsprmgen aucli die Sinmltaninvarianten 
ziveier und dreier EeyclscJmitte, wie in Xr. 328 fur Elementen- 
paare. 

Es seien 

(x, x) = a n x^ + la^x^ -f a^iy+ 2a u x^ 



(6; 



, x) - l llXl - + 2 l^x* + 1^ + 2 l^x 



*-*- So,*, 2 

t> OO 6 



die Grleichungen zweier auf dasselbe Koordinatendreieck be- 
zogenen Kurven zweiter Ordnung. Durcli sie ist mit Hilfe 
des Parameters K das Kegelschnittbllsclael 

f(&, x) %$(%} $) oder 



bestimmt, dessen Diskriminante schon in Xr. 251 aufgestellt 
wurde, Sie ist 



(8 * 



oder bei Entwicklung nach. Potenzen von i: 

(9) * a(^--4-3Hx + 3eA 2 -BA a , 

wo -4 und I? die Diskriminanten von f(^, a?) und jr(o?, a?) be- 

deuien, wabread H nnd 8 durcli 



Siinultttne Invarianten zweier Kegelschnitte 203 

(10) 3H-6 U 4^+26^8+ 



^^ 

bestimmt sind; hierbei sind die A tk und B iL die Unterdeier- 
minanten der Elemente a lL bez. "b ik in den Determinanten -1 
und B. 

Die Gleichimg 6 f (A) = bestimmt^ wie sclion in Nr. 251 
erwahnt wurde, die Parameter i l9 A 2? L der drei in dem 
Biischel (7) enthaltenen Geradenpaare/' 9 ) 

Durch Elimination von A mit Hilfe der GleichiiDg f - ig = r * 
erlialt man r//e Gleichung dieser drel Geradenpaare: 
(x, x) - 3H ^ a?) . g\x, X) 



Nun sind aber die drei Wurzeln der kubischen Grlei- 
chungen von Kollineationen des Biiscliels undbMngig, d. b. 
gelit durch Transformation f(x,x), g($?$) in f($,%) bez. 
//(ie, a?) uber, so sind auch fur jeden Wert von I die Kegel- 
schnitte f A^r = 0, /" Jl(/' = kollinear. Wenn also nnter 
den Koeffizienten der kubischen Gleichung zwei nur durch 
den vortretenden Faktor A 2 geandert werden, so iniissen auch 
die beiden andern dieselbe Anderung erfahren. Somit ist 
H'* A 2 - H, G'A 2 - und H, sind zwei Simultamnw- 
rianten der Formen f, g oder Kegelschnitte f(x, x) = 0, g(x, x) 
(nicht aber Invarianten des Biischels). Die Bedeutung ihres 
Yerschwindens wircl in N"r. 348 naher erlautert. 

B. Man soil den Ort des Schnittpunktes derjenigen Normalen 
eines Kegelschnittes finden, die in den Enden einer durch deu 
Punkt a ' gehenden Sehne errichtet werden. 

Sei g>(r, y) ^ ~ + |] 1 = die Gleichung der gegebenen 

Kurve in rechtwinkligen Parallelkoordinaten. Alsdann liegen nach 
Nr, 178 die Pufipunkte der dnrch einen gegebenen Punkt |t| 
gehenden Normalen in den Schnittpunkten von g>(a?,y) ** mit der 
Hyperbel x (ar, y) =s %(c*xy + tfyx a*#) 0. Man bildet dann 
nach dem Texte die Gleicbung der sechs Yerbindungsgeraden dieser 
FaBpnnkte und driickt aus, daB diese Gleichung durcli die Koordi- 
naten a | ]5 erfallt werde. Im gegenwartigen Palle ist 



204 XIX. Invariantentlieorie der Kegelsriinlitv 344 

die Gieichung des Ortes wird also In laufenden Koordinaten ||>/: 



- 2(a s s ^ 6V - e*XVS - ^ - **#( + P " 

und er 1st daher im allgemeinen eine Karce dritier Qrdnung. 

Fiir a = 0, d. li. wenn der gegebene Punkt in der #-Achse 
liegt, zerfallt die Kurve in diese Achse und einen Kegelsclmitt ; 
analog ist es fur (3 == 0. Wenn der goprebene Punkt unendlich ent- 
fernt 1st, d. li, wenn der Sehnittpiinkt der Norinalen in Punkten zu 
nestimmen ist, die in den Enden paralloler Sehnen Iiegen t zerfallt 
die Kurve in die uneudlicli feme Gerade und einen Kegelschnitt. 

344. Da das Biischel nur eine, TOE A abliajagige ; Invari- 
a;ite hat,, liegt der ScliluB nahe, daB das Kurvenpaar f(x, x) = ; 
tf(x,x) == keine Invarianten tat, die sich nicht auf J ? JB ; H ; 9 
zuriickfuhren liefien. In der Tat wird in der Inyarianten- 
tbeorie bewiesen, daC alle Invariants des KegelscJtnittpaares 
rationale FunTdioncn von A, B, H, mit nwmerischen Koeffi- 
sienten simL 

Offeubar bind umgekehrt nur solche rationale Funktionen 
der vier GroBen, die sie liomogen enthalten ; Invarianten. 
Denn nur solche Sndem sicli uin eine Potenz des Moduls, 
da sich A, jR, H ? ganz gleichartig andern. Ferner muft jecle 
Invariant in den Koefflsienten jeder einzelnen Grundform ~ho- 
mogen sein, wahrend -4, H ? 0,JS in. denen von f(x,x) bez. 
voni dritton, zweiten ; ersten ? nullten Grade sind. Diese beiden 
Anforderungen erleichtern die Aufstellung des Inyarianten- 
ausdrucks einer projektiven Beziehung der beiden Kegelschnitte ? 
denn eine leichte "Cberlegung z;eigt. ? daB eine ganze Funktion 
von besti in mien Graden in den a t/ . und 6 2/ nur eine endliche 
Anzahl YOU Produkten jener vier fundamentalen Invarianten 
enthalten kann. 

Diese Gradverhaltnisse in den Koeffizienten warden un- 
ftennttich, wenn wir die Invarianten fur Form en mit numerir 
selmi Koeffizienten bilden, bleiben aber stets zu beriicksich- 
tigen. Fiir besondere Beziehungen der Kegelschnitte zum 
Koordinatensystem gehen die vier Invarianten in einfachere 
Ausdriicke liber. Gerade diege erleichtern es oft sehr ? ge- 



Sifflultaiie Invarianten zweicr Kegelsehnltte. 205 

gebenenfalls homogene Beziehungen zwischeii den luvarianten, 
d. h. projektive Beziehungen zu erkennen. Eine jede solche 
Beziehung gilt claim , ihrer analytischen Katur gemaB, nicht 
nur fur die besondere Abhangigkeit TOIH Koordinatensystem, 
sondern fur jede Koordinatenwahl. 

Zwei Kegelschnitte haben nacli 2sr.253 ein gemeinsames 
Polardreieck und ihre Gleichungen konnen in den Normal- 
formen angenommen werden (Nr. 301): 

(13) f(x, x) - Za,x? = 0, g(x, x] = 2x; - . 
Alsdann sincl die Tier Invarianten 

(14) / ASS H a ^ a *> ? 3 H " a ** a + a ^ a " + a a - > 
{ 3Q^tf u -r% + flf3s; S==1 

einfacli die elementarsymmetrischen Funktionen der a a . Als 
Parameter der drei Geradenpaare folgen also a n , a S2 , a } % 

(Nr. 343). 

B. 1) Wenn ti(x, x) = so wie in ( 13) vorausgesetzt wird, aber 
f(x.x) = die allgemeine Gleichung bedeutet, so 1st 

3 H = (a 22 a ss /7 M 2 ) + (%%! a 

30 = a n + fl 
2j Far zwei Kreise, die durcli 



dargestellt sind, ist 

^- ?1 2 , 3H- a 8 +jS f -3?i 5 -ft 2 , 
39- M S - ?i 2 ^ ft 2 , J? = - 9 , s . 



Ist daher d 1 -fj/a 2 + 3 2 die Entfernung der Mittelpunkte beider 
Kreise voneinander, so stellt g)(x,y) ^(x^y) Geradenpaare dar 
fur diejenigen Weiie A, die wir aus 

- ?i 2 + (2 ? f + ft s - d 2 )?- - ( 9i 2 + 2 ?s 2 - <?)A+ fti- 
erhalten. Da nun wie bekannt <p(tf,#) %(^^y) M die Potenz- 
linie zusammen mit der unendlich fernen Geraden darstellt, so ist 
1 eine Wurzel dieser Gleiehtmg, nnd die Gleichung ist daker durch 
11 teilbar; der Quotient ist ft 2 (ft 2 + ^-d*)l + fc s A* 0. 

3) Wenn 



X V S 

= - s 4- Is - 1 - 0, 



so ist 



206 XIX. Invaiiantentkeorie der Kegelscbnitte, 345, 

1 



4 j Fiir die Parabel qp(#, T/) =E /' 4w# = und %(#, y) 
ais die allgemeine Gleichung des Kreises wie vorher ist 



5) Berechne die Invarianten far zwei Kegelschnitte, die dem- 
selben Dreieck bez, ein- und umgeschrieben sind. 



0, 



ist -1 == 4fl l a a 2 s fl u 2 , 3H = 4^0203(^623 + fl 2 6 81 + a 3 6 lg ), 
5 = 2 ^ 23 6 31 6 ls , , 30 = (6 23 o 1 + 6 S1 ^ 2 + 6 18 f/ 3 ) 2 . 

345. Taktinvariante. Wenn von den vier Schnittpunkten 
A 9 B f C, D der Kegelschnitte zwei ? A und J5, zusammen- 
fallen, so ist offenbar das Geradenpaar AG, BD mit dem 
Paar BO, AD idectiscli, und die kubische Gleichung 
(15) C(A) ;- .1 - 3HZ + 3e;. 3 - JBi a 

muB ein Paar gleiche Wurzeln haben. Man findet die Be- 
dingung dafur im Verscliwinden der Diskriminante der kubi- 
sehen Gleichung (Nr. 337). mimlieli 

f (He--4Bj s -4(JBH-9 s )(-dl6-H ;-0 oder 




Dies ist cZ/e invariants Bedingung der Beruhntnff awiscJien den 
leiden Kegelsclmitlen. 

Man beweist in der Tlieorie der Gleicliungen, daB die 
mit entgegengesetztem Yorzeichen genommene linke Seite von 
(16), die sog. Tafct invar iante, ZM dein Prodnkt der Quadrate 
der Differenzen der Wurzeln proportional ist, die die Glei- 
chung ( 15) hat: ist die linke Seite von (16) negatiy, so sind 
diese Wurzeln samtlich reell, ist sie positiv, so sind zwei 
von ihnen komplex. Im letzten Falle schneiden sich (vgl. 
Nr. 254) die beiden Eegelschnitie in zwei reellen und zwei 
imaginaren Punkten, im ersten JPalle schneiden sie einander 
eutweder in vier reellen oder in vier imagiuaren Punkten. 
Diese beiden letzten Unterfalle unterscheiden sich nicht durch 
ein einfaehes Kennzeichen, 70 ) 



Beispiele fur Invarianten. Taktinvariante. 207 

Wenn die drei Schnittpunkte A 7 .B ? C zusammenriicken 
oder die Kegelsebnitte einancler osknlieren, so sind die Geraden- 
paare AS, CD; BC, AD] CA, BD xdentiscfa. Also mufi die 
linke Seite der kubischen Gleiebung (16) ein vollstandiger 
Kubus sein ; und dies erfordert naeh Nr. 337, dafi die drei 
eingeklammerten GroBen der Taktinvariante gleichzeitig ver- 
schwinden. Die Invariantenledingimgen der Oshdation sind 
daher 

(IT) A : H = H : = : If. 

Die Bedingang der Doppelberiibrang ist anderer Art und 
wird spater erbalten (Nr. 35G und 362, s). 

B. l) Man soil nach der Hethode des Testes die Bedingung 
linden, unter der sich zwei Kreise berahren. 

Soil die reduzierte ScblnBgleicliung von Nr. 344, 2 gleiche 
Wurzeln tiaben, so muB o^ + Q^ d 2 = i -QiQs oder d = ^ 4; $$ 
sein, wie es geometrisch ofienbar ist. 

2) Die Beruhningsbedingurigen fiir zwei Kegelsclinitte mit 
dreigliedrigen Gleickungen 

a) %^ 2 r 3 + a^x^ + a n x^ = 0, 

b) I/Mi + Yb^ + I/Mi = 0, 

c) %V+ ^V+ aA*=* 

lanten ftir Beriibrung zwiscben a) nnd b), b) und c), c) nnd a) bez. 

(W+ (W+ (uO*- 0, *+ *+ *- 0, 



Sie konnen natiirlicb auch erbalten werden durcb Identifikation 
der Gleicbungen der Tangenten in einem Pnnkte (Nr. 299, 302, 
303 nnd 344, 5). 

3) Man bestimme den Ort des Mittelpunktes fur einen Kreis 
von lionstayitem Radius, der stets einen gegebenen KegdscJmitt 'beritlirt 

Dazn setzen wir in den gleicb Null gesetzten Ausdrnck fur 
die Taktinvariante die Werte von A^ B, H, 8 ein, die in Nr. 344,3) 
nnd 4) gegeben wurden, nnd betracbten sodann a [ |3 als die lanfen- 
den Koordinaten. Der .Ort ist im allgemeinen eine Kurve acliter 
Ordmng, im Falle der ParaM eine Kurve seclister Ordnnng. Die- 
selbe Knrve erbalt man als den Ort der Indpnnkte, wenn man auf 
alien Normalen der Kurve von dieser ans eine konstante L&nge ^ 
nach beiden Seiten abtr&gt Man nennt sie die Pardlldkwrve des 
KegelschniUes* Sie bat mit dem Kegelsebnitt selbst die n^mliche 
Evolnte (Nr. 245). Ibre Gleichnng liefert auch die Bestimmung 



208 XIX. Tnvariantentheorie der Kegeiochnitte. 3-15. 

der norraalea Entfernungen . die von einem beliebigen Punkte aus 
zum Kegelseknitt <;emessen werden. In voller Entwiekelung 1st sie 
fur ilic Parabel ;/-'= i-mx: 

? 6_ (3/4. ,?+ $, tt x Si 2 )o 4 

+ | :-! y l -f y\2 r-- 2 mx+ 20 m~\ -f 8 rorM-S iV- 32 m 3 *H- 1 6 ; 4 } o 2 
(V 2 4j) 2 ( y~ -r (x m)- } 0; 

and fur die Ellipse. **, + - = 1, wean man c 2 = o 2 6 2 setzt: 



/ 8 + (a 4 - 

(Oa* 

I s ) + i& 2 c 2 (3a il -a 2 6 2 + 
- 2oV(*- a 2 t s + 3&V- ^(Ga 1 - 10a 3 5 s + 
- 2 (6a 4 - 10 S 6 9 + Ut 1 )/^ (4 6 - 6n*6 
+ 2Z/ 2 (a 2 - aft 8 ^ 8 - 2(rt- 0*6'+ 
- 2(3o 4 - *6 S + 6*1^*+ -2a-(b-- 2a)y 6 } 
-r (i 2 / 2 T- r, 2 / - a 2 6-') 2 { (j; - c) 2 + y 2 } { (x + c) 2 + y 3 } = 0. 

Hiernach ist der Ort eines Punktes, fur den die Summe der 
Quadrate seiner senkrechten Abstande von der Parabel bez. Ellipse 
Constant gleich /J" sein soil, ein Kegelschnitt, dargestellt durch 

x' 2 -f 3 if + Sm(x m\ = ft 2 
bez. (a- - 2 6)a' s -f (l> a 2 - & 2 )^ 2 + a * 6* - 7r. 

Ancli bei di^sem Orte iiaben die Ealle a 2 = 5 2 , a 2 = & 2 T 
26 2 == 2<r = a 2 (die besondere Ellipse von Nr. 187, 3) Interesse. 

Wenn wir die Bedingnng bilden, untcr der die Gleichting in 
$ f gleiche Wurzeln tat, so erhalten wir das Produkt aus den Qua- 
draten der linken Seiten der Gleichungen der Achsen und der un- 
endlich fernen Geraden in den Kubus der linken Seite der Gleiehung 
der Evolute. Ffir Q == finden wir die Eurve selbst doppelt gezEhlt, 
mid auBerdem 

y f +(a?-w) s -0 bez. {(a? - c) 2 -f /} {(a? + <?/ + /}= 0, 
also die Yerbindungsgeraden der beiden imaginaren Ki*eispunkte 
mit dem Brennpunkt der Parabel bez. mit den reellen Brennpunkten 
der Ellipse (Verbindungsgeraden je einer reellen und eines inaagi- 
nSren Brennpunktes der Ellipse), Der Voraussetzung a == 6 ent- 
spricbt als Parallelkurve des Kreises ein Paar von konzenirischen 
Kreisen * 5 + ,v s - f ?) 2 - 

(* f 4- f 3 )* - ? also doppelt zaMend das imagin&re Asyinptoten- 
(tgl Nr. 103). 



Parallelknrven und Evolute cler Kegelscbnitte. 209 

Endlich lehrt die allgemeine Form der Gleichung (IBj? da8 
die Parallelkurve von den Kurven vierter Ordnung- J5H 2 . 
AQ H 1 ' (a\[3 laufende Ivoordinaten) In den Punkten berfihrt 
wird, in denen sie die Kurve vierter Ordnung H0 AB = 
sebneidet (Nr. 258), d. h. in den Punkten, die zu den Punkten der 
Krammungsbalbmesser ^ gehoren. 71 ) 

4) Bfstimminig der Kriimniungskreise n dvs Ki'gdschnlth'S. 

Setzen wir in die Bedingimgen (17) der Oskulation dieselben 
Werte ein wie in 3j, so bestimraen zwei derselben dip vier Kriim- 
mungsmittelpunkte a \ /3 zu dem gegebenen Kriiraranngsradius $. 
Man erbalt sie aus H = (A*B)^ 6 (AJ3 2 )' als die Schnitt- 
punkte von 

i- a*- 5 2 - o 2 = - 3*.' und 



( vgl. 3). 

Fur die Parabel findet man die zwei Scbnittpunkte von 
4 ,n(x + m) == 3 (4m 2 ^)"5 , y s 4-wia? <r = 3 (2 mffl . 

5) Grlcicliung der Ecolute der Ellipse. 

Man bat die Bedingung auszudriicken , unter der sicb die 
Kurven y(a?,#) == 0, %(^c, |/) = in Nr. 343, B. beriibren. Ftir 
H gebt aber die Bedingung (16) fur ein Paar gleicher Wur- 
zeln von A - 3hU + 301 2 ^i s = tiber in AB*+ 40 3 - 0, 
d. h. die Gleiebung der Evolute ist (vgl. Nr. 222) 

(a^+ fe 2 ^ 2 - c^+ 276V6V- 0. 

6) GleicJiung der Evolute der Paralel 
Weil 



^4=* 4? 2 , H 0, = 4w?($ 2m), B = 4m?/ 
ist, so wird die Gleiebung der Evolute 27 /7/ 2 == 4(| 2-m) 3 . Es ist 
zu bemerken, da6 die Scbnittpunkte von g?(a?,y) = 0, %(&'j^) ^ 
nicht nur die Fufipunkte der drei Normaleii liefern, die von einem 
beliebigen Punkte |h| ausgeben (Nr, 205), sondern auch den un- 
endlieh fernen Punkt der Acbse y = 0. Die sechs Sehnen zwiscben 
diesen Sebnittpunkten sind also die Seiten des Dreiecks der FuB- 
punkte und die drei Parallelen zur Acbse durcli diese Punkte- 
Darum ist die in Nr. 343 B. angewendete Metbode fur die Losung 
des entsprecnenden Problems bei der Parabel nicbt die einfacbste; 
man erbilt zwar die Gleiebung (Kr, 213, 9, in der natiirlicb nun 
^, y durcb |, y und a/, y durcli r, y zu ersetzen ist), aber multipli- 
ziert mit dem Faktor 



der gleicb Null gesetzt jene drei Parallelen darstellt. 

Falmo n-Fie die r, anal. Geom d. Kegelschn. H 7. AufL 14 



210 XIX. Tnvariantenthttorie dpi Kegelbehnitte. ;*6. 

346. Kegelseksaitt nnd Geradenpaar. Wenn von den 
beiden Kegelschnitten f(x, X) = 0^g(%, x) = der zweite in 
ere Geradenpaar ausartet, so ist jB = ? und wir diirfen den 
Kegelsehnitt g(x, x) = durch a^g nnd das Biischel da- 
her dureh f(x, x) 2# 1 :r s = dargestellt ansehen. Die Dis- 
kriminante des Biiscnels findet man, indem man in A den 
Koeffizienten a n durch a 1L > I ersetzt, in der Form 

A - 2A(a J3 a fi3 - 18 fl3 3 ) - %! 2 . 
Es isfc also 

3 H 2(a is % r/ 12 a 33 ) = 2-4 19; 36 == a ss? 

d. h. 9 verschwindet zugleieh mit a 33 nnd H fur a 33 a 23 12 a s$ 
oder J. 3g =0; jenes bedingt, dafi der Punkt ^==^2=0 in 
der Kurve f(x y xj = liegt, dieses, daB die beiden Geraden 
J p 1 = 0, iT 2 = in bezug auf /"(a;, a?) konjugiert sind. 
(Nr. 137 B.) 

Nun gilt aber diese Invariantenbeziehung atich bei all- 
gemeiner Koordinatenwahl. Also ergibt sicb: Wenn g(x,s&) 
tin Geradenpaar darstellt (5 = 0), so ist = die Bedwgung, 
unfer der der Scltnittpunkt der beiden Geradcn in der Nurve 
f(X) x) = liegt; H = aler die Bedingung, unter der diese 
beiden Geraden in "besuy auf f(x, x) = liarmonische Pola- 
ren sind. 

Die Diskriminante 9H 3 12^46 der Gleichnng A 3HA 
+ 361 2 =0 gibt durch ihr Yerschwinden nach Nr. 345 die 
Bedingung dafur, dtB cine der Geraden des Geradenpaares 
g(x, %) * den Kegelschnitt f(x, x)=*Q beiuhrt. In dem 
obenTgewahlten Beispiel bestatigt man dies leicbt, da dann 

9H a - 12^9 - 4(J 12 S + JLa 38 ) = A n A n ist. 

Sind (p(u, u) ~ %% 2 + 2a w 1 i^H 1- ^ 83 ^ 3 2 und 

^r(t* ; ) H= j5 n w t s + 2 & 2 > 2 + h Aj 3 *% 2 = die Gleichungen 

zweier Kegelschnitte in Linienkoordinaten und artet ^(t* ; w) = 
in ein Punktepaar aus (B 0), so ist analog zura vorher- 

gebenden <r n B u + 2c^B 12 -] + ^ S B 3S = die Bedingung, 

unter der die Verbindungslinie des Punktepaares eine Tangente 
von 7 (tf y tt) ist, tind ft 4 A n + 2^ 2 A 12 + + feA^ - 
drflckt aus, daB die beiden Punkte $(u, u) harmonisdhe 



Kegelschnitt und Geradenpaar. 211 



Pole in bezuo: auf GD(U,W) = O sind. Die A., und B ije sind 

O / V / / *fir 

bierbei die Unterdeterminanten von |A und j3 a in den Deter- 
minariten A bez. B von g>(u,%i) und ^(w ? ). 



347. 1st insbesondere #(#, a?) ein vollstandiges Quadrat, 
so kann man das Biischel transfonnieren zu f(x, x) 1%^=* 0. 
Die Diskriminante desselben wird A 1A U , also ist 3H A n =*0 
die Bedingung der Beriibrung des Kegelschnittes f(x, x) 
rnit der Geraden g(x, x) = 0. Dies weist auf einen Zusammen- 
baDg der luvariante H mit der TaBgentialform von f(%, x) bin. 

Wir konnen leicht die Gleicbimg der Tangenten des Kegel- 
sctnittes f(x, x) = in seinen Scbnittpunkten mit der Geraden 
# = bestimmen. Diese Tangenten bilden unter den den Kegel- 
sebnitt f(x, x) = in diesen Punkten doppelt beruhrenden 
Kegelscbnitten f(x, x} Aw/= denjenigen, der in ein 
Geradenpaar ausartet. Man bat in diesem Falle wegen^(a?, =w^ 8 
nicht nur I? = ; sondern es versehwinden auch alle Unter- 
determinanten von B } also ist nach Nr. 343 aucb = 0. Man 
findet so fur die kubiscbe Gleicbung A 3 HA 0; d. L 
anfier der doppelt zu zahlenden Wurzel 1 = oo, die der Geraden 
M^O selbst entspricbt, liefert sie nur einen Wert von A ? 
der eben die gesucbten Tangenten bestimmen mufi. Nun bat 
man aber ^ f j,^uM^ also 3H 



d. k 3H ist mit dem Ausdruck F(u, u], der gleicli Null^ t?e- 
setzt die Tang^itialgldcJmng des Kegelschnittes f(x, x) 
liefert, idmtisch (Nr. 309). Ans JL--3H1==0 ergibt sich 
daher die Gleichung des Tangentenpaares: 
(18) F(u, u)f(x 9 x) - AuJ*~= 0. 

Wenn t^ den Kegelschnitt f(x, x) = beruhrt, faUt 
das Taiigentenpaar mit dieser Geraden selbst zusammen ; 
und die Bedingung bierfur ist eben 3 H ===== oder F(u,u) = 0. 
Sind insbesondere die w f die Koordinaten der tmendlieh. fer- 
nen Geraden (%==jp i} rgl. Nr. 317 und 318), so ist (18) die 
Gleictung des Asymptotenpaares des Kegelschnittes f(x,$} = 
bei projektiven KoordinateB. Ygl. hierzu die andere Ableitung 
dieser Gleichung am Ende von Nr. 318. 



212 XIX Invariantentheorie der Kegelschnitte. 



B. 1) Fur fW(x, x) * 0, f^(X, x) = 0, ... als Gieichungen 
yon fiinf festen Kegelschnitten 1st es immer auf unendlieh viele 
Arten muglich, fiinf Konstanten l\, /%, . . . so zu bestimmen, daB 
die Sumrae 

A-j/Wfaj, a) + ^Or, a) + - - + /.' 5 /' (5j (>, a) - 
entweder ein vollsiandiges Quadrat L\ oder das Produkt von zvvei 
linearen Faktoren Jf-V ist. Man sol! zeigen, daft die G crude L = 
einen festen Keytlscltnitt ft(#, s) = umhiiUt. und daft die Geraden 
If == 0, J\ r = in bezug cwf diesen einander konjugvrt sind. 

Wir kunnen h(x, x) = so bestimmen, da6 die for 7/(o?, x) 
und jedea der fiinf Kegelschnitte gebildeten Invarianten H ver- 
schwinden, well dies fur A i} als die Koeffizienten der zu h(x,ai) 
geborigen Gleicnung in Linienkoordinaten durch fiinf Gleiehungen 
von der Form bedint wird 






(=!, 2, 3, 4, 5), 

die zur Bpstimmung der Yerliiiltnisse der secbs A { ^ der Koffizienten 
der Tangentialgleichung von h(x,x), hinreichen. 

Aus der Erfiillung dieser Gleicbungen fo'gt aber zugleich 

^*(*i,* W + ** <S) + W" + *4 W + %Ii <Sl ) = 0, 

d. h. H verschwindet fur /(a?, a?) = und einen beliebigen Kegel- 
sclinitt des Systems 2k t f^ ] (x, x) = 0, womit der Satz bewiesen ist. 
Wean die Gerade J = gegeben ist, so geht N == durch einen 
festen Punkt, namlich durch den Pol von N in bezug auf 
A (a?, 3) = 0. 

2) Wenn sechs Geraden x^ = 0, . . ., x$ = Tangenten des- 
selben Kegelschnittes sind, so sind die Quadrate der linken Seiten 
ihr^r Gleichungeu durcb eine lineare Beziehusg 



verbunden, 72 ) Dies ist ein Sonderfall des vorigen, ergibt sich aber 
direkt, wie folgt: 

Man sclireibt nach (9) in Nr. 309 die secbs Bedingungen fur 
die Beriihrung der secbs Geraden mil dem Kegelschnitt und elimi- 
iiiert die unbekannten Koeffizienten A^ seiner Gleichung; die Be- 
dingung des Satzes ist das Verscbwinden der Determinante aus den 
secbs Zeilen (I =* 1, . , . ., 6) 

!*, f>\ W 8 W, tf^Mj^, V/W^, ^U^\ 

und dies ist auch die Bedingung, unter der die sechs Quadrate der 
i Wflf i + w f Wa i+ ^^i durch eine lineare Beziehung verbun- 
den sind, 

S) Sind nur Tier Kegelschnitte f^fax) == 0, . ., fWfax) == 
gegeben wd soil der Kegelschnitt ft (a?, x) ' so bestimmt werden, 



Bedeuttmg des Yerscltwindens der Simultaninvarianten. 213 

daB die Beziebung H = fiir ihn und jeden der vier erfttllt wird, 
so bleibt einer der Koeffizienten A ik unbestimmt, aber alle andern 
konnen durch ilin ausgedriiekt warden. Also 1st die zu h{x.jr) 
geborige Gleicbung in Linieokoordiiiaten von der Form <p(u,u) 
A^(w, w) = 0, d. h. der Kegelsohnitt benilirt viur feste Geraden. 
Wir zeigen spater direkt (Nr. 308, SchluB), daB Konstanten 7^, & 2? 
& 3 , \ auf vier Arten so bestimmt verden konien, daB l\f (l \x, /) 
+ J^fW(x : f) + Jc^(x,%) + T&dW(x,x) ein vollstandiges Quadrat 
ist. "indein wir If = als die unendlicb ferae Gerade auffassen, 
erkennen wir ferner, daB die Autgabe eine bestimmte ond eine 
lineare ist, fur eine gegebene Gerade 31 == die Konsianien so zu 

bestimmea, daB \f (i >(x, a?) H h /i/ li (/, ^'J von der Form MN 

wird. Nacb l) ist N= der Ort des Pols von ill== in bezug auf 
9>(ii, u) lty(u, u) = 0. (Ygi. ^r. 304, i.) 

348. BedeTitung der Bezielinngen H = und = 0. 
Auch im Falle der allgemeinen Kegelschnitte f(x 9 x) = 0, 
y(x, x}*=*() liegt es nun nahe ; das Verschwinden einer ihrer 
Simultaninvarianten auf binare harmonische Bezieiiungen zu- 
ruckzufiihren. Den Wep dazn bietefc die BetrachtuBg der 
Tangentenpaare aus einem Punkte oder der Schnittpunktpaare 
in einer Geraden. 

Nehmen wir irgencl einen Punkt A B Ton g(x, x) als Ecke 
Xl . # 2 = des Koordinatendreiecks und seine Polare in bezug 
auf f(x, x] = als x% = 0, so bedingt dies Z/ S3 7 a n - % 
und 4 11 = a 22 a 3S? ^Ijs^flss^u -^ss = -4ji "" ? As^"""^^^ 
Also ist dann der Wert der Invariante 

3H - ^A;A-A= %(n & 22+ %Ai - 2 % & ia) ? 
und dieser wird ; solange der gewahlte Fnndamentalpunkt A$ 
keiner der Schnittpunkte der Kurven ist (a 33 ^ 0), nur daan 
Null 7 wenn die Mndre Invariante # n & 22 + a 22^n~ ^ a \^n ver " 
schwindet. Daber bestelit und zwar oftenbar auch Boch fiir die 
Schnittpunkte gultig mit Rticksicht auf Nr. 328 der Satz: 
Wenn H = ist, so schneidet die Polare ernes jeden Pmktes von 
g( X} x) =* in lemg auf f(x, x) beide Kegelsctmilte Mr- 
moniscli. Bei 6 == gilt dasselbe fiir die Polaren der Punkte 
von f(x, x)**Q bezuglich. g(x, x) == 0. 

Sind A und A% die Schnittpunkte der Polare von A% 
mit g(x, x) = 0, so ist A^A^ ein Polardreieck in bezug auf 
f(x, x) == 0, faHs H ist. Zu jedem Ponkt von g(x, x\ - 



214 XIX. In variant en tfaeorie der Kegekehnltte, 34#. 

gibt es ein solches Polardreieck, d. h. es gibt unendlicb viele 
solcbe, wenn eines vorhanden ist. UmgekeJirt hat die Invari- 
ante H den Wert ^ull, icenn ein Polardreiecls von f(x, x) 
in g(:t\ x] = eingeschrieben ist. Derm die beiden Grleiebungen 
baben dann die Formen 



a il X l 

und bei flf ss = a 3J = a 12 = 0, 6 U == 6 2S = L 3 = 
verschwindet H. 

Da^? Verschtcinden der Simuttamnvariante H s^ notwen- 
dig und liinreichend, daniii unendlicli viele PolardreiecJce von 
f(x, x] = in g(r, x) eiwjesclmelen werden Wnnen. 

Der dual entsprechende Satz lautet: Das Verschwinden 
d^r Simidtaninvariante ist notwendig imd hinreicJiend } damit 
umndlicli vide Polardmeckr, von f(x, xi = am g(x, x) = 
umgescliriebm werden konnen. In der Tat kann man die ganze 
Entwiekelnng dual deuten, wenn man statt x i7 a ik , l> lk setzt 
u if A^, B ik . Alsdann gehen aber die frulaeren A aj $ ik fiber 
in Aa lkJ $b lk1 also 2A i& l tk in A2a ik S ik , d. L H in J. 
und ebenso in B*H, ein wohl zu beacbtender Wecbsel 
In der Tat bestatigfc man sofort, da8 H == ist, wenn A n = J. 2g 
= A^ = und & 23 = ?> 3t = 5 Jg = ist 

Wir konnen daher die Bedentnng der Bedingungen H = 
bez. = folgendermaBen zusammenfassen: 

Sind f(x ? x) s 2a ik x { x k ^ und g(x, x) s Hb^sc^^ 
rf/f Gleidiungm zweier Kegelschnitte in PrnMtoordinatm, 
F(u y u) = EAftUfa == bez. G (u f ) s ZJB^w^w^ tAre 
Gleichungen in Linienkoordinaten , so sagt die Sedingung 
3H A n l n 4 ---- f- 2^ 38 & 2S H = aw,<?, daft unendlieh viele 
PMreieclte von f(x 7 x) == rfer Kime g(x } x) = einge- 
scJirielen und unendlieh viele Poldrdseite von g(x,x) = Q 
der Surve f(XjX)^0 umgeschrieben werden Wnnen. Die 
BeMngung 30 = B n a n + * + 2J? 23 a g3 + * - fia^t a^ (Zay3 
unendlieh vide Poldreiecke wn g(x, x] = der Kurve f(x, x) = 
eingeschrieben und nnendlich viele Poldreiseite wn f(x,%) =0 
fer JKurve g(x, x) = umgeschrieben werden konnen. 

Man sagt anch im Falle H 0: der Kegelsehnitt ist der 
Knrve g harmmisdk emgesekrieben oder g ist der Kiure f 



Bedeutung des Versekwindens der Simultaninvarianten. 215 

harmonisch umgeschrieben, und analog bei = 0, Man sagt 
ferner im Falle H = 0: die Kurye 2. Grdrrang f stUtet oder 
tragt die Kurve 2. Klasse G, und umgekehrt stSt0t sick G 
auf f oder Cf ruht auf /". Eine andere Redeweise 1st: der eine 
Kegelsclinitt ist konjugiert oder opoZar zu dem anderen, dock 
muB dann noett angegeben warden, welche der beiden Kurven 
dureh ibre Gleiehung in Punktkoordinateii, welehe dnreb ihre 
Oleichung IB Linienkoordinaten gegeben ist. 73 ) 

Immer enthfilt die befcreffende Simultaninvariante die Ko- 
effizienten der Punktkoordinatengleicliung des umgesckriebenen 
und die Koeffizienten der Linienkoordinatengleiehung des ein- 
gesehriebenen Kegelschnittes, 

B. l) Seboii in Nr. 113 wurden polarkonjugierte Dreiecke 
ernes Kreises bebandelt, und es wurde dort gezeigt, daB sie sicb in 
perspektiver Lage befinden; die Verbindungsgeraden entsprechender 
Ecken gehen daher durch einen und denselben Pankt, das Perspek- 
tivzentrnm, und die Sehnittpunkte entsprechender Seiten liegen auf 
einer und derselben Geraden, der Perspektivachse (Nr. 67, 4j. 
Aucb polarkonjugierte Dreiecke eines beiiebigen Kegelscnnittes sind, 
wie leicbt zu zeigen, in perspektiver Lage. Nennen wir das Per- 
spektivzentrum zweier polarkoBjugierten Dreiecke das polare Zen- 
trum eines jeden der Dreiecke in bezug auf den Kegelschnitt und 
die Perspektivacbse die polare Achse, so bedingt die Beziebung 
H 0, daft das in bezug auf f(x, x) genommwe polare Zen- 
trum eines dcm Kegdsclmitt g(x, x) *- eingesckriebenen Dreiecks 
auf g(x 9 x) = liegt, und daft die in lezng auf g(x, %) ** ge- 
nommcne polare Aehse eines dem Kegelschnitt f(tf, ar) *= umge- 
schriebenen Dreiecks f(x, x) beru-hrt, 

Das eine Dreieck werde dureb ^ == 0, U' 2 = 0, ^3= ge~ 
bildet, das zugehorige polare hat alsdann die Seiten a n x t + a 2 ^ 
+ <7 i3 %^ 0( = 1, 2, 3); die Koordinaten ibres Perspektivzentrums 
sind die reziproken Werte von J 2S , -4 S1 , J 18 . Soil das erste Drei- 
eck dem Kegels0hnitt # (a?, x) = eingescbrieben sein, so muB dieser 
die Gleicbung baben 2(6^0^0^ + & sl %^i + ^13^1^) ^ - P I ? Sub " 
stitution der Koordinaten des Perspektivzentrums in diese Gleiebung 
*ergibt nacb Multiplikation mit ^gg^-giAs 1 

a^ltt+a^fttt+a^^-O oder SH-O. 
Den zweiten Teil des Satzes beweist man in analoger Weise, 

2) Haben gleicbzeitig H und den Wert Null, so ist das 
Doppelverbaltnis der vier Scbnittpunkte der Kegelscbnitte auf 
beiden aquianhannoniscb (Tail 1, 8. 160 und Nr, 359). 



216 XIX. Invariantenlheorie der Eegeischnitte. 349. 

3) Zwei Tripel harmoniseher Pole in bezug auf einen Kegel- 
schnitt y(x, a?) = liegen auf einem Kegelsebnitt, der der Kurve 
g(x,j] harmonisch umgeschrieben 1st (Nr. 299, 2). Zwei Tripei 
harmonischer Polaren beriihren einen anderen. 

Das erne Tripel harmonischer Pole werde durch die Ecken dS 
Koordinatendreiecks gebildct; g(x,x) = kaim alsdann in der Form 
jr i 2 + V+ Z 3 2== Q angenommen werden (Nr. 344, l). Durch das 
zweite Tripei nod die Ecken -4 1? A 2 des Koordinatendreiecks legen 
wir einen Kegelschnitt f(x, x) == %x 3 2 + 2c/ 23 ir 2 J 3 + 2<:/ 3r r 3 ^ 4- 
2 i2 7 1 ;r 2 =0; da dieser durch die Ecken eines Poldreiecks von 
0(j.'~ x) geht, ist 36 = 0, Hit Riicksicht auf a n * a s3 = o 
(w<ii JLj_ und ^4 2 auf ff/, /) = liegen) wird nun 30 = % 3 , da- 
her folgt <ar 33 ~ 0, d. h. die Kurve f geht auch durch das zweite 
Tripel harmonischer Pole, Ebenso beweist man di j n zweiten Teil 
des Satzes. 

;>49. Konjugierte Kegelsolmitte. Das Verschwinden einer 
der beiden Invarianten H und 6 kann als eine lineare Be- 
dinguug fiir den eiuen Ivegelsclinitt als Ort eines Punkte& 
oder fiir den tmderen als Hiillkurve einer Geraden aBgeselien 
werden ? je nach der Reihe von Koeffizienten, die man ala 
gegeben ansieht. Ofienbar kann man so jecle lineare Bezieb-ung" 
zwihchen den sochsKoeffizienten einer Gleichang inPunkt- oder 
Linienkoordinaten. sowohl niit H als mit identifizieren, in- 
dem man die seclis geyelenen Koeffizienten als diejenigen einer 
gegeben^n Hiillkurve von Geraden oder Oriskurve von Punkten 
auiffaUi 

Die allgemeine lineare Sedingung fiir einen Kegelsctmitt 
ledfutd gewnetrisch, da/5 er M einem gegebenen Kegelschnitt 
Jwnjugiert ist 73 ) Dieser durch die numerischen Koeffizienten 
der Beclingung gegebene Kegelschnitt kann natiirlieh von ganx 
besonderer Art sein, also z. B. ein Punktepaar (auch Doppel- 
punkt) oder ein Geradenpaar (auch Doppelgerade). In diesen 
Besonderheiten sind die in Nr, 324 gedeuteten linearen Be- 
stimmmigen enthalten. Bilden wir namlicli die Bedingnng^ 
dafi zwei gegebene Punkte y i3 z i in bezug auf g(x 9 x) = 
konjugierte Pole seien 3 so besteht fiir sie die Gleichnng von 
Nr, 307, also folgt die nach H = konjngierte Hiillkurve 
JP(u, 11) s % 2!A ik u ik ** aus 



Konjugierte Kegelsdhmtte. 217 

und dies sind dieselben Bedingungen, die ausdriicken, daB 
jP(w,w) = mit * t* ff identisch ist. Also ist dann 
g(x, #) = dem aus den beiden Polen gebildeten Kegelschnitt 
F(u, u) = harmoniseh umgeschrieben, wie aueh geometriseh 
klar ist. Das Punktepaar y z , % l kann insbesondere in einen 
doppelt zahlenden Punkt iibergehen, durck den der Kegel- 
schnitt einfaeh hindtirchgeht 

Sind die Koeffizienten der Gleichung qp(z ? w)=*0 einer 
Kurve zweiter Klasse r + 1 linearen Bedingungen unterworfen 
(r + 1 < 5) ; so sind alle Kurven zweiter Klasse, cleren Koeffi- 
zienten diesen Bedingungen geniigen, r + 1 gegebenen Kegel- 
schnitten f$ 9 f, . . /"( r + 1 ) harmoniscli eingeschrieben. Dieselbe 
Eigenschaft hat ein solclier Kegelsclinitt tp (w, M) = in bezug 
auf alle Knrven des linearen Gebildes r ter Stufe 

(19) ^f&(x, x) + Lf^(x, ) + .- + l r+1 f^(x, a?) - 
(Nr. 271). Umgekehrt bilden alle jene Knrven zweiter Klasse 
ein lineares System (4 r) ter Stufe, nnd weim 9? (1) (w,w)> 
g?^(w, w), . . p (5 " rJ (M, M) die Polynome der GHeichungen linear 
nnabhangiger Kurren des Systems sind, lautet seine Gleichung: 

(20) ft^)( tt , U) + ^9^(^, W) + + ft-r^ 5 " ^ W ) - - 

Alsdann sind die Knrven fW f f(*\..f'+V den Knryen 
yl^ <p( 2 )j . . g?( 5 - r ) harmoniscli umgescbrieben. Somit sind alle 
Kegelschnitte des Systems r ter Stufe (19) alien Kegeheimitten 
des Systems s ier Stufe (20) harmoniseh wmgeschriefan, wdbei 
r + s == 4 ist. Die letztgenanuten sind samtlicb. den ersten 
harmoniseh eingeschrieben. Solche Systeme werden wir spater 
Jcontravariante lineare Gebilde nennen (Nr. 353); sie lieifien 
auch Twnjvgierte lineare Kegelschnittsysteme. 

So biiden also alle Kegelschnitte, die Polardreiecken ernes 
gegebenen Kegelschnittes ein- bez.umgeschrieben werden konnen, 
ein System vierter Stufe von Kurven zweiter Klasse bez. zweiter 
Ordnung. Die konjugierten Pole bez, Polaren der gegebenen 
Kurre bilden die ausgearteten Kurven dieser Systeme. Die 
zu einem Bnschel konjugierten Kurven bilden ein Gewebe 
(System zweiter Stufe Ton Kurven zweiter Klasse), die zu 
einer Schar konjugierten Kurven bilden einNetz (System zweiter 
Stufe von Kurven zweiter Ordnuug), und umgekehrt 



218 3QX. Invariantentheorie der Kegelsehnitte. 349. 

B. 1) In einem Biischel /"(a?, %} lg(x, x) = gibt es immer 
einen und nur einen Kegelschnitt, der durcb die Ecken eines Pol- 
dreiecks eines beliebigen Kegeischnittes Ji(x, x) = ^c^x^ 
hindurchgeht. 

Setzt man 

:^Q l = a n C n + 2%6' 12 -f 



wo die 0^ die Cnterdeterminanten der aus den c a gebildeten Deter- 
minante dritten Grades bedeuten, so mufi t i0 2 verschwinden; 
die Gleicliung des gesuchten Kegelschnittes wird daher 



2) Wenn zwei Kegelsehnitte /"(a;, x) = 0, ^r(x', a?) == darch 
die Ecken je eines Poldreiecks von /&(ic, x) = hindurcbgehen , so 
liegen anf jedem Kegelscbnitt des Bascbels /(#,#) lg(x,x) = 
solcbe Tripel barmonischer Pole von 7i(x, a;) = 0. Denn aus dem 
Verscbwinden der fur f und //, andererseits fUr ^ und /? gebildeten 
Invarianten ^G^d^ und 2G ik l> $ % folgt das Verschwinden der fur 
f(o? ? a?) hg(X) or) und A (a?, a?) * gebildeten Invariante 
89'- (you- ift n ) + 2<7 3 Ja 12 - U n ) + + C^(a m - *& S3 ). 
(Vgl. Nr. 348, i, 3.) Eeziprok: Wenn zwei Kegelscbnitte die Seiten 
je eines Poldreiseils eines festen Kegelsclmittes beriibren, so gilt 
entsprecbendes fur alle Kegelscbnitte ihrer Scbar. 

3) Man soil einen Kegelscbnitt bestimmen, der drei gegebene 
Punktc A, B, C und je em Tripel barmoniseber Pole des Kegel- 
schnittes 7^ und des Kegelschnittes k$ entbalt. 

Sind A 1 B 1 G 1 ^ A$B$C$ die polaren Dreiecke (im Sinne von 
Nr. 113) zu ABC in bezug auf die Kegelsebnitte \ und & 2 , so 
sind die polaren Zentra (Nr. 348, l) des Dreiecks ABC^ also der 
gemeinsaine Schiaittpunkt der drei Geraden AA if BB i ^ CG^ und 
der Scbnittpunkt der drei Geraden A A%, BB^ CG$, zwei Pankte des 
gesucbten Kegelscbnittes, der somit durch fiinf Punkte bestimmt ist. 

Infolgedessen bilclen die Kegelschnitte, die der Bedingung ge- 
niigen, je ein Tripel harmoniscber Pole fur zwei gegebene Kegel- 
sehnitte zu entbalten, ein Gebilde dritter Stufe von Kegelschnitten. 

4) Man konstruiere den Kegelscbnitt, der zwei gegebene Punkte 
-A, S und je ein Tripel harmonischer Pole fur drei feste Kegel- 
sebnitte J 1? & 2 , jfcg entbalt. 

Wenn 1? 2 , C 8 die Pole der Geraden AB in bezug auf 
*n ^ ^s s ^ un( ^ e ^ e Gerade aus A von den Polen P x , P 2l P s 
in P den gesuehten Kegelschnitt zum zweitenmal trifft, so liegen 
nach Nr. 348, 1 die drei Punkte PC 1? JBP l5 PC g , BP,; P(7 3> JBP S 
mit Aj B und P auf dem gesuchten Kegelscbnitt, die Biischel 
iCt) und (B*APiP%P%) sind also projektiv. Da Her- 



Koustruktion von Kegelschnitten durcli Polfcripel anderer. 219 

nach P auf dem dnrcla A, 6\, 0^, C s gehenden Kegelschnitt llegt, 
fiir den das Doppelverhaltnis dieser vier Pankte gleich dem Ton 
(JB ^4P 1 PgP 3 ) 1st. so ist P linear bestimmt und man hat sechs 
Punkte des gesuchten Kegelschnittes. 

5 J Man bestimme den Kegelschnitt dureh einen Punkt A und 
durch je ein Tripel harmonischer Pole in bezug auf vier gegebene 
Kegelschnitte & 17 # 2 , A* 3 , 7.' 4 . Wir zieben dazu durcli A zwei Geraden, 
die in bezug auf keinen der vier Kegelsehnitte l\ konjugiert sind, 
und denken P, Q als die Punkte, wo sie den gesuchten Kegelschnitt Tc 
zum zweitenmal schneiden; seien P 15 P>, P 3 , P 4 und bez. <3 t , . . 4 
die Pole dieser Geraden J.P, AQ in bezug auf die 7^, . . 7" 4 , so 
liefert das Dreieek APQ als h eingesehrieben die Doppelverhaltnis- 
gleichheit (P - A Q i 2 3 <3 4 ) == (Q ^LP 1 P a P 8 P 4 ), nach der man P 
und Q durch folgendes Verfahren bestimmen kann. Man wiihle in 
AP einen Punkt X als eine Lage von P und bestimme in AQ die 
entspreehende Lasfe 1 von $ durch die Gieichungen (Y^AP^P^ 

- (Z AQ&Q& (Y 4 - ^PaPJ - (X ^1 ftJ- ' Wird " niia 
die Lage von X auf JLP geandert, so beschreiben die zwei so er- 
laaltenen Lagen von Y projektive Keihen 3 und 4 und von ihren 
Doppelpunkten ist der eine der Schnitt von AQ und P^: der 
andere Doppelpunkt, die wahre Lage von Q+ kann daher linear be- 
stimmt werden die entspreehende Lage von X ist der Punkt P. 
Damit sind sieben Punkte von & gefimden, namlieh auBer A^ P, Q 
noch die vier Schnittpunkte je eines der vier Geradenpaare P^ 
und QP^ (i = 1, 2, 3, 4). Diese linearen Konstruktionen ersetzen 
die Auf losung der fiinf linearen Gieichungen, deren eine der reelle 
Punkt A liefert, wahrend die anderen vier die f = sind. 

6) Die Bestimmung des Kegelschnittes 7t, der Tripel harmo- 
nischer Pole in bezug auf fQ.nf gegebene Kegelschnitte #j, . . , \ 
enthalt, veranlaBt zu folgenden IJberlegungen: Da kein reelles 
Element der Peripherie von fa bekannt ist, konnen. auf beliebigen 
Geraden gelegene Punktepaare dieser Peripherie nur durch die zu- 
gehorigen Polinvolutionen bestimmt und durch Konstruktionen 
zweiten Grades erhalten werden, also auch nicbt mit der Sicher- 
heit der Kealit^t. Die zu k in einer Geraden g gehorige Polinvolution 
kann aber nach 2) linear bestimmt werden aus den Schnitten von 
g mit je zweien der Kegelschnitte, die dem Quadrupel /r 2 , & 3 , ^* 4 , A* 5 
und bez. dem Quadrupel fc^Sg, ^,#5 harmonisch umgeschriebea 
sind, weil diese je ein Biischel bilden, so daB durch jeden Punkt 
A von g einer von ihnen geht. Das gemeinsame Paar dieser beiden 
Polinvolutionen gibt die Doppelpunkte der Polinvolution von k 
und damit wird die Losung quadratisch. (Vgl die Theorie des 
Polarsystems in Nr. 3911) 

7) Weil Punktepaare und Geradenpaare ausgeartete Kegel- 



220 33X. Invariantentheorie der Kegelselmitte. 350. 

schnitte sind nach der Polaritat von Nr. 310, so treten zu den 
vorigen als besoxidere Falle die Aufgaben, deren aligemeinste lautet: 
Man konstruiere den Kegelscbnitt, der fiinf gegebene Strecken oder 
ftinf gegebene Winkc-1 dim-b seine Ihren Geraden angehorigen Punkte 
bez. durcb seine aus den Schelteln dieser Winkel gezogenen Tan- 
genten harmoniscli toilt. ("Vgl. den Text.) Die Aufgabe 6) umfaBt 
die vorhergehenden als Sonderf&lK 

350. Harmonisclie Kreise zu einem Kegolschnitte sind 
besonders int^ressant. Bezogen auf rechtwinklige Koordinaten. 
x, y sei 

(21) f(x* yi = a n x 2 + ^a^xy + a&y* + 2a n % + 2a^y + a n ** 
die Gieichung des gegebenen Kegelschnittes Jc. Die Tan gen- 
tialgleichuug des Kreises vom Mittelpunkt cc|/3 und vom 
Radius 9 ist alsdann nach 3STr. 105: 
122) Giu, v) s (au + jjv + I) 3 - ^(> 2 + v*) - 0. 
Also ist fur diese beiden Kurven die Invariante 30 gleich. 
a n (a s p s ) -f %^--~ 9-) -f 2^ ls ccj8 + 2a n a -f 2a 23 jS + a 3$ 

(23) oder 3 - /!>, /}; - (a n + 0*^4*. 
Dalier ist 

(24) f(^)-(a n + a,,)i^Q 

die Bedingung dafiir, daft der Kreis (22) der Kurve (21) liar- 
montsck eingeschrielen sei y also die Seiten von unendlich vielen 
Poldreiseiten der Kurve (21) kriihre. 

Somlt gibt e$ m jedem Punti als Mittelpunkt einen ein- 
sigen dem Kegdsclmitt harmonisch elnyescJiriebenen Kreis; sein 
Radius folgfc aus (24). Die samtlicben Kreise dieser Art bilden 
also ein Netz (Nr. 122). Das Ergebnis der Substitution einex 
Koordinatenpaares & = cc, y = /? in ein Polynom f(x, y) ist 
daher proportional zum Hadiusquadrat des Mtm Mittelpunkt 
ct \ $ gdwrigen, f(x, y) Jiarmonisch eingescliriebenen Kreises, 
(VgL Nr. 178, Teil 1, S. 351 unten.) 

Das Yerschwinden der far die Kurve zweiter Klasse 

(25) F(u, t?) = A llk v? + 2A^uv + A n ^ + %A u u + 2 A n v + -4 M 
und den Kreis 

(26) ^(,y)s l + y f - 
gebildeten InTariante 



Harmonische Jvreii&e eines Kegelscbnittes. 221 

(27) 3H = A n + AM + A^-2A ls a- 2A 23 /3 

lieferfc die Bedingung dafiir, daft der Kreis ('26) der Kwve (25 
harmonisch ttmgeschrieben set, also durcJi die Eclien mendUch 
meler Poldreiecke der Kurve (25) Mndurchgehe. 

Die Bedingung H = zeigt, daB die Kreise (20) eben- 
falls em Netz bilden und zwar mit dem Ortliogonalkreise 

(28) A^(x* + f) - %A n x ~~ 2A^y ~ A n + A,, - 0. 
Dies 1st naeh NT. 313 ? 2 die Grleichuug des Hanptkreises 
des Kegelschnittes ^(w, v) = 0. J.?so 5/wtf ?fe Kreise, die 
Poldreiecken eines Kegelschnittes umgcschriebcn sind, orthogonal 
M dessen ffauptkreis; die von dem Mittelpunkt des Kegel- 
schnittes an einen liarmonisch urngeschriebenen Kreis ge- 
zogenen Tangenten sind daher gleicli dem Radius des dein 
Kegelschnitt augehorigen Hanptkreises. 74 j 

Aus (27) und (28) folgt ferner, daB die Mittelpunkte 
der der Kurve F(u, ;) == harmonisch. umgeschriebenen Kreise 
bei gegebenem Radius auf eineni mit dem Hauptkreis dieser 
Kurve konzentrischen Kreise liegen ; der im Falle einer Para- 
bel (A%z 0) in die Leitlinie der Parabel flbergeht (Vgl. 
auch Kr. 213,1.) 

Diesen Satzen gibt man einen scheinbar verscMedenen 
Ausdruck, indem man bedenkt ; daB nun die Kreise des ersten 
bez. zweiten Netzes auch Polardreiecke haben 7 denen der ge- 
gebene Kegelschnitt nm- bez. eingeschrieben ist. Der Kreis- 
mittelpunkt ist aber (vgl. Teil 1 ? S. 225) stets Hohensckaitt- 
punkt in diesen Dreiecken, Die Gleichung (24) zeigt ? daB 
die Mittelpunkte der einem gegebenen Kegelschnitt k harmo- 
nisch eingeschriebenen Kreise bei gegebenem Radius auf einem 
mit "k koachsialen und ahnlichen Kegelschnitt \ Iiegen 7 der 
insbesondere mit zusammenfallt ? wenn "k eine gleichseitige 
Hyperbel (flii+flssO) ist. Vgl. auch Nn 165, 2 und 3STr. 
fur J f --a* 



B. 1) Wenn das Eechteck aus den Abselmitten der H5ben des 
Kegelsohnitte F(u, t?) = a 2 ^ 2 + 5 2 t? 2 1=0 umgeschrie- 
benen Dreiecks konstant und gleich g? ist, so ist der Ort des Hohen- 
schnittpunktes der Kreis x* + ^ 2 *= cf + ^ + Q** 

Wenn namlich das Produkt aus den AbschnitteE der Hohen 



222 XIX. Jiivariaijtentheorip der Kegelschnitte. 3-50. 

konstant und gleich ^ ist, so folgt aus Teil 1, S. 219, daB ^ der 
Badius des Kreises 1st, der das gegebene Dreieck zum Poldreieck 
hat, und zwisehen den Koeffizienten der Gleiehung des Kreises 
(x af + (y 13) 2 $ 2 == und denen der Gleichung F(u, v) = 
besteht nun die Beziehung 3H = a s + & 3 - ( s + 2 2 J = 0, fur 
die Koordinaten a =* #, |3 * # des Kreismittelpunktes 1st dalier 
a^+ ^ = a 2 -f ?/ + (> 2 . (Vgl. Nr. 344, 3.) Im Falle g = crhalt 
man den Hauptkreis des Kegelschnittes. 

2) Wcnn das Rechteck unter Jen Abschnitteu der Hohen fiir 
ein in den Kegelscbnitt f(x, y)^-~s+ ^ 1 eingescbriebe- 

nes Dreieck konstant und gleich o 2 ist, so ist der Ort des Hohen- 
schnittpunktes der mit f(x, y) = koachsiale und ahnlicbe Kegel- 

schnitt") /'(a:, y) - j 2 (~ + -J.) 0. 

Folgt ilhnlich wie die Losung von B. l unter Eiicksicht auf 
(23) und (24). 

3) Man soil den Ort des Hohenschnittpunktes fiir ein Dreieek 
fincten, das einem Kegelscbnitt eingescbrieben und zugleich einem 
anderen Kegelschmtt umgeschrieben ist. 76 ) 

Wenn man den Mittelpunkt des letzten Kegelschnittes (Halb- 
achsen ,6) zum Koordinatenanfang wahlt und die Werte von Q* 
einander gleich setzt, die sich aus 2) und 3) ergeben, so ist fiir 

f if + 2 ax + 2 a'# + a' = 



als GleichuDg des Kegelscbnittes, in den das Dreieek eingeschrieben 
ist, die Gleichung des gesucbten Ortes 



Der Ort ist daher ein Kegelschnitt, dessen Achsea denen von 
f'(x, y) == parallel sind, und der mit f f (x^ y) = zugleich ein 

Kreis wird. 

4) Der HShenscbnitt eines Dreiecks, das einer Parabel umge- 
schrieben ist, liegt in der Leitlinie. 

Folgt leicbt aus den beiden letzten Abschnitten des Textes. 
Vgl. auch Nr, 213, 1. 

5) Bei dem eingeschriebenen Kreis eines Polardreiecks der 
Parabel ist die vom Fufipunkt seiner Mittelpunktsordinate in der 
Achse an ihn zu legende Tangente der zugehorigen Parabelordinate 
gleich. 

Der Beweis liegt in der Beziehung = in Nr. 344 r 4, 

6) Wenn der Eadius des einem Polardreieck einer Parabel ein- 
gesi-hriebeBen Kreises gegeben ist, so ist der Ort seines Mittelpunktes 
erne Parabel yon gleicheni Parameter mit der gegebenen. 



Hamionisch eiu- oder umgesehriebene Kreise. 223 

7) Der Ort der Slittelpunkte | r f der den Kegelschnitten ernes 
Buschels harmonisch eingesehiiebenen Kreise 1st die gleichseitige 
Hyperbel des Buschels. 

Denn sind f(x, y) = 0, f"u 4 , y) = zwei Kegelscbnitte, so 
sind nach (23) die Gleichungen /"(if, rf) fa' H + a^)?* 88 " raid 
f "(,?/)- (a" n + a" 2L) )^ 2 = die Bedingungen daffir, da8 ein 
Kreis vom Mittelpunkt 1 1? und vom Eadius ^ den KegelschDitten 
/''(* y) = und /"C 27 ) y)i S( >mit alien Kegelschnitten des Biischels 
f(x,y) lf"(x,y) = harmonisch eingescLrieben sei Dorcli 
Gleichsetzen der Werte yon Q* erhalt man als Ort des Mittelpunk- 
tes I i T? die Kurve (a" n + " 22 ,f (g,^) - ( a ' n + a^)f^ ,1?) - 0, 
die in dem Biiscbel enthaltene gleicbseitige Hyperbel. 

8) Die den Kegelscnnitten einer Schar barmonisch umgescbrie- 
benen Kreise bilden ein Biiscbel, dessen Potenzlinie die Leitlinie 
der Parabel der Scbar ist 

Die Hanptkreise der Kegelscbnitte bilden daber das konjugierte 
Biiscbel (Teil 1, S. 243/4). 

9) Zwei gleicbe Kreise, deren Schnittsehne so groB wie ibr 
Eadius ist, bilden zwei Kegelsebnitte, fiir die die Invarianten H 
und 8 verscbwinden. 77 ) 

Die Gleichungen solcher Kreise sind z.B. r 2 
Vgl. Nr. 395, 3. 

351. Es ist im allgemeinen niclit moglich, dem einen von 
mei Mieligen Kegelscliniiten ein Dreieck eiwmschreilm, das 
mgleicli dem anderen umgesclirieben ist. Wenn aber zwischeji 
beiden Kegelschnitten erne gewisse Beziehung stattfindet, kon- 
nen nnendlich viele solche Dreiecke gefunden werden. 

Ist namlicli ein solcbes Dreieck moglicb. und ist es zum 
Fundamentaldreieck gewahlt, so lassen sick die Gleichungen 
beider Kegelschnitte in die einfachen Forraen 

/(a?, x) = x^ + V + ^ - 2%^ - 2^ - 2sK t x B = 0, 

g(x, x) ^ 2a 23 ar 2 ^ + 2a n x^ + 2%^^ - 
fiberfiihren (vgl. Nr. 344, 5), und wir erhalten fur ihre Inva- 
rianten die Werte 

4- 4, J52a 23 %a 12? 3H 



Zwischen diesen besteht aber die Beziehung 78 ) 
(29) ' 



224 XIX, Invariantentheorie der Kegelsehaitte. 351 

erne Gleiehung soldier Art, daB sie ? wie in Nr. 844 gezeigt 
wurdcj durch eine VerUnderung der Koordinatenbeziebung 
ungestorfc bleibt. Also muB dieselbe Beziehung unter den 
Koeffizienten der Gleiehungen beider Kegelsehnitte immer 
stattfinden, wenii es uberhaupt moglieh sein soil, sie in die 
vorher angenommenen einfachen Formen uberzufiikren. Die 
Gleiehung ( 29) ist so die analytische Bediugung der geforderten 
geoxnetrischen Beziehung. 

In der JTat gehort umgekekrt, unter Voraussetznng der 
Beziehung (29) auck die dritte Ecke eines dem Kegelsehnitt 
f(x 9 x) = unogeschriebenen Dreiecks dem Kegelsebnitt 
g(x 9 x) ~ an, wenn seine zwei ersten Ecken auf ihm liegen. 
Denn ergiinzen wir den. Ausdruck g($, x) zu g(x, x) + %3^3 2 7 
so geht 30 (iber in 30 ct^a^; aber die friikere Bezieitnng 
ist niit cier jetzt erforderlichen 3H 2 = 4 J.(0 %%) nur ver- 
traglicb, wenn % = ist (im Falle ^ 12 = wiirde g(%,x) *= 
ein Geradenpaar darstellen). 

Man kann aucb Beziehungen zwischen Inyarianten be- 
nntzen, um die Gleichungen der Kegelscbnitte auf einfachere 
Forinen zu bringen. So folgt z. B. ; daB Kegelscbnitte von 
der durch 9H6 =^ J.J?ausgedriickten Beziehung allgemein auf 

^ + x<~ + ar s - 0, V - x/ + cxf = 
reduzieii werden konnen. 

Damit tiberbaupt ein Kurvenpaar f(x 9 x) == 0, g(x^ x] = 
in ein anderes /*(#, x) <= 7 g'(x, x) = tibergefiibrt werden 
konne, mtissen nacli unserer Abzahlung zwei absolute Inva- 
rianten let* gleicJt sein. Die einfaclisteii sind die Quotienten 

H 2 :Jie = H' s :^0; 2 : BH - 0' 2 : B'ti'. 
Nur ron ibren Werten mussen also Doppelyerbaltniswerte 
abbangen, wie z. B. die der Scbnittpunktpaare in den Seiten 
des goniemsamen Polardreieeks, TOIL denen wirklicb nur zwei 
unabhllngig sind. 

B. l) Man bestimme die Bedingung fur diejenige Lage von 
zwei Kreisen, bei der deni einen ein Dreieck eingescbrieben werden 
kautt, das zugleich dem anderen umgeschrieben ist. 

Setzt man in Nr- 344, 2 das Quadrat der Zentraldistariz der 
beiden Ireise </+ ^ 3 gleicb d 2 und cZ 2 ^ 2 ^ 3 e\ so wird 
Bach (29) tmd Nr. 344, 2 die gesuclite Bedingung 



Kegelscbnitte mit em- oder umgescliriebeneii Dreiecken. 225 

V**-fc*) a +?i 8 ( c2 ~fc S ) = <> oder Ce 2 +^ 1 2 J 2 =4o I V 7 
also d a -fe a r 2 ftft , 

wobei o 2 den Radius dcs dern Dreieck uingeschriebenen Kreises be- 
zeiehnet. Es 1st dies der bekannte Ausdrack, den bereits Eider fur 
die Entfernung zwisehen den Mittelpunkten des einem Dreieck urn- 
geschriebenen und eines ihm eingesehriebenen Kreises gegeben hat; 
insbesondere bei konzentrischer Lage ist ^ = 2 ^ . 

Der Ort der Hohenschnittpunkte allcr solcber Dreiocke ist ein 
Kreis, der den CberschuB des Radius vom umgeschriehenen Kreis 
liber den Durchmesser des eingesehriebenen zura Radius hat. 

2) Fur einen Mittelpunktskegelschnitt steht der um einen 
Brennpunkt mit der Hauptachse als Radius bescbriebene Kreis zu 
dem gegebenen Kegelschnitt in der Beziehung (29) des Textes 
gemaB den Gleicnungen 



und nach den Werten in Nr. 344, 3. 

3) Man soil den Ort des Mittelpunktes fur einen Kreis von 
gegebenem Halbmesser finden, der einem dem Kegelscanitt 
/(a, x) = umgeschriebenen Dreieck umgesckrieben oder einem 
ihm eingeschriebenen Dreieck eingeschrieben ist. 

Die fraglichen Orte sind Kurven vierter Ordnung, ausgenom- 
men den Fall Tom Mittelpunkt des umgeschriebenen Kreises fur 
das Dreieck der Parabeltangenten; dieser Ort ist ein Kreis, der den 
Brennpunkt zum Mittelpunkt hat, wie auch sonst geschlossen wer- 
den kann. 

4) Unter welcher Bedingung kann in den Kegelschnitt 
gf^c^ x\ = ein Dreieek eingeschrieben werden, dessen Seiten der 
Reihe nach die Kegelschnitte & 1? & 2 ,7% eines Biischels f\x^x)-\- 
%g(x, x) beruhren? 

Setzen wir g(x, x) = 2a 23 ^ 2 ^ 3 + 2a sl ^ 3 ir 1 + 2a % ^x 2 0, 

f(x, X) S X^ + V + a** ^C 1 + ^^23)^^3 - ^(l + ^2%)%% 

2(1 + * 8 it)i^ ^ 0, so wird f(x, x) + ^g(x, x} = durch 
x.= beriihrt nnd die Invarianten von /"(#, x) und g(x> x) sind 
A = (2 + ^033 + fe s % + ^i 2 ) 2 
3 H = 2( 2S + a B1 + a ia )(2 + 7^% -f 



30 (% + % + 
J5 

trad sie erftillen die verlangte Bedingung 
{3H - B(*&+ * 8 *! + fcA)} 2 
{86 + ^(i 4- + 

Salmon-Fiedler, anal. Geom. d. Kegelschn, II. 7. Aufi. 15 



226 XIX- inmriantentheorie der Kegelscbnitte. 352. 

352. Kovarianten, ZontravariaBten, Zwisckenformen. 
Die Definition der Ko?arianten in Nr. 330 ist auch auf ternare 
Formen anwendbar. Bildet man aus der allgemeinen Gleiehung 
einer Kurve oder den Gleichungen der Knrven eines Systems 
die Gleichwig C = eines Ories, der %ur Eurve oder &u dem 
System eine durcli lineare Transformation (VerwandfscJiaft) un- 
zerstorbare gesetmafiige Beziefmng hat, so ist C eine ~ko- 
variante Kurve m der oder den Gegebenen. Die Gleichung der 
bei einer gegebenen Kollineation einer Kurve C = ent- 
spreclienden Knrye C'0 wird erhalten ; indem man die 
Gleielmng C == selbst transformiert, oder auch dadurch, da8 
man die gegebene Gleichung oder das gegebene Gleicliungs- 
system transformiert und nun dieselbe Funktion C mit den 
transformierten Koeffizienten bildet. Die beiden so entstehen- 
den Ausdriicke sind alsdann nur um eine Potenz des Trans- 
formationsmoduls als Faktor versehieden, denn es ist 

(30) C(a'X) = A r -C(a ? z). 

Eine quadratische Form f(x, x) bat %eine von c f(x, x) 
verscbiedene Koyariante ? dagegen baben zwei oder mehr 
quadratische Formen simultane Kovarianten. 

Im ternaren Gebiet geboren zu den drei Veranderlichen x i 
drei kontragrediente Veriinderliche w $ .. Wenn eine gegebene kolli- 
neare Punktverwandtscbaft durch die Substitution x i ~ 2?%#/ 
bestimmt ist, so wird die Strablenverwandtscbaft gleicbzeitig 
durch Aw = Zh ik u ausgedriickt. Bei gleicbzeitiger Anwen- 
dung beider Substitutionen besteht dann die Identitat 

(31) u^ + u^ + u^ = w/o;/ + Ui'xf + u%x^ 
Demnach kann man Invarianten eines aus Kurven und Ge- 
raden u i} t? t? . . bestehenden Systems als homogene Funktionen 
der kontragredienten Veranderlicben auffassen, Wenn wir eine 
solehe Invariante K(a, 6, u) aus den Koeffizienten des trans- 
formierten Formensystems bilden K(a',&' ; ^') ; so ist auch 

(32) K(a,&,tt)sA r -K(a',y,i / ). 

Man nennt solcbe Formen kontragredienter Verander- 
lieher, die die InTarianteneigenscBaft ltaben ? mgehdrige Former 
Emtmmriantm) der gegebenen Formen oder des ge- 



Kovarianten, Kontravarianten und Zwlsdienfonnen. 22T 

gebenen Systems. Erne su Ortsfatrven Jcontravariante Kurve 
ist cine EullJcurve oder Enveloppe, deren Gldchung eine pro- 
jeMve Beziehung einer leweglichen Geraden m dem System 
ausdruckt. Denn dieselbe Funktion der transformierten Koef- 
fizienten des Systems wird bis auf einen konstanten Faktor 
auch erhalten, wenn man in der ursprunglichea Kontravariante 
die Veranderlichen selbst in?ers transformiert Sie gleicht 
darin einer Kovariante ? nur sind nicht die ursprtiDgliehen, 
sondern die transformierten Substitntionen auf ihre Verander- 
lichen anzuwenden.*) 

Ihrer geometrischen Bedentnng nacli sind die EeBiprokalr 
formen JKontravarianten der ursprilnglichcn Formen, also Orts- 
gleichung und Tangentialgieiclinng sind kontraTariant. Die 
tibrigen Koutrayarianten stehen zur TangentiaJgleichung in 
demselben Verhaltnis, wie die KoTarianten zur Ortsgleichung. 
Eine einzelne quadratisclie Gleichung f(x, x) = hat Jceine 
andere Kontravariante als die Tangentialgleichung F(u,u) 
s 2A ik u t u k = ; wo bei linearer Transformation die Identitat 
besteht F (u, u) *s A 2 - F(u, u) . 

Endlich konnen fiir ein aus Kurven und Oeraden be- 
stehendes System wiederum Kovarianten gebildet werden, die 
somit aufier den laufenden Koordinaten x i nicht nur die Ko~ 
effizienten der Gleichungen jener Kurven, sondern auch die 
Koordinaten der Geraden u { enthalten. Solche FunMonm von 
leiderlei VeranderlicJien nennt man Zivisclienformm, wenn sie 
InvariantmeigenscJiaft Jialen, d. h. ihren Wert nicht oder nur 
durch Hinzutritt eines konstanten Faktors andern ? wenn man 
die eine Reihe der Veranderlichen durch die ursprungliche, die 
andere Reihe aber durch die transponierte Substitution trans- 
formiert. Also sind z. B, alle Produkte von Kovarianten und 
Kontravarianten Zwischenformen. 

Die entspreehende Form u x oder x u dieser Definition 
heifit die identisehe Zwiscftenform. Mne yuadratische Form 



*) Man kann daher die Yerlnderllchen % auch durch die Ablei- 
tungen nach den gleicli benaimten % ersetzen, inn attB der 
variante eiae neue Kovariante eatsteheB zu lassen (Nr. 342). 

15* 



228 XIX. Invariantentheorie der Kegeiscknitte. 353. 

f(x, x) hat mtr aolclte Zwischenfarmen, die sick als game Funk- 
tionen wn f(x, x), F(u, w), A mid u x darstdlen lassen. Diese 
vier invarianten Formen bilden also das vollstandige System 
der quadratiscken Form im fruheren Sinne. 

;>53. Kontravarianter Kegelsekaitt H zu zwei gegebenen. 
Nacli dem vorstekenden kniipft die Bildung der simultan- 
invarianten Formen zu zwei gegebenen an die Tangentialform. 
an. Diese wird nach Nr. 149 von irgend einein Kegelschnitt 
des Bfisehels f(x f X) ig(x, x] = gebildet, iudein man in 



(Nr.309) 



die Koeflizienten a ijt durch , A A^ a ersetzt. Die so entstehende 
Determinante lafit sick nach der binomisetien Zusammensetzung 
von drei Reihen ihrer Elernente in sieben andere Determinanten 
als Summanden zerlegen, von denen die erste keine der Spalten b 
enthalt und daher mit F(ii, u) identisch ist, drei weitere 
je eine Spalte der I und damifc den Faktor A enthalten ; die 
drei letzten je zwei Spalten der & und damit den Faktor A 2 . 
Die Summe dieser letzten erweist sick als die mit F(u, u) 
ganz gleicli gebildete Determinante der b und soil durch 
G(u 9 n) bezeicknet warden. Daker ist das Ergebnis, d. k. 
die Tangentialgleickung des Kegelscknittes f(x, x) lg(%, x\ 
von der Form 



(34) F(u, u) - 2Ajffi>, u) T- l*G(u, ti) - 0, 

wenn wir durch 2H(u, u) die negative Summe der drei Par- 
tialdeterminanten mit dem Faktor A bezeicknen. So ist 

Ai w % % ,^11 Z*is i ^ ^n a 12 & w u^ 

(35) 2JBfs' &ai ^ n ^ +^ 21 * 22 ffs3 ^'jJ * 1 ^ 22 &2S w *i 

"" ! J 31 %S 8S W 3 '% & 38 W Sj %i 32 & J3 S j ' 
| ?^ M 8 U t H 3 j Wj , ! 

oder 

o "V ^ 

"^ - 3 2 d- .o 



Kontra- nnd Kovarianten zweler 

I (1 ili ^- /7 /) * 



229 



(37! 



Xun besteht die Invarianteneigenschaft dieser Tangential- 
form filr jeden beliebigen Parameter A, also haben die drei 
Koeffizienten F, H, G diese Eigenschaft. Sow it ist H eine 
simultane Kontravarlanfe des Forwevpaares f'>x,x), g(x y x) 
imd H(u 9 u) = ein Jtontravariaitter Kef/clschnitt. 

,'154. KovarianterKegelsc3initt^(^ ; ^) zu zwei gegebenen. 
Genau dual verfahrend gebt man von der Gleidiung der 
Kegelseliniite einer Schar Fhi, it) 3,G(u, n) = zu ihrer 
Crleichung in Punktkoordinaten iiber f Nr. oil). Diese lautet 



(38) - 



jn-t 



^22 ^ -^22 ^-23 



J 2% 



:0 



, x l x, % i 

ganz derselben Entwickelang wie vorhin, nnr daB statt 
der fl tjb , J> it9 u % die A ik? B ik , x i stehen. Daber ist das von A 
freie Glied mmmehr Af(x,x) statt F(u,%i) wie in (34) ; der 
Faktor von A 2 wird Bg(Xy x) statt G(u, n) } und der Koeffi- 
zient 2Jc(x y x) von I ist 



(39) 



Weil nun die linke Seite der Gleichung 
(40) Af(x, a?) - 2 Mc(x,%] + 2 2 %(^ ; a?) - 

unabhangig von A die Invarianteneigenschaft hat ; so ist Jc eine 
simultane Kovariante des Formenpaares f, g imd A* == ein 
kovarianter Kegelschniti Die projektiven Bezielmngen der 



230 XIX. Invariantentheorie <ier Eegelsehnltte. 354. 



beiden Kegelschnitte H(u, u) und k(x,%) = werden 
vollig dual sein. 

1st das Kegelschnittpaar auf das gemeinsame Polardreieck 
bezogen: 



1 g( x , x) = b n ^ 
so ist, wegen 



die Gleichung des kovarianten Kegelschnitfces 
I 2fr = 



(42) 

und die Grleichung des kontravarianten Kegelschnittes 



Kegelschnitte haben daher mit den gegebenen 
selbe gemeinsame Polardreieck. 

B. Zur Yerbiadung mit Nr. 349 zeige man die Richtigkeit 
der Satze: 

l) Der geometrische Ort der in bezug auf g(x, x) = genom- 
menen Pole der Tangenten von /"(a?, x) == (re&tproJce Polar e von f 
in bezug auf ^) ist em Kegelschnitt mit der Gleicnung 3H^(o?, a;) 
24(0, 3) 0. 

Denn die gewlinschte Kurve ist zugleicb. Ort aller Punlcte x^ 
deren in bezng auf g genommenen Polaren die Kurve f beruhren; 
sie hat also die Gleichung F(g^g^^ 0$) = 0, wobei zur Abkiirzung 
g i an Stelle von |-/(%} gesetzt ist. Sind fund g durcb (41) gegeben, 



mit Hilfe von H, g(x, x) und *(, x) findet man aber 



2) Ebenso folgt: Der geometrische Ort der in bezng auf 
f(x,x)*=*Q genommenen Pole der Tangenten von g(x, x) ^ 
(reziprofte Polare von g in bezug auf f) ist der Kegelschnitt 
6 (/i 3 ft* f$) - 0, wobei a(f l} fa ) = 39^(x, a?) - 2t(a, a?). 

3) Wenn der Kegelschnitt f dem Kegelschnitt ^ harmonisch 
eingeschrieben ist (H = 0), so liegen die Ecken der der Kurve f 
umgesctriebenen Poldreiseite von 'g slmtlich auf dem Kegelschnitt 
*(*,*) =-0. 

Dean naeh 1) ist nunmehr F(g tJ y,, g 3 ) == -2k(x, x) . 



Ko- und Kontravarianten zweler Kegelschnitte. 

4) Wenn f der Kurve g barmoniscb umgescnrieben 1st (9 = 0), 
so berabren die Seiten der der Kurve f eingescbriebenen Poldrei- 
eeke von g sEmtlicb den Kegelscbnitt H(\i, U) = 0. 

Ersetzt man niimlicb in F(g v , fa, // 3 ) i~ 3 \\g(x, x) 2 7: (a;, /; 
die ^,^L a , & a> J5 a ,u derReibe nacb durch ^l ljfe , Ja ljfe . B^Bb^^i., 
so erhait man J./ 1 ^, <? 2 , G 8 ) =s 3.48ff(tt, w) 2ABH(u,u) und 
nacb Wegbeben von A folgt f ( & t , <? 2? ff 3 ) = 3 6 G (it, u) 2B H(u,u). 
Hier ist G t = -J- fi'(W|). Im Fall 9 = 1st die Kiir^re H(u, u} = 
dieselbe wie ffo^ ff s , ^ 3 j == 0. 

5) Man zeige, dafi auBer den in B. i, 2 und -i benutxten Be- 
ziebungen nocb die folgenden stattfinden: 

Bf(x, x] = 39^(j, a?) - 2E(g l: g^ ft ), 
^( t *) s 3Hf(^, re) - 2H(f i: f, : f,), 
F,, F z } = SHJPfw, ) 



, u - 2 

355. G-eometriselie Bedeutung der Kontravariante if, 
Die zn /(^ ; a?) lff(x, %) = geborige Gleicbung in Lilian- 
koordinaten (34) ist in I Tom zweiten Grade, es gibt daJier 
im Bilschd 0wei Kegelschnitte, die eine gegebene Gerade ^=0 
teruhren, und es fragt sicb nun, wie man die Beriihrungs- 
punkte bestimmt. Bei Beant^ortung dieser Frage beachte 
man ? da8 nach (11 a) in Nr. 309 die mit den u { nnd t?^ ge- 
randerte Determinante der a 4& A& >jfc , gleicb NuE gesetzt, die 
Gleicbung des Schnifctpunktepaares einer beliebigen Geraden 
v x *=Q mit dem Kegelscbnitt f(x, x} %g($ 9 x) = des Bii- 
schels darstellt. Diese Gleickung ist in I vom ersten, in den 
fy vom zweiten Grade, sie ist von der Form P IQ=*Q. 
Tragt man in sie die Wurzeln 1 und A s yon 

(44) F(v, v) - 2lH(i>, t?) + i s <?0, ) - 

ein ? so gebt das Schnittpunktepaar fiber in den doppelt zu 
xahlenden Beriibrungspunkt, man kann daher setzen 

(45) P-^<2 = F 1 2 ,P-A J <2 = F 2 2 , 

wo nun V l = und F a == die gesucbten Beruhrungspunkte 
darstellen. Mit Hilfe dieser beiden Ausdriicke laBt sich die 
Gleichung P I Q unter der Voraussetzung, da8 i t und 
^ von einander verschleden sind, in die Form bringen 



2S2 XIX, Invariantentheorie <ler Kegelschnitte. 355. 

(46) l . [ (A - A)Tv- a - AjJV ] = Oder 

' 



Aus der Gestalt dieser Gleichuug ergibt sich sofort der 
Satz: Eine leliefnge Gerade trifft die Kegelsclwitte eines Bilschels 
in Pmiktepaaren ciner Involution; die Duppdpunkte dieser In- 
volution sind die SerllJintwjspunlde der Jen i gen zicei JLuri'en des 
BuscJiehj die die (/eyebene Gerade ,:ur Tangente Jiaben. SQ ) 

Da die Parameterwerte A = und I = oc den Kuryen 
^'=0 bez. g = des Biischels /* Ig = zugehoren, erhalt 
man aus (46 a) fur i = bez. I oc die Punktepaare, in 
denen die Ivurven f bez. // = die Gerade v x = treffen. 
Das Doppelverhaltnis u dieser beiden Punktepaare wird (vgl. 
Xr. 85j: 



und hieraus folgt iaT): (a -f 1) = S]/;^/^ : (^ -f- 1 2 > Er- 
hebt man diesen Ausdruck ins Quadrat und fuhrt man fiir 
das Produkt und die Summe der Wurzeln 2 1? 1% der quadra- 
tischen Gleichung (44) die Koeffizienten ein ; so ergibt sich 
die Beziehung 

(48) (a - 1) 2 B 2 (; ? v) - (c + l) s Ffo, t?) S(?, t?) - 0. 

Brsetzt man in dieser Gleichung die v. durcli laufende 
Koordinaten u t und denkt man sich die Zahl cc gegeben., so 
steEt diese Gleichung die Bedingung dar, der die Koordinaten 
u einer Gferaden geniigen mussen, wenn die Paare der Schnitt- 
punkte dieser Geraden mit den zwei Kegelschnitten /'=0 
und g == ein gegebenes Doppelyerhaltnis a bilden sollen. Wie 
man sieht, umhiillt die Gerade eine Kurve yierter Klasse. 

Im Falle eines harmonisehen Yerhaltnisses (a = 1) 
geht (48) uber in I/ 2 (w, u] = oder H(u, u) 0, die Gerade 
umhullt den kontraTarianten Kegelschnitt H: Alle Geraden, 
die $w&i Kegelschnitte f~*Q und g = in Jiarmonischen Punkte- 
paarm treffm, umhullen mnen drittm KegdscJinift H^=0 7 



irtiometrische Berluutung der Kontravariante //. 233 

wir die hannonische Kurve ziveiter Klasse oder nacli dem ersten 
Entdecker der eben erwalmten Eigenschaft die Staudtsche Kuri'e 

zweiter Klasse nennen wollen.* 1 ) 

Trifft die Gerade u x = den Kegelsehnitt /* in P t und P 2; 
g in P H und P 4? so hat das DoppeJverlialtnis a der beiden 

P r> ( T> T> 

Scknittpunktepaare bekanntllcli den Wert pSr'VV' W enn 

-* S "*3 " <*! *! 

dieses Doppelverhaltnis Null oder nnendlich. groB ist ; mufi eine 
der Strecken P^, P 2 P tJ P 2 P G? P t P 4 zu NuU werden, d. h. 
die Gerade maB die Kegelsclinitte so treifen, daB ein auf f ge- 
legener Scbnittpunkt mit einem auf g gelegeneri zusammenfallt, 
die Gerade muB also durch einen der Tier Grundpunkte des 
Btischels /" Ig = geten. Und umgekehrt, so oft die Gerade 
u x = durch einen der vier Grundpunkte geht, wird a gleich 
Null oder unendlict groB. Fur diese "Werte von a geht aber 

(48) iiber in 

(49) H\u, u) - F(u, ti)G(u, ^t) - 0, 

und diese Gleichung wird daher durch die Koordinaten u f 
einer jeden Geraden erffillt, die durch einen der vier Gnmd- 
punJcte geht ; d. h. die Gleichung (49) stellt diese vier Punlte dar. 

Da ferner die Koordinaten u. einer jeden Geraden, die 
in einem der Tier Grundpunkte entweder den Kegelschnitt f 
oder den Eegelschnitt g 'berulirt, nichi nur der Gleichung (49) 
soBdern auch der Gleichung F(ii, n) = bez. G(u, u) == 
gentigen, so erfiillen diese Koordinaten auch die Gleichung 
H(u } it) = 0, d. h.: Die Kurve H wird auch wn denjenigen 
acht Geraden 'berSJirty die in den vier Sclmittpuw'kten wn f 
und g als Tangenten an f oder an g gezogen werden kimnen. 

356. Geometrlsclxe Bedeiztung der Zovariante k. Dual 
zu dem Satze, der in Nr. 355 die Beziehung der Kurve 
J?(M, u) = zu den Kurven /und g geometrisch deutete, folgt: 
Alk Punkte, von denen man an die EegelscJmitte F(u,u) = 
und G(n,u)=*Q Jiarmonisclie Tangentmpaare mhen kann, 
liegen auf dem durch (39) definiertcn Kegelsctmitt *k(%, x) == ? 
dm wir die "harmonische Kurve zwelter Ordnung oder nach 
dem ersfeti Entdecker der eben erwahnten Eigenschaft die 
Standtsche Kurve meiter Ordnung nennen wollen, 1 ) Es sei 



234 XIX. Invariantentheorie der Kegelschnitte. 3o6. 

daran erinnert, da8 die in den Koeffizienten von (39) ent- 
lialtenert GroBen A ik und J? t/ . die Unterdeterminanten der zu 
f(x, x) = und g(x 9 x) gehorigen Determinanten A nnd I? 
bedeuten. 

Man kann nun fragen ? welche Gleicbung dual zu (49) 
die vier gemeinsamen Tangenten von f und g darstelli 
Urn sie zu erhalten, mu8 man in (49) die a ik und b a dureb 
A ik bez. JB a ersetzen, ferner A ik , S ik durch Aa lk bez. J55 a? 
die MI durch die ^. An Sfcelle yon H(u, w), JPi'w, w) ? 6?(w ? w) 
treten alsdann (vgl Nr. 311) der Eeihe nach die Ausdriicke 
A(^ 7 ^) ? Af(x,x), Sg(x j x) > und es folgt: D^ Gleichung 
(50) # (a, a?) - ABf(x, x)g(x, x)-Q 

stellt die vier den Kegelschnitten f und g gemeinsamen Tan- 
genten dar. 

Ferner folgt: Die Kurve Jc geht durch die acht Bertih- 
rungspunkte der den Kegelschnitten f und g gemeinsamen Tan- 
genten. 

Wenn sich die Kegelschnitte f und g in P beriihren, 
werden sie in P auch von A* berfihrfc. Dies folgt sofort aus 
dem eben erwahnten Satze und aufierdem ergibfc sich: Die m 
0wei in doppelter Beriihrung stehenden Kegelschnitten geliorige 
Mrmonische Kurve zweiter Ordnung Jc beriihrt die leiden 
Kegelschnitte in ihren BemhrungspunUm, gebort also ihrem 
Biischei an. Tatsachlick erhalt man bei 

f(x 9 x)=0to%f + 2a^x^ - 0, g(x, x) = 6 33 ^ 2 + 26^^^ = 

fiir 2k(x } x) einen Ausdruck von der Form & 83 # 3 2 + 2^^%. 
Entsprechendes gilt fiir ff(u, u) = 0. 

Es gibt daher im Falle der Doppelberuhrung von f und g 
einen Parameter i**x von der Besehaffenbeit, da6 die Kurve 
f %g = des Bliscbels f Ig = mit #(#, x) = zusam- 
menfallt. Bezeicbnen wir die Koeffizienten von 2k(x,x) mit 
&/ und 2k ik , so verschwinden also nunmebr alle Determinanten 
der Matrix 



11 *2 



Geometriscbe Bedeutung der Kovaiiante /;. 235 

1st ferner I = / n derjenige Paratneterwert, fiir den f Ig 
die Doppelberiihnmgssehne darstelU, so muB die zu f /. lt <7 = 
gehorige Gleicliung in Linienkoordinaten F(u, n) 2 ^^(M, w) 
+ 2^G(u 9 u] = identisch verschwinden (S. 124). AuBerdem 
mu8 A t eine Doppelwurzel der Gleichung 

(51) C(A) = X - 3H;. + 301 2 - BA 3 - 

sein (Nr. 251 und 252), some der beiden G-leichungeu 

(52) H-29A + Bi 2 =0, JL-2Hi-^0;. 2 =0 ? 

die sicb. aus (51) ergeben, wean man 0(1) durcb Einfiihrung 
von A:^ an Stelle von K homogen macht (J. ft 8 3 H Aft 8 
+ 30iV -BA 3 0), die parfciellen Ableifcungen dieses Ausdrucks 
aacb 1 und p gleich Nail setzt und dann wieder ^ durcb 1 
ersetzt (Nr. 326). Durcla Elimination von Aj aus den ebeii 
erwaiinten, durch I == A t erfiillten Gleichungen erbalt man 

F H G 

(53) |JL H G 

| H U 

Da die Gesamtheit aller sich in denselben PunJcten doppelt 
beruhrenden Kegelschnitie sowdhl als Bilschel wie als Schar 
aufgefafit werden kann, wird auch die m (53) duale Gleichung 
erfultt. Sie ergibt sich, indem man in (53) die a ik , b ikf A iky 
B a , u der Eeihe nach darch die A ik , B lk? Aa ikJ Bb a , x i 
ersetzt; nacli Abscbeidung des Faktors AB folgt auf solclie 
Weise aus (53) die Gleichung 

I f k g \ 

(54) I A AQ H 1 = 0. 
I JBH B 

AuBerdern wird naturlich die schon in Nr. 345 abgeleitete 
Bedingung (16) der einfachen Beriihrung erfiillt, 

B. 1) Wie lautet die Gleicliung der gemeinsamen Tangenten 
zweier auf dasselbe PoHreieck bezogenen Kegelschnitte? 
Hit Hilfe von (42) folgt aus (50) 



- Invariantentbeorie der Kegelsclmitte. 357. 

In lineare Faktoren zerlegt liefert diese Gleichung die Tangenten 
dureh alle Zeichenkombinationen in 



M/^A - % & as) = 0. 

2) Man bestimme die geiiieinschaftlicben Tangenten zweier 
demselben Dreieck umgeschriebenen Ke^elscbnitte, 

Der KegeLscbnitt /:, der ihre adit Beriinriingspunkte enthalt. 
ist in diesem Palle ausgedriickt durch 2/:(#, ?) ^ 

IrtjAs ^lAsrV-J ---- i- fclAj+^ls) 1 ^3^23+^25*18) a? 2 a> 8+" ==0 - 

# ) Die Bedingungen der vierpunktigen Beriibrung (BertibruDg 
drittur Ordnung) von f = ursd g == ergeben sicli daraus, da& 
die (Jleiclmntf (51) nun die dreifache Wurzel 

\ = A : H = H : 8 = ^ : B 

bat (vgl. (17) in Nr. 345), und zwar muB fur diese der Ausdruck 
JP ^Aj/y-r A^'ff identiricb verschwinden (vgl. Illb in Nr. 252). 
d. h. es mtissen die Identitaten bestehen: 

6JP 2HJET-f^CsO, F- 1>0J/ + Hff^O. 

4 ) Die Tangentenpaare, die man von einem beliebigen Punkte 
an die Kegelscbnitte einer Scliar legen kann, bilden eine Involution; 
die Doppelstrahleu dieser Involution siml die Tangenten derjenigen 
zwei Kurven der Scliar, die durcb den gegebenen Punkt geben 

Folgt dual zu dem entsprecbenden Satze in Xr. 355. 

Ebenso folgt: 

r>) Der Ort aller Punkte, von denen an die Kegelschnitte f 
und g Tangentenpaare von gegebenem Doppelverbilltnis gezogen 
werden konnen, ist die Kurve vierter Ordnnng 82 } 

(a - lW(x, x) -(a + i)*ABf(x, x) - ff (x, x) = 0, * 

6) Ist y(x, u?) = ein Geradenpaar, so ist k(x, x) = die 
Gleicbung des von seinem Scbnittpunkt an denKegelscbnitt f(x*x)*=0 
gelegten Tangentenpaares. 

In der Gleicbung (33) von Kr. 313 hat man die Produkte y* 
und 1^11 k dtircb die B i{ und J? JJL< zu ersetzen. 

357. Weitere Kegelschnitte in invarianter Beziehung 
m sawei gegebenen. Alle Kegelschnitte, deren Gleichungen 
lineare Aggregate von f, g, k bez. YOU F, G, H sind, stehen 
in invarianter Beziehrag zu f und g. Aber auch die Umkeh- 
rung gilt: Die Gleichuny in PunMtoordinafen eines jeden zu 
f und g Itomnanten Kegelschnittes ist eine lineare Funktion 
von fj g und Ik. Die Gleichung in Linierikoordinaien eines jeden 
^u F und G Jcontmvariantm Kegelschnittes ist eine lineare 
Fnnktim wn F, G und K 



Invariante Kegelschnitte ?AI xwei gegebenen. 237 

Dabei bilden kovariante und kontravariante Kegelsehnitte 
nicht verschiedene Systeme, sondern jeder niclit-serfalhnde in- 
variante Kegelsclinitt ist als TanyentenfjeWdc kontravariant, 
d. h. die Tangentialform jedes in /', g, 1: linearen Ausdruckes 
ist in Fj (I, H linear, und umgekehrt. So ist z. B. H = 0, 
als Ort betrachtet. oin zu /*=0 ? j = kovarianter Kegel- 
sclinitt. Nun entspringt aus der entwiekelten Form 2H 
(Nr. 353 J unter Bezug auf das gemeinsame Pokrdreieck die 
Gleichung in Punktkoordinaten: 



Diese kann man in der Tat umformen in 

(% 622^33 + ' OKi^i 2 + * ') + (^ii22^33 T- ' *)0ir 

^3+ % i 22> ; i"+ '} = 0, 



so daB die liuke Seite der zu 2H(it } u) gehorigen Gleichung 

in Punktkoordinaten 2/^(2?, ,/:) == mit /",// und / verbunden 

ist durch die Beziehung 

(55) 2\(x, x) === 30/*(>, a:) + 3Hjr(a: 5 ^) - 2fc(a, a?). 

Aus iitr folgt sofort 7 rfa/8 ^/<5 Gleichwngen H(u, u) = 
lt(x, x) * im JaZfe H == ww^Z 9 = ewzcw <# c?^- 
Kegelsclmitt darstetten. 

B. Die Beispiele zeigen zaMreiche Anwendungen desselben 
Prinzipes, weitere folgen in Kapitel XXI. 

1 ) Man zeige, JaB fur die linke Seite 2 K(it, u) der zu 2 JC(SJG^X) = 
gehorigen Gleichung in Linienkoordinaten die BezieWng stattfindet 
2JT(w, w) = 3.BH^(?f , w) + 349ff(, u) 2ABH(u, u). 

2) Die Bedingung, unter der der Kegelschnitt 7(a?, ^) = in 
ein Geradenpaar zerfiillt, ist, wenn wieder f und g auf ihr gemein- 
sames Poldreieck bezogen sind: 



oder allgemein 

Ebenso ist 9H0-~^.5==() die Bedingung, unter der die 
Kurve H(u f u) zerfallt, d. h. unter der alle Geraden, die YODL 
den beiden Kegelschnitten hannoniscli geteilt werden, dureh einen 
oder den anderen von zwei festen Punkten gehen. Diese Bedingung 
wird z. B. erfullt fur zwei Kreise, die sieh rechtwinklig schneiden, 
und in der Tat wird in diesem Ealle jeder Durchmesser des einen 
Kreises durch den anderen harraonisch geteilt; der Ort der Punkte, 
von denen an die Kreise harmonische Tangentenpaare gelegt werden 
konnen, besteht aus einem Geradenpaar. Auch wenn ? 2 = 2 (ft 2 + 2 2 ) 



238 XIX. Invariantentlieorie der Kegelschnitte. 357. 

1st ((4 , 2 Badien der beiden Kreise, d Abstand ihrer Mittelpunkte), 
zerfallen die Kurven H und A*. 

3) Die Gleichung der Tier an den Kegelschnitt f ~ in semen 
Schnittpunkten mit // = gezogenen Tangenten 1st 



Man erhiilt die Gleiclmng durch Substitution von . 
an Stelle von u l in die Gleichung (49) der vier Grundpunkte des 
Biisehels, also in H 2 F G = 0; alsdann sind die Ausdrucke fur 
JET(/i, /g, /p und ff (/ /^ /^) i n Kr. 354, B. 5 und 2 einzufiihren. 

4) Ein Dreieck ist einem gegebenen Kegelscbnitt umgeschrie- 
ben, und zwei seiner Eeken bewegen sicb in i'esten Geraden ^ = 0, 
tt^aa 0; gesucht wird der Ort der dritten Ecke. 

In Nr. 295, 1 wurde gefunden, daB, falls %a: 8 iT 2 2 = 0, 
ax t .r g = 0, B^ % = gegeben sind, 

(a + t) 2 ^^ == 4a&ir 2 2 oder (a + &) 2 (^ 2 2 ^ir 3 ) = (a 6) 2 # 2 * 

die Gleicbung des Ortes ist. Die recbte Seite dieser Gleicbung ist 
aber das Quadrat der Polare p x des Scnnittpunktes der beiden 
Geraden in bezug auf den Kegelscnnitt, und zwar ist im Falle all- 
gemeiner Gleictungen 



Ferner ist a + 6 = die Bedingung, unter der die Geraden v^ w i 
in bezng auf den Kegelsehnitt konjugiert sind; sie ist im allge- 
meinen Falle durch F(v, w) zu ersetzen, wenn 

JP(r, w) = A n v i io l + -4 2a f 2 w s + ^33^3^3 + J 23 (v s + r s w? 2 ) 
+ ^^(^^ + z?^) + ^ 12 Kr 2 + VgwJ. 

Die besondere Gleicbung des Ortes ist also zu ersetzen durcli 
die allgemeine F*(v, w\f(x, x) + Ap* *** 0. 

5) Man bestimme die HtUlkurve der Grundlinie eines Dreiecks, 
das dem Kegelsehnitt /'= eingescnrieben ist, w&brend seine bei- 
den anderen Seiten den Kegelscbnitt g = berubren. 

Wird das Dreieck in einer seiner Lagen als Fundamentaldrei- 
eck genommen ? sind daner die Gleichungen der Kegelschnitte 

/'(a?, a?) 55 2(a 2S ar,ar s + a 31 a? 3 ^ + ^3*1^) ^ ^ 
ff(x, x) s % 2 + V + ^ 3 2 - 2ayr 8 - 2^^ -2(1 + ia^^ar, == 0, 

wo ar 1 0, # 2 = die durch </ = beriihrten Seiten bezeichnen, 
so wird der Kegelsehnitt lf + g^Q durch die Seite %== be- 
liObxt (vgL Nr. 351, 4). Nach den Werten der Invarianten erkennt 
man dies als die Gleichung eines festen Kegelschnittes. Denn wegen 



Invariante Kegelsehnitte zu zwei gegebenen. 239 



A = 2a 23 a 31 a 12 , 3H *= (a n -f </ 81 + a^) 2 
36 - 2(a M + * 3l + * 1S )(2 + Aau), J? - - (2 + la is ) 2 

ist 9G 2 12H5 = 4145, und die Gleichung If + g = geht 
daher iiber in (9 6 3 12 H JJV(a, x) + ABg(x, a) = 0, die Glei- 
ehung eines festen Kegelschnittes, den die dritte Peite des Dreiecks 
beriihrt. Fiir 99* 12HJ8 6 leithrt diese Seite deuseibeE 
Kegelscbnitt y, der auch von den beiden ersten beriibrt wird. 83 ) 

6) Man soil den Ort flir die Spitze eines Dreiecks linden, 
dessen drei Seiten einen Kegelscbnitt f = beriihren, wabrend zwei 
seiner Ecken einem andern Kegelschnitt g = angehoren. 

Um die Anfgabe zu losen, bilden wir die Gleichung des Tan- 
gen tenpaares von f= aus dem Pnnkte y % , sodann die Gleicbung 
der Geraden, die die Scbnitlpunkte der Tangenten nnd der Knrve 
g == o verbinden, endlicb die Bedingung, daB eiue dieser Geraden, 
die die Basis des fraglicben Dreiecks sein nmB, den Kegelscbnitt 
g = bertibre. 

Die Gleicbung des Tangenteupaares lautet f(y^ y) f(x, x) 
/ 2 (?/,^) = 5 nnddieBediDgung, unter der/^t/)/^^) /-^,^)-- 
lg(x, x) = ein Geradenpaar daistellt, liefert znr Bestimmung der 
Scbnittsebnen dieses Tangentenpaares und des Kegelscbnittes die 
quadratiscbe Gleicbnng fiir A: 

M*- 2%, y)l + Af(y, y)g(y, y} = 0. 

Andrerseits besteht die Bedingung, unter der eane sole-he Scbnitt- 
sebne den Kegelscbnitt f(x, x) = beriibrt, in dem Verscbwinden 
der fur f(y, y)f(x, ar) - / 2 (y, x) - lg(x, x) - und f(x, x) - 
gebildeten Taktinvariante (Nr. 345). Man erbalt bierdurcb die 
Gleicbung 

1(1249 ~ 9H 2 ) - A*g(y, y) - 0, 

und nacb Einftibrung des bieraus folgenden Wertes 1 in die fru- 
bere quadratiscbe Gleicbung ergibt sicb als Ort des Punktes y 
der Kegelscbnitt 8 *) 

) - 8(12 -46 - 9H 2 )4%, y) 



7) Man soil den Ort der Spitze eines Dreiecks bestimmen, 
von dessen Seiten sswei den Kegelscbnitt /* berubren, wabrend 
die dritte einen andern Kegelscbnitt af + lg berubrt, und die 
beiden Basisecken sich auf g = bewegen, 

Man findet nacb der Metbode des letzten Beispiels, daB der 
Ort der eine oder andere derjenigen Kegelscbnitte ist, die die vier 
gemeinscbaftlicben Tangenten von f ss =0, ^=0 berubren. Die 
Kegelscbnitte sind dutch die Gleicbung 



240 5HX. Invariantentlieorie der Kegelschnitte. 358 



, y) + 2Apfc(y, y) + r /fy, 2/j = 
dargestellt, wcnn A : ft aus der Gleichung bestimmt wird: 



8) Man soil den Ort der freien Ecke eines Yielecks bestimmen, 
dessea sSmtliche Selten den Kegelsehnitt f= beriibren, wahrend 
seine Ecken Ms auf jere eine auf dem Kegelschnitt g = liegen. 

Diese Autgabe wird auf die vorhergehende zuriickgefiibrt, denn 
die Verbindungslinip zweier Eeken des Yielecks, die der freien 
Ecke benachbart sind, beriihrt einen Kegelschnitt von der Gleiehung 
af+lf?*>*(l Sind l f , /; A'', ft"; A"', ^"' die dea Vielecken YOH 
( 1), M und (V? + 3) Seiten eatsprechenden Werte, so 1st 

r== ftV" 2 , ^'= Wr(4-t v- (9H 2 - i2 

Im Palle des Dreiecks ist 



im Falle des Yierecks wird 



Hud ans diesen Formeln ergeben sich Schritt fur Schritt die Werte 
fur jedes andere Yieleck. 86 ) 

9) Filr zwei Kegelscbnitte /'= () 7 .</ == ist der Ort des 
Punktes. wo eine Taagertte des erst en die Polare ihres Beriihrungs- 
punktos in bezug auf den zweiten schneidet, die Kurve von der 
Gleiclning 

3H/"u, x)f/(x, x) 2f\x, x)k(sc> tc) Ag-(x, x) =- 0. 
Sie gent durcli die Schnittpunkte von g mit f und 7^. 87 ) 

10) Die drei Paare Verbindungslinien der Ecken eines Drei- 
ecks mit den auf den Gegenseiten durcn einen Kegelscbnitt ausge- 
scbnittenen Punkten bilden zwei Gruppen von drei Geradeii durch 
je einen. Punkt, wenn man hat 



358. Bestimnmng der Kegelsclinitte des Biiscliels, fiir 
die die GrundpuBkte em gegebones Doppelverhaltnis haben. 
Zieht man von irgend einem Punkte y i einer bestimmteii Kurve 
%f !$ = des durcli die Kegelschnitte f und g erzeugten 
Biischels nach den vier Qrundpunkten Strahlen, so bestimmen 
diese Strahlen eia gewisses Doppelverlialtnis 7 das sogenannte 
Doppelverhaltnis der vier Grundpunkte fur den Kegelscknitt 
9tf iff 0. Dieses hat ztach Nr. 280 konstanten Wert, wo 
auch der Punkt y i auf ac/*-~ A// = angenommen werden 
moge, Welcher Gleichung mufi nun der Parameterquotien.t 



Buschelkurven von gegebenem Doppelverhaltnis der Grundpimkte. 241 

% : i geniigen, damit das Doppelverhaltnis eiaer gegebenen 
Zahl a gleicli werde? 88 ) 

Lafit man den auf der Kurve xf ~~~ Ig gewahlten 
Pnnkt y. mit einem der vier Grandpunkte zusammenfallen, 
so bestehen die vier zu betrachtenden Strahlen aus der Tan- 
gente %f(y, x) &g(y> x) = in dieseni Grnndpunkte nnd 
aus den drei durch ihn gehenden Geraden y^f(y 9 x) A^(y ; x) ; 
(i ~* 1,2, 3) ; des Kegelsclinittbiiscliels 7 wobei x f : ^ eine 
Wurzel der kubischen Gleichung 

(56) C(> ; A) = % 8 ^L - 3x 8 AH + 3xA 8 9 - i 3 B = 

ist. Wir konnen auch sagen: Die Zanl a stimmt iiberein mit 
dem Doppelverhaltnis der vier Wnrzeln der in $ : biquadra- 
tischien Gleicbung 

(57) ($*A - 3^ 2 <?H + 3Q0 2 Q <J 3 ^)(- IQ + Z 6)^0 

oder C($ 9 0) * ( 1$ -f x<?) = 0. Da das DoppelverMltnis 
durch lineare Transformationen nicht geandert wird (Teil 1 ? 
8. 185/6), kann man an Stelle Ton p und 6 neue Verander- 
liehe p, v einftihren ? und zwar geschehe dies durch die Snb- 
stitutionen 

/&o\ * fiG(**l) f dC(* 9 

(58) T -P + -i - 



Man erhalt alsdann eine Gleichung vierten Grades fiir ^ : v, 
in der nnr die schon in Nr. 338 definierten Invarianten 
IT(, 1) nnd T(%, 1) der kubischen Form 6 f (%, i) als Koeffi- 
zienten auftreten. Vermoge der angegebenen Substitutionen 
findet namlich die Beziehnng statt 89 ) 



(59) { 



T(x, 
nnd hier ist 



{ ) 



Bedeutet ferner ft ov = g? einen linearen Faktor von 
ft s + 3jBT(%, l)^i/ 2 + T(%, A) v 3 und sind 9? ^v, 9? o 2 ^ 
die beiden anderen Faktoren 7 so hat man 

Salmon-Fiedler, aal. Oeom. d. Kegelschn, H. T.Aufl. 16 



242 XIX. Invariantentheorie der Kegelschnitte. 359. 



(61) 

tmd es miissen nun die absoluten Invarianten der beiden bi- 
quadratischen Formen, die die linke nnd rechte Seite der 
letzten Grleiehung bilden, einander gleicb sein. Man erhalt 
alsdann mit Benutzung YOU (69 a) in Nr. 339 far das Doppel- 
Yerhaltnis a = t : ca 2 die Beziehting 

(*- + i) a ___ BW) d 
-- 



denn man findet fur die in (69 a) Torkommenden Invarianten 
,L, J 3 die Werte ,7 g - - |-^ ? A), J 9 - - ^T(% ; A). Die 
Gleielrong (63) ist der Ausdruck der Ablxangigkeit zwisclien 
a ud dem Parameter verhaltnis % : A. Es gibt also sec/is KegeTr 
schnltte im SilscJicl, in denen seine vier Grumlpunlde ein ge- 
gebenes DoppelverMltnis cc Itaben; dual entspreclaend ebenso 
in einer Schar von Kegelsehnitten. 

B. Welches ist der geometrische Ort der Puakte, von denen 
an die Ellipse frV-}- a 2 ^ 2 2 5 2 = vier Normalen von gegebe- 
nem Doppel verhaltnis geben? 

Man erbalt die Gleichung des Ortes, indem man das Doppel- 
verMltnis der biqnadratischen Form 



bildet, in der J,, 3H, . . dieselbe Bedeutung haben wie inNr. 343 B. 
Man hat hierbei das Verfahren einzuschlagen, das von Gleichung 
(57) zu (63) fiihrte. 90 ) Insbesondere ergibt sich 



ftir den Ort der Punkte, von denen vier Normalen von gleichen 
fundanientalen Doppel verb altmssen ausgehen (vgl. Nr. 339). 

359. Die aqTuanharmonisclxen Kegelschnitte nnd eine 
KombiBante des Biiscliels. Den Wnrzeln % : I der quadrati- 
gcben Gleichung H(x } 1) = entsprecben diejenigen Enrven 
des BiischelS; fiir die das Doppelverhaltnis der vier Gbrand- 
punkte eine komplexe Eubikwurzel aus der negativen Ein- 
heit, also aquianliannoniscb ist (Teil 1, S. 160). Mit Hilfe 
des fflr C(ra, A) nach (60), S. 241 bereehneten Ausdruckes 
B(x, A) ergibt sich, da8 



Aquianharmonisclie Kegelschnitte. 243 

f U9 - H V(rr, x) + (H6 



1 j 

das Produkt der Gleiebungen dieser beiden Kurven, der so- 

genanntem aquianharmonischen Kegelschniite des Bmchels dar- 

steUt. 

Sind die Gleicbungen tier Kurven f und g auf ein ge- 
meinsanies Poldreieck bezogen, so dafi 
(65) /== a n ^ 2 + a 22 ,r 2 2 + a 33 ^ 2 , # == 6 n ^ 2 -f \%i + \^ z \ 
und setzt man zur Abkiirzung 

(66) 

ferner 
(67) 

so geht die GleidniBg (64) nach Multiplikation mit 9 
liber in 



(68) , A 

\ / I A\J (JJJ M * fy* Z _^ I | 

^ lf(j. f/tntfj't uG(> W . 

Die linke Seite dieser Gleicbung laBt sich in zwei Fak- 
toren zerlegen, und jedem von ibnen entspricfat, gleicb Null 
gesetzt, einer der beiden aquianbarmoniscben Kegelschnitte. 
Bedeuten e und a 2 die komplexen Wurzeln aus der positiven 
Einbeit, so lauten die Gleicbungen dieser Kurven 

(tyy) rf * m 4 m c tvyt sy ** JL, c^syvi SY* O UTI/I 
ilvitAft i[ C^/to^Cg \~ C //tqiA.o -~~" \J UUU.U 
m x 2 4- e*m x 2 ' sm x 2 = 

und man erkennt leiebt, daB ibre siroultanen Invarianten H 
und 8 verscbwinden, denn diese werden gleicbbedeutend mit 
1 + + *==: o. (Vgl. Nr. 348, 2 und Nr. 350, 9.) 

Die fur die Kegelscbnitte (69) gebildeten Kovarianten 
H(u } u) und Jc(x } x) stellen daber, gleicb Null gesetzt, nach 
der Bemerkung zu (55), S. 237 einen und denselben Kegel- 
scbnitt dar, der in Punktkoordinaten die Gleicbung bat 
nc\\ fmdr *r\ = vn r 2 -I- m r 2 4- w T 2 

I IV// ill/\Jv JU I EZS: JJv* vt < ^^ IllnJUs} ^^ iltnJLo ~ V 

Diese Kurve wird also von alien Geraden eingeMlU, die 
die leiden aquianJiarmonischen Kegelschnitie in "harmonischm 
PunUepaaren schneiden und isi mgltich der Qrt aller PunJcte, 
wn denen sick an diese leiden Kegelschnitte TiarmonisGhe T<m- 
gentmpaare legen Ussen. 

16* 



244 XIX. Invarlanteatheorie der Kegelschnitte. 359 

Die fur f(x, #) ~ und die Kurve (70) gebildete In- 
variante 



verschwindet identiseh, und gleich.es gilt, wenn man diese 
In variante fur g(x > x)^Q und (70) bildet. 

Der Kegelsclmitt (70) ist daher den Kurven f und g, so- 
mit alien Kurun des BuscMs f 1^==0 7 MrmoniscJi einge- 
sckrieben und ist offenbar fiir die Geometrie des Kegelschnitt- 
btischels von Bedeutung. Wir wollen aueh allgemein die linke 
Seite der Gleichung dieser Kurve durch m(x, x) bezeichnen. 

Sind die Gleichungen der Kurven f und g nickt auf das- 
selbe Poldreieck bezogen, sondern beliebig gegeben ; so lafit 
sict die entsprechende Gleichung m(x, x) = leictt ableiten. 
Diese ist in den a iL und b ik je vom zweiten Grad und wird 
sict daher aus den mit gewissen Zahlenkoeffizienten a, j3, 7 
yersehenen Ausdriicken Qf(x y x\ Hg(x,x) und fa(x,x) addi- 
tiv zusammensetzen ? so daB etwa 

a - 3Qf(x, a?) -f ]3 - 3Hg(x, x) + <y > 2k(x, x) = m(x, x) . 
Da die Koeffizienten cc, ^3 ? y yon der Form der Gleichungen 
f U und # = unabhangig sind ? kann man bei iforer Be- 
stimmung wieder die Gleichungen (65) und (70) zugrunde 
legen. Durch Koeffizienten vergleichung findet man a = j3 = 1 7 
y = 3 xuid gelangt daher zu der Beziehung 

(71) \m(x, x) = 2 J(a?, x) - Qf(x, x) - Hg(x, x) . 

Diese Kovariante ist auch eine sogenannte Kombinante 
des Biischels, Man versteht hierunter Inyarianten J von fol- 
gender Beschaflenheit. Statt J f lir f und g zu bilden, bilde 
man diese Invariante fur %f-i- ^g und % 
alsdann dui-ch J^ bezeichnet. Ist nun J 
ist also J^ von / nur uin einen Faktor verschieden, der eine 
Potenz von x^ % 2 A 1 darstellt, so heifit J^ eine Kombinante 
dr Formen f und ^. 

Bildet man nun die Kovariante (70) fiir x^f+H^g und 
*/* + ^# (anstatt fur / und g), so sind zunachst die dureh 
(66) definierten Ausdrucke c, durch (x^ %^i)<3 f zu ersetzen, 
worans mit Eficksicht auf (67) sofort folgt, daB an die Stelle 



Eine Kombinante des Bilschels. 245 

der m t nunmehr die Ausdriicke f X^2~~ ^V) 2 ^* treten. Hier- 
mit ist aber die Kombinanteneigenschaft der Form (70) er- 
wiesen. 92 ) * 

360. Weitere Eigensciiaften der Komfoinante; die Jiar- 
monisclien Kegelschnitte des Biiscliels. Aus Gleiehung (71) 
folgt mlt Hilfe Ton (55) sofort 
(72) m(tc, x) ~ 47*(o?, x) ~~ 2/* 1 (;r, #), 

und die geometrisclie Deutung dieser einfachen Beziehuug 
liefert sofort mit Riieksicht auf die Kombinanteneigenschaft 
YOU m den Satz: Die Kombinante m ist der Ort der Schnitt- 
punJite der m zwei beliebigen Eitrven des Suschds flg^Q 
gehorigen Staudtschen KegelscJmitte Jc und h. QT ) 

Die Gleidmng m l xf+ m 2 x/+ m^= 0, die die Kom- 
binante m in dera Faile darstellt ; wo die Grleichungen von 
f und g auf ein gemeinsames Poldreieck tezogen sind 7 zeigt ; 
dafi die Kurve m das Geradenpaar m 1 a; 1 2 + %% 2 = oder 
(mit Riicksiclit auf (07)) e 2 a: 1 2 + c 1 ^ 2 3 == in seinen Scknitt- 
punkten mit der Geraden % = doppelt beriihrt. Durch die 
Ecke a^ =* # 2 = des Poldreiecks geht nun aucli ein dem 
Kegelschnittbiisekel angehoriges Geradenpaar hindurch. Denn 
die kubisehe Gleichung (50), die die Parameter ^ der in dem 
Biischel f Ig = enthaltenen Geradenpaare liefert, hat ntm- 
mehr die Wurzeln ii^ci^il^ (i= 1,2,3), und insbeson- 
dere ergibt sich fiir Z 3 == a S3 : 5 33 das Geradenpaar c^x^ ^x^^ 0, 
das zu dem vorhin erwahnten Paare C 2 a i i s + C 1 ^ 2 2= harmo- 
nisch liegt. Da ferner auch die Seiten ^ = und # 2 = 
des Poldreiecks zu >^i 2 H~ ^i% 2=s harmonisch liegen, folgt 
der Satz: Durch jede Ecke dieses Dreiecks gehen zwei seiner 
Seiten und ein Geradenpaar des Suschds. Diese zwd StraJilen- 
paare bestimmen eine Involution, deren DoppelstrMen den 
EegelschniU m(x, x) = in seinen SeJinittpunkten mit der 
dritten Seite des Poldreiecks leruhren. 

AuBer der schon auf Seite 243 erwahnten Beziehung der 
Kombinante m zu den zwei aquiantarmonischen Kegelschnitten 
(69) des Biischels gibt es noch eine Beziehnng, bei der diese 
drei Kegelschnitte in rollig gleicher Weise auftreten, BenJd 
man sich namlieh m jedem Punkte irgend einer der drei 



246 XIX. Invariantentheorie der Kegelsehnitte. 360. 

Kurven die Polare in lezug auf eine zweite dieser Kurven 
Jconstruiertj so umMllen diese Polaren die dritte Kurve. n ] In 
der Tat liat z. B. die Polare eines auf dem Kegelschnitt 
m^-f W 2 #2 2 + 2 w 3 # 3 2 = gelegenen Punktes y in bezng 
auf m(x, x) = die Gleiehung %2/x^ + %2/A + m $y$ x $ ** 0> 
wobei w? 1 y 1 2 + ^g?/2 2 + 2w *3#3 2s=s ^ ^ s *- ^ s Hiillkurre dieser 
Polare fiodet man leicht m^^-i- m^x^i- %^ 3 2 = 0. 

Den Wnrzeln K : 1 der kubischen Gleicliung T(x, A) == 
entsprechen 7 wie (63) zeigt, diejenigen Korven des Biischels 
xflg*=Q, fiir die das Doppelverlialtnis der vier Grund- 
punkte Jiarmoniscli ist (Teil 1, S. 160). Urn die GleicLungen 
dieser drei Jiarmonisdicn Kegelschnitte abzuleiten, beachte man 
zucachst, dafi nach Nr. 338 die drei Wurzeln der Gleicliung 
T(K, A) = erhalten werden ? indem man zu je einem Wurzel- 
paare von C?(x, I) = und zu der iibrigbleibenden dritten 
Wurzel der Gleichung (?(%, A) = je die vierte barmoniscte 
GroBe bestimmt. Sind A 1? A 2; A 3 die Wurzeln A : % von 
0(x, A) = und fafifc man A 2; A 3 als em Paar zusammen 7 so 
muB die yierte barmoniscbe GroBe A : % zu A x in bezug auf 
das Paar A 27 A s die Gleichung erfiillen 

V-7i : *AZI * _ 1 oder 



(73) (2A,- A,^ A 3 )A + (2A 2 A 3 ~ A,A 2 ^ i^)* - 0. 

Die linke Seite dieser Gleicbung ist em Faktor von 
^(x, A), die beiden anderen erbalt man durcb zykliscbe Ver- 
tausehung der i l9 A I)? A s . Zu (73) gehort die harmonische 
Eurve 

(74) (2A, - i,- A,y(a?,*) + (2A 2 A 3 - A,A 2 - ^g(x,x) - 
des Biischels; entsprecbende Gleicbungen baben die beiden 
anderen harmonischen Kegelschnitte. 

Wird wieder das gemeinsame Poldreieck von f und g 
als Koordinatendreieck zugrunde gelegt, so ist A t a w :6 w , 
(t=l,2, 3) > und als Gleicbungen der drei harmonischen 
Kegelschnitte findet man: 

wa? s 



Harmonische Kegelschnitte. 



247 



B. 1) Die Doppelstrahlen der Involution, die durch zwei Seiten 
des gemeinsamen Poldreiecks von fund g und das durch den Schnitt- 
punkt clieser Seiten gehende Geradenpaar des Biischels /' Ig Q 
bestimmt wird, beriihren einen der drei harmonischen Kegelschnitte 
in seinen Schnittpunkten mit der dritten Seite des Poldreiecks. 
IstfEEE^^+ag^ 

so beriibren z. B. die durch die Ecke jr t =* x% = des gemeinsamen 
Poldreiecks gehenden Doppelstrahlen der genannten Involution den 
harmonischen Kegelschnitt ? 1 r 1 2 + m ^ x ^ 2w 8 # 3 2 s= s in seinen 
Schnittpunkten mit X B = , 

2) Jeder der drei harmonischen Kegelschnitte beriihrt den 
Kombinantenkegelschnitt m doppelt, und zwar sind die Beriihrangs- 
sehnen die Seiten des gemeinsamen Poldreiecks des Biischels. 

3) Jeder der drei harmonisehen Kegelschnitte ist dem Kom- 
binantenkegelschnitt m harmonisch umgeschrieben. 

4) Die in bezug auf die zwei aquianharmonischen Kegelschnitte 
des Biischels und in bezug auf die Kombinante m genommenen Pole 
einer beliebigen Geraden v bilden ein Dreieck D, das sich zu dem 
gemeinsamen Poldreieck des Biischels in sechsfacli perspektiver Lage 
Befindet. Yoraussetznng ist nur, daB die Gerade v nicht durch eine 
Ecke des Poldreiecks gehe. 94 ) 

5) Das Dreieck D liegt auch sechsfach perspektiv zu dem 
Dreieck D 1 , dessen Ecken die Pole der Geraden v in bezug auf die 
drei harmonischen Kegelschnitte des Biischels sind. 

6) Das Dreieck I> i und das gemeinsame Poldreieck des Bii- 
schels befmden sich in merfacli perspektiver Lage, 

7) Vierzelmpunkte-Kegelsclmltt des Vierecks. Die Doppelpunkte 
der drei Involutionen aa, BC\ lb\ CA; cc, AB in den Diagonalen 
aa, bb r , cc eines Vierecks abatf (Fig. 37) und die vier Paare von 
Punkten, die in den Seiten mit den ihnen angehorigen Gruppen 
a&e, a'bc'i ab'e, ab'c Systeme von gleichen fundamentalen Doppel- 
verhaltnissen bilden, liegen auf demselben Kegelschnitt. 

Werden drei Seiten 

des Viereeks als Seiten <' /'/ 

.des Koordinatendreiecks sig. 87. 

ge wahlt, und hat die vierte 
die Gleichung a x = 0, so 




die Gleichungen der drei Diagonalen sind, so sind durch 
#2 #g (#g #2 4" %%) die drei Punkte einer Vierecksseite ^ = 
und durch die Hessesche Determinante (ISTr. 335) 



248 SIX. Invariantentheorie der Kegelschnitte. 360. 



% 2 = 

dieser kubisehen Form nach Nr. 338 die beiden Punkte bestimmt r 
die mit den drei Prmkten der Form gleiehe fundamental Doppel- 
verhaltnisse bestimmen, Dieses Punktepaar liegt mit den beiden 
analogen Paaren 

a^x$ 2 + ff 5 a 1 a? 3 # 1 + a^x**=* 0, ft^x^ + a^a^x* + a 2 # 2 2 = 
auf dem Kegelsehnitt 



oder % 2 +2/2 2 +2/3 2==0 > 

fur die drei Diagonalen als Fundamentallinien. Aueh die vierte 

Seite scnneidet ihn in zwei Pnnkten der bezeichneten Art. Die 



Diagonale a^ + 2 %= gibt als Gleicbung ihrer Scbnittpunkte 
mit ihm a^x^+ a^sc^<=> 0, d. h. die Doppelpunkte der auf ihr 
bestimmten Involution. (Vgl. 5r. 331.) Wie man sieht, lassen sich 
sofort 4-24~3-2 = 14 Punkte des Kegelscnnittes angeben. Fur 
ein reelles Yiereck ist der Kegelschnitt imaginSr; es ist iibrigens 
derselbe, der in Nr. 304, 10 betrachtet wurde. 95 ) 

8) Man driicke die Gleichung des vorigen Kegelscbnittes als 
Kovariante des Systems von zwei Kegelschnitten aus. Sind die 
beiden Kegelschnitte auf das gemeinsaroe Poldreieck als Koordinaten- 
dreieck bezogen und ist d l x l + d$x 2 + dx$ ~ eine ihrer gemein- 
samen Tangenten, so sind d^ + d 2 x 2 + d^ == die vier Tan- 
genten, und der fraglicbe Kegelschnitt hat die Gleichung 



Fur die d t aber gelten Bach Nr. 356, 1 die Bedingungen 

%%^+ ' = <>> \A^+ - - 0, 
d.h. d^ : df : d^ 



Habeii dann f~0 5 ^==0 7 ^ = dieselben Bedeutungen wie 
im Text, so sei Af+ ft^r+ 2vk == die Gleichung unseres Kegel- 
schnittes; dann ergeben sich durch Koeffizientenvergleichung die 
Beziehungen 



mit zwei zykliseh gleichgebildeten. Multipliziert man diese Bezie- 
hungen bez. mit a 22 a 33 , %a ln a n a !t9 und addiert die Produkte, so 
erhalt man 



wo alle Glieder Invarianten sind. Also gilt all gem ein die Beziehung 
Al + H-f 2^6^=* 0, und analog erhalt man 6X + B(i 
0. Durch Elimination von A, ft, v aus diesen beiden 



Vierzehnpiinkte-Kegelechnitt. 249 

Gleiebungen und aus //+ ^# + Svls = erhiilt man die Gleichnng 
des Vierzehnpunkte-Kegelscbnlttes In der Form. 96 ) 
Sf(xj x) Ag(%, x) 7; (a;, x) 

Q A H =0. 

B H 6 

9) Das dem vorigen dual entsprechende Problem llefert den 
im Test behandelten kovarianten Kegelscnnitt mix, x) 0. 

10) Man dracke die zu m(x,x)**Q gehurige Gleicbnng in 
Linienkoordinaten lf(w,w) = durcb die Kontravarianten F,Gr,H 
der beiden Kegelsebnitte /' und g aus. 

Hier muB M(u, u) = von der Form sein IF+ k &ff + Svfl"; 
in ahnlicher Weise wle be! B. 8 iindet man 97 ) 

F(u,u) G(u,u) H(n,n) 

ar(tt, M) 888 18 : - 1 e H . 
; H B 

11) Die Gleichung in Linienkoordinaten des zur Koinbinante 
m(x, x) dual en Yierzebnpunktekegelschnittes lautet 97 ) 

J5HJ?(w, M) 2ABH(u, w) + J.0ff(w, M) 0. 
Dieser Ausdrnck stebt zu JP(te, ti) lG(u } u) in derselben Bezie- 
hung wie m(x, x) zu /"(a?, a?) #(#, a;). 

361. Eeriihrungsbedingungen. -J)^ projektive Verallge- 
meinerung der Bezieltungen $wischm Kreisen findet sict. in 
dem Zusammenbang der Kegelschnitte., die mit einem festen 
Eegelschnitt in doppelter Beriihnmg stehen. Der analytischen 
BeliaiidlTing dieser Probleme in Beispielen liegen gewisse Ko- 
variantenbeziehungen zugrunde, 

Man soli die Bedingnng aufstellen^ unter der die Gerade 
tt t den Kegelschniit f(x, $} + (v^ + v%%% + ^s^) 2 " beriihrt. 
Die zugeordnete Form liefert diese Bedingung durch die Sub- 
stitution Ton a ijc + v^ an Stelle von a ik als 






; ^ % w s o 

Dieser Ausdruck ist gleich einer Summe von einzelnen Defcer- 
minanten, deren erste F(u f u) selbstist; dtrei andere 7 die j 
zwei Keihen der v^ enti.alten ; verschwinden identisch ; weil 
zwei proportionale Spalten in Omen auftreten, und die drei, 



250 XIX. Invariantentkeorie der Kegelschnitte. 361. 

in denen nur eine Reihe v { v k vorkommt, geben dureh Ent- 
wiekelung eine Gliedergruppe ; die sieli von f(x, #) nur da- 
durch unterscheidet, daB an Stelle der ^ die Differenzen 
&j v k " U k v 3 stehen. Dalier lautet die gesuchte Bedingung, also 
die Gleiehun in Linienkoordinaten: 



( ( F(u, u) + { a 

) \ + 20, s (t? a tt s ^ 3 %)(%% ?i%) + } 0. 
Diese kann in anderer Form gesckrieben werden, wenn man 
die 211 



duale Gleichung benutzt (vgL (32) (34) in Nr. 313) und 
dabei von Fiitj u} und G(u } u) ausgeht Alsdann folgij 

f JF(t?, v)F(u } u) - J 2 (t;, w) s -4 {%(^ 2 % - %^) 2 + 
I + 2 a n (? 8 zr 3 - ? 8 %) 3 % -!%)+}- 

Hier ist jP(^ ? u) die Bedingung dafiir, daB die beiden 
Geraden it i und v. in bezug auf den Kegelschnitt /" har- 
monische Polaren sind. Daher kann die Gleichung (76) iin 
Falle A ^ nach Multiplikation mit A in der Form ge- 
schrieben werden: 
(78) (A + F(v, v))F(u, u) - F 2 (v, u) = . 

Aus (78) kann noefa eine andere ; fiir gewisse Anwen- 
dungen bequeme Form fiir die Bedingung der Beriihrung des 
Kegelsckoittes f(x 9 x) + v x ^^Q und der Geraden ^=0 ab- 
geleitet werden. Man f a8t u^. = als Polare eines Punktes | 
in bezug auf den Kegelseknitt f==0 auf, so daB 

i : % : a - i/Cii) ' if &) : if (Is) = (%Ji + *u Si + %a is) : 



und v x fafit man als Polare eines Punktes #' in 
bezug auf f=0 auf, setzt also v i ^> 0,^X1+ f2 ^/+ ^s^s'? 
i=l ; 2 ? 3. In (78) treten alsdann an Stelle von F(v,v) 9 
F(u } ti) ; F(t? ; u) der Reihe nach die Ausdriicke J./"^, x'}, 
Af(%) I)*), -4,/"(^', S), wodurch (78) nach Absonderung des 
Faktors J 3 iibergeht in 



*) Wir bemerkeB, daB man Merdurck fiir die allgemeine homo- 



Berulirungsbedingungen. 251 

Man kann schlieBlieh znr Bildung der Bedingung weiter- 
gehen, unter der sicli die leiden Kegehdmitte 

(80) ' f(x>x)+ (VM+ t^ 2 + t? 3 r 3 ) 2 =0 7 

I f($, 36) + (w^Xi + W^X} + U^X^f = 



lerilliren. Denn diese Berahning findet statt, wenn eine der 
gemeinsehaftlichen Sehnen v a w x *= eiiien der Kegelschnitte 
beriihrt; man erhalt daher die gesuchte Bedingung ? indem 
man in der Bedingung (78) an Stelle der u f die l o i f w i ein- 
setzi So folgt: 

(A + F(v, v)}(F(v, v) 2F(v 7 w) + F(w, w)) 



( . 

1 } - (F(v, v) + F(v, a-)) 8 - 

oder in mehr symmetrisclier Form: 

(82) (A + F(v, v}) (A + F(w, w>) ~ (A F(v, u^ = . 

In ahnlicher Weise wie aus (78) die Gleichung (79) ab- 
geleitet wurde, FaBt sich aucli die Bedingung (82) fur die 
Beruhrung der beiden Kegelschnitte f(x } x) + v x *=* und 
f(x,3>) + w* = Q in eine andere Form bringen, wenn man 
v x = und w x =0 als Polaren zweier Punkte x' und x" in 
bezng auf /"- auf&Bt, also t?,- %f (x!), e? ( - f(x?) setzt, 
wo i=l ; 2, 3. Naeh Absonderung des Faktors J. 2 erhalt 
man die Bedingung der Berfihrang in der Form 

(83) (1 + f(x, '))(! + f(x", x")) - (1 f(x', x")? = 0. 

B. l) Man soil einen f(x, x) doppelt beriibrenden Kegel- 
schDitt f($i x) -f ^ 2 === so bestimmen, dafi er zugleicli die Kegel- 
schnitte 

f(x, x) + f(x', x) - 0, ffa x) + f(x", x) - 0, 
f(x,x) + f(x'",x)^0 

berlihrt, die selbst mit f(x, x) = in doppelter Beruhrung sind. 98 ) 
1st 4- der Pol der zu f = und f + t^ = gehorigeu Be- 
riihrungssehne, also f^ |-f'(| Z ")j i saa 1, 2, 3 ? so bestehen nach (83) 
die Beziehungen 

gene GleicHnng des Kegelschnittes in doppelter Weise die Form einer 
Determinante gewonnen hat. Man kann Af(x,x) sowokl dadurcn 
erhalten, daB man die aus den a ije gebildete Determinante 3. Grades 
mit l-fOEj)* ir(^a)? iffe) rndert t als aucn dadurch, dafi man die 
ans den A ik gebiidete Determinante 3. Grades mit x^ , % , a? a rS-ndert. 



252 XIX. Invariantentheorie cler Kegelsctnitte. 361. 

/v, *)) - (i + /, i)) 2 , 

/"(*", *")) = (i + /V, I)) 2 , 



in deiien /(', a;'), /"(",")) /"(*'" O bekannte Konstanteu sind. 
Zur Abktirzung werde gesetzt 

1 + f(;, I) = 7; s , 1 + /(/, a; 1 ) = ft' 1 , 1 + fa", a") = fc">, 

i + /(*'",*'")-*""; 

alsdann 1st 

M' - 1 + /K, g;, kjf - 1 + /(/; i), *r - 1 + /or, ). 

Dabei 1st zu bemerken, daB eigentlich /(/, ), /(/', S), /(/", i) je 
mit doppeltem Zeichen zu schreiben waren, und daB infolge der 
Quadratwurzelziehuug auch die fc',^,^" doppelte Zeichen erhalten; 
dalier zeigen diese Verschiedenheiten der Vorzeiclien zweiunddreiBig 
AuflosuDgen des Problems an. 

Die ietztgeschriebenen Gleiehungen geben 

i( ft ' _ r) - f (/, $) - /(/; i), K^" - n - ^ ) - fa"'. 6) 

und somit dnrcli Elimination *von A: 

/(*; i)(r- o + fc", )(r- ^') + /O'", i)(s'- *") = o, 

in laufenden Koordinaten ^ die Gleiclmng einer Geraden, die durch 
den in bezug anf f = genommenen Pol der Bernhrnngssehne des 
gesuchten Kegelschnittes geben mufi. Dnrch die aus f(x\ ) = /(", S) 
= f(^' 5") folgenden Koordinatenwerte wird die Gleichung erfollt, 
d. h. der durch diese Gleichungen gegebene Punkt, der in Uber- 
tragnng eiser bei Kreisen benutzten Redeweise (Teil 1, NT. 116) 
als einer der ,,Potenzmitte]pTin!kte ct der Kegelschnitte 

/(a, ) + f*(x\ af) - 0, /(, a?) + /'*(*" ) - 0, 

/(*,*) + / i (* w ,*)-0 

bezeichnet werden kann, liegt auf der Geraden. Schon in Nr, 267 
kam dieser Punkt vor. Anch die ans den Bezielaungen 



folgenden Koordinatenwerte erfiillen die Gleichung und haben fol- 

gende geometrische Bedeutung: Die Gleichungen von 

/(*, *) -f f(x', x} = 0, f(a, *) + fC*", ) = 

in Linienkoordinaten sind bez. 

(1 + /V, aO)J?*(, ) - -1 V= 0, 
(1 + ft*", "))F(, ) - 4v'~ 0, 

und dureli 

' , ii" + 

__ 



Beruhrungsbedingongen. 258 

werden dalier Schnittpunkte der gemeinseliaftlichen Tangenten 
VOB f(x, x) -f f(x', x) 0, f(x, x) + /*(/', x) = dargestellt. 

'/? ' X " 

Die Koordinaten dieser Punkte sind *,*, 4; %* , und ihre Polarea 

in bezug auf f = haben die Gleichungen - y - ^ - -, ,/ x/ = . 

Daraus folgt, da8 die aus f(x, ):' = /"(.x", g) : //' = f (a?'", g) : tf" 
folgenden Koordinaten werte den in bezug auf f= genommenen Pol 
einer Achse der Alinlicbkeit der drei gegebenen Kegelschnitte be- 
zeicnnen. Man hat also den Satz: Der Pol der gesuchUn SeruJirungs- 
sehne lirgtin einer der G-emden, die eimn der vier M Potrn;mitte1jMtrikte? f 
mit dem in begug auf f = genommenen Pol einer der vitr Aim- 
lidikeitsachsen verblnden. Vgl. hierza Teil 1, Nr. 123. 

Znr Yervollstiindigung der Auflosung suchen wir aueh die 
Koordinaten des Punktes zu bestimmen, in dem sich f(x,x) 4" t/ ** 
und /"(re, x) + f 2 (^', x) beriihren. Da dieser Punkt ein Ahn- 
lichkeitszentrum der beiden Kegelscknitte ist, so sind seine Koordi- 

naten -r + \ f - nnd wir miissen | 4 + jsi f& r 5i i 11 ^ 



= 1 + f(a?', I), iisw. einsetzen, wodnrch wir erhalten 

'), **"- 1 + f(*-,s) + | 

( a r f 6) + f (*'",*') 



f', **" 



Alsdann ist 

(*'- O - f^'. s) - rt*". s) + ( 



und durch Elimination von h erhalten wir in der Form 

\ 



-" _ ^"' ^ _ (V" 

" # V 



die Gleichung einer Geraden, die den gesuchten Beruhnrngspuukt 
enthalt. Dieselbe verbindet einen ,,Potenzmittelpunkt a mit dem- 
jenigen Punkte, in dem f(x\ g), f(x", g), f 0"', g) bez. zu 



Oder zn 1 , W - /(/', /), *']T - /(*'", ^) 

proportional sind, Wenn wir aber die Gleichungen der Polaren der 
drei Ahnlichkeitszentra einer Ahnlichkeitsachse in bezug auf den 
Kegelschnitt f (x^ x) + f *(x\ x) bilden, wie zu?or t so erhalten wir 



254 



XIX. Invariantentheorie der Kegelsehnitte. 361. 



usw. Also verbindet die Gerade, die wir zu konstruieren wiinsehen, 
einen der vier Potenzmittelpunkte mit dem Pole, der einer der vier 
Ahnliebkeitsaebsen in bezug auf denKegelsebnitt f(x,x)-{-f 2 (x',x) = () 
entsprieht. Die seclizebn Geraden, die man so erhalt, schneiden den 
Kegelschnitt /*(#,#) + /' 2 (#',#) *= in den zweiunddreiBig Punkten, 
in den ihn die verschiedenen , den Bediugungen des Problems ge- 
niigenden Eegelsclinitte benihren. 

2) Zu einer zweiten Losung des Problems ftihil die Entwicke- 
lung einer ideDtischen Beziehung, die die In variant en von vier 
Kegelschnitten verbindet, wenn alle vier ein en Kegelschnitt fdoppelt 
berflhren und zugleieh alle von eincm ebenfalls doppelt beriihrenden 
Kegelschnitt K beilihrt werden. 

Es sei f(sc. sc) s x^ + ^ 2 + #q 2 und 



ferner werde zur Abkiirzung gesetzt 
aJM*+a.M*> f' 



Alsdann lautet nach (82) die Bedinguug, nnter der sich die 
Kegelschnitte ..__ ^{1)2^ A j /*_ ^(2)2^ A 



b<*riihren: (l - f^)(l /W) = (l ; 

Wir wenden nun auf die beiden Gruppen von Elementen mit sechs 

Zeilen und nur fiinf Spalten 

1, 0, 0, 0, i 0, 0, 0, 7 1 ' 




die Kegel fftr die Multiplikation zweier Matrizes an und erhalten 
dann nach Teil 1, S. 179 ein verschwindendes Prodnkl Setzt man 
mr kurzen Darstellung desselben 

so folgt daher die identisclie Beziehung 

11111, 




(12) (13) (14) (15) 

(12) (23) (24) (25) 

(13) (23) (34) (35) 

(14) (24) (34) (45) 

(15) (25) (35) (45) 



o, 



BeruhnmgsLedingungen. 255 

die die Invarianlen ton funf KeyelsrJmiiten verbindet, falls diese 
samtlick mit einem -und dcmselben Keydsdinitt f==0 in doppelter 
Berulirung sind. 

Wenn aber der Kegelscbnitt (5) die vier iibrigen Kegelscbnitte 
beriibrt, so verscbwinden die (15'*,.. (45) samtlidh, und wir finden, 
daft die Invarianten wn m<r Kegelschniiien, die den ndmlichen 
Kegclschmtt doppelt "buuhrcn und sellst die wn elnnn und dem- 
sellen funften, jenen auclt doppelt heruliruiden Kcgelsdinitt K berUfirt 
werden, die Bcdingung ertilllen 

\ (12) (13) (14) 



;(14) (24) (34) 
oder y(l)734J + ]/(l3) (24) + 1/(14X23) = . 

3) Mit Hilfe der Beziehung in 2) ergibt sicli eine Losung des 
Problems von der Bestimmung des Kegelscbnittes, der drei ge- 
gebene Kegelschnitte bertibrt, und, so wie jeder Yon diesen, selbst 
einen festen Kegelscbnitt doppelt bertibrt. Diese Losung entspricht 
vollst^ndig der zweiten Auflosung des Problems vom Beriibrungs- 
kreis zu drei Kreisen, die wir in Teil 1, S, 263/4 gegeben haben. 

Wenn die Diskriminante eines Kegelschnittes /* j3^ 2 =0 
yerscbwindet, ist f^)= 1, und die Bedingung seiner Berulirung mit 
einem der andern Kegelscbnitte reduziert sicb auf f* k ) = 1 . 

Fiir s i als Koordinaten eines Punktes "von f ^ 2 =s= oder von 



bezeicbnet offenbar 

2 ~ 2_i - 2__ lttL A 

^ ^^ ' ' ' "~ \J 



einen Kegelschnitt von verscbwindender Diskriminante, der f 1> 2 =0 
berubrt. Wenn daber drei Kegelscbnitte 

f-_pW*=0, f -^=0, f-JQ'-Q 
gegeben sind, und g i einen Punkt bezeicbnet, der dem berubrenden 
Kegelscbnitt angekort, und wenn der Kegelscbnitt von der vorber 
gescbriebenen Gleicfaung als vierter Kegelschnitt genommen wird, 
so sind die Funktionen (14), (24), (34) bez. 

i_!! i^! } i^! 
Y7 9 VT VT 

und die Koordinaten der Punkte des Berubrungskegelscbnittes der 
drei gegebenen genfigen dater nacb 2) der Gleicbung 90 ) 



256 XIX. Invariantentheorie der Kegelschnitte. 362. 

4) Die vier Kegelscltnitte , die mit einem gegebenen Kegel- 
schnitt f = eine doppelte Beruhrung haben und durch drei ge- 
gebene Pankte gehen, werden samtlich von vier andern Kegel- 
scbnitten beruhrt , die selbst mit f = eine doppelte Beruhrung 
haben. VgL auch Nr. 321, 3. 100 j 

1st der Kegelschnitt f gegeben durch die Gleiehung 

^i 2 + r /+ Xt /~~" % x t x $ cos 9>i~~ 2#s#i cos 9 ? 2~~~ ^#2 cos Vs^ 0? 
so sind die vier gedaehten Kegelscbnitte durch f (% 
dargestellt, und diese werden alle durcb 

f { x l cos (<p 2 %) + 2 cos (9? 3 9?J + a? 8 cos (^i " 
und die drei anderen. Kegelschnitte beruhrt, die man hieraus durch 
die bez, Zeichenwechsel von <5P 1? 9 2 ? 9s 6rhalt. 

5) Die vier von den Fundamentallinien ^ == 0, a; 2 = 0, x % 
beriihrten Kegelschnitte, die den Kegelschnitt f ~ doppelt bertih- 
ren, werden durch vier andere Kegelschnitte beruhrt, die gleichfalls 
f = doppelt beriihren. Jene sind fur 

^-KPi + ^+Pa) durch 

f { ^ sin (f 9^ + J 2 sin (^ - <p 2 ) + ^ sin (ty g? 3 ) } 2 = 

und die drei anderen Gleichungen dargestelit, die durch die Zeiehen- 
wechsel bei cp^ g? 2 , g? 3 bez. aus dieser entstehen; einer der beriih- 
renden Kegelschnitte ist daher 



I ^ sin 4_ yjjin ^_qp s ar a sin-} y s sin ^ j^ sin jfo sinj ; qp 8 

' 



und man erhalt die iibrigen durch Veranderung des Yorzeichens 
bei x l und gleichzeitigen tlbergang vom Sinus zum Kosinus bei 
9 2 und 9? 3 , usw. 

6) Die Bedingung, unter der drei Kegelschnitte /"( 1 )==0, 
/t 2 )= 0, ^ 3 )= mit demselben vierten Kegelschnitt eine doppelte 
Beriihrung haben, wird gebildet, indem man A, /i, v zwischen den 
drei Gleichungen eliminiert, die ausdrucken, daB 



in. Geradenpaare zerfallen, d. h. zwischen 

^Wl 8 - 8HWAV + 3Q (1S) Afe 2 - J?(V= 
tind d.en gleichgebildeten ubrigen. Die Bezeichnungsweise A^ l \ 
bedarf wohl keiner Eri&uterung, 

362. Transformation zu Normal-G-leiclningeii. VOE 
grundlegender Bedeutung ist die Anwendung der Invarianten- 
iheorie auf die Bestimmung des gemeinsamen Polardreiecks 
zweier Kegelscluaitte. Denn weil die Beziehung dieses Drei- 
ecks 2n den Ktirven kovariant ist, mufi die Koordinatmtrans- 



Transformation auf Xormalformen. 257 

formation x { = 2]& ik x k ' 7 die sicei Kegelschnifte auf ihr gemein- 
sames Polardreieck "bezieJit oder zicei quadmtische Formen gleich- 
zeitig auf die Normalform redusiert, mil Rilfe der Inuarianten 
des Paares awfiilirbar $ein. m ] 

Wir setzen die Gleiekmgen der Kegelschnitte f(x,x)=*0, 
g(x, x) = in den allgemeinen Formea voraus und denken 
sie durch die linearen Substitutionen in die jener Beziehnng 
entsprechende Form 

(84) Ai^+^^+Vj^-O, V a +^ /s + V 8 -o 
nbergefiikrtj wobei wir gewisse Konstaaten implizite in den 
x! voraussetzen. Die Aufgabe der Ermittelung der Werte der 
Substitutionskoeffizienten a lL und der \ ist voilig bestimmt^ 
denn den zwolf Unbekannten entsprechen nach den Identitaten 
der transforniierten nnd der urspriinglichen Formen zwolf 
Bedingungsgleicliangen. 

Die Untersuchung der Diskriminante C(l) und der Tail- 
gentialform F(u, u) des Systems f(x, x) lg(x, x) == fiihrt 
zur Bestimmung samtliclier Unbekannten; jene ist 

i ^11 ^"11 %M ^^1S5 ^13 ^18 

(85) I a 21 ~A6 21 %-l& 22 % 1& 23 =*A 



die Diskriminante des transformierten Systems ist notwendig 

.Aj -A 
(86 ) A* -CCA) s= Aj A '(Aj Aj(As A)(A 8 A), 

A 3 A 
wobei A die Determinante der Substitutionen bedeutet. 

Also liefert die kubiscke Grleielmng (7(1) = 0, wie anch 
aus dem SchluB von Nr. 343 hervorgeht, die Werte von A ? 
die die Koeffizienten in der transformierten Form sind. 
Die Tangentialform (Nr. 353) 
F(u,u) 2AJBT(tt,w) 

(87) 



Salmon-Fiealler, aual. 0om. <i. KegIaci]in. II. 7. Aufl, 



258 SIX. luvariantentiieorie der Kegelschnitte. 362. 

gebi durch die transformierte Substitution in die Tangential- 
form des transformierten Systems fiber: 

A! - A j 

A, A u< 



(88) A^w-~ A 3 ~~ 

< < 6 I 

-A)[^ + ^ri + ^ 

Denken wir dann die Werte A l; Z 2? A 3? die sich. mit Hilfe 
von C r (A) ergeben baben ? in die Gleiclmng (88) nacb.- 
einander substituiert ; so erhalten wir das System 



(89) 



Nun zeigt die Vergleicbmig der beiden Ausdriicke (85) und (86) 
von C(A), daB der Koeffizient von I s in dem einen B, im andern 
1 : A 2 ist; somifc ist JJA 2 ^ 1, d. h, die Bestimmung von 
A 2 gegeben. Alsdann bestimmen die drei Gleiclinngen (89) 
die Werte der uf. 

Die Substitutionen ^~ Ztt t ^x^ w/= Sa ki u k machen die 
vorigen Gleiclinngen zu 

(90) <p(Xj .B(i 2 - AO (A 8 - AJ { % x + %%+ ^ S1 w 3 } 2 ; usw. 
Denkt man y^) durcb J9 und das Produkt der Differenzen 
der ^ dividiert nnd den Qnotienten nach Potenzen der u. ge 
ordoetj so liefert die Vergleichung der Koeffizienten ent- 
sprechender Potenzen von u t anf beiden Seiten die znr Be- 
stimmung der cc ik binreichende Anzabl von Gleichungen. Das 
Produkt der Differenzen der i, mit dem (90) zu dividieren 
ist aber wegen 



derselbe Ausdruck, den man erhalt, wenn man A 2 (7(1) erst 
nact I differenziert und dann fiir I den Wert l t einsetzt ; 
also A 2 C'(^) oder 0'^) : B, usw. bildet, es ist G'(J^ : B 
am ~~ (Aj ^i)(^8~~" ^i)- Die vorigen Bestimmungsgleichungen 
fiir die v ik werden demnach: 



(91) 



Transformation auf Normalfomen. JJ59 



***"*)*> 



oder in voUstandig entwickelter Gestalt in den Tangential- 
formen ausgedriickt: 

Die Substitutionskoeffizienten selbst erhiilt man endlich aus 
den Beziehtingen F(it',n)=*?F(u,tt), H(u,u) = ^H(u ? u) 9 
Q(u,u] *** l^G(u,ii)] sie liefern die w/ als Funktionen der 
u z? also etwa ^/== t^/^, %, w 3 ) und somit 

Durch die einander folgenden Substitutionen 
ergeben sich die Werte 

nnd daher mit Riicksicht auf (92): 

___ Fll, 0, 0) 2^. Jfffl, ~^W^7^^ ( 

(83) 



*-v 
,-]? 



Die Bestiramung des Polardreiecks wird vereinfaclit ? wenn 
eine seiner cken ? also anch die Lage der Gegenseite ? yon 
Tornherein schon bekannt isi Die beiden anderen Seiten des 
Dreiecks sind zu ermitteln als das einzige Paar konjugierter 
Polaren, to die Mdm Kegelsehnitte an jmem Pol gem&insam 
'halm. 

Bin Hanptbeispiel fiir dieses Problem bieten konzentrisclie 
Kegelschnitte ? deren gemeinsames Paar koBJugierter Durch- 
messer gesucht wird. 1st daaa insbesondere einer der Eegel- 

*) Diese Entwickelungen lassen sick onne Verandercmg auf 
dratische Formen von n VerEnderliclien ausdelmea. 

17* 



360 XIX. Invariantentheorie der Kegelschnitte. 36-2. 

schnifcte ein Kreis ; so ist das geforderte Durchmesserpaar 
rechtwinklig, d. L man kommt auf die AcJisenbestimmung der 
Kegelsclmitie mit einem im Endlichen gelegenen MittelpunUe m ) 
zuriick und erkennt %4~^ 22? a n a^ & 12 2 als Kegelschnitts- 
Invarianten der Bezieliuny auf rechtwinJdige Sysieme mit dem 
MittelpuuU als Koordinatenanfang (Teil 1 ? Nr. 140 142 und 
152 154j. Die Ausfuhrimg dieses Gredankens in B. 5) zeigt 
die bloB binare Gestaltung der Theorie des Textes. 
B. l) Normalformen der Gleichungen 

6^^== 0, 



Man erkalt fiir die Koeffizienten A n , A^, ... der Tangential- 
gleichungen der Kegeiscbnitte die Werte 

Ai^ 4 ? 4 22 =~61, ^ 33 == 36: 

"^23 SSB ^1 -^-31 === J -^12 == 5 

jB u 2, J? tt - 9, J5 33 - 14; ^ 23 = - 11, B M ~ 5, 5 J2 = - 4; 
fur die* Invarianten A = 45, B = 1, 3H = 49, 3Q k = 3; 
also ftir die kubische Gleichung: 

0(1) s - I 3 - 3A 2 + 491 - 45 = 

und fiir ihre Wurzeln Aj = 5 , 1 2 ^ 1 ? ^3 == 9 ; daher lauten die 
reduzierten Gleichungen: 

5< 2 +< 2 -9< 2 =0, o;/ 2 + V+-^' 2 =0. 
Es ertibrigt die Bestiinmung der Substitutionskoeffizienten. 

Man erhiilt C'fa) - 56, O'(l 2 ) = 40, O'(i) - - 140; 
= 56 V+224z^ 2 +224^ 2 
= 40 w 2 2 40 w 8 2 + 80 2 z< 3 , 



also sind jene negativen Quotienten von 9? (l.) und (7' (l,.) bez. gleicb 



so daB die Bestimmungsgleicbungen der Koeffizienten werden 

% 2=: 1 ? % 2==4 5 3i 2=sss4 ^21^31 *~~~-^j ^sAi^ 2 : ^'11^1= 2; 

0; 



und diese selbst or n = 1 , ci' 12 = 0, a is 1 ; 

a 21 - 2, <** 1, % s = 2 5 flf M 2, 8g 



Transformation anf Normalformen. 261 

Die Determinate A der Substitution ist daim = 1 ; statt a n 1 , 
a 32 i konnte auch & 2g 1 , a 32 = 1 genommen werden, 
dann ware A = 1 , in beiden Fallen in Ubereinstimmung mit 
5A M = 1, da B = 1. Vgl. aueh Nr. 364, 3. 

2) Man kann die Transformation auch in allgemeinster Form 
an die Kovariante ankntipfen, die man als zugeordnete Form 
2 7/ t (#,;#) von %H(u,u) erhalt, wiihrend die zugeordneten Fonnen 
von F(u 9 u) nnd ff (M, u) wieder /(re, j) und g(x, x) sind. In der 
transformierten Form ist 



und die entsprechende zngenorige Form 

2 ,'(*; ^0 



Han hat also wegen AX(, ) = /^(a;', ') die Gleichungeu 



also durch Auflosung derselben 

" - A! (l, 



(AS - A,) (A S - ;g V 2 - A 2 2*, - (A! -f A S )/' - *,& + a,)^. 

Nacli den Entwickelungen des Textes ist 

A*JB-1, ij+^-SA^e-^ usw., 
dalier - i,- A t )J?aj/ a 



<=y sA - ---'-* 



ft^ 



Durch eine ahnliche SchluBweise wie auf 8. 259 erhalt man 
die Koeffizienten, die in den zu , -#*' mversen Substitutioneii 
-2A t ^ auftreten, mit Hflfe der Formek 



, 




_ 1 /*, Jg. . 1 .0) + ( 
2i -|/ - - (i.- 



3 9) (ftO , 1 , 



to', 0, 1) + &B - 39)^(0. 0. 



wo vor den Quadratwurzeln entweder jedesmal das Plus- oder jedes- 
mal das Miiniszeichen zu setzen ist. 108 ) 



262 XIX. Invariantentheorie der Jlegeischnitte. 362. 

3) Bedinffuwg der doppelten Bcriihrung von zwei Kegelsclmitten. 
Im Falle der Beruhrung der beiden Kegelschnitte hat die Gleichung 
C(A) ~ eine Doppelwurzel (vgl. Nr. 345 und 252), sie heiBe A 1? 
und der fiir sie gebiidete Ausdruck <pOi) : #'(^i) in (91) wird HUE 
tmendlieh groB, d. la. es gibt kein Dreieck der gemeinsamen laar- 
monischen Pole. Fiir eine doppelte Beriihrung wird das Polardreieck 
unbestimmt, weil cp()J) fiir die Doppelwurzel den Wert Null haben 
rauB. Dies heifit geometrisch: die Sehne der Beruhrung und ihr 
Pol sind Seit und Gegenecke fiir alle Dreiecke jener Art, und die 
beiden andern Ecken liegen in der Sehne als irgend ein Paar von 
konjugierten Punkten; und es heiBt analytisch, daB aufier der Deter- 
minante 0(1) aucli deren siimtliche Unterdeterminanten verschwin- 
den (vgl Nr. 252, S. 78). Also ist fur I = ^ nicht nur 

! a u - lb n a 18 ll u % - A6 13 j 

' 21 "~ ^^21 ^22 ^^22 ^23 ^23 ' === 0, 
' %1 "" ^31 a 32 ~ ^ ? ^32 % ~ ^33 

sondern auch (% A& 22 )(o 33 A& 33 ) -= (a^^,1^ 
(%s - ^}( a n - M n ) - (a 31 - i6 81 ) s , 
(*n - l \N a n ~ lb w) ^ (% - lb i^ 

also (a w A&u) : (a 12 - A& 12 ) : ^ 13 A& 18 ) 

= (tf sl A^ 21 ) : (a 22 - AZ> 22 ) : (a 23 A J 2S ) . 

Die Elemente der Detenninaiite verhalten sich somit wie die Quadrate 
und Produkte dreier GroBen a 1: a 2 , a 3j oder man hat 



a 23 Z 23 == ma^ , a 81 A 31 

Die Einfiihrang dieser Werte in die Gleichung f = liefert aber 
f ss Z^ + w<a x ^ + a 2 2 + a s ^ 3 ) 2 

und fuhrt auf die Gleichungsform von Nr. 258 zuriick. 

Der Beruhrung zweiter Ordnung (Oskulation) entsprechen drei 
gleiehe Wurzeln von C(l) = und damit die Bedingungen von 
Nr. 345, S. 207. 

Beruhrung dritter Ordnung verlangt die Beruhrung der Sehne 
der doppelten Beriihrung mit den Kegelschnitten , also das Ver- 
schwinden der Tangentialform jedes der Kegelschnitte, wenn man 
in ihr die Linienkoordinaten u t gleick a t setzt, i == 1 , 2 , 3 . (Nr. 356,3 
und Nr. 252, S. 9.) 

4) Man soil die G-leichungen der gemeinsamen Punkte fur 
die durch die allgemeinen Gleichungen bestinimten Kegelschnitte 
/(&, s) 0, g(x t *) in endgultiger Form angeben. 108 ) 

Wir erinitteln die lineare Punktion der Wurzeln x 



Transformation auf Nonualformen. 263 



mit Hilfe der Identitat ^ x l + e/ 2 a: 2 + u 3 x z = MI'XI + it^x* + tf 3 '-r 3 ' 
(Gieichung (31) in Xr. 352). Aus den transformierten Eormen 

f(*\x )=*&'* + It*)'* + L>Xt'* und fffasjsx^ + x^ + Xs'* 
folgt nun fur die Koordinaten der Schnittpunkte 



mit Biicksicht auf (92) ergibt sicli dalier fiir die Schnittpunkte von 
/(#, x) === und g(x, si) = 0: 



Entsprechend den verschiedenen Kombinationen der Plus- und 
Minnszeichen vor den Quadratwurzeln erhalt man fiir die vier 
Schnittpunkte Tier Gieic'hungen; in iimen kann noch C'(^) durcli 
(l. Ifail^B ersetzt warden. Die Funktion u x liefert die 
Werte von x i :as s : x% durcli die einander folgenden Substitution en 
MI == 1, t6 2 == 0, % 0; ?f t == 0, 2 == 1 , ( 3 = 0; 2^ = 0, w 2 = 0, 
ttg 1 unter den Wurzelzeichen. 

5) Transformation gteeier auf den Mittelpunkt als JKoordinaten- 
anfang bezogener Gleicliungen (Teil 1, Nr. 154) 



das gemeinscliaftttche 1'aar lionjugierter Durchmesser, d. Ji. in 



wo a^, iT 2 scMef* odcr rechttiinMige Parallclkoordinaten "bedeuten. 
(An wen dung der im Text entwickelten Theorie bei nur zwei Ver- 
anderlichen.) 

Bei dieser Transformation hat man die Wurzeln ^, 1 3 der 
Gleichung . __ j x _ lft , 

i U-jt ^^ A-t/n "10 ^^ Af-tQ _ 

" " 12 " =0 Oder 



zu bestimmen. Man tat ferner 



wofiir f (Jf 2AI/) gesetzt werden soil. Sind dann die zu be- 
nutzenden Substitutionen X 1 = a^^' + ^g^ ^2 ^ a 2i^i'~ 
also die transponierten u^ *** a^w^ + *%%* w g r = ^2% + 
so bilden wir 



264 XIX. Invarlantentheorie der Kegelsclmitte. 362. 

"n ; - J n "12 ^12 "i 



W 2 

^12)V2 + 0*11 

und erhaiten die nach ?/ identisehen Gleichungen 



\a 



Sie liefern unter EinfQhrung <ler Wurzeln /^ , A 2 fiir die Substitutions- 

koeffizienten die Werte 

2 _ fl S2 '-1 ?> 52 2 a 22_~ M^J 

" - A' 2A, J, 1 12 "" JT " 



und zur Bestimmung der Yorzeichen 



Der Yoraussetzuug C'(A) entspricht ein Amnahmefall; 
~ hat dann gleiche Wurzeln, d. h. es 1st 



Ba die Koordinaten der Schnittpunkte beider Kurven, im allge- 
meinen Falle, in den Koeffizienten der Transformation durch 



gegeben sind, so fallen for l t == 1 2 die Schnittpunkte in unendliche 
Entfernung; die beuten Kurven sind Jtongentrische Hyperbelm, die 
eine Asymptote gcmeinsam haben. 

Werdea C'(l) nnd 9 (A) = gleichzeitig erfullt oder 
Yerschwinden die Unterdeterminanten yon C(l), so ist 

^11 "" A6 u 5 % "" ^"^22 9 a n = ^12 5 
d, la. die Kegdschmtte sind tihnlicJi (Nr. 224). 

Fur den Fall, daB l^x^-i ==1 ein Kreis ist, d. L fur die 
Sestimnwng der AcJisen des Kegdschnittes 



hat roan bei rechtwinMigen Parallelkoordinaten 
J u - fe 22 = 1 und 6 13 =-0, 
4 h. t'(i) (a a - 1)0% - 4) - % 2 - 1> - (a n 



in Gleidmiigj die stets ireelle Wurzeln hat, weil ihre Diskriminante 



Transformation auf Xormalformen 265 

(a n a 2 2 ~j~ 4a 1; , 2 po&itiv 1st; ferner wird 



s , 1 / 

also ,.!+,,,- 
r 



s 4- Sa^K. M % 
- - 



wo im Xenner aueb Aj, A 2 oder A 2 ^ gesetzt werden kann, je 
nachdem i 1 oder / = 2 1st. 

Den Annahmen a n = a 2 a? a ia ~ ^ entspriclit die Unbestiinmt- 
heit des Problems; dann sind 'beide Kurven Kreise. 

6) Die Schnittpunkte von zwei konzentrischen Kegelschnitten 
liegen in zwei Durcnmessern, die mit dem Paar der genieinsamen 
konjugierten Durcbmesser ein barmoniscnes Biiscbel bilden, nnd 
die gemeinscbaftlicben Tangenten bilden eine Parallelogramm, dessen 
Ecken auf diesen Durchmessem liegec. 

Fur die gemeinsamen Elemento im Falle der allgemeineu Lage 
gilt der Satz: Jedes der Dreiseite aus gemeinsamen Tangenten ist 
ia perspektiver Lage zu jedem Dreieck aus genieinsamen Punkten. 

Auf welcber Geraden liegen die Scbnittpunkte entsprecbender 
Seiten der beiden Dreiecke (Acbse der Perspektivitat) und in wel- 
cbem Punkte schneiden sich die Verbindungslinien entsprechender 
Ecken (Mittelpunkt der Perspektivitat)? 

363. Jacobische Determinante. Die InvariaBtentheorie 
der Kegelsclmittpaare findet ihren AbsebluB nictt obiie die 
Berticksichtigung des Systems von drei gleichzeitigen quadra- 
tischen Formen. Die eigentliohe UntersnchuBg derselben greift 
liberall in die Theorie der temaren kubischen Formen Jbin- 
1iber 7 die wir liier ausschlieBeB mtissen. Wir werden tins 
deslialb wesentlich anf die an das Friibere anscHieBenden 
Entwickelongen besctranken, die okae Kenntnis der Lekre 
Ton den Korven dritter Ordrraug bez. Klasse erledigt werden 
konneu. 

Flir drei ternare quadratische Formen f(x } a?), g(x t x) 9 
h(% } x) kann eine Kovariante auf demselben Wege gebildet 
werden, wie in Nr. 335 fiir zwei binare Formen. Es ist dies 
die Jacobische Determinant der partiellen ersten Ableitungen 
der drei Formen (FmUimddeterminante), also 



266 XIX, lavariantentheorie der Kegelschnitte. 363. 

if(X) W(*ti **'&)! 
(94) JSE ^ffe) W&) JA'fo 



Ibre Inrarianteneigenschaft erhellt daraus, da8 bei der Trans- 
formation die Ableitungen f(xj, g'(x t ), &'(#*) die trans- 
ponierten Substitutionen YOU denen der Veranderlichen x l er~ 
leiden (Xr. 342). 

Da die Ableitungen die Veranderlichen linear enthalten, 
stellfc J = Q eine kovariante Kurve dritter Ordnung, die Ja~ 
cobische oder ffessesche Kurve der drei Kegelschnitte, dar. 104 ) 
Diese ist der Orl der Pwtfde? deren Polaren in bezug auf drei 
gegebene Keyehchnitte f, g. Ji sick in einem Punlcte schneiden; 
sie ist zwjleieli der Ort der SchniftpunJde dieser Polaren. Denn 
J = entsteht durch die Elimination der laufenden Koordi- 
naten |. aus den Gleiclmngen der Polaren 



f(* t )l, = 0, 

Durch denselben Puakt gelit danu aber auch. die Polare von 
x i in bezug auf irgend einen Xegelschnitt 
(95) ijtx, x) + Isfffr, x) + l,1i(x, x) - (Nr. 271). 

Also hat J ~ genau dieselbe geometrische Bedeutung fiir 
irgend drei Kegelschnitte des durch f, (/, h bestimmten Kegel- 
schnittnefczes. In der Tat, bilden wir fiir die Kegelsehnitte 
yon den Parametern i 19 l^ A 3 ; l^ A/ 7 Z 3 '; Aj", l^ A 3 " die 
Determinante der Ableitungen, so ist diese gleich dem Pro- 
dukt aus J und der Determinante der neun Parameter. Die 
Jacobische Determinante ist daher eine Kombinante des 
Fet*es (95) (vgL Nr. 359). 

Fassen wir die drei Kegelschnitte als HiiUkurYen ihrer 
Tangenten auf, so bestimmen sie ein Kegelschnittgewebe 

fH9(, ) + M(U, u) + [i^(u, u) == (Nr, 271). 
Die Jacobische Determinante dreier Kurven dieses Systems 
bestimmt durch ihr Verschwinden eine Kurve dritter Klasse 



(96) 



Jacobische Kurve des Kegelschnittnetzes. 267 

die Jacoblscltc Kurve tier drel Hiillhirveu oder des Gcicebes. 
Sie ist dual zu der Hiillkunc der Gtraden, tier en Pole !n l*czwj 
uuf die KegelscJun'tte des Geweles in einer Geraden lieyen. 

804. Eubische Hovariante des Kegelselmittpaares. Die 
Einfiihrung der Jacobischen Determioante ist sclion in der 
Tbeorie Ton zwei Kegelsebnitten erforderlich. Denn em Kegel- 
scfanittpaar f($ 9 x), g(x } x) bestimmt mil seiner quadratisehen 
Kovariante 2 7: (5?, x) ein Kegelscbnittnetz ? wenn aucli beson- 
derer Art; dieses bat eine kubische Kovariante, die eine neue 
simultane Kovariante Ton f, g ist. Die <lrei Kej^elsebnitte 
f y g y /,* baben aber, wie (41) mid (42) zeigt ? ein gemeinsames 
Polardreieck, das schon als kovariant zu charakterisieren war 
(Nr. 362 j. 

Die JacoliscJie Kurve eines Netzes mit yemeinsamem Polar- 
dreiecJc lestelit cms den drei Sdten desselbcn. Demi sinrl f ? f/ f k 
Sum men von je drei Quadraten ? so sind ibre jiartiellen Ab- 
leitungen /"(^), /(^ z )> ^'(^i) proportional zu sc iy also deren 
Determinante proportional zu x l - x^- x ZJ namlicb 
(97) J c^^^, 

wo c ein nnr von den Koeffizienten der Form en f, g, h ab- 
bangiger Faktor ist. Demnacb bestimmt man. analytisch das 
2111 zwei Kegelscbnitten /*= ; g = gememsame Polarclreieck 
auch als die Jacobiscbe Kurve J *= des besonderen Netzes, 
das die Kovariante 2k mit den Kegelscbnitten bildet. 

Wenn sich insbesondere die beiden Kegelsclmitte doppelt 
berfiliren, so verschwindet die Jacobische Kovariante von /*, g, 2/t 
identisch, (Nr. 356) ; wie aucb fiir drei Kegelscbnitte f } g, Ji 
eines und desselben BUschels. 

Nun konnen wir aber die Gleicbungen der Dreiecksseiten 
direkt berecbnen. Denn nacli Nr. 344 und 362 konnen wir 
mit a l9 a z , a$ als den Wurzeln von A 3HZ + 301 2 JB^ 3 = 
die gegebenen Kurvengleicbungen auf die Formen bringen: 
f(sc, x] a 1 x l '*+aiXi*+ a%x z '*^ 0, 
gix, x) =^x^+ Xi* + Xs*"* O y wo nun 
2*(a?,a?) : J5f ^(oj + %)^/ 2 + a 2 (a s + a,) V 

Ferner ist 

J - (a f - 



268 XIX Inrarlantentiieorie der Kegelsehnitre. 364 

Aus den drei ersten Gleichungen konnen sofort rr/ 2 ; x^ : a%'~ 
als Funktionen YOU f, g, 2k bereehnet werden, namlicli 
(a t ^X% a.b: x ' 2 2Jc(x, x) : 1> a f f(x, x) a f a k y(x^ x). 
Das Produkt dieser drei Gleichheiten ergibt links das Quadrat 
fltr Jaeobisehen Determinante, rechts erne Funktion der drei 
Syuaboie f, g^ Jc, deren Koeffizienten in den a 1; a 2? 3 sym- 
metrisch ? also durch die Invarianten A, H, 0, (Nr. 344) 
rational darstellbar sind. Man erlialt so eine zwischen den 
Kor-arianten IwteJiende Identitiit. 



|98) -ABfSp+Afl*) 

Aus den Kontravariaaten 

G = 



geht der xur Determinante der Ableitungen proportion ale 

Ausdruck herror 

( 99) / ( fll _ flfj) { a 2 - 3 ) (^ - tfj ^ ?^ w s . 

Die Jacobische Kune eines Gewebes mit gemeinsamem Polar- 

dreieck besteht daher aus den drei EcJcen des Dreieds. Zwischen 

diesen Tier Kontravarianten besteht eine zur vorigen analoge 

Identitat. 

E. 1) Drei Kreise Baben einen Jacobischen Kegelschnitt, der 
selbst eia Kreis und zwar der OrOwgonalkreis der drei Kreise ist 
(Nr. 122). Die Gleichung des Ortliogonalkreises gibt den Satz: 
Fitr jalen Punkt des QrtJiogonalJcreises ist die algebraische Summe 
der Produlde lfidl f die die Quadrate der Llingen der von Him CMS- 
gtfwnden Tangtnten der drei Kreise mit den Flachen der DreiecJce 
bestimmn, die den Purikt mr S$itze mid die Zentrattinie der beiden 
andtren Kreise bez. zur Gegenseite Jtabcn. 

2) Die im Text gegebene Methode, die x i zu berechnen, kann 
YOB neuem zur Transforination zweier Kegelschnitte auf ihr ge- 
meinsames Polardreieck dienen (Nr. 362). So findet man die gleich- 
zeitigen Normalformen der Gleichungen. Mit Benutznng der Ko- 
tariante m in Nr. 359, GL (70) erbalt man die einfaehe Identitat 

p-jX + w^^ 

(Vgl. Mr die Bezeichnnng Nr. 358.) 



Neta mit gemeinsamem Polardreieck. 269 

3 ) Transformation auf die Xonnalformen fur 

8/r 6/ 2 = G, 
90 s 2x ~r 4 ?/ = 0, 
Man beginnt zweckmaBig mit der Berechnung der Koeffixienten 
der Tangentialgleictuttgen ^L n , A% nsw.; sle siad 16, 19, 
- 9; 21, 24, 14 fur die erste und 4,' 1, 18; 3, 3, - 2 
fur die zweite Gleichung. Dann ergeben sicli fur die Invariants 
die Werte A = 54, 3H = - 99, 30 = - 54, S = 9, und 
die Wurzeln der kubischen Gleichung C(l) = lie fern % 1 , 
a a = 2, a s = 3. Man berechnet sodann 

2/c 9(23o? 1 SOary + 44?/ 2 18,r + 12i/ 4) 
und sdbreibt endlicb 



- 44/ 18 + 12y - 4; 
diese Gleicbungen aber lief era dureh die Yerbindungen 



bez, die Substitutionen 



365. Das vollstandige Invariantensystem des Kegel- 
sclmittpaares besteht nun aus den vier Invarianten A, J? 7 H ? 
(Nr. 344), den vier Kovarianten f, g, fc ; J* (Nr. 354 und 363) 
und den vier Kontravarianten F, (? ? H, I (Nr. 353 und 363) 
in dera Sinne, daB sicb jede Invariante, Kovariante und Eon- 
travariante des Paares als eine ganze Funktion dieser awolf 
Formen mit numerischen Koeffizienten ausdriieken lafit. 

Zu iknen treten acht gemischte oder Zwischenfortnen 
(Nr. 352), die beide Reihen der Koordinaten eathalten und 
als Kovarianten des Systems der beiden Kegelschnitte f, ff 
nad der Geraden u x = angeselien warden konnen. So ist 
die Jacobische Determinate dieses Systems 



(100) 2T 

\ Si $* f 3 , 

die linke Seite der Gleichung fur den Ort der Punkte, deren 
Polaren in beiden Kegelschnitten sich auf der Geraden sehneiden. 
Fiir die Formen 



270 XIX. Invariantenttieorie der Kegelschnitte. 365. 

(101) /"== %/ + %^ 3 2 + a 33 % 2 ; 9 = &11*1* + ^s 

ist 

(102) ^ ^ W l( a 22^83 - *SS & asX* 

{ + ^ ( % & 22~ a 22ll3- 

Die Gleichung JV= gestattet aber noch erne andere Deu- 
tung. Urn sie zu gewj'nnen, beweisen wir zunacbstj daft sick die 
in le*uy auf die Kegelsclmitte eines Biischels f(x, x) lg(x, x) = 
genommenen Polaren eines lelielig aler fest geic&Jilten PunJctes y 
in einem sweiten festen Punlie schneiden. Die Polare von y 
in bezug auf irgend einen Bilschelkegelschm'tt hat namlicfa, die 
Gleiekmg fa + f^J, + f^- A to + ffM + ff*y*) = 0, die 
bei festen Werten y i uncl fiir beliebige Werte des Para- 
meters I Geraden darstellt, die sich in einem und demselben 
Punkte schneiden. Man erkennt ? da8 auch umgekehrt die in 
bezug auf alle Bilschelkegelsclinitte genommenen Polaren 
dieses Punktes x durch den Punkt y gehen; x "and y nennt 
man Itonjugiert in bezug auf die Knrven des Biiscbels. 
Man kann nun nacli dem geometrischen Ort fragen, den die 
zu y koujugierten Punkie x beschreiben, falls y eine Grerade u 
durchlauft. Naeh dem eben bewiesenen Satze kann man bei 
Beantwortung dieser Frage von zwei beliebigen Kurven des 
Buschels, etwa von f und g, ansgelien; es mussen dann die 
drei Gleichnngen u^ + w 2 j/ 2 + i/ 8 j/ 8 = 0, f^ + f s j/ 2 + f 3 f/ s = 0, 
9iVi + 9%y% + ^3^3 nebeneinander bestehen, aus denen 
durcli Elimination von y^y^^y^ die Gleicbnrig ^"^=0 her- 
vorgeht. Man bat also den Satz: Die in lezng auf alle Kegd- 
schnitte eines BiiscJiels genommenen Pole einer gegebenen Geraden 
<& liegen auf dem Kegelscliniti N =* 0; er ist mgleich Ort oiler 
Punl'te, die den Pmikten der Geraden im Sinne des vorliin be- 
wiesenen Safzes konjugiert sind. Fur u. als Koordinaten der 
mendlicJi fernen Geraden wird N mm geometnsclien Ort der 
Mitielpimlde oiler Kurven des Bitschels. 

AUgemein inoge N als Pollzegelschnitt der Geraden u be- 
zeichnet werden; man nennt ibn auch den Neun- oder Elf- 
PmUe-Kegdschnitt der Geraden u in lemg auf das Buschd f 
da man leicbt neun oder eigentlicH elf seiner Punkte angeben 
kann. Drei derselbem sind die Doppelpunkte der drei im Bu- 



Polkegelschnitt einer Geraden beim Btischel. 271 

sehel enthaltenen Geradenpaare, aUo die Eeken des dem Vier- 
eck der Grundpunkte zugehorigen Diagonaldreiecks, des ge- 
meinsamen Poldreiecks aller Biisehelkurven. Die Koordinaten 
eines solchen Doppelpunktes erfiillen camlieh die Gleichiingen 
fi ^9^ 0? (i = 1, 2, 3), wo U eioe Wurzel der kubischen 
Gleiehung C(i) = bedeutet: bei Einffihrung dieser Eoordi- 
naten in N werden daher die /* den // t proportional und IV" 
verschwindet. Seeks weitere Puokte YOU X sind die vierten 
harmonischen Punkte zu dein jeweiligen Schnittpunkt cler 
Geraden u mit einer der seeks Geraden des Biisehels und zu 
den zwei auf der betreffenden Geraden liegenden Giundpunkten 
des Biisehels. Zum Beweis dieser Tatsache seien A 9 U, C, D 
die vier Grundpunkte des Biisehels und E sei der Schnitt- 
punkt der Geraden w mit der Geraden AD. Die Polare von 
E in bezug auf das durch A und D gehende Geradenpaar 
AB, DC, das sich in L schneiden moge ? ist alsdann die 
Verbindungslinie von L mit dem vierten harmonischen Punkte 
E' zu jEJ und zu dem Punktepaarc A,D (Teil 1, S. 282). 
Durch E' geht aber auch die Polare von E in bezug auf das 
Geradenpaar J.O, DS. Daher ist E' der Schnittpunkt aller 
Polaren des der Geraden it angehorigen Punktes E in bezug 
auf alle Kegelschnitte des Biisehels und somit naeh dem uber 
N ausgesprochenen Satze ein Punkt des Kegelschnittes N. 
Entsprechendes gilt von den zu E' analogen,, auf AS, AC, 
BC ? BD oder CD gelegenen Punkten. Auf der Kurve N 
liegen auch die Doppelpunkte der Involution, die nach Nr. 289 
auf der Geraden u durch ihre Schnitte mit den Kurven des 
Biisehels gebildet wird. Diese Doppelpunkte sind die Beriih- 
rungspnnkte derjenigen zwei Buschelkurven, die die Gerade u 
zur Tangente haben; sie sind die Pole von u in bezug auf 
diese zwei beriihrenden Kurven. 105 ) 

Dual entsprechen den vorstehend erwahnten Satzen fiber 
den Polkegelschnitt N die folgenden zwei Satze: 

Die Pole einer beliebig aber fest gewahlten Geraden t? in 
be0ug auf die KegeUcknitte der durch F(u, w) i G(u, w) = 
hstimmten Sehar liegen auf einer zweiten Geraden w, und 
wngekehrt liegen die Pole von w auf der Geraden v, Seide 



272 SIX. Inyariantenfeheorie der Kegelschnitte. 365 

heiften honjugiert in lemg auf die Eurven der Schar. Der 
Kegelxclmitt 

F, Ft F> 

(103) N^ 1 6? 2 C? 3 , wo jp; *>,), <?,-<?'(0, 



row dcnjenigeyi Geraden eingehiillt, die m den (lurch den 
gegebemn Punld x gelwnden Geradew hn Sinne des eben aus- 
gesprochenen Satzes Jsonjugiert sind. Ebenso hat die Kurve 
N die in 'beswj auf die Kegelsdinitte der Schar genomme- 
nm Polaren des Pimktes x m Tangenten (PolarhegelsGhnitt 
urn x}. m ) 

Far die Forrnen (101 ! wird 

- N =5 a n 
(104) 



Der Geradeu u entsprechen ferner zwei begleitende oder 
assoziiertr Geraden B i = und J5 2 = ? von denen die erste 
die in bezug auf g genommene Polare des in bezug auf f 
genoinmenen Poles von u ist: B. 2 ist die in bezug auf f ge- 
aomiuene Polare des in bezug auf g genommenen Poles von w. 
Bei konstanten x i und verinderlichen u l ist B l == der in bezug 
auf f genommene Pol der in bezug auf g genonimenen Polare 
des Punktes #; entsprechendes gilt von J5 2 *=* 0. Man kann 
aucb. sagen: die Gerade ^=0 bat in bezug auf g denselben 
Pol wie u x = in bezug auf f. 

Man erhalt S 19 indem man die Determinante A von 
f(XjX) auf der einen Seite mil r/ t , g%, g S} auf der anstoBen- 
den Seite mit u v u^ w 3 randert und als letztes Element 
binzufugt; entsprechendes gilt von J5 2 . 

Fiir die Formen (101) ist 

(105) 

AuBer den Zwisclienformen 2V ? N, JB 1? J5 t gibt es noeh 
vier andere, die mit G 1} <7 2? 1^, F 2 bezeichnet werden sollen. 
Die Formen C t und 2 sind die Jacobiscben oder Funktional- 
detenninanten von J? 1? f und u x bez. von 5 2? // und u x . 



Yollstandiges Form ens jstem zweier Elegelschnitte. 273 

Daher ist 3 = die Bedingung, daB die In bezug auf /*= 
genommene Polare eines Punktes x dureh dea Schnittpunkt 
der Geraden S i und ^f* gehe: entsprechendes gilt 

von C = 0. Fiir die Formen flOL wird 



Den Formeii C l und C f 2 entsprechen dual 1^ und F 2 : sie 
liiiogen mit JF und ff ebenso zusammen Trie C l und C z mit 
f imd gr ; nur sind natiirlich Differentiationen each x % durcl: 
solclie nacli w f zu ersetzen. Fiir die Formen (101) wird 

JT, ^^ a-,a.^& 11 (fl..?A>3 ^.,Lo)?L^^ 



x 



Die vier Invarianten J. ? I? ; H ? 6 ? die vier Kovarianten 
f, g, Jc 9 J", die yier Kontravarianten F, G, &, I und die acht 
Zwischenformen N ? N ? 5 i? JE? 2? (7 1? (7 2 , JT 1; F 2 stellen im Sinne 
der InTariantentlieorie das vottstandiye Formensysfom meier 
ternaren quadraliscJien Fonnen WT ) dar. 

B. Der Neunpnnkte-Kegelsclmitt der Geraden a x == in be* 
zug anf das durcb die Geradenpaare x^ ir 2 2 = : x^x^= 
foestimmte Kegelsciuaittbiiscliel jr x 2 av ^(Xj 2 a: 3 2 ) = ist 



also ein dem Fundamentaldreieck umgeschriebei^r Kegelschnitt. 105 ) 
Er ist ancli der Ort der Punkte, deren Polaren in bezug auf die 
Kegelselinitte des Biischels mit der Geradea a t zusammenfailen. 
Die beiden Geradenpaare bilden ein Viereck, dessen Diagonaldreieck 
das Koordinatendreieck ist. Durch die Doppelpunkte der Involution, 
die auf der Geraden a f durcn die Kurven des Buschels erzeugt wird, 
geken je vier Kegelschnitte, die einem der vier durcb Sie Ecken 
des Vierecks bestimmten Dreiecke eingeschrieben sind, und diese 
Kurven berahren samtlich den Neunpunkte-Eegelsclinitt N. 1st 
ntalick 5 X =0 die zweite Schnittsekne, die einer solcnen Knrve 

Salmon-Fiedler, anal. ( Icom* d. Kegelscka. IX. 7. Aufl. 1 8 



274 XIX. Invariantentheorie der Kegelschnitte. 366 

neben a x ~ mit dem Kegelsehnitt N gemeinsam ist, so hat die 
Kurve die Gleichung 



und die Bedingimg. daB l x *** den Kegelschnitt I\ T beriihrt, ist 
(flA)* + (flA)*+(a3& 8 )* = 0. 

Andrerseits hat ein dem Dreiseit 

# 2 -f x, = 0, MS + x t 0, ,#, 4- % = 
eingeschriebener Kegelschnitt eine Gleiehung von der Form 

^2 + ^) 2 + % + *i^ 

- 2 wZfo -f A)(/ 2 + ^ 3 ) - 2Zi(a; a + x 3 )(^ + ^) - 0, 
die bei Erfullung der Bedingungen a^ (wi w) 2 , 2 & 2 = (w Z) 2 , 
a 3 ^ 3 = (/ w) y und dreier weiterer Bedingungen mit der vorigen 
Gleichung identisch ist. Offenhar ist alsdann in der Tat 

(, 6,^-f- ( s ^)H(a 5 6 8 )l = 0. 

Entsprechendes gilt fur die anderen Dreiecke, so dap der Neun- 
punlde-Kegdsclinitt die die seclizelm Kegelsdtmtte lerukrt, die den 
tier Dreiecken drs Vierechs einyesckrieben sind, 

Ist die Gerade a^ unendlich fern mid sind die Gegenseitenpaare 
des Vierecks rechtwinklig, so sind die Doppelpunkte der Involntion 
in der Geraden die imaginaren Kreispunkte; alle Kegelschnitte der 
vorigen Betrachtung sind Kreise, die im Haupttext erwiihnten har- 
monlschen Punkte werden zu den Seitenmitten , und man hat das 
System dcs Fetwrlachsclien Kreises. 

366. Die Jacobische oder Hessesclie Kturve eines Kegel- 
sclmittiietzes. Em Kegelschnittnetz ist durch die GleichuBg 

(108) *f(x, x} + hg(%, a?) + P^(^ ; ) = 

gegeben, wobei dutch f(x y x) 7 g($y x) = 0, Ji(%, x) = 

drei beliebige Segelschnitte dargestellt warden, die nur nichfc 

einem und demselben Biischel angehoren durfen. Wie schon 

in Nr. 363 gezeigt wurde, ist die Jacobische Kurve dritter 

Ordnung 

/; /i /i 
ift fe & -o, /;-ir(X) 



der Ort aller Punkte A, deren Polaren in bezug auf irgend 
drei Kiirven des Netzes (108 ) sich in einem Punkte (er moge 
B heifien) schneiclen, der gleichfalls der Knrve (109) angehort. 
Darch diesen Punkt B gehen die in bezug auf jeden Kegel- 



JaeoMsche Knrve des Kegelschnittnetzes. 275 

schnitt des Neizes genommenen Polaren von A: man bezeichnet 
-1 und $ als foonjugicrte Pole in bezug auf die Kurven des 
Seizes. Ubrigens kann jeder Pimkt der Kurve (109; ais em 
Pimkt angeselien werden ? dessen Polaren in bezug auf die 
Kurveii des Netzes sich in eineni Punkte schneiden. Es folgt 
dies daraus, daB man beim Bestehen der Gleiehung (109 j 
stets Werte y^y$*y$ finden kann ? die die drei Gleichungen 

0, 



erfullen. 

Gelaen die Polaren von .1 durch JB, so wird die Gerade AK 
durch alle Kegelsclinitte des Jfetzes (108) Barmonisch geteilt, 
die also auf ilir eine Involution rait den Doppelpunkten A, B 
bestimmen. Beriihrt eine Kurve des Xetzes die Gerade AB > 
so gescMeht dies in A oder in I?; zerfallt eine in zwei Geraden ? 
so iiegt deren Sehnitt in A oder B, so lange nickt AB selbst 
eine der beiden Geraden . ist. Die Gleichitng (109) stellt in 
der Tat den Ori der DoppelpunJde der in dem Net& entJidltenen 
Geradenpaare dar, denn fir einen solchen f unlit mussen die 
Abkitungen xf + ^ + p,]^ %& + lg^ + ^A,, %f% + Ig 8 + [*Ji% 
gleichmtig verschivindm. Die Koyariante (109) desNetzes (108) 
entspricht so der bin'aren Kovariante der Doppelpunkte eiaer 
quadratischen Involution (Nr. 331). 

In einem Jfetz mit gemeinsamem Poldreieck sind die 
Verbindungsgeraden zugeordneter Punkte die Strahlen durch 
die Ecken desselben (Nr. 301). 

Jede Verbindungsgerade zugeordneter Pwikte A, B gehort 
einem Geradenpaare des Netzes an, namlich demjenigen, dessen 
Doppdpunkt der drifte SdmittpunM C der Geraden AS mit 
der JacobmJien Kurve ist. Denn A 9 B, C sind Doppelpunkte 
von Geradenpaaren ? A und B sind Beriihrungspunkte der 
Geraden mit alien sie berunrenden Netzkurven, also mu8 das 
Geradenpaar vom Doppelpunkt C die Gerade AD, urn sie in 
A oder B zu beruhren, als Teil enthalten, wabrend die Paare 
von den Doppelpunkten A bez. B sie aieht entnalten. 

Die Jacobische Kurve dritter Ordnung Jcann in eine Gerade 
und einen Kegelsehnitt zerfollen* Dies tritt erstens ein ? wenn 

IS* 



276 XIX. Invarianfcenkheorie der Kegelsclinitte. 366 

die Kegdsclmitte des Netm durcli %wd feste Pmkte gehen, 
Derm die gemeiusame Sehne sondert sicli als eln Teil ab ? da 
die Paare ihrer Involution mit den festen Punkten als Doppel- 
punkten konjugierte Pole sind. Auch der ttbrig bleibende 
Jacobische Kegelschnitt geht durch die festen Punkte, denn 
da jeder derselben in bezug auf das Netz sicli selbst konju- 
giert ist, so darf eine durch ihn geliende Grerade mit der 
gesamten Jacobischen Kurve nur nock einen anderen Schnitt- 
punkt liaben (Nr. 364, i). 

Die Jacobische Kurre dritter Ordnung zerfallt ferner ; 
wenn das Nete eine DoppelgeraAe q = enthalt, indem sicb 
offenbar q x als ein I?aktor der Determinante (109) absondert. 
Wir konuen also vier Kegelsclinitte besclireiben ; die einen 
Kegelschnitt f in seinen Sdmittpunkten mit der Geraden 
q x - uad iiberdies einen Kegelschnitt g = einfach be- 
riihren. Die Sehnifcte des letzten mit dem Jacobisclien Orte 
sind die Beriihrungspunkte. 1st noch eine zweite Doppelgerade 
r* = orlianden 7 so zerfallt endlicli auch der Kegelschnitt ; 
d. h. die Jacobische Kur?e besteht aus drei Q-eraden, namlich 
aus q x = 7 r x = und aus der in bezug auf irgend eine 
Kurve des Netzes genommenen Polare des Schnittpunktes der 
beiden Doppelgeraden. Die Jacobische Kurve eines Netzes 
von Kegelschnitten mit gemeinsamem Polardreieck besteht 
aus den Seiten des Dreiecks ; wie sclion in Nr. 364 gezeigt 
wurde. 

Dual entsprechende Eigenschaften hat natiirlich die zu 
einem KeffelschniUgewebe %g?(w ; u) + Ajc(w ; u) + f*^(W; w) = 
fichorige Jacobische Surve dritter Klasse. 

B. 1) Die Gleichucg der fur die Kegelschnitte 



gebildeten Jacoblsehen Kurve lautet: 



& 

0; 



Jacobische Kurve. 277 

Mer bezeiehiieii (#iA&%) usw - Detenxdnanten, die man aus diesen 
Elementen der Hauptdiagonale leicht bildet (vgl Xr. 8 ). 

2) Bestelien die Kurven A#''? ^ e e * n Kcgelschnittnetz be- 
stimznen, ans einem Kegelschnitt /'= 0, einem Kreis und der dop- 
pelt zahlenden unendlich fernen Geraden, so geat die Jaeobische 
Kurve durcli die Fufipunlste der Normal* H, dit cms dem Ulttdpwiltf 
ties Srtises an den EegelscJinitt f gezogen icerrka JwVwf/z. 108 ) 

8 ) Die Jacobische Kurve des Gewebes 

agj(w, w) + ^V+ ftw(?f ? M) - 0, 

wo (^fw, w) = einen beliebigen Kegelschnitt, ^== einenPunkt 
// f und G>(?<, tf) das iinaginare Kreispnnktcpaar (Xr. 319) dar- 
stellt, zerfallt in den Pttnkt y i und eine Pardbel. Diese hat zu Tan- 
genten die in benig auf die Kurve g?(w, /) = genommene Polare 
des Punktes y^ femer die Achsen dieser Kurve uncl die Xormalen, 
die in den Berahnmgspunkten der YOU y t an qp(, z<) == gelegten 
Tangenten gezogen sind. Die genannte Parabel kt der Polarkegel- 
-ichnitt des Punktes y i in bezug auf die Schar konfokaler Kegel- 
schnitte 9 fw, M) -f ^w(w, ) = (Xr. 286, 2 und 365). 

4") Man soil einen Kegelschnitt durch vier feste PunMe so be- 
stimmen, daB er einen gegebenen Kegelschnitt h = beriihrt. 

Wir denken die vier festen Punkte als Schnittpunkte zweier 
Kegelschnitte f=0, j gegeben nnd erkennen aus der Be- 
dingung fur die Beriihrung zweier Kegelschnitte (Nr. 345), daB die 
iufgabe sechs LSsungen hat. Die Jacobische Kurve der drei Kegel- 
scbnitte bestimmt mit 7* - die sechs Pnnkte, in denen diese Kurve 
von den sechs Kegelschnitten beriihrt wird ; die der Aufgabe ge- 
ziiigen; denn die Polare des Bcriihrungspunktes in bezug auf 7i = 
geht, weil bie auch die Polare in bezug auf einen der Kegelsehnitte 
^if-f i^g = ist, durch den Schnittpunkt der Polaren in bezug 
auf f= - 0, <7 0. 

367. Cayleyse3ie Kurve des Hetzes. Zu einem gegebenen 
Netze gibt es nacli Xr. 349 ein konjugiertes Kegelschnittge- 
webe von der Art, daB jeder Kegelschnitt des ersten Polar- 
dreiecken des letzten umgeschrieben 1st Die beiden Systeme sind 
kontravariant, da sie dual und projektiv verbunden sind. Bedeuten 
(p(w y u) = 0, x(u, ) 0, $(u, it) irgend drei das Gewebe 
bestimmende Kegelschnitte ; so ist die zugehorige Jacobiscbe 
Kurve dritter Klasse durcli das Verschwindea der Deter- 
minante itrer Ableitungen gegeben (Nr. 363). Der Jacobisclien 
Kurre dritter Ordnung eines Netzes dual entsprechend ist 
diese Kurve dritter Klasse die HUWwrw der doppelt m 



278 3QX. Invariantentheorie der Kegelselmitte. 367. 

den Trager der dem Gewebe angehorigen Punktepaare. Fur 
das gegebene Netz %f(x, x) + )*g(x, x) + phfa, x) = ist sie 
eine kontravariante Kurve und war wird sie als die Cayley- 
sche oder HermitescJie Kurve C = des Netees bezeichnet. 109 ) 
Die Cayleysche Kurve des Netzes ist daher zugleich die Jacobi- 
sche Kurve des dem Netz konjugierten Gewebes.*) 

Die PunJctepaare des Grewebes sind als Kegelselmitte, die 
denen des Netzes harinoniscb eingeschrieben sind, Paare von 
konjugierten Polen des Netzes, d. L sie liegen anf der Jaco- 
bischen Kurve des Netzes (Nr. 366), die zugleich Cayleysclie 
Kurve des konjugierten Gewebes ist. Die Cayleysche Kurve 
des Netzes ist die HifflJturve der Verbindungsgeraden der mge- 
ordneten PunJctc anf der Jacobischen Kurvc. Also ist sie pro- 
jektiv definiert als die Hiillkurve der Geraden ? die die Kegel- 
schnitte des Netzes in Punktepaaren einer Involution sdrneiden. 
Die Doppelpunkte der Involution sind die konjugierten Pole 
auf der Jacobischen Kurve, litre Gleiebing ergibt sich hier- 
aus unmittelbar, indem man aus jeder der drei Gleichungen 
f(x,x)=*Q, g(x>x] = Q, Ji(x,s)-*Q mit Hilfe von ^=0 
eine der Veranderlichen z. B. x$ eKminiert und nach Nr. 17 
und 331 die Determinante der Koeffizienten von x^, x^^cc^ 
gleich Null setzt, urn die involutorische Lage der drei Punkte- 
paare auszudrucfcen. Die Entwickelung lautet nach Division 
durcli 3 : 



(110) 



*) Man liat diese KontraYariante C des Netzes xind die Jacobische 
Htlteove der drei Kegelschnitte /, g, h> denen die TangeBtialformen 
y {?, J5T zagehdren wohl zu unterscheidea; die 9?, ^, t& sind nteft^ die 



Gaylevsche Kurve. 279 

Wie die Punktepaare eines Gewebes zugeordnete Punkte 
der Jacobischen Kurve des konjugierten Xetzes sind, wird 
dual die Cayleysche Kurve des Seizes oder Jacobisehe Kurve 
des konjugierten Gewebes von den Geradenpaaren des Netzes 
umhiilli Ihre Gleicliung entsteht somit aus der Forderung 
der Identitat 

xf(x, x) -f lg(x, x) + ah(x, x) =s u^ 
oder aus den sects Beziehungen 



durch. Elimination Ton x, I, $i ? v 1} v 2? i\ in Gestalt der Deter- 
minante % 

a n 6 lt u ttl 
, a S2 & 22 c' 22 2 

& K 3 

M "" ' 



2% 2& 12 2c 12 % Wj 

Der Satz 7 daB die Cayleysche Kurre eines Netzes YOB 
alien Geraden nmhiillt wird ? die die Kegelschnifcte des Hetzes 
in Punktepaaren einer Involution schneiden, gestattet, die 
Gleichung dieser Knrve in einer Art abzuleiten, die banfig 
zweckmaBiger 1st als die AnsrecHnung der Determinate (111). 
Einer Geraden % = entspricht namlich nact K"r. 365 als 
Ort ikrer Pole in bezug auf das in dem Netz (108) enthaltene 
Buschel xf(x, x) + ig(x, x) = der Polkegelsclinitt N f ^==^ 



%=0 in den Doppelpunkten D-^Dj der Involntion, die anf 
u x ~Q von den Knrven des Biiscliels ausgesclinitten wird, 
Bildet man nnn nach S. 232 in Nr. 355 die Bedingung ? daB 
die Gerade w x = die Kegelschnitte N f ~ nnd h(x, x) 
in zwei harmonischen Ponktepaaren trififb, so hat man hier- 
mit die Gleichnng der Cayleyschen Kurve in Linienkoordi- 
naten u i} denn das auf der Geraden gelegene Punktepaar D^D^ 
liegt alsdann harmonisch zu den Schnittpunktepaaren der 
Geraden und der Kegelschnitte f f g, h , d. h, die Gerade triffb 



280 XIX. invariantentheorle der Xegelscbnitte. 367. 

die Kegelschnltte des Netzes in Punkiepaaren einer Involution,, 
ist also Taisgenie der Cayleysehen Kurye. 110 ) 

Die beiden Geraden eines Geradenpaares des Netzes sind 
als Tangenten der Cayleyschen Kurve des Netzes in dem- 
^elben Sinne einander zugeordnet wie die Punkte aiif der 
Jacoblsehen Kurre. Ersetzt man in (111) u^ durcli # ; , a zk} b^, c\ k 
durch die Koeffizienten # ti; /8 U , j> u . der Kuiren cp(u, u) = 0, 
l(Uj w) 0, ^(w, ii) = des konjugierten Grewebes 

(112) 7/9 (M, M) + ;/J;(M, w) + u,>(> ? w) = 0, 

so erliiilt man den Ort der Punkte, von denen an die Euryea 
dieses Gevrebes Tangentonpaare einer Involution gehen^ d. h. 
die Cayleysclie Eurve dritter Ordnung 2P'=0 des Gewebes 
(112j ; die zugleicli die Jacobische des urspriinglicben Xetzes 
/108) ist 

Bei Bildung der Gleichnng in Linienkoordinaten fiir das 
Netz (108) treten nur die friiheren Kontrayarianten der Paare 
g, /t; /i ? /; /" ? g anf ? denn diese Gleicliung lautet 

(113) x a JF -f tfG ^ yPH+ 2luK + ZtixH^ + 2zlH u - 0, 

und hier sind F, Cr y H die Tangentialformen von /', ff } It,- 
wahrend JJ^, H n , H^ die linken Seiten der Gleiehnngen der 
za g und h } zu h und /', bez. zn /' und g gehorigen harmo- 
nischcn Kancn zweiter Klasse (Nr. 355) bedeuten, so da8 
z. B. 2.ff 12 durch (37) in Nr. 353 definiert ist. 

Ersetzt man in (111) die u- durcli %., ferner a i& , J tA; c tf . 
(lurch die Koeffizienten -4 a>? JB U , ? C a yon J y 7 (? 7 S (also niclit 
dnreh die Koeffizienten yon q> 9 z, ty aus dem konjngiertea 
Gewebe (112)), so stellt die so erhalteae Deternainante 2P ? 
gleieh Null gesetzt ? die Cayleysche Kurye dritter Ordnung des 
Gewebes 

(114) xF(u, u) + i G(u, u) + pHnt. u) =- 

dar. Es seien nun A" 23 , A - 317 7% 2 die linken Seiten der Glei- 
ehungen der zu G nnd 1T ? zu jff und jP ? bez. zu jP und G- 
gehorigen Mrmoniscfim Kunen zwtiter Ordnung (Nr. 356), so 
da8 z. B, 2i- ls durch (39) in Nr. 354 definiert ist. Alsdaim 
erhilt man zwlschen F 7 7t 2S? J 81? Z* lg? f ? 17, A. die Beziehung 



Cayleysche Knrre. 281 



wahrend C, # 23 , JT 3l , J5T ia , JF, , (lurch 

,116) e" 2 -4K?if4-*i/^ 

verbunden sind. 

B. 1) Man iiberzeuge slch, daB das dureh die Eurven z welter 
Ordnung 

/== a^ 2 + a, av + 3 / 3 9 = 0, # = 6^ -f 2 & 23 / 3 ;r. = 0, 

7^ ~ d> ir,-, 2 -f 2 c. n x, a 1 , == 

m - " <jJL > I 

bestimmte Xetz zu dem durch die Enrven zweiter Klasse 9 2^ v l t r^ o, 

7, r ^ ^;j r 3i ?f / ~ rf 2 e si % 2 - ^s ^2 w ^ w i a " 

tf> E a s 2> 23 Wj_ 2 <X t & 2S Zfo 2 (?' 3 f^ ^ 2 /( 3 = 

bestimniten Uewebe konjugiert 1st, so daB die Kurven des Xetzes 
denen des Gewebes harmonisch umgesehrieben, die Kurven cles Ge- 
vrebes den Netzkurven harmoniscli ein ( nesclirieben sind. 

2) Die Cajleysehe Kur% T e des eincn Doppeipunkt a t enthalten- 
den Gewebes 

^(X^i "f" V l '2 T" ^ W s) 2 "T ^%( u i >i{ ) "t- , a ^( M '7 w ) "=* ^ 

ist eine Kurve dritter Ordnnng, die den Pxmkt a i zum Doppei- 
punkt hat. 111 ) 

368. Invarianten dreier Kegelselrodtte. Um Invarianten 
der drei Kegelschnitte f, g, h zu finden, bilden wir wiederom 
die Disbriminante ikres Netzes %f+ kg + pJi = 0. Ihre Ent- 
wickelung ist zu sclireiben 

u*A + )?B + C + 3% 3 20 - 



wo die Koeffizienten 20 zt7 . die friiheren Invarianten der drei 
Paare YOU Kegelscbnitten sind. Dagegen entstebt dadurch, 
daB man in der Diskriminante A jedes Glied a n a^a^ 7 usw. 
durch eine Summe wie 



ersetztj die ueae Simitltaninvariante Q^ c ^ es KurFentripels, 
die in (117) den Faktor von yJfi bildet 

Bilden wir ebenso die Diskrimittante des durch dieselben 
drei Kegelschnitte bestimmtea Gewebes 

x'Ffa, if) 4- l'G(u, u) -f p'Htu, w) 0, 



282 HX. InYariantentheorie der Kegelschnitfce. 368. 

so ist der 68 I23 entsprechende Koeffizient des Gliedes mit 
'i'fi' eine Invariants 89' 123 wm zwdten Grade in den Koeffi- 
menien von f, g, h, die nicht in Funktion der vorangehenden 
Invarianten ausgedriiekt werden kann. 

Unter den ans den bisherigen zusammengesetzten Inva- 
rianten befindet sich insbesondere eine ? die zugleicli eine 
Invariante der Jacobischen Kovariante ist. Man erh'alt sie 
nacli dem Prinzip, daB ans einer Kovariante und einer Kontra- 
variante von einerlei Grad eine Invariante entsteht ? wenn man 
in die eine Differentialsymhole einsetzt nnd mit ilir an der 
andern operiert. (Vgl. Nr. 139 der ?; Vorlesungen tiber die 
Algebra der linearen Transformationen" von 6r. Salmon, dentsch 
bearb. von W. Fiedler, 2. Anfi. ? Leipzig 1&77.) So entsteht 
ans der Jacobisclien Eovarlante und der Kontravariante von 
Nr. 307 eine Invariante T, deren Ausdnick lautet 



4 ( 22 



(118) 



wo die Faktoren der Glieder dreireihige Determinanten be- 
xeicbnen. 

Man kann aber diese Invariante T dureti die vorher er- 
wihnte Invariante Q' m vom gleichen Grade in den Koeffi- 
zienten und durch die friiheren Invarianten ausdriicken, wie 
wir in den Beispielen zeigen wollen. Zunacbst bilden wir 
aoch dtiejenige Invariante des Kegelschnittnetzes bez. Gewebes ? 
deren Verschwinden ausdriickt, daB sicli nnter den Kegel- 
schnitten des Systems doppelt zahlende Geraden bez. Pnnkte 
befinden. Diese Invariante M erhalten wir ? indem wir die 
Bedingung ansdriicken ? daB %f+lg + {ih ein vollstandiges 
Quadrat wird ; oder also, daB seine in den Parametern qua- 
dratisclie Eeziprokalform 

(119) **F+ 3?G + fPH+ 21^JS 23 4- fyxHa 



Invarianten dreier Keg-elscboltte. 283 

identiseti versehwinde (Teil 1, S. 307). Bezeichnen wir die 
Koeffizienten TOE u^, in den Kontravarianten JK> S? J? 33 , S~ lt , 
mit SC U? 23 U bez. ., ? so ist das Ergebnis der Elimination 
der sechs GroBen ^ 2 , Z 2 , ft 2 ? i 4 u, u/c, xA zwischen den durcbi 
das Nullsetzen der Koeffizifenten der Reziprokalform entstehen- 
den sechs Gleichungen das folgende: 

A u A^ A z % -4 2;} A SI A 12 
,B U BB S 3 , B a S 31 Vu 

fi fi /1 ri ft n 

M ] i -- ^ -'J U 3i ^* 

M-- ( . 

^n ^21* vl ;;s ^su "^31 ^12 

' 



Demnach cliarakterisierfc die Bedingxmg M == ein Xetz von 
besonderer Art. 

Die Determinante ist yom vierten Grade in den Koeffi- 
zienten jedes der drei Kegelsci.nitte ? z.B. des ersten, da die a ik 
im zweiten Grade in der ersten Zeile nnd linear in der funften 
und sechsten erscheinen. Es folgt daraus^ daB in einem linaren 
Kegelschnittsystem dritter Stufe 
(121) e(x, x) + f(x, a?) + lg(x, x) + {th(x, x) = 
Tier Doppelgeraden auftreten (Nr.347,3); denn die InvarianteM 
der Eegelschnitte 

e(x, x} + xf(x, 05} 0, g(x, x) = 0, h(x, x) 
liefert zur Bestimmung von % eine biquadratische Gleicinng. 
B. l) Fur die Kegelschnitte 

f==. a n x^-i ---- (- 2 033^*3+ * = 0, 

^7 s a t x^ + a^ + a^ 0, h = x^ + x^ + x/ = 0, 

die eiD Netz bestimmen, bilden wir die Bedingung, unter der sie 

einen Punkt gemeinsam haben oder ikre Resultante. Aus den bei- 

den letzten Gleicliungen hat man 

xf : % 2 : x/ = (03 - fl 8 ) : (ff s - %) : (^ - a s ) , 
wofar 3 : or 3 : c; s gesetzt warden moge; die Einfiihrang dieser Werte 
in die erste Gleichung tind die Beseitigraig der Wurzeln liefert 



64 ^^^(^3^53%^ + 

Die linke Seite dieser Gleichung ist das Quadrat YOU T. In- 
dem wir die Differenzen der % fiir die ^ einsetzen , konnen wir T 
selbst ausdruckeii, namlich in der Form 



284 SIX, InTariantentheorie der Kegelschnitte. 360. 



+ %% + * v + 8 n*i*3 + 3 + 

in der alle Gliedergruppen Fandamentalinvarianten des Systems 
sind bis auf A ll a l s + A & a/ + A^a^ das gleicli 902332ii""~ 6 ' 
1st, also ausdriickbar dureh die Invariable des Testes aus der Dis- 
kriminante des Gewebes. Man hat also 112 ) 

3^= 0f s3 - (9 1M 138 + m e sss + SU S22 ) + 20' 133 . 

2) In Viercrkoordinaten (Xr. 304) lassen sich die drei Kegel- 
sehnitte des Xetzes in der 2sormalform ausdriicten, also z, B. durch 

/== <*i%i-r " 8 Jy -r a 3*s*+ fl A 2=KS 
^ = bj^- -f 0, A -i" I ^Y -f- * = 0, 
wobei ^ T" i ( -2 "r ^ T -"4 "^ 0, 

und zwar auf unenulicli viele Arten. Denn jede der Gleichungen 
f = o, <7 0, 7i * entliiilt drei Kosstantea esplizit und jede der 
Imearen EuBktionen ir s . zwei Kon&tanten implizitj so daB siebzebn 
Konsiaiiten znr Verffigung stehen, wahrend t\y,h zusammen nnr 
funfzelin unabkiingige Konstanien enthalten. 

Wir rfuclien nacb. diesen Voraussetztingen die Bedingung aui, 
unter der die drei Kegelsehnitte einen gemeinsamen Schnittpunkt 
haben. Iiidem man die Gleieliungen / = 0, g = 0, h = nacb 
autlost und die vier Determinanten einfuhrt 



iindet man x^\ / 2 2 , j' 3 3 , x^ proportional zu A l ^ A 2J A^ A und 
erhalt durch Substitution in ^ + %% + #3 + ^^ == die fragliche 
Bedingung in der Form 



Oder 

^" 1 "t" 1 t *g"' "T* -*"*-4"' L^io-O-g l,u3<>j3L ^-0.^-0^ A -ol-| J.J-JT 



Die linke Seite dieser GleichuDg ist wieder das Quadrat der 
Invariante !F, die rechte Seite ist 64 M, 

369. WeDB wir die Disbrirainaiite YOB 

xf + Iff + ph ** Q 

als kubiscte Form der VeraEderlichen %,l,tt betrachten und 
gemEB derTheoriederselbeB ihre Inyarianten 5 4 Bnd T 6 



*) Ygl. fi. Salmon? Analytische Geometrie der hdheren ebenen 
bearb. von W. Fiedler^ 2. Aufl , Leipzig 1882, S. 247/9. 



Invarianten dreier Kegelschnitte. 1*85 

die bez. vom vierten und vom sechsten Grade in den Koeffi- 
zienten sind ? so findet man 113 ) 

S proportional zu T 2 48 M, 
1\ proportional zu T(72M - T*). 

Erf sind also diese beiden Formen als Funktionen der zehn 
Fundamental-Invarianten des Netzes %f -~ Iff ~- pl< Q aus- 
gedriickt; M, T : 0' W3 sind nicht linear durch jene zehn aus- 
driickbar. aber docii in YerLindung mii ilinen bestimmt. "Wii 
konnten entweder M oder T aus diesen GleichuBgea elimi- 
nieren und so Grleichungen bilden, die sie einzeln mit den 
Fundamental-Invarianten vcrbinden. 

Die Eesultante der drei Formen /', g, li wircl Jt = T~ 64 M, 
und R == ist also die Bedingiing dafiir, daB alle Kurven des 
Ketzes einen Punkt gemeinsam haben. 

Irgend drei Kegelschnitte konnen im allgcineinen als die 
Polarkegelsctnitte von drei Punkten in bezug auf eine Kurve 
dritter Ordnung betrachtet werden. Wablen wir die Darstel- 
lung in Viererkoordinaten wie im vorhergehenden Beispiel 2\ 
so erhalt die Grleichung der Kurve dritter Ordnung, cleren 
erste Polaren sie sind ? die Gestalt 

* 3 *y ' ff 3 rf 8 

(122) J +*J -^ +} =0, 

-1 - A S -^ -4 

und man erkennt^ daB das Verscliwinden der Invariante M> 
das eines der J.^ gleicli Null fordert, einen Ausnahmefall Mldet 7 
wo die drei Kegelsclmitte niclit aus derselben Kurve dritter 
Ordnung ableitbar sind, 

Im allgemeinen Falle erhalt man die Gleichung der Kurve 
dritter Ordnung , indem man die Hessesche Kovariante der 
Jacobisclien Kovariante J der drei Kegelschnitte bildet und 
von ikr die mit 2T multiplizierte Jacobische abziehi 114 ) Hier- 
bei ist angenommen ? daB diese Hessesclie Kovariante die 
Determinate der zweiten Ableitungen von J ist, dhne Zahlen- 
fdktor. 

Wenn wir ferner mit den Kegelschnitten an der kubischen 
Kontravariante operieren ocler mit ikren Reziproken an der 
Jacobisclien Kovariante, so entstehen lineare Kontravarianten 
und Kovarianten. Sie stellen die Pnnkte dar ; denen die Kegel- 



286 XIX. Invariantentheorie der Kegelschnitte. 369. 

schnitte als Polaren fur die Kurve dritter Ordnung entsprechen 
bez. die Polargeraden dieser Punkte fur dieselbe Knrve. 
B. Die Kegelsehoitte 

f -~H a n x t 2 + a m x^ + a^/ =0, g = 6 22 % 2 + 2 & 13 %% , 

7^ = 2^2,1'!^= 

sind Polarkegelschnitte dreier Punkte P, , bez. I? in bezug auf die 
Kurve dritter Ordnung 



dabei haben P 9 (), J?. die Koordinaten 

j? t : j? 2 : p = a 22 b 3l : : tf n 6 2 2i 2i : ( /2 : ft 

r : r n : r = : 1 : . 



Zwanzigstes Kapitel. 
Aialytische Grindlagei der MetriL 

370. Metrisclie BezielniBgen. Die IJntersucbungen fiber 
die allgemeine Gleichung zweiten Grades und fiber die Theorie 
der Invarianten und Kovarianten in den letzten drei Kapitela 
liaben zur Entwiekelung der Methode gedient, durch die auf 
rein aBalytisebem Wege geometrische Wabrbeiten gefunden 
werden konnen. Die Eigenscliaften der homogenen Former* 
und das Hilfsmittel der Detenninanten Yerleiben iliren Er- 
gebnissen jenen Charakter algebraiscber Allgemeinbeit 7 der 
vielleiebt der unterscheidende Hauptcharakter der neueren 
ForscliungeE genannt werden darf. Auf solche Weise lernt 
man die allgemein Eigenschaften der Eegelschnitte kennen; 
aber die Eigentumliclikeiten jener besonderen Kegelsclmitte ? 
die ? wie die Parabel, der Kreis ? die gleichseitige Hyperbel 7 
dnrch besondere metriscbe Beziebnngen charakterisiert sind ? 
treten in dieser Art der Untersuclrang wenig hervor. Uber- 
hanpt sind die metriseben Beziehungen gegen die allgemeia 
projektiyen znrlickgetreten. Im Folgenden ist darum znnacbsfc 
nacJisuweisen, wie die vorigen Untersuckungen auck m metri~ 
schen BmeJmngen fukren. 

Die bomogenen Formeln lassen sicli ; *wie wir mebrfach 
gesehen baben (Nr. 362 SchluB, Nr. 88 nsw.), obne weiteres 
durcb Einfahrang nicbt-boinogener Koordinaten, metrisch 
spezialisieren. Nicbt ebeuso unraittelbar bieten siob die Aqui- 
valente zu gewissen fiir Sleicbungen in Cartesiscben Koordi- 
naten woblbekannfcen Funktionen bei Anwendung YOU Drei- 
eckskoordinaten. Zu ibrer leicbten Gewinnung MIft die Theorie 
der InTarianten, sobald es gelingt, die metrisclien Beziehungen 



288 XX. Analytische Grundlagen der Metrik. 371. 

in HezieJmngen der gegelenen Memente gum UnenSliclifernen, 
iasbesondere stt den imaginaren Kreis$unUen wnmsetzen. Zur 
Erlauterung der Methode greifen die folgenden Nummeni 
auf die Theorie der Gattungskriterien und Fokaleigensehaften 
zuriick. 

371. Homogene Gattungskriterien. In den zu den recht- 
ivmkligen Gartesischen Koordinaten x 7 y dnalen Linienkoordi- 
naten lantet die Tangentialgleicliung des Paares der imaginaren 
Kreispunkte u* -j- tr = 0. 

Von der besonderen Beziehung eines gegebenen Kegel- 
schnittes zu diesem Punktepaar hangt zum Teil die Gattung 
des Kegelsclinittes ab. Wir betrachten daher die Invarianten- 
theorie einer Schar 

(1) it- -J- " 2 Ag>(w., v) = 0, wo 

(2) <p(u, v) == a n w s -f 2^ 12 2^ -i + % 

ist, also einer ScJiar konfokaler Kegelsclinitte (Teil I, NT. 232). 
Die Diskrinnnante dieser Schar wird (vgl. Nr. 343): 

(3) y(% s - a n A, + ^(A n + A 22 ) - A 3 A ; 

wobei A die Determinante von <p(u,v) bedeutet, wahrend 
A 317 A 39 die UBtercIeterminanten Ton a n und tf 22 in dem Schema 
von A siad. Die Gleichung y(/-) hat fee Wurzel i = ? 
wodnrch zum Ausdruck kommt ; da6 das imaginare Kreis- 
punktepaar der Schar (1) angehort. FaBt man cp(u,v) = 

als die zu f(%, y) s a n x*+ 2a^xy + h a u == gehorige 

Gleichung in Linienkoordinaten .F(w ; v) === auf ; so sind die 
& ik mit den sonst durch A a bezeichneten GroBen identisch^ 
A fl gehfc fiber in -4a a; A in A* (Teil I ? S. 284), nnd an Stelle 
von y() == tritt nach Absonderang des Faktors I: 

(4) All 8 - l^L(a u + a 22 ) + lt % - a 12 2 == 0. 

Hier erkeniit man in a n + % UI1( i a n a 22~~ a i2 2== <& e 
Ausdriicke wieder 7 durch deren Verschwinden die gleichseitige 
Hyperbel und die Parabel charakterisiert werden (Teil I ; S. 326 
bez. 271). Vom Standpunkt der Invariantentheorie betrachtet 
sind a u + % Tind a lt % % 2a=: ^i S3 die fiir die Formen 
f(^ 3 y) wad w 2 + 2 gebildeten, friiher mit 36 nnd 3H be- 
zeiehneten Invarianten. Hat die Gleiehnng (4) eine Doppel- 
wnrzeL so zeisrt dies an ; daB die imaginaren Kreispunkte 



Konfokale Schar: Gattungskriterieu. 289 

selbst jedem Kegelschnitt der Schar angehSren, da daan die 
von iiinen auscrehenden Tanscenten nur ei)t zusammenfallendes 

O CJ 

Paar YOU Schnittpunkten liaben. Die Bedmgung fa n -f- %)"' 
= 4(%%> %/V ^ er ( a ix ~~ a s:z) 2 -r -4% 2= = 0, die fur keine 
anderen reeilen Werte als ct n = a^, ^ia~^ erfullt werden 
kann ? ist daher die charakteristiscke Jjvdinfjuny fur den Krei& 
(TSr. 97).*) 

Bei triinetrischen Xonnalkoordinaten ist nacb Nr. 3 IP 

f co f . w) -^ w/ -f- //./ M,, 2 2 &, ,, cos .4j 
/ r\ i ,' . / / j. - - 

v ; I 2H 3 ^ cos JL, 2^!%, cos Jl s == 

die Gieicliong des imaginaren Kreispunktepaares, und zwar 

bedeuten tier A 17 A, -J.j die Winkel des Koordinatendreiecks. 

Die zu (5; gehorige Grleicliung in Punktkoordinaten 

x* sin- A l -f T- #.r sin 2 ^ 3 -f- 2r 2 % sin A sin X + - 



in der man sin J. 1? . . durch die ihnen proportionalen Langen 
i, . . der Gegenseiten ties Koordinatendreiecks ersetzen konnte, 
stellt doppelt zahlend den Triiger des Punktepaares (5), die 
uneiidlich feme Gerade dar (Kr. 75). 

Die Bedingung dafBr, daB 

(7) f(x, x) 3= autf + + %^ 2 + 2%^^ + + 2%^ 
eine glekliseitige Hyperbd darstellt, wird in trimetrischen Nor- 
malkoordinaten 

f 30 - a lt i- % 4- % - 2 % cos A l - 2a sl cos .!> 
W j -2a is cos4,=0 ; 

die Bediogung fur die Pardbel wird 



(9) 4- 2 J g3 sin A* sin J 3 4- 2 J M sin ^4 3 sin ^ 

I 4- 2-^l 12 sin j4 t sin A^ . 

1st die Qleidrang SO 8 4H0 erfuHt, deren linke Seite 
anf verschiedene Arten in eine Sumine von zwei Qnadraten 
zerlegt werden kann 7 so geht die Kurve (7) 7 wenn sie reell ist, 
dnreh die beiden imaginaren Kreispunkte, ist also ein Kreis. 

Damit ist klar ; wie die Kriterien unter Annalime allge- 
meiner projefctiver KoordinateE zn bilden sind, sobald die 
Gleiehung der imaginaren Kreispunkte bekannt ist. 

*) Die Doppelwurzel ist 2 = 1 : f flr n a w IS 2 a&*}. 

Salmon- rietller, mul. Ceora. d. Kegelielin. 11. 7 Auil. 19 



290 XX. Analytische Grandlagen der Metrik. 372, 

B. 1) Die Gleiching a*>x%%% J r ^i^i + ^laVs siollt 

eine gleichseitige Hjperbel dar, falls 

# 2 o cos Ai + % cos A> + a 12 cos -4 S = 

1st. Sie euthalt daner den Hobenschnittpunkt des Dreiecks. (Teil I T 
S. 138 oben.) 

Fiir a n -f % + % = 1st %# t 2 -f %$/ + fl S3 # s 2 = eine 
gleichseitige Hyperbel. Sie geht durch die Mittelpunkte der Be- 
riihruDgskreise des Pttndamentaldreiecks. 

2) Setzt man zur Abktirznng 

U =: ^P'( M i) sin A \ + "2 ^'(^2) sin 4 + i-^'0%) si!1 -^07 
wobei die w t und sin A i bekanntlich Tertauschbar sind, so ist der 
Winkel 9 der aus dem Pol einer Geraden ^== an die Kurve 
/(a?, &) = gezogenen Tangenten bei trimetrischen Normalkoordi- 



naten dui-ch die Formel tg 9 = -- -=-_^ gege ben. 

Hierbei sind 36 nnd &(u, u) durcli (8) tmd (o) definiert; II wtirde ? 
gleieh Null gesetzt, aussagen , daB die Gerade ^n i em Durchmesser 
von f(x, a?) * ist. Sind insbesondere die u^ die Koordinaten der 
nnendlick fernen Geraden (%t i = sin A^ i ** 1, 2, 3), so \\ird gp 

*>1/HI'"3\J 

der Winkel der Asjmptoten ; man findet f lir ihn tg 9 = + ^i-~ 7 

wo 3H durch (9) bestimmt ist (21 und P(u,>it) werden einander 
gleicb. (w , ?/) wird zu Null). 115 ) 

3) TJie Ltinge I der aus einer Geraden u x = durch den Kegel- 
fechnitt /*(ar, s) ~ herausgesehnittenen Sebne ist bei trimetrischen. 
Normalkoordinaten bestimnit dui*eh die Formel 116 ) 

7 2 ^ _ &^'^ n A! sin^-ig sin A% co(*c, w) JF(t*, t*) 

wo JI den doppelten Inhalt des Koordinatendreiecks bedeutet, waii- 
rend L zur Abkiirznng gesetzt ist fiir 



1 sin J.J sin *4. 2 sin A% I 

^ ( i % ^j | 

Die LliDge d des zu dieser Sehne parallelen Durchmessers ist be- 
stomt dureh d - - i^^^- n ^-^-^ n ^ ' m ^JL) , vo 3H 

orljU 7 

dieselbe Bedeutnng wie in B. 2 hat. VgL auch JJr. 385, 3. 

372. Haizptkreis. Die ovariante Z:(^ ; a;) = 0, gebildet 
in bezug auf das aus einem Kegelschnitt und zwei 



Der Hauptkrels als KoTaiiaiite k. 291 

bestebende Kurvenpaar, bezeiclmet den Ort ernes Ponktes, fur 
<Ien das Paar seiner Tangenten an den Kegelschnitt zu dem 
Paar seiner Verbindungsllnien mit jenen fasten Punkten har- 
monised konjugiert 1st CNx. 356). 1st das Punktepaar insbe- 
sondere das der iniaginaren Kreispunkte, so bezeidinet 7: = 
den Ort des Schnittpunldes der Paare, reditwlnUiger Tangenten 
(Nr. 313, 2). Alsdann 1st' nacii dem in Xr. 354 gegebenen 
Werte 

1 10] n(x y y) = A^ax? + f) - 2A lz x - 2Ax*j + A n + J 22 - 
die attgemeine Gleicfmng des Haujrikreises in rechtwinkligen 
Carlesischen Koordinaten ,r ? y. Ftir -4 33 = oder fl n fl 22 % 2 2 : 
d. L fur" die Parabel. gibt 7^ = ihre Leitlinie: 
(11) 2(A ir x + A^y) - (At + 4a) = - 

In irimetrisclien Xormalkoordinaten findet man die all- 
sememe Gleichnng des Hauptkreises in der Form der Ko- 
variante 2fc(fl?, a?) Ton F(u 9 u) nnd o(w,w), namlict 

! 21 ^ X} x) ^ ^ 22 + A ^~ 2A cos A ^ )XI " + ' * 

| +2(^008^ -4 3 ^i 18 COS J. 3 ^L 12 COS J. 2 )^-f"" = Q- 

Man kann diese Gfleicliung mit Hilfe der Ableitungen 
l auch schreiben 



DaB sie einen Kreis darstellfc, kann gezeigt werden (ygl. 
Xr. 321), indeni man sie anf die Form bringt 

. , . , x fA ~4- ^. 4- $A cos A, . } 
sin A sin AS sin J 3 ( sm A) x j ^" - "^ ^~ f 8 - i + j 

3H {^a? 3 sin ^ + ;r s ^ 2 sin J 2 + ^^ sin A% } 0, 
wo (sin -4X zur Abktiranng fiir ^ sin -4j + % sin A^ + % sin A ?t 
gesetzt ist Wenn der Faktor H rectts verschwindet, ist 
(Nr. 371) die Knrre eine Parabel, nnd unsere Grleichnng steEt 
das aus der nnendlich fernen Geraden nnd der Leitlinie der 
Parabel bestehende Geradenpaar dar, 

B. l) Man zeige, dafi die GleicBung der Leitlinie der Parabel 
(Hr.817,1,3) (a ^ + (0,^*+ ( %i r s )l - lautet: 

a^ tg A % tg A s + a s x s tg A 3 tg A i + a s x 3 tg A l tg J f -= 0. 



292 XX. Analytisclie Grundlagen der Metrik. 373. 

2) Der Wintel y der vom Punkte # 2 aa die Kurve f(i', a?) = 
gezogenen Tangenten ist bei trimetrisclien Normalkoordinaten ge- 
geben durch die Formal 

(& sin A l + ?/, sin A -f ?/ 8 sin 4 S ) J/ Af(y, y) 
tg 9 = - ---- ^- , 

wobei 27*: (or, $r) durch (12) definiert ist. Bei reebtvdnkligen Cartesi- 
sehen Koordinaton ist y sin A l + - durch 1 zu ersetzen; fur den 
Xenner 7: kommt dann (10) in Anwendung. 115 J 

3) Die Gleichung 

(fA - fA) siT1 A + (f'A - fi^) sin A, -f (/ifc, - /itj sin ^ 8 0, 
in der f t , . ., 7: 1? . . die partiellen Ableitungen der Ausdrticke f(,T, x) 
iintl /;(, arj bedeuten, stellt die beiden Achsen des Kegelschnittes 
f(#, a?) dar fur 7: (a:, x) = als Gleicbung des Hauptkreises. 

Denn sie ist die BedingiiDg far die Koordinaten ernes Punktes. 
dessen Polaren in bezug auf den Kreis 7c(a:, #) == und den Kegel- 
sclmitt f(x, x) = einander parallel sind. 

873. Homogene Brennpunktskriterien. Die Wurzeln der 
Diskrimiaante einer Eegelschnittschar sincl die Parameter 
ikrer Punktepaare. Also sind die beiden Wurzeln der Dis- 
krizninante der konfokalen Schar (vgl. Nr. 371 1 
(14) .I 2 i s - SQA?. + 3H - 0*) 

die Parameter der beiden Paare von Brennpunldcn des Keg'el- 
sclinittesj der durch eine numerische Gleichung /" = gegebea 
ist. Bei Verwendung der zu den homogenen redatwinkligen 
Cartesischen Koordinaten x, y, 2 dualen Linienkoordinaten 
u } v 9 w bestimmen wir die Brennpunkte, indeni wir eine 
Wurzel von (4) in 2 +t? 2 A JP(M, ,?) einsetzen ? so 
da6 die linke Seite dieser Gleickung YOU der Form wird 

(x r u + y'v + zi)(x"u + fv + i'vc), 

denn nun sind die Brennpunkte #':/|y':/; x f :g"\y r :/ f . 
Der eine Wert von A gibt die beiden reellen^ der andere die 
imagin&ren Brennpunkte. Dasselbe Verfahren ist bei trime- 
trisclien Koordinaten anwendbar. 

Bildet man ferner nack der Regel von Nr. 309 die Eezi- 
prokalform von u* J r t v*~-lF(iii t &,w), so erhalt man die 
GleichuEg in Punktboordinaten x, y eines mit dem gegebenen 
"konfoMlm Kegdschnittes in der Form 

*) Sie hat gleicfoe Wurzeln ffir den Fall des Kreises und eine 
Wurzel flir den Fall der Paiabel. 



Bestimmnng der Breunpunkte. 293 

-A A(^- 2-2 A + A 



Ivlan erlialt aus ihr die Gleichung der HnWtune des Systems 
(3fr. 292 j, d. la. der geineinschaftlichen Tangenten, als 

I \A^+f\ - 2A r ,x - 2An!t -f 4i -r A*}* 
^ I -^i/V,//;-U. 

Dnrcli Zerlegen derselben in das Faktorenpaar 

\(x - a* + 0, -WKx-u'f + (,,-&*} 
wiirde man die Brennpunkte ] j3: a'|/3' ebenfalls erhalten. 
AUgemein entspricht der trimetrischen Gleichung ofw, m 
lF(u, it) = die Gleichung in Xormalkoordinaten 

f i*Af(x, x \~l{ (A& + Ay. + 2JU ;} cos AI)XS 4- - - 
(17) I + 2(-i n cos J-i JL 23 -flt ia cos -4 3 J 12 cos A) j: 2 %+ * ! 



Wenn I einen der aus der verschwindenden Diskriminante 
entspringenden Werte erhalt, so liefert die Eeziprokalform 
zii G}(W ? 11) lF(Hj u) === rto Quadrat der G-leichung einer 
der Achsen des Kegelscltnittes. nr ) 

B. 1) Man bestimme die Brennptmkte von 

2x" 2xy + 2y* 2 a: 8^ + 11 0. 
" Die quadratische Gleichung in I ist J. 2 ! 2 4J1 + 3 = 0, 
und ihre Vv r nrzeln sind I = 3 : J. und I = 1 : A mit J. = - 9. 
FUr den Wert * - wird 



<iies liefert die Brennpunkte 1 1 2; 3 | 4^ Der Wert I == -J- -gibt 

die imaginaren Brennpunkte 2 + j 3 + i 

2) Man bestimme den Brennpnakt einer dnrcli die allgemeine 

in Cartesisclien Eoordinaten gegebenen Parabel. 
Die quadratisclie Gleiehung wird linear, nnd 

uit*+A K v~i- 2A&v ic + 2 J 31 t? w + 2A^u v } A(u*+v 3 ) 
ist in Faktoren zerlegbar: dieselbea miissen sein 

(a n * + flgg) (2 .4 13 u + 2 J S3 1?) " und 

(?ujt3sMii ~ A ,. r ( a n ilfsil^ss "1 ^ i 
Sfci +"a,;M; 8 " "^ "" 2(a u "+ 4) A7 "*" 

Der erste Faktor liefert den unendlich fernen Brennpuskt und zeigt 
da8 die Achse der Kurve zn A^x A l3 y == parallel ist. Der 



294 XX. Analytiscbe Grundlagen der Metrik. 373. 

zweite Fabtor zeigt, da8 die Koeffizienten seiner Glieder in w und ? 
die Koordinaten des endlicben Brennpnnktes sind, 

3) Man bestimme dea Brennpunkt einer durch ihre Gleichung 
in trimetrisclien Normalkoordinaten gegebenen Parabel. Die Glei- 
chung des Brennpunktepaares ist 

3QF(u, ) A (u, M) 0. 

Die Koordinaten des unendlicli entfernten Brennpunktes sind ans 
Sr. 309 bekannt als Koordinaten des Pols der unendlicb fernea 
Geraden; dalier sind die des endlich entfernten Brennpunktes 





A n sin A l ~M 12 sin J7-f As sin -4 ( Ai sin A + ^ 
(ayklisca). 

4) Man bilde und diskutlere die Gleichung der Jacobischen 
und der Oayleyschen Kurve des Gewebes %(p(u, u) + ^%(^? ) 
4- fico(tt, tf) ==* 0. Sie liefern die Eigenschaften der Kurve, die die 
Acnsen der Kegelschnitte der Schar K<p(tt) u) + ^%<X w ) ** ^ ron- 
hullen, bez. diejenigen des Ortes der Brennptinkte (Nr. 300, 8). 

5) Man kann die Brennpunkte mit Hilfe des Satzes in Nr. 188 
bestimmen, wonacli das Kechteck der Entfernungen eines Brenn- 
punktes von zwei parallelen Tangenten konstant 1st. 

Eine zur Seite ^ = des Koordinatendreiecks parallele Gerade 
bat nSmlich (Nr. 71) bei trimetriscnen Normalkoordinaten die 
Gleichung (I - /J^^r M ** 0, wo Jf = 1&+ l^ + ? 3 % den 
doppelten Inhalt des Koordinatendreiecks darstellt, wahrend l^ Z 3 , L 
die Lungen seiner Seitea sind. Die Gerade beruhrt den Kegelschnitt 
f(X) x) = unter der Bedingung 

^1*+ 3(^,1, + A^K + ^+2AM+A^*- 0, 
und die Einflihnmg des "Wertes A = ^^ 3) : % fiinrt sie uber in 

^ J JP(Z, Z) - -Ma^'Ci) + Jf*-4 u * - 
Die zu den Fundamentallinien x s = 0, r 3 == parallelen Tan- 
genten geben analoge Gleichungen 

x,*F(l, - If^J 1 ' (Z 2 ) + 1I 3 ^ 2 - 0, 
j-3^, - JT^^CW + ^ f 4tt- 0. 

Sind dann ar/, #/' die Wurzeln der ersten, ar s ', J 2 " die der zweiten 
und jfj', %" die der dritten unter ihnen, so sind fur # 1? # 2 > ^s ^ ez * 
als die entsprecnenden Koordinaten des Brennpunktes die Difterenzen 

% *n % V? ^2 "" %\ ** ~ X ii X 3 ~" x &i ^3 -" ^3^ 

die Abstiinde desselben von den drei Paaren paralleler Tangenten. 
Man bat so nach dem erwShntea Satze die Gleichkeit ihrer Pro- 
dukte, also die Bezieliungen 



BestimmuBg der Brennpunkte. 295 

\[. fa. die Gleichungen 

, 1) - MXiF'fa) -f 3/*4 n ayW. I - 3I^F r (h) 4- 



liefern die Koorclinaten der Brennpunktf* <l^s Kegelschnities. Die 
geometrisclie Bedentung dieser Gleichungen besteht darin, dafi jede 
den Ort eines Punktes von soicher Beschaffenheit bezeichnet, daS 
die FuBpimkte der Lote, die man von ihm auf die vier den be- 
treffenden Pundamentallinien parallelen Tangenteii des Kegelschnittes 
fallen kann, in eineai Kreise liegen. 

Fiir die Parab<4 ist F(l, I) == 0; man erhult nur rinen Brenn- 
punkt. 

Der Pundamentalsatz von Sr. 183 tiber Brennpunkt un^Lelt- 
linie kann in analoger Weise benutzt werden. Man bildet das 
Quadrat des Abstandos eines Punktes x t vom Brennpunkt y i nach 
Xr. 74 und ebenso nach Xr. 68 das seines Abstandes von der zu- 
geLorigen Leitlinie und verglelcht die aus jenem Pundamentalsatze 
entspringende Gleichung des Kegelscbnittes mit der allgemeinen 
homogenen Gleichung zweiten Grades. Man erhalt sechs Bedingungen. 
die mit l y = 31 zusammen die Elimination der Unbekannten gf- 
statten und die Brennpunkte und Leitlinien bestimmen. 

6) Piir die auf ein System harmonischer Pole bezogene Parabei 
=5! 0, wobei 



ist, werden die Bestimmungsgleichungen des Brennpunktes 

?I% - ^2^2 : ^3 J 3 = ( r % + %) : (% + a il^ : (%1 

nnd daher 



Da die Klammerausdrticke, gleich Null gesetzt, die Seiten des dem 
Koordinatendreieek parallel eingeschriebenen Dreiecks darstellen. 
hat man also den Satz: Der Ort der Brennpunkte aller Parabeln, 
die ein gemeinschaftliches Polardreieck haben, ist der durch die 
^iittelpunkte der Seiten ihres Dreiecks gehende Kreis. 

7) Auch die Langen der Halbachsen lassen sich durch die 
Gleichungen in B. 5 bestimmen; denn fur r als die Lange einer 
solchen ist jedes der drei in sie eintretenden quadratischen Poly- 
Bome r*F(l)l)] die Elimination zwischen den dnrch diesen 
Wert Yerbundenen Gleichungen nnd l x = If ergibt 



wo $ t , Q*, Q s Abkurzungen sind, derea Bedeutung aus 



296 XX. Analytiscbe Grundlagen der Metrik. 374. 

Q l ft >M ___ft_ 

" -1 "jMu"* 

hervorgeht. In der Tat hat fur ft == Q% = s diese Gleichung in r 
gleicbe Wurzeln, trad die Gleiehheit der Nenner derselben GrSfien 
in den vorigen Beziehungen stimmt mit den Bedingungen des Kreises 
iiberein. (S. 151, Gl. (67).) Die Bestidmungsgleiehurag fur r 2 erhalt 
die Form Ar* + 27Jr 2 + C = mit den Iioeffizientenwerten 
A 7 4 r . 9/272 7/7 07V7 *>1\{1 9/W7 74-74-7 u 

- CL~~~ v* "j" * """" ti) 'o "~" * *"""* ~~" t \ t' ~"~ t j / \ t "^""^ ^CgHt 1 Zr to y \ t"~~*f -j j^ t<) j^f'o / . 

5 = 2 Z t 7 S Z 3 (ji ft cos -4j -j '), C = /j 4 ^j 2 H 2 ^>% 2 $o fe 

Man kann sie aucb schreiben 

wo 3H und 30 (lurch (9) und (8) definiert sind, wahrend E den 
Radius des dem Koordinatendreieck umgeschriebenen Kreises be- 
deutet. Bei rechtwinkligen Cartesischen Koordinaten lautet die ent- 
sprecbende Gleichung 

Diese Gleiehungen liaben in r stets reelle Wurzeln. Die Untcr- 
sucbuDg derselben auf ihre Gleicbheit und ihre Vorzeichen liefert 
die bekannten Unterscheidungszeichen der KegelschnittarteD. 

8) Der Inbalt F des Dreiseits der Polaren yon drei Punkten 
P. , M in bezug auf eine Ellipse mit den Haibachsen a, 6 ist mit 
dem Inhalt PQJl des von ibnen gcbildeien Dreiecks fur als 
llittelpunkt der Ellipse durch die Gleichung verbrmden 



i"(QO E] (li OP) (P OR) ' 

374, Die Bezielitmg auf ein Absolutes. Die Bedingung, 
nnter der zwei Strahlen u\ v, u \ v f oder bei trimetrisclien 
Normalkoordinaten u t! w/ recttwiaklig zu einander sind, nam- 
lich uu'+ vv^ bez. (ygL K"r. 68) 

w l^i' + W 2^/ + U Z U Z ~" (^2 w s' T* WjW/) COS ^tj 
(M 3 W 1 ' -f ^Wj') COS A 0^3'+ 'WjW/) COS Jl 3 == 0, 

ist identiscli mit der Bedingung ? unter der diese Geraden 
harmonische Polaren sind in bezug auf das imaginare Kreis- 
punktepaar ? also in bezng auf den zerfallenden Kegelschnitt 
^-f.^:0 oder cj(w,tt)0 Daker ist die Beziehung der 
EechtwinJcliffhit ein hsonderer Fall der Besiehwng gwischen 
harm@nischm Polaren in "begug auf cinm festen KegelscJinitt. 



Die Messung dcr \Vinkel. 297 

So tritt sie au(,h in die Satze ein. Aus rlem Satze z. B. ? 
dafi die "Verbindungslinien entsprechender Ecken von zwei in 
bezug auf denselben Kegeisehiiitt einander konjugierten Drei- 
ecken sieh in einem Punkte sehneiden, foltrt ais Sonderfail 
der Satz ; daB die Holien eines Dreiecks sick in einem Punkte 
schneiden, sobald a>(ii 9 u)-- j*n die Steile des allgemeinen 
Kegelschnitts gesetzt wird. Die Charakfpristik der besonderen 
Kegelschniite; Kreis, gleickst-itigo Hyperbel und Parabel, die 
Beziehung des Kege^schnittes auf heino Hiiuptacbsen, Brenn- 
punkte und Leitlinien, alle die.se Dietrisclien ^Jharaktere der 
Kegelschnittstheorie sind als abhiingig YOU dem analvtlsclien 
Ansdmck fiir das imaginaxe Kreispunktepaar erkjinnt. worden. 

tjberhaupt ist der Begriif der Rechtwinkligkeit ffir di^ 
ganze Winkelmessung von grundlegender Bedeurang. da er 
unmittelbar gestattet, die Gleicliheit cod Witiltdn zu definieren. 
Denn wir konnen den Satz von der Winkelhalbiernng, im 
Hinbliek auf j>ne Yerallgemeinerung des Begi'iffes, wlederura 
als einen SonderfaH des Satzes von der harmonischen Be- 
zietung zweier Stralilenpaare bezeielmen. Sind r 1} r barmo- 
nische Stralilen in bezug auf das imagiiiare Kreispunktepaar 
g lt fa und h lf 7/ 2 harmonische Stralilen. in bezug auf r l} r$ 9 so 
sind fahi und f/%1t s gleiclie Winkel von verschiedenem Sinn, 

Uberall ist liervorgetreten, da$ (He imaginaren Kreis- 
punlde mir einen ausgezeiclmeten Kegelsclmitt darsldlen, den 
man :ur Definition des Messens als ein Absolutes "benutst. Auf 
der BezieJwng der geometrisclwn Gclnlde auf ein absolutes Ge- 
hilde sireiten Grades beruM alle Metrik, sowobl die der Ge- 
bilde erster Stufe oder der binaren liomogenen Pormen, als 
die des ebenen Systems iiberliaupt oder der ternaren hoino- 
genen Formen. Dies soil im Folgenden nacligewiesen werden. 318 ) 

375, Metriselie Grundlagen erster Stufe. Wenn durch 
f($, x) s (*uX* + 2/1^^X2 + a 22 ^ 2 2 = ein gegebenes festes 
Paar von Elementen bestimmt ist, so kann die Gleichuiig 
g(x, x) = eines beliebigen anderen Paares von Elementen 
desselben Gebildes erster Stufe auf zicei Arten in der Form 



298 XX. Analytische Grand] agen der Metrik. 375. 

dargestellt werden. Denn die Paare /T# ? x) = ; g(x, x) = 
bestimmen eine Involution, deren Doppelelemente die durch 
die beiden moglicben Werte von v x bestimmten Elemente 
3^' a-,, Q ? ^" a-, Q s i n ^ > i n Erinnerung an die Bedentnng einer 
Gleiehung von der Form f(x 9 x) + A^/= in der Tbeorie 
der Kegelscknitte (Nr. 258), die das System der den Kegel- 
schnitt f(x y x) == doppelt beriilirenden oder ihni ein- uncl 
niageschriebenen Kegelschnitte bezeicimet, kann man sagen ? 
das Paar g(x, x) = sei dem Paare f(x } x) == ein- oder mn- 
gesctrieben ; und die Elemente v x ' = ; v x " = seien als Mittel- 
punkt uncl Achse der Ein- nnd TJmschreibung zu bezeichnen. 
Das eine von ihnen ist das konjugiert harmonisclie des an- 
deren in bezug auf jedes der beiden Elementenpaare f und g. 
Wird also das eine durch y i oder x^y^ ^^ = dargestellt, 
so isi das andere noiwendig 

(19) ^ f(x, y) -~z a^r^ -f <*ufai)k + ^ 2 2/i) + ^22^2/2 ms * 

Wenn man nun in der Grleicliung f($ } %)f(y,fy--f*(x,y) ss!s Q 
YOB Nr. S13 ? die in Xr. 3(51 wiederholt in bezug auf das hier 
entsprecbende Problem gebraucht wurde ? alle x$ enthaltenden 
Glieder verschwinden Ia8t ; so folgt die Identitat 



(20) -!%%2/i + ^12(^2/2 + ^22/1) + 



Man erkennt aus ibr, da8 das eingeschriebene Elementenpaar 
g(x, x\ fiir als eine Konstante ? in den beiden Formen 



dargestellt werden kann^ je nacbdem man von den Elementen 



das erste oder das zweite als Achse der Einschreibung ansiebt. 
BebSlt man die BezeichnuDgen f(x,%) 7 f($/?y) tmd f(% ? y) 
aueb im binaren Gebiet bei ? so kann man die Identitat (20) 
in der Determinantenform scbreiben: 



ITessen und MaBgleichheif. 299 

(21) ; K X > ' f^' yi ' = u l - - * X - 2 

! flx, y) fly, y) % a v ' Vi & ' 

wobei % = cr 21 . Nach Hinzufugung einer drittea Zeile z l \ z 
und mit Benutzung der Bezeiehnungen 

f(y, s) = o^y,*! -f a u (yi^ + JW) + M&*S. anal S A*. - 7 ) ? 
erhalt man, rechts ausmultiplizierend, die Identitat 

| /"(ar^j /"(,!/) /"(', f a n a is ^i ^2 ' 

(22) , f(y,*) f(y,y) f(y,s) , = a n 22 y, y> =0 
I fa x) fa y) fa e) ft 1 Sl z, 

oder /(, a?) /(/, y) /(*, ^r) -f 2/T(ar, y) fly, s) f(s, x) 

- fl*, *) f<y, s) - fly, y)F(*, *) - f(*, *)f*(*, y) = o. 

Dies geht nach DiYision durch f($,x)f(y,y)f(2,3), wegen 

f(*> ) f(y, y) cos2 = f 2 fe y)> /"(^ y) f fe *) cos2 e ' - f (^ *)> 

f(x, x) f(g, 0) cos 2 ff' = f s (a?, s\ 
liber in 

1 cos 2 - cos 2 0' cos 2 ff' 2 cos 6 cos 6*' cos 8" = 
d. L in (cos 6 cos ' cos 0") 2 = sin 3 fl sin 2 d' 
und ws (0 0') = cos 0". 

Da nun 6 y d', 0" nur durch die Cosinusquadrate bestimmt sind, 
kann uber sie so verfugt werden, dafi die Beziehung besteht 

cos -^M 4. arc cos 
^ 



== arc cos r~A~--r- - 

yf(X,X)f(S,8) 

376. Aquidistanz. Denkt man unter den Elementen eines 
geometrischen Gebildes erster Stufe ein Paar E 17 E 2 als un- 
yeranderlicli man nenne es das absolute Paar , so kann 
jedes Paar ron Elementen dieses Gebildes als ihm einge- 
schrieben angesehen werden. Es bestinimt dann mit jenem 
zwei Eleinente als Doppelelemenie der erzeugten InTolution ? 
nach. dem Yorigen zu benennen als Mittelpunkt und Achse 
der Einschreibung. Insofern das betrachtete Paar dem abso- 
luten eingeschrieben ist ? wollen wir es ein Kreispaar nennen, 
und jene Doppelelemente der Involution^ die das absolute uncl 
das Kreispaar zugleich harmonisch teilen ? sollen Hittelpunkt 
und Achse des Kreispaares heifien, mit der Bestimmung ? daB 



300 XX. Analytische Grundlagen der Metrik. B77. 

jedero. von ihnen wahrend einer und derselben BetracMung 
derselbe Name (Mittelpunkt oder AchseJ Yerbleibe. Aus dem 
Mittelpunkt und detn einen Element des Kreispaares bestimmt 
sicli dessen anderes Element in einziger Weise; denn zuerst 
liefert der Mittelpunkt die Achse als das ihm in bezug auf 
das absolute Paar tarmoniscli konjugierte Element; dann das 
erste Element des Kreispaares das zweite als ihin liarmonisch 
konjugiert in bezug auf Mittelpunkt und Aehse. 

Fur alles Weitere ist der Begriff der Agiiidistang der 
Elemente grundlegend, und wir setzen ihn so fest ? daB der 
Satz gilt: Die swei Elemente eines Kreispaares sind aqiddistani 
win Mittelpunkt. Diese Definition ist namlich die projektiye 
Verallgemeinerung der Besclireibung gleicher Winkel in Nr. 374. 

Die Metrik der Gebilde erster Stufe grtindet sicb. dann 
matliematisch auf folgenden Vdrgang: Sind J5 ? E' zwei Ele- 
mente des Grebildes ? so bestimme man ein drittes Element E" 
desselben Gebildes so ? da8 jB , E ff ein Kreispaar yom Mitiel- 
punkt E' sind; so dann E'" so, daB E' und IS'" ein Kreis- 
paar TOIH Mittelpunkt E" sind; E"" so, daB E" und E"" 
ein Kreispaar vein Mittelpunkt E'" sind ? usw.- ferner anderer- 
seits ein Element E' so ; cla8 E', E" ein Kreispaar Tom Mittel- 
punkt _E sind; E" so, daB JE", ' E Q ein Kreispaar vom Mittel- 
E* sind ? usw. Dann Jiat in der Rewe . . ., JB W , JET, E\ E, 
E' 9 E" 9 E ffr , . . . jedes Element wn den Him naclisfbenachbarten 
Elementen gleidie Entfernungen in verscMedenem Sinn. Wenn 
die Elemente JS ? W einander nahe genug gewahlt waren, 
wird der ganze Trager des Elementargebildes in eine stetige 
Folge von beliebig kleinen und einander gleichen Elemental- 
distanzen geteilt; die Zalil derjenigen, die zwischen irgend 
zwei Elementen des Grebildes eingeschlossen sind 7 gibt fur 
diese letzten das MaB ihres Abstandes (Abst.). Fiir drei auf 
einander folgende Elemente E 7 E' 9 E" gilt dabei die Funda- 
mentaleigmscliaft wn der Addierbarkmt der Maftunterschiede: 
(24) Abst. (J5 7 E'} + Abst. (JE', JS?") = Abst. (Jg, E rr ) . 

377. Abstandsformeln. Ist das absolute Paar E 1; E 2 durch. 
f(x 9 x)***Q dargesteEt, so ist das ^Kreispaar" Yom Mittelpunkt 
dureh die Grleichung gegeben: 



Abstand zwischen zwei Elexnenten. 301 

(25) f(x, x) f(y, y) cos 2 8 - f*(x, y ; U . 

Sind J?(3y. E"(s^ die beiden Elemente des Paares, so 
hat man 



(20) 



als Ausdruck der Wahrheit, da8 ^ und .^ von //, gleichweit 
entfernt sind. Infolgedessen 1st Abst. f J?"j eli.e Funktion von 

(97) . J"fr!H _ "n^ii/i + fl ^ { ^i 2/a Ti'i^; T 2-^i' a 

Vf(x*4t\y,yj V n^ s -~ v ^n^i" 4- : - 

deren Foim durch die Forderung bedingt ist, duC fur die 
Elemente E, E\ E" die Funktionalgleichung (24) besteht 

Xach der Fonnel (23 j ; S. 1299 wird derselben Geniige 
geleistet ; weiin man voraussetzt, daft der Alstand wn x t Ms 
y t einem Boge)i gleicli sei*'), da* den letzterJialtenen Ausdruck 
8U seinem Cosmus liat, so daB 



(28) Abst (i^'j - arc eos 
^ } ^ 

oder ; naeh. dem frflheren gleiciibedeut6nd ; 

(29) Abst. (E*E^ - are sin V &? " a 

V'(ui 9 + - 

Die beiden Formen der Gleiclmng des Kreispaares (Nr. 375) 
sagen dann gleichmafiig aus, daB die Entfernungen der beiden 
Elemente jE 7 E" desselben voni Mittelpunkt E f dem Bogen 6 
gleicli sind ? oder daB sozusagen 6 der Radius dieses Kreises ist. 
Insbesondere hat man fiir = die Beziehnng x^ 
xtfi ; d. li. die beiden Elemente fallen zusammen ? und 
fiir = ^a ist fix,*!) = 0, d. L die Elemente x { nnd j/. bilden 
beztiglicli der Elemente des absoluten Paares ein hanaoiiisches 
Paar. Der Abstand mischen irgend swei in le&tg auf das 
absolute Paar Jiarmonischen Efancnten ist stcf$ ein Quadrant 
Wir behandeln den Qitadranten als die Eiiiheit des Absfandes, 
d. h. wir driicken die aumerisehen Abstandsangaben in Teilen 

*) Eigcntlich kann obeusowolil ein koastantes VIelfache ties arc eo^ 
als Abstand bezelchnet 



302 XX. Analytisclie Grundlagen der Metrik. 378. 

des Quadranten aus ? nennen also z. B. reehtwinklige Strahlen 
solche YOHL Abstand Bins. 

Neben dieser allgemeinen Messung bedarf insbesondere 
noch der Sonderfall einer Erorterung ? wo das absolute Paar 
in ein doppeltes Element zusammenfallt. Darin fallt namlieh 
das haraonisch konjugierte eines beliebigen Elements in bezug 
auf das Absolute mit diesein zusammen. Daher kann jedes 
Paar von Eleiaenten als ein Kreispaar betraehtet werden, das 
das harrnomscli konjngierte Element des Absoluten zum Mittel- 
punkt hat. Darnach kann wie vorher der Trager eines Ele- 
mentargebildes in beliebig Heine gleiche Elementarabstande 
xerlegt nnd die Entferrtong zweier Elemente des Grebildes 
durch. die Anzalil solcher Elementarabstande geioessen werden y 
die zwiscteir ihnen liegen. Aber die Eirik&t des Abstandes 
ist flier wttk&rlich, denn der Begriff des Quadranten hat keinen 
Inhalt mehr, so z. B. fur die gewoliBliclie Langenmessung. 

In diesem Palle ist a n <%~~ %s 2 ~ ^; ^ ^- ^ er Abstand 
ist als ein Bogen Torn Sinus Null gegeben. Durch IJbergang 
Tom arc sin znin sin und Unterdriickung des Terscbwindenden 
Faktors erbalt man, fiir (b^ 5 2 ^ 2 ) 2 == als das absolute 
Doppelelement, den Abstand ron # f und y i gleich 



Nach Multiplikation mit einem wiUkiirliclien Faktor 

laBt sich der Abstand in der offenbar der Funktionalgleichung 

geniigenden Form einer Difierenz schreiben 



(31) Abst. (x i9 y,) - -- - "- 

v * %JJl) 61^1 ^ \iii-s 

378. EHiptische und hyperbolische Messung, Wir haben 
gesehen, wie aus dem Anfangselement E Q E f eine zusammen- 
hangende Reilie gleicker Eleinente ; aus dem angenommenen 
Skalenteil die ganze Skala abgeleitet wurde. Beim gewohn- 
lichen Messen geschieht die Bildung der Skala oder des HaB- 
stabes durch Bewegung des ersten Teils im Endlichen; fur 
die mathematische Untersuchung ersetzeu wir die Bewegung 
dureh eine lineare Transformation ? bei der die absoluten 
Elemente festbleiben. Die allgemeinen Mafie miissen dann 



Elliptisehe und byperbolisciie Mafibestimnmng. 303 

bei diesen Transformationen ebenso unveriinderlicli bleiben, 
wie die gewoknlichen bei Bewegungen. Wird darm die Lage 
eines Elementes ini Gebllde erster Stufe durch den Wert z 
des Verhaltnisses zweier Yeranderlichen % l : ^ uestimmt, so ist 
/= is die Form der fraglichen Transformation, sobald wir 
die absoluten Elemente als die fundameutalen nelimen, d. h. 
durcli s = und z ~ oc ausdrfieken. Durcli die wiederholte 
Anw-endung dieser Transformation auf ein Element z ent- 
steht dann die Elementenreike s, A,: ; /.-,:, /. y ; usw. als die 
Skala ; die durch die erzeugende Transformation in sicli selbsfc 
Cibergeht. Dabei ist A nur der BeschrSnkung unterworfen, daB 
alle Elemente mit s reell siad und in einerlei Sinn auf ein- 
ander folgen. Ist der Skalenteil die Einheit des Abstandes, 
so sind die AbstSnde der bezeicbneten Elemente von deni 
Elemente & gleich 0, 1, 2, 3, usw. Die Unterabteilung der 

Skala wird dann durcli eine Transformation / 7* n s bewirkt, 
bei der man die n iQ Wurzel so zsu wahlen hat ? daB das be* 
zeichnete Element zwischen .2? nnd iff liegt. 

Dann ist der Exponent YOU i der Ausdruek des Ab~ 
standes ; oder der Abstand des Elementes z vom Elemente s 
1st gleich dem durch die Konstante log i dimdierten Logaritk- 
mus des Quotienten z'is. Da aber *iz das DoppelverhaltBis 
der beiden bezeichneten Elemente als Teileleinente des abso- 
luten Paares ist, so definieren wir den Alstand zweier Ele- 
mente als den mit emer Konstanten e multiplizierten LogaritJt- 
mus des DoppeherMltnisses, das sie mit deni absoluten Paar 



Dabei ist die Befriedigung jener Addierbarkeitsbedinguug- 
klar. Den analytischen Ausdruek des Abstandes erhalten wir 
nun, wenn das Absolute wieder allgemein durch f(x, 37) = 
gegeben ist ; indem wir nach Nr. 329 ? i das Doppelyerhaltnis 
bilden^ das die Elemente x i9 y i mit dem absoluten Paar be- 
stimmen, also 

(E E ' ?^ J 1 



und der Abstand ist somit der cfache log desselben. Wegen 



304 XX. Analytische (Irundlagen der Metrik 379, 

c log a = 2ic - arc cos - " l ". 
erhalt man aber fur diesen Abstand auefa. den Ausdruek 

(33) c log (J^jK, J?J?'j == 2 ic are cos ~-^~~L^^ 7 

der fiir c= -H in den Ausdruek yon Nr. 375 und 377 
flbergeht 

Die leideti Elemente des Alsolaten sind als unendlicli fern 
ii letracJiten, denn ilir Abstand von einern beliebigen anderen 
Element ist unendlieh grofi, namlich c log oder c - log <x>. 
Wenn die Pnnkte des Absoluten reell gedacht werden ; so 
konnen Ton einera beliebigen Elemeate aus nur die Abstande 
in dem Gebiete zwiscien jenen gemessen warden, in dem 
jenes Element selbst liegt; dies Gebiet ist durch zwei un- 
endlict feme Elemente begrenzt, und von dem Gebiete jen- 
seits derselben ist eine Kenntnis nicht erreichbar. Dies ist die 
Vorstellung der sogeuannten liyperboliscfien MaflbeMmmung. 11 * t 

Wunsehen wir dann, daB der Abstand reeller Elemente 
einen reellen Wert erlialte 7 so miissen wir, weil (I^E^E^E') 
dann positiv ist, der Konstanten c einen reellen Wert bei- 
legen und formell den logarithmisclien vor dem zyklometri- 
schen Ausdruek bevorzugea. 

Sind dagegen die Elemente des Absoluten konjugiert 
imaginar ? so iniissen wir zuerst der Konstanten c einen rein 
imaginaren Wert e'i geben ? damit der Abstand reeller Ele- 
mente reell sei. Alsdann ist ein solcher Abstand stets reell, 
aber nur nach der Periodizitat des Logaritlimus bis auf Viel- 
faclie einer reellen Periode 2stic = 2nc bestimmt; es gibt 
keine reellen unendlicli fernen Elemente. Die Gerade kebrt 
wie der sich drehende Strahl in sich Kuriick ? und die Periode 
ist Ihre Gresamtlange. Soil diese, wie die Drehung im Biisclielj 
st betragen, so ist e'== |- zu nekmen. Man hat so in der 
Winkelmessung ein Abbild fiir die Vorstellungen d&r'ellijpti- 
sclim Hafibesiimmung. 

379. Farabolisclie Messung. Die am ScliluB yon Nr. 377 
betraclitete besondere MafibestimmuBg unter Voraussetzung des 
Zusammenfalbns der beidea Elemente des absoluten Paares 



Parabolisciie und Euklidisclie Messung 305 

entsprieht der einzig moglichen besonderen Art linearer Trans- 
formationen, bei denen ein doppelt zahlendes Element unge- 
Sndert bleibt. Man kommt so auf die pardbolisclie Maftte- 
stimmung, deren bekanntes Beispiel die gewShnliche Messung 
in der Geraden der Euklidisehen Geometric bietet. Ihr all- 
gemeiner analyiischer Ausdruck erglbt sich durch den frft- 
heren Grenziibergang, bel dem der verscliwlndende Faktor 
( a ii a 2s~~ a i/) m ^ e i nem anendlich groB zu nehmenden c zu 
dem endlichen Werte (\ Cg & S O 2^ vereinigen 1st Der 
nicht melir yieldeutige, algebraische Ausdruck gibt den Ab- 
stand als Differenz zweier Doppelrerhaitnisse, die noch YOU 
dem willktirlichen Element ^ | c abhangen. 

Die ZurUckfahrung auf Doppelverhaltnisse macht die 
Unteisuchung entscheidend liber die Frage nact den liber- 
haupt moglichen MaBbestimmtmgen der Geometrie, sofern 
jerie als reine Zahlen imabliangig von einer MaBbesfcimmung 
erklart werden konnen. 

Von besonderem Werte ist nun ; da8 m der Nahe eines 
lestimmten Elementes die attgemdne Maffoestinimung steks Us 
auf Glieder Mkerer Ordnung genau durdk die lesondere ersetet 
werden lann^ fur diese Beziehnng erscheint der Ansdrnck 
Berulirmg der leiden Maflbestimmun(/en geeignei Man muB 
dazu das dem gegebenen Beruhningselernent in bezng auf das 
absolute Paar der allgemeinen Mafibestimmung barmoniscli 
konjugierte Element als das absolute Element der besonderen 
MaBbestimmung watlen und die Eonstanten geeignet be- 
stiznmen. 

Sind etwa die Elemente des absoiuten Paares ; als har- 
moniseli zu 5 = und g *- oo gelegen ; durch ^ 2 = a 2 be- 
stimmt, so findet man den Abstand des Elementes jj Tom 
Eoordinatenanfang nach der allgemeinen MaBbestimmung als 



und nach der in 5 beriihrenden besonderen 



wenn man die Konstante so wahlt, da0 sie IB it dem. ersten 

8uIiDQ&-7iedlr, *! Qeom. a. BegUlii. II. 1 Aaft. 20 



306 SX. Analytische Grundlagen der Metrik. S80. 

Glied der Klammer ubereinstimint. IsFehmen wir z. B. die ge~ 
wdhnlielie Streckenmessung in der Geraden, so daB 8 den 
Abstend vota Nullpunkt bedeutet, und die gewolanlielie Winkel- 
messung in dem Biiscliel, dessen Strahlen absoluter Riehtung 
die Punkte s* 1 ausscbaeiden, so ist der die Strecke 2 

# s # 5 
projizierende Winkel bestimmt durch arc tg z == 2 ^- + ^ , 

in der Tat der besondere Fall fur 2ci= 1. 

Die UbereiHstimmung der aUgemeinen und der besonderen 
MaBbestimmuDg gilt nnr in der Nachbarscltaft des Beriiliriings- 
elementes. WeiterMn bleibt eine elliptische gegen die be- 
rlihrende paraboliscli stets zuruek, d. h. gibt kleinere Werte 
der Bntfermmgen fur dieselben Punkte wie diese (a > 0) ? 
wahrend eine hyperbolische der parabolischen voraneilt^ d. h. 
groBere Abstandszatlen gibt (a < 0), Diese Abweichung der 
aUgemeinen Mafibestimmunff von der pardbolisciien nennt man 
Krummung derselben. Man definiert als ihr Krumvnungsmafi 

7-5 ? naralicb das negatiy genomnieue Verhaltnis des drei- 

fachen zweiten Gliedes der Reihe zum Kubus des ersten. 
Das KriimmungsmaB ist also bei reellen Elementen des Ab- 
i^oluten negativ nnd bei imaginaren positiv (fiir c = $i 
gleich Eins); far die parabolische MaBbestimmung, der eine- 
unendlich grofie Konstante entspricht ; ist es aber Null. 

380. Metrisclie Grandlagen zweiter Stufe. Das System 
der einen gegebenen Kegelschnitt f(x ? x) doppelt beruli- 
renden oder iJim dngeschriebenen Kegelsclmitte war in Punkt- 
koordinaten durch f(x, x} + A-^ 2 und in Linienkoordinaten 
durch F(u, u) + ^f// ausgedruckl Wir nennen wieder 
die Beriihrungsseline v x oder v, AcJise der Mnschre$funff 
und den Pol y m = oder y i der Berulirungssehne Mittelpunkt der 
JSinscIireibuflff. Wir schreiben daher die Gleicliungen von v t 
und y i in der Form von Polaren: 



fQ>A\ 

* 0. 



Hierbei besteten (vgl (32), S. 136) die Identitaten 



Metrische Gnindlagen zweiter Stufe. 307 

I/*/*/ iti\ f{w *r\ f^iu T\ 
I \fff y) I (* ? x j I (y? **) 

(35j 



0, 0) F(w, w) JF 2 (r, M) = .4 { % />,c 3 s r 2 f 



lufolge der ersten Identitat konnen wir ? flir 6 als eine Kon- 
stante, der Ortsgleichiing des eingeschriebeDen Kegelschaittes ? 
fiir den Punkt y t als Mittelpunkt der Emschreibung, die bei- 
den iiquivalenten Formen erteilen 

f(y,y)f(*,x) cos s e - f*(y,3 - ^ f fay) fa*) ^ 



}- o. 

Damit nun die Form /*(y, y)f(x, %) cos 2 / 2 (i/^ a:) mit 
der rorausgesetzten Form /"f^,, x) + 2>f 2 (y, x) = uberein- 
stimme, mn8 sein A * 1 : f(j/ ? y) cos 2 6 7 wofiir aneli 
i=>* A: F(v, v) cos 2 gesetzt werden kann ; denn fiir 

*i - ^1^1 + y s + y$ = ^ to wird ^(> ) - ^(y , ) 

Der zweiten Identitat (35) gem'aB konnen wir analog die Tan- 
gentialgleichung desselben eingeschriebenen Eegelschnittes in 
aquiYalenten Formen darstellen. Um aber dieselbe Konstante 
branch en zu konnen, mussen wir ons erinnern, daB die ZH 
f(x t x) + If %> x) gehorige Gleichung in Lmienkoordi- 
naten von der Form F(u, u) + %JP 2 (i^ w) = sein mtiB. Tat- 
saehlicli findet man fur sie: 

{ A + kF(v ? v) } F(u, it) - AP 2 (r, u) - 0. 
Somit ist K = - I :{ A + JLF(v,v)} 1 : F(v,v) sin s 6 ? nnd 
das Paar der aquivalenten Formen der Tangentialgleielmng 
desselben eingeschriebenen Kegelsehnittes lautet 

F(v, ) F(u, u) sin 2 6 - J?*(t;, u) - 0, 

(37) F(t?, t?) F(u, u) cos 2 5 - A { a n (r g% - *,,) + - - 

+ 2a 28 (r,ti 1 %w s )(%% %%) -h } 0. 
Aknlich wie in Nr. 375 erhalt man die durch Bildnng 
des Determinantenprodukts zu beweisende Identitat 

^(a?,a?) f(x,y) ffag) ] | ar, or, ar s I s 

(38) /(y,ar) ^(y,y) f ftf,j?) - A \ % y, y s ! 



308 XX. Analytische Grundlagen der Metrik. 381. 

Da fiir drei Punkte einer Greraden die Determinante rechts 
versdiwindetj ist wieder wie in Nr. 375 

f(*> *)f(y> y)f(*> *) + %f( x > y)f(y> *)f(*> ) - ffa 

d. k. nach den Torher entwickelten Beziehungen 
arc cos -~.--: L-.~~ -j- arc cos 



= arc cos - _-_: 
Vf 

381. Absolnter Kegelschnitt. Man denke einen Kegei- 
sclinitt innerhalb des ebenen Systems als unveranderlich wir 
nennen ihn den absoluten Kegelsclmitt so kommi zunachst 
die Theorie yon Nr. 376, 378 ; 379 mit ihm in folgenden Zn- 
samnienliang. Jedes Elementargebilde enter Stufe Jiat mit dem 
absoluten Kegelsclmitt zwei Elements gemeinsam namlich eine 
Punktreihe das Paar der Sclmittpunkte ? ein Strahlenbuschel das 
Paar der beruhrenden Strahlen die das absolute Paar dieses 
G-ebildes licfern. Insbesondere wird fur die Tangenten des 
absoluten Kegelschnittes als Trager von Eeihen das absolute 
Paar ein Paar zusammenfallender Punkte und fur die Punkte 
des absoluten Kegelschnittes als Trager yon Biischeln ein 
Paar zusammenfallender Strahlen. Die Theorie der Abstande 
fur jedes einzelne yon alien diesen Grebilden erster Stufe ist 
in den genannten Nummern enthalten, und es bleibt nur die 
Vergleiciibarkeit derselben yon einem Gebilde zum an dern zu 
begrtinden. Dies gescbielit aber einfach durch die Voraus- 
setziing ; daft die Einheit des Atstandes fur dieseTben, der 
Quadrant, wn einem Gebilde mm andern und fur aUe Gebttde 
des Systems diesefbe G-rofte sei - eine Voraussetzung, die da- 
durcli schon im Vorigen stillschweigend gemacht ist, daB der 
Quadrant durch das Symbol ^x bezeiclmet wurde. 

Nennt man dann den Pol einer Geraden, bez. die Polare 
eines Punktes in bezug auf den absoluten Kegelschnitt d6n 
absoluten Pol ? bez. die absolute Polare, so gilt ferner das 
Oesetz: Der Atstand sweier Punkte oder 0wder Geraden ist 
glewh deni Abstand ihrer absolutes Polmen be^. ihrer absoluten 
Pole. Denn die Doppelyerhaltnisse in zusammengeliorigen Pol- 



Absoluter Kegelschnitt and Distanzbegritfe. 309 

reifaen und Polarenbiisclieln sind untereinander gleick Damit 
ist eine Vergleiclibarkeit der Messung von Strecken und Win- 
keln begriindetj infolgedessen in dieser Geometric von allge- 
meiner Mafibestimmung die metriscfien Beziehungen in gleicJier 
Weise dem Dualitatsprinzip unterliegen, wie die prvjeltfiven. 

Unter der Entfernung eines Punktes von einer Geraden 
hat man seinen Abstand von dem Schnittpunkt der Geraden 
mit dem ihn enthaltenden Lote derselben zu verstehen; dieses 
ist die Verbindungslinie des Punktes mit dem absoluten Pol 
der Geraden (Nr. 374). Danach ist die Entfernnng eines Punktes 
von seiner absoluten Polare (wie von alien seinen konjugierten 
Polen) oder die Entfernung einer Geraden von ikrem ab- 
soluten Pol (wie von alien iliren konjugierten Polaren) ein 
Quadrant. Ddlier ist die Entfernung eines Punlies wn einer 
Geraden das Komplement der Entfernung der absoluten Polare 
des PunUes von der Geraden oder aucli das Komplement der 
Entfernung des absoluten Pols der Geraden vom PunJcte. 

Ein dem absoluten Kegelschnitt eingeschriebener KegelscfiniU 
heifit Kreis ? und der Mittelpunkt und die Achse der Ein- 
sckreibung heijfen der Mittelpunkt und die Achse des Kreises. Aizf 
alien Strahlen durch, den Mittelpunkt bilden die Schnittpunkte 
mit dem Kreise Kreispaare nach Nr. 376. Also sind alle Punkte 
des Kreises Equidistant vom Mittelpunkt und ebenso alle Tan- 
genten des Kreises aquidistant von seiner Achse, wobei diese 
letzte Entfernung das Komplement der ersten ist. 

382. Abstandsformeln. Damit ergibt sich die analytiscfie 
Ausdrucksform der gewonnenen Begriffe. Stellt f(x,x)=*Q oder 
F(u, u) = den absoluten Kegelschnitt dar ? so ist die Qrts- 
gleichung des Kreises vom Mittelpunkt y i (Nr. 380) entweder 

= oder 



Nacli ganz analogem Gedankengange wie in Nr. 377 erlialt man 
den Abstand der Punkte a? y i in einer der beiden Formen 



arc cos 
(41) 



XX, Analyfeische Orundiagen der Metrik. $82. 

Auch gilt fiir die Abstande zwisclien drei Punkten einer 
Geraden 

Abst (E, E f ) + Abst. (E f , E"} - Abst. (E, E"}. 
Ist ferner #. die Achse der Einschreibung ; so ist die Tan- 
gentialgleichung des Kreises 

F(v, v] F(u, u) sin 3 - F*(v, t) - 

(42) oder F(o } v] F(u, u) cos 2 A{a n (v^ v$ u %f + * * 

Der ?; Abstand" der beiden Geraden mit den Koordinaten u^ v i 
ist daher 

arc cos 

(43) 'oder 

arc sin 



Indem man endlick in der ersten B'ormel (41) die y i gemaB 
1 34) durch (A {1 i? t + J. ,t? 2 + -4 f8 f s ) : A und in der ersten Formel 

(43) die u i durch a^^ + ^. 2 ^ 3 + ^3^3? zugleich arc cos durct 
arc sin ersetzt, erhalt man fiir den Abstand des Punktes x i 
von der G-eraden v i den Ausdruck 

/ j ^\ I 

(44) i arc sin ------ 

' t 



Auch die Formeln von Nr. 378 lassen sich unmittelbar 
anf das ternare Grebiet iibertragen, da der symbolische Aus- 
druck fur das Doppelrerhaltnis zweier Elemente mifc dem 
absolute^ Gebilde zweiten Grades unverandert bleibt. Die 
Entfernung xweier Punkte x i7 y i7 bez. der Winkel zweier 
Greraden w t sind dann 




wo r\ c' zwei beliebig ? aber fest gewahlte Konstanten be- 
deuten, die nach N"r. 378 passend zu spezialisieren sind. 
Hiermch erscheint der absolute Kegelschnitt als das "Un- 
&r Ebene, Bamlich als der Ort der Punkte, die 



Bewegungen in der Ebene. 

TOE. jedem ancleren Punkte einen unendlich groBen Abstand 
haben ? nnd als die Hilllknrve der Geraden, die mit jeder 
anderen Geraden einen unendliela groBen WInkel bilden. Irgenri 
zwei Pnnkte anf einer Tangente dieses Kegelschuittea habei; 
den Abetand Null, irgend zwei Strahlea dureli einen seiner 
Pnnkte bilden den Winkei Xuil, denn das definierende Doppei- 
verbal to is hat den Werl Eius. 

Sb'3. Bewegungen in der Ebene. Es eriibrigt rioch 
aachzuweisen, daB diese Theorie der allgemeinen MaBbestim- 
mang in der Ebene mit den besonderen linearen Traisfor- 
zaationen ; die den Beweguogen in. der Ebene entsprechen., in? 
engsten Znsammenliang stelit 120 ) (Vgl. Nr. 37<\) 

Ein gegebener absoluter Eegelsehnitt; kann dureli drei- 
lach unendlich viele lineare Transfonnationen in sich selbst 
Sbergefiihrt werden. Bei einer solelien Transformation bleiben 
offenbar im allgemeinen zwei Punkte, die Doppelpunkte der 
projektiven Punktreihen sowie ancli die zngehorigen Tangenten 
des Kegelsctnittes, unverandert. Werden diese mit ihrer Berfih- 
rungsseline als Fundamentaldreieck zugrunde gelegt ? so hat die 
Gleichung des absoluten Kegelschnittes die Form x 1 x s x s ****Q 

Die Transformation 

(46) ^ = 1^', r a =-l 2 ^/ ; ^ 3 = A 8 a? e ' 

futrt diesen Kegelscknitt in sicli selbst liber, wenn man hat 

^-V-o. 

Also ist dies noch auf einfach nnendlich yiele Arten moglich. 
Da hierbei das Verhaltnis x^^i x^ seinen Wert behalf, 
so gehen alle Kegelschnitte des Biischels a* t ^r 3 7jj? 2 2 in 
sich selbst iiber. Hier bat man nun die reellen Transforms- 
tionen in zwei Gruppen zu sclieiden 7 jenachdem 1 2 == + j/^ l t 
oder 1 2 = j/Ii &$ ist Die der ersten Grrnppe geben darch, 
Wiederholnngen nnd Kombinationen unter einander nur wieder 
solche, die der zweiten aber liefern je zu zweien eine der 
ersten. Sind z. B, der Kegelsehnitt nnd die Doppelpunkte 
reelly so werden diese von je einem Paar homologer Punkte 
geirennt oder nicht getrennt, Nur die Transfonnationen der 
ersten Gruppe lassen sich durch Wiederholung einer reellen, 
beliebig Heinen Transformation derselben Art erzeugen, 



312 XX. Analytisclie Grundlagen der Metrik. 383. 

sollen als Bewegungen der Ebene bezeicbnet warden; die der 
anderen Gruppe sind analog zu den Transfonnationen, die 
symmetrisch gleiche Figuren erzeugen. 

Dann ist das Vorige in dem Satze zusammengefaBt: Sei 
einer Bewegung der Ebene geht der absolute Kegelschnitt in 
sich selbst uber, und ebenso jeder Kegelschnitt (Kreis), der ihn in 
den beiden festbleibenden PunJctm beriihrt. Der Beriihrungspol 
ist der gemeinsame Mittelpunkt dieser Kreise, und die J?e- 
wegung der Ebene darf daher als eine Eolation urn diesen funlti 
betrachtet werden. 

Da die Erase aneh dieselbe Achse haben und dual ent- 
spreehende Eigenscbaften gegen diese, so ist Sewegung oder 
also Eotation ein sich selbst dualer Jtegriff. 

Fallt insbesondere der Mittelpunkt der Rotation in den 
absoluten Kegelscbnitt selbst ? d. b. unendlicb fern ; so wird die 
Bewegung als Translation der Ebene zu bezeicbnen sein. Die 
Babnen der Punkte der Ebene sind Kegelscbnitte, die den 
absoluten im Mittelpunkt der Translation vierpunktig berubren,, 
nieht aber gerade Linien. 

Nacb diesen Erklarungen ist offenbar der Satz begrdndet: 
Sei den Sewegungen der Ebene bleiben die HafiverMltnisse un~ 
geandeH. Diese Unveranderlicbkeit der MaBverbaltnisse gilt 
aber aucb von der anderen Art der den absoluten Kegelschnitt 
in sich. iiberfiibrenden Transformationen und iiberdies yon den 
im nacbsten Kapitel einzufubrenden reziproken Substitutionen. 

Sobald jedocli der absolute Kegelscbnitt selbst zerfallt, 
gebt er nicbt nur durcb. dreifacb, sondem durch vierfacli 
unendlicb yiele lineare Substitutionen in sich selbst fiber. 
Dreifacb unendlich yiele lassen sick in zwei Gruppen teilen, 
die den Beziebungen der Kongruenz und diese sind die 
Bewegungen der Ebene und der Symmetric entsprecbender 
Figuren zukommen; die ersten lassen jeden der beiden Punkte 
bez. Strahlen des zerfallenen absoluten Kegelschnittes unge- 
andert, die letztgenannten Tertauschen dieselben miteinander. 
Der noch ubrig bleibeaden einfach unendlicben Reihe der er- 
wahnten Transformationen entspricht aber die Verallgemeinerung 
der direkten und der inverseii Ahnlichkeit entsprecbender Figuren. 



Die elllptisdie uncl die hyperbolidche Geometric. 813 

384. EHiptisehe nnd hyperbolisclie Geometrie sind die 
fiir die Geometrie allgemeiner Mafibestimmung gebruuchlichen 
Namen, jenachdem der absolute Kegelschnitt dcrselben ima- 
ginar oder reell ist (vgL Xr. 37Sj. In der elliptlsclien Geometric 
gibt es weder reelle unendlicfa feme Pnnkte nock reelle Ge- 
raden, die mit anderen unendlicli groBe Winkel bilden. Dem- 
zufolge kann man zu einer reellen Geraden durch einen reellen 
Punkt Jceine reelle Parallele ziehen. Elne weitere Folgerung 
zeigt dann ; dafi die Winltdsumme im Dreietk niclit Irmstanf 
sondern grower als zwei BecJite i$t nnd zwar um so groBer ; je 
groBer das Dreieck ist. 

Diese Eigenschaften weisen auf bekannte Besonderlieiten 
der Geometrie auf der Kitgel bin. Man kann die gewohnliche 
spharische Trigonometrie geradezn ein Beispiel znr allgemeinen 
elliptischen Geometrie nennen. Namentlicli zeigt die spta- 
risclie Geometrie die Tolle Herrscliaft des Dualitatsprlnzlps. 
Streng genommen bezieht sicli jedoch. das Beispiel der ellip- 
tischen Geometrie nnr auf die Geometrie der Durclimesser 
und Diametralebenen der Kugel ; sofern sie am Mittelpunkt 
ein Bilndel bilden. Ist der Scheitel dieses Biindels in der 
Bntfernung Bins von der Ebene nnserer Untersuchungen, so 
konnen wir den Abstand zweier Punkte der Ebene durct den 
Winkel ihrer Verbindungslinien mit dem Scheitel, den Winfcel 
zweier Strahlen der Ebene durclt den Winkel ikrer Verbin- 
dunggsbenen mit dem Scheitel messen. 

Ist der absolute Kegelschnitt reell, so gilt an alien 
Pnnkten aufierhalb desselben und auf alien ilm sctneidenden 
Strahlen die hyperbolisehe, an alien Punkten des Innern und 
auf alien ihn nicht reell schneidenclen Strahlen die elliptische 
MaBbestimmung. Nur ein Biischel 7 dessen Scheitel im Innem 
liegt ? kann von einem rotierenden Strahle desselben roll- 
siandig durchlaufen werden. Irgend zwei Punkte des Innern 
haben einen endlichen ? reellen Abstand ? wenn wir die am 
SchluB von Nr.382 eingefiihrte Konstante c nach N"r.378 
reell wahlen. Denken wir uns im Innern des Absdfaten, so 
kann keine Bewegung (Nr. 383) uns aus demselben heraus- 
fuhren ? sondern fur uns ist die Eb&ie durefa den selbst un&r* 



814 XX. AnalytiscJie Grundlagen der Metrik. 385. 

reicJibaren absolutes Kegelschnitt volUg begreiwt. Uber das AuBere 
konnen wir also gar nichts aussagen, was wir nieht durch 
besondere Definition einfiihren. Die Geometrie im Inneren 
des absoluten Kegelsclinittes, etwa eines Kreises, kommt der 
gewohnliehen urn so naher ; je grofier der Kreis ist. 

Wir haben in dieser Geometrie neben Geraden, deren 
Sctnittpunkt im Inneren Kegt, aucli solelie, die sicfa. nicht, 
d. k im Aufieren schneiden und einen imaginaren Winkel 
eiBSchliefieii. StraUen ? die sich auf dem absolnten Kegel- 
schnitt schneiden 7 bilden den Winkel JsTull, siiid also parallel* 
Durcli einea Punkt gibt es somit zn einer Geradeii zwd 
Parallelen, die einen Winkel einscUiefien, dessen Grofie yon 
dem Abstand des Ptmktes Yon der Geraden abhangt. In dieser 
Geometrie ist die Wirikdsimme im Dreieck Meiner als zwei 
RecMe, und zwar nm so kleiner 7 je groBei das Dreieck ist. 

385. Pa-raboliselie Geometrie. Nimmt man als absoluten 
KegelscJmiU em PimJdepaar an*) ? so vertritt dessen Verbin- 
dungslinie doppelt zahlend den absoluten Kegelschnitt als Ort 
(Nr. 311). Eine gerade Punktreihe hat mit diesem nur zn- 
sammenfallende Pnnkte gemeinsam; die Metrik aller geraden 
ReiJien des Systems ist daher speziell oder paralolisch (Nr. 379), 
wiibrend dies bei einem wirklichen absoluten Kegelschnitt 
nnr fiir diejenigen Reihen eintritt, deren Trager ihn beruHren. 
Weil dagegen jeder Punkt des Systems mit alleiniger 
Ansnahme derer ? die in der absoluten Geraden liegen mit 
den beiden Punkten des absoluten Kegelsclinittes ein Paar 
von Tangenten (Yerbindungslinien) bestimmt ; so lleibt die 
Mdrik des StraMenMscltels durch die allgemeinen Formeln von 
NT. 378 gegeben. 

Die Vergleiciibarkeit der Abstande ?on Punkten in ver- 
scMedenen Geraden fallt hiaweg mit dem Verschwinden des 
Quadranten als der allgemeinen Einheit der Distanz. Nennt 
man aber einen durch die beiden Punkte des Absoluten 
gekenden (eingeschriebenen) Kegelschnitt einen Kreis, so kann 
dieser mr Vvrgldcliung soldier Abstande in v&rscMedenen Geraden 

*) Ebenso karin offeabar eine Geometrie gedackt werden, bei der 
das Absolute aus einem Ger&denpaar bestehfe. 




Yergleiclmng 1 von Abstanden in der parabollschen Geometrie. 315 

dienen. Der Pol der absolute*! Geraden in bezug auf ihn wird 
sein Mittelpunkt, jene Gerade seine Aehse der Einschreibung 
genannt. und es wird Torauseesetzt, daB alle Punkte des 

O 7 cp 

Kreises von seinem Mittelpunkt 
gleichen Abstand haben, DieKon- 
struktion des Euklid, urn durch 
einen Punkt A eine Strecke AD 
oder A V gleich der Strecke 'B zn 
xiehen (Fig. 38), gilt nacli den hier 
ffemachten Voraussetzunijen : Man "\,/ 

^ * JFlg. ->S. B7**** ,..., 

deht JL5, konstruiert iiber dieser 

Strecke das gleiciiseitige Dreieck^JSi', verlangert seine Seiten, 
j&^l^ jBJ? iiber A nnd J? liinaus^ urn von B aus auf die letzte 
BF=** BC abzutragen und dana aus E mit deiu Kreise durcb. 
F die erste in D zu schneidea, 

Da aber die Langeneinheit in der Metrik der geraden 
Punktreihe unbestimmt ist, so fdllt die Moglidtkeit einer Ver- 
gleicliung der Abstande innerMb der Eeflie mit Abstdnden 
(WinMn) innerhalb des JBuschels weg. Dagegen kann der 
Abstand ernes PunJetes P von einer Geraden g mit dem Ab- 
stand zweier Punkte Terglichen werden, da er der Abstand 
desjenigen Punktes der Geraden g von P ist, in dem diese 
von dem zu ilir in bezug auf das absolute Punktepaar kon- 
jugiert harmonisclien Strahle geschnitten wird. 

Warden die Koordinaten der beiden Punkte des absoluten 
Kegelseimittes durcli 5/ und 2" bezeiclinet, so lautet seine 
Gleichung in Limenkoordinaten (A 0): 
(47) F(u,u) s 2(^X + r,'w f + Va)(AX + %"% + VX) - - 
Mit der leicht verstandliclien Bezeichnung der Determinante 
aus den Koordinaten dreier Punkte lautet die Gleichung der 
absoluten Geraden (0,*>") und es trifct (a?//'/ an die 
SteUe von Af(x,x) *(Kr. 311). Daher gelten fiir den Abstand 
zweier Geraden u i; i? die Ausdriicke 



arc sin 



316 X3L Analytische Grnmdlagen der Metrik. 385. 

Fftr den Abstand zweier Punkte x i9 y i dagegen erhalt man 
aus dem arc sin durch denselben Grenzubergang wie in 
Nr. 377 und mit einem verfiigbaren Faktor C den algebraischen 
Ausdrnek 



dessen Zahler, gleich Null gesetzt, angibt, daB die Verbin- 
dnngsgerade x i9 y i durch einen der absoluten Punkte geht. 

Die elementare Metrik der Ebene ist derjenige "besondere 
Fall der paraboliscJien Metrik, bei dem die imaginaren Kreis- 
punkie den absoluten Kegelschnitt darstellen (ygl. B. l) 2)). 
Die rechtwinkligen Koordinaten sind zu den metrischen Unter- 
suchungen besonders geeignet infolge der einfachen Beziehnng 
ihrer Fundanientalelemente zum imaginaren Kreispunktepaar. 

B. 1) Wenn man die Tangentialgleiclmng des absoluten Kegel- 
schnittes in der Form co(w, u) = von Nr. 371 voraussetzt, nelimen 
die vorigen Gleichungen bekannte besondere Formen an, wenn 
man setzt: 

r/ = ^/'==l, <f 2 '== cos A isinA, ^ = cos -4 3 + f sin -4 3 , 
^ = cos A% + i sin A% , %" = cos A 2 i sin A% . (Vgl. Nr. 319.) 
Z. B. wird, wenn man in (49) die Konstante C =* 4 : ]/2 setzt, 

---- 2 cos ^i fe 2/1 '^ 



= 

y "" 

2 Setzt man 



so wird die Gleiclmng des absoluten Kegelschnittes nacli (47) 
jP(w, w) = 2(% 2 + w 2 2 ), nnd wenn man, wie bei rechtwinkligen 
Parallelkoordinaten, x l , o; 2 , iC 3 bez, dnreii ic, ^, 1 ersetzt, und %, 



an Stelle von F(w, ^) = 0, der absolute Kegelsehnitt ist das ima- 
ginare Kreispunktepaar, und die EinfuJiriing der genannten Aus- 
drucke in (49) ergibt mit C = 4 : "J/2 fiir den Abstand der 
Ponkte x \ y und x f [ y f die bekannte Formel 



Ebenso erhalt man fur den ,,Abstand" (Winkel) der Geraden 



Elementare Abstandsformein. JiegelBchnitteehne. 317 

Endlieh 1st der Abstand des Punkies $\y von der Geraden 
" 



3) Man bestimme die Lange rf der aus einer Geraden v z = 
dureh den Kegeischnitt /"(a?, a:) = heransgeschnittenen Seline bei 
Anwendnng von trimetrischen Noraalkoordinaten. 

Die Schnittpunkte sind nach Nr. 316 reell, wenn 



?; t - 2 r 

positiv 1st, und zwar wird das Schnittpunktepaar in lanfenden 
LinienkoordinateE n i nacb (l 1 a 1 in Nr. 309 durch &iv Gleicliung 



UVl ~~ " M 3 f., =0 



i 

dargestellt, die/ nach Potenzen der u. geordnet, von der Form 
S&fkUjttj = ist. Bezeiehnen wir mit y. bez. 5 die Formalkoordi- 
naten der Schnittpunkte der Geraden 2?^= mit der Knrve f($ 9 %) = 0, 
so muB daher die Gleichung ^d^u^ = gleichbedeutend sein mit 
t/ M ^ M 0> d. L es nin8 eine IdentitSt stattfinden yon der Form 
-2ta ii .MjW Jfe s &y u z u , wo einen gewissen Proportionalitatsfaktor 
bedeutet, oder es mufi 2d ik :=z 0(^,^+^^) sein. 

Sind nun ^ , L , 1$ die Llingen der Seiten des Eoordinatendrei- 
ecks, also I = l s == JI dessen doppelter Inhait, so wird 



Die rechts stehende GroBe gibt durch ihr Verschwinden die Be- 
dingung, unter der die gegebene Gerade einer Asymptote des Kegel- 
scteittes parallel ist, denn die \ sind dea Koordinaten der nnend- 
lich fernen Geraden proportional. Ferner ist 



also y,^ - y& = 2 Jf s r^"- J 1 ^ ) : (*) und 

' 

y,.^ - y lSt - 2 Jf 3 v,Y- j(, ) 



l : 



318 XX. Analytische Grundlagen der Metrik. 386. 

Nun ist das Quadrat des Abstandes zweier Punkte y^ s { gegeben 
durch die Form el 

<* 3 = 2 ^ { &* 9 ^,*i)M----2(^^ > 

die sofort aus (28) in Nr. 74 (Teil 1, S. 139) hervorgeht, wenn 
man daselbst E durcii IJ^ : 2 K und a 1? a 2 , a s der Beihe nach. 
durek ^2% #3^21 ft^i "" S^ifs* #1% ~" #s^i ^rsetzt. Man erhalt als- 
dann fiir rf 2 den Ansdruck 121 ) 

^ 2 = 
4 ij 2 //-/,, S J* T (^) ( 



Hier gibt die Klammer durch ihr Verschwinden die Bedingung 
m ^ 5 0) = Q ? unter der die gegebene Gerade v x *= durck einen 
(ler'unendlick fernen imaginiiren Kreispunkte gent 

Ist ferner v x ll x =* eine zur gegebenen Geraden parallele 
Sekne, so kann der Ausdruck fur die Lange dieser Sekne erkalten 
werden, indem man in dem oben abgeleiteten Werte von d* die 
GroBen v t durcli t U^ ersetzt. TgL auck Ur. 371, U und 229, 5. 

886. Verallgemeinerung metriseher Satze, Die Erkennt- 
nis der wakren Natur der inetriscken Beziekungen gestattet 
nunmekr in versckiedenen Fallen die projektiv allgemeine 
Gestalt von geometriscken Satzen aufzufinden, wenn diese durck 
inetriscke Beziekungen, die sie entkalten ; aus jenem Bereicke 
von Wakrkeiten ausgescklossen sind ; die das Prinzip der 
Dualitat verbindet. So ist es in dem Falle des Satzes (Nr. 321, a) 
von der Berukrung der einem Dreieck eingesckriebenen Kreise 
mit dem Kreise, der die Mittelpunkte der Seiten des Dreiecks 
entkalt. Wir kaben bereits auf analytisckem Wege in Nr. 361, 4 
die allgemeinere Form bewiesen, die diesem Satze zukommt: 
Die Tier Kegelscknitte, die dieselben drei Punkte oder Tan- 
gen ten gemeinsam kaben und zugleiek einen festen Kegel- 
scknitt doppelt berukren, werden samtlick von einem Kegel- 
scknitt beriikrt, der mit dem gegebenen Kegelscknitt auch 
in doppelter Beriikrung ist. Die Auffassung der imagin'aren 
Kreispunkte als eines Kegelscknittes, der mit den eingesckrie- 
benen Kreisen eine doppelte Berukrung kat ? weil jene in 
diesen liegen, fukrt okne Weiteres zu dieser allgemeineren Form 
des Satxes, Wenn der gemeinsckaftlick berukrende Kreis die 



VeraDgemeiBemng metrisclier Satze. 



319 



HobenfuBpunkte des Dreieeks enthalt, erkeirat raaii ; da8 der 

geinemschaftlieh beriihrende Kegelschnitt dnrcli diejenigen 
Sebnittpunkte der Dreiecksseiten mit den Gferaden aus den bez* 
flegeneeken geht, die ihnen in bezng anf d^n festen Kegel- 
scbaitt konjugiert sind 7 usw. 

B. l) Man liat den element aren Satz: Wenn man dureh den 
Scbeitel$ ernes reehtenWinkels(Fig.39)einenKreis nnd an diesen drei 
Tangenten so legt, da8 die 
zwischen dem Beiiihrungs- 
punkt und den Schenkeln 
des rechten Winkeis ent- 
haltenen Absclinitte einer 
jeden A a, A a ; B &, B I' ; Cc, 
Oc von je gleiclier Lange 
sind, so bilden die Bertih- 
rungspunkte und also aucb 
(lie drei Tangenten ein 
gleichseitiges Dreieck. Hier- 
iiach ist der Krels dem Tan- 
gentendreieck eingescbrie- 
ben und berubrt also seine 
Seiten in ihren Mittel- &' 
punkten, d. h. in den kon- 
jngiert narmonischen zu den unendlicb femen Punkten der Seiten; 
somit ist die unendlich entfernte Gerade die Harmonikale desjeni- 
gen Punktes in bezug auf das Dreieek (vgl. Nr. 67 ? i, 2), in dem sicfa 
die drei Verbindungslinien der Berahrungspnnkte mit den Gegen- 
ecken scbneiden (Nr. 302), und sie ist zugleicb seine Polare in 
bezug aizf den Kreis. Die Schenkel des Winkeis l)Sl' bilden mit 
den in jener unendlicb entfernten Geraden gelegenen Punkten des 
Kreises eine liarmoniscbe Gruppe* 

Denken wir dann einen Kegelscbnitt, der irgend drei (jeraden 
berfibrt, so ist die Polare des Schnittpunktes der drei Ton den 
Beriibrungspnnkten naefa den Gegenecken des umgescbriebenen 
Dreiecks gezogenen Geraden wieder die Harmonikale dieses Punktes 
in bezug auf das Dreieck; sie scbneidet den Kegelscbnitt in zwei 
PunkteEj mit denen diejenigen Geraden eine harmonisebe Gruppe 
bilden, die die Schenkel des recbten Winkeis vertreten. Sie be- 
stimmen in den Dreiecksseiten Punkte, die init den Ecken InYO- 
lutionen erzengen, fiir die jeder Beriihrungspunkt ein Doppelpunkt 
ist. Solcbe zwei Geraden also scbneiden sicn immer in der Peri- 
pherie des eingescbriebenen Kegelscbnittes; ibre Schnittpunkte bilden 
mit den Seiten des Dreiecks. den bez. Beriibrungspunkten des ein~ 




320 XX. Analytische Grundlagen der Metrik. 386. 

gesehriebenen Kegelschnittes und den Punkten in der Polare je ein 
harmonisches System; ihre Sehnittpunkte mit je einer Seite liegen 
in einem Kegelsehnitt, der den entsprechenden Beruhrungspunkt 
des eingeschriebenen Kegelschnittes zum Pol jener Polare hat, und 
fur den und den eingeschriebenen Kegelschnitt sie eine gemeinsame 
Sehne 1st. 

Endiich aber darf man die Schenkel des rechten Winkels durch 
eine Kurve zweiter Ordnung ersetzen; denn die drei Punktepaare 
in den Seiten des Dreiecks, die mit den Ecken Involutionen be- 
stimmen, die den Beruhrungspunkt des eingeschriebenen Kegel- 
schnittes mm Doppelpunkt haben, liegen in einem Kegelschnitt, 
der die Polare zu der ihrn mit jener Kurve gemeinsamen Sehne hat 
Dann gilt der Satz: Fur jede Gerade, die mit diesen Kegelschnitten 
eine harmonische Teilung bestimmt, liegt der in bezug auf den einen 
genommene Pol in dem anderen. 

2) Wenn zwei Kegelschnitte ffa J = und#(^> #) = und das 
gemeinschaftliche Polardreieck , ferner auf g zwei Punkte J., B 
und ihre Tangenten AT, 3T, sowie die zu diesen in bezug auf 
/(#, a?) = harmonisch konjugierten Geraden AT\ BT' gegeben 
sind, so bestimmt die Harmonikale von T in bezug auf das Polar- 
dreieck in g zwei Punkte und D, fur welche die zu ihren Tan- 
genten in bezug auf f harmonisch konjugierten Geraden durch 
denselben Punkt T r gehen. 

Denn in bezug auf den Kegelschnitt f (re, a?) = 2x? == sind 
die Geraden a x ==0 ? 2^ = harmonisch konjugiert, wennUa^^O 
isi Sind also #/ (i = 1, 2, 3) die Koordinaten eines der betrach- 
teten Punkte von g(x 9 a?) = -S^ s . 0, so ist die zu seiner Tan- 
gente in bezug auf den Kegelschnitt f konjugierte Gerade durch 



dargestellt, und sie schneidet die den Punkten #/', $"' entsprechen- 
den Geraden derselben Art im nlimlichen Punkte, wenn 



ist. Der Lage der Punkte as/, ^/', ar/" auf dem Kegelsehnitt g(& %) - 
entspricht (V s , x"\ " /s ) = 0, und da die Summe dieser und der 
doppelten ersten Determinante dem Produkte von 

teWVWOW&'V^ 

in die Determinante (', ac", af") gleich ist, so muB die erste dieser 
<3r5Ben gleich Null sein, weil die letzte es nicht sein kann. Die 
der die Punkte a?/, a*/' verbindenden Geraden liefert aber 



Verallgememerung metriscber Sat/-e, 321 

for die Koordinaten ihres Pols T in bezug anf den Kegelsclmitt 
j? ? 



- . . 

~*i " """" V """ ' " "V " ' 

d. h., da nach. den Gleichungen Ajje,'* + * ~ 0, \%i'~ + ' = 
die Beziehung besteht 



, 
anen -> 

^s^ 

Die Harmonikale dieses Panktes T in bezug auf das Fandamenta!- 
dreieek nat daher die Gleichung 

/ / ff f '\ t f * ft \ " f\ 1 / * ff a ft ' \ e\ 

Bifafy +^2 a; 3 ) + %(a; 3 % +a: 3 fl^ ) + o; 3 (^ a; 8 -f ^ jr 2 j 0; 

nnd da diese bei Einfiilirung der Koordinaten a;^" an Stelle von 
& { in den vorhin aufgestellten verscliwindenden Ausdruck flbergelit, 
so enthalt diese Gerade den Punkt 0. Ein analoger Beweis gilt 
aucb dem Punkt D. 

Gent man bei der soeben durchgefuhrten Betrachtung nicht YOU 
den Gleichnngen der beiden Kegelselmitte in Punktkoordinaten aus, 
sondern Yon ihren Gleichnngen in Linienkoordinaten <J?(M, u) = bez. 
#(w, u) = 0, und lafit man q>(u,u)**Q in das Paar der imaginHren 
Kreispunkte ausarten, so werden die Geraden, die in bezug auf dieses 
Paar den in A nnd J? 7 C und D gezogenen Tangenten von %(ti, w) = 
konjugiert sind, zu den Normal en von ^(^, u) in JL und -B, 
C nnd D. Das gemeinschaftliche System harmoniscner Pole liefert 
den Mittelpunkt und die unendlich fernen Pankte der Achsen von ^, 
und die Harmonikale des Pols T Yon AB in bezug auf dieses 
Poldreieck wird als die Terbindungslinie der Punkte erkannt, die 
in den Aehsen auf den entgegengesetzten Seiten vom Mittelpunkt 
die AbstEnde des Punktes T naben; diese Gerade bestimmt auf # 
das Paar Yon Punkten 7, D, deren Nornialen mit den Norxnalen 
in A und B in demselben Punkte T f zusammentreffen, 32S ) 

3) Wenn man die Normale eines Kegelsebnittes /"(a?, x) = 
in einem seiner Punkte X als die zur Tangente in bezug auf einen 
andern festen den absoluten Kegelschnitt g(x, x) = kon- 
jugierte Gerade durch den Punkt auffaBt, so besteht das Problem, 
die Normokn von einem beliebigen PunUe ^ aus an den Keyelschnitt 
f(Xj x) f u ziehen^ darin, den Punkt X i desselben so zu be- 
stimmen, daB die Gerade yX durcn den in bezug auf g(x, x) = 
genommenen Pol der in X an /*(, x) = gezogenen Tangente gefot, 
oder anders ausgednickt: die in X an f gezogene Tangente und 
die in bezug auf ff =* genommeEen Polaren der Punkte X und y 
uaussen durch einen und denselben Punkt, den Pol der Geradem 

Salmon-Piedler, anaL Geom. i Kegelscbn, IL T. Avfl. 21 



322 XX. AnaJytische Grundlagen der Metrik. 386. 

yX in bezug auf g * 0, gehen. In dieser Fassung ist das Problem 
der allgemeinen analytischen Behandlung zuganglieh. 12S ) 

Man hat neben f( J, X) = G drei Gleichungen YOU der Form 



oder fur a ik und 6 jjb als Koeffizienten von fund 

^l + & 12^2 + ^13^3 ^ (^^11 + ^ 6 ll) X l + 



Bezeichnet man die aus den Elementen Aa iA + pb a gebildete Deter- 
minante mit Aj die Unterdeterminanten dieser Elemente mit z/ a . r 
die Ausdriieke |-^ / (^ ) *) rait g^ so sind 

+ ^42 + 



die Auflosungen der letzten drei Gleickungen nack den X f . Durch 
Substitution in f(X, X) erhalt man 



Naeh der bekannten Determinantenbezielinng 

4^*9"* 4*4w 
geht diese Gleichung tiber in 



da a iifc auch Ableitung von Aa a + ^t& a . nach A ist, so ist 

ZSa A - -^ 2S2a a a A - 

** a tk*i*- w ^^VikW^ik,?!- - 32 -- 

Die Endgleiehung erhalt daher ftir 1 = ZZg ' g A die Form 



Sie bezeichnet fur y i als Yer'anderliche einen Kegelschnitt von fol- 
gender Entstehung: Er ist, wenn man I und ^ als Konstanten be- 
trachtet, der Ort der in bezug auf den Kegelschnitt g = genom- 
Pole aller jener Geraden, die fur die Punkte von f =*= die 



Allgemeine Form des Xormalenprobienis. 323 

Polaren in bezug auf den Kegplschnitt If -f- w# sind, der dnrcli 
die Scbnittpunkte YOU f = und $ = Mndurcbgeht, Die Glei- 
chung ist bei festen y. biquadratiseb in A:u, und ihre invarianten- 
tfaeoretiscbe Untersuchung (Vgl. Nr. 33 9 j ffihrt auf die vollstundlge 
Losung des Problems der Xormalen. litre Diskriminante zerftllt in 
zwei Paktoren secbsten Grades; der erste gibt doppelt zlihlend die 
Seiten des gemeinsamen Poldreiecks von f und $, der zweite eine 
Kurve sechster Ordnung mit je zwei Ruckkebrtangenten in diesen 
Seiten (durch Acbsen und unendlich ferae Gerade gebildetes Dreieek 
und Evolute, wenn f und g konfokale Kegelscbnitte bind;. Die erste 
Inrariante der biquadratischen Gleicbung ist ein vollstiindiges 
Quadrat 7 ein durcb die secbs Riickkebrpunkte gehender Kegelschnitt 
mit demselben Poldreieck (als Ort der Pnnkte mit aquianbanaoni- 
scben Normalenbiischeln Nr. 358, B und Xr. 222); allgeinein erhalt 
man fin* beiiebigen Wert des Doppelverbiiltnisses zwei Eurven 
secbster Ordnung mit denselben Biickkebrpunkten, die in eine zu- 
samnxenfallen fur die harmonisclien (Normaien)-Btiscbel 



21" 



Einundzwanzlgstes Kapitel. 
Ton den reziproken VerwaadtscliafteiL 

387. Lineare Beziprozitat. Als die wiehtigsien Unter- 
sueliungsmetlioden der analytisehen wie der leinen Geomejbrie 
liaben wir die Lelire von den linearen Substitutionen oder 
Verwandtscliaften und das Dualitatsprinzip erkanut Diese 
beiden Mittel gestatten aber noch eine Versctimelzung in einer 
neuen Klasse von Verwandtschaften. Itrem analytisclien Aus- 
druek nach sind auch diese in der Eigenscliaft der linearen 
Substitutionen ; an die Stelle dreier Yeranderlichen drei neue 
Veranderliche einzufiiiiren^ enthalten. 

Offenbar bleibt die analytisehe Tbeorie von Nr. 91 und 92 
absolut uiLgeandert; wenn wir das eine System von Verander- 
lichen als Punkfckoordinaten ; das andere jedoch. als Lioien- 
koordinaten deuten, also die Substitutionen schreiben 

(1) p,^ = 2a ik x k oder p, u^ & n ^ -f cc^ + cc^ $% , usw., 
und die Umkeliruiigen 

(2) ^-2?A M <. ' 

Hiernach ist jedem Punkte ^ des nngestrichenen ebeuen 
Systems eine Gerade u{ des gestricltenen ebenen Systems zn- 
geordnet Ebenso ist auch jedem Punkte X? des gestrichenen 
Systems eine Gerade ^ des ungestrichenen zugeordnet, namlich 
dureh die traBSponierten Substitutionen 

(3) a/w. 27a w a?/, -a?/ - 27A tt w 4 , 

weil ^^ und vw x nur dann identisch. werden. Im allgemenieii 7 
namlich so lange cc a von a ki versciiieden ist, entsprechen dem~ 



Lineare Eeziprozitat. Pol- und Polarkegelschnitt, 325 

selben Ekmmt (Punld, Strahl) der Ebene verscMedene reziproke 
JZlemente (Strahl, PunktJ, jenaehdem man es zurn einen oder 
andern System gehdrig ansieht. 

Die ausnahmslos eindeutiye Vmvandtschaft zwischen jV* 
einem ebenen System von Punlien und einem ehmen System 
von G&rdden uird ofe lineare Eedprozitilt lezeicltmt TJnmittel- 
bar einleuchtende Analoga zu Siitzen der Kollineation sind: 
PunMreihen des einen Systems sind Strahlenbiischel des andern 
resiproJc; reziprolce Reilmi und Biischel sind projeJctir (doppel- 
verh*altnisgleich ; Nr. 92). Vier Paare resiproker Elemmte w^ 
unabhangiger Lage bestimmen die Verwandtschaft; die Konstruk- 
tion des einein gegebenen entsprectenden Elementes gescHeht 
dnrck zweimalige Zuordnung in reziproken Elementargebildeii 
(Nr. 82). Zicei sit einem drittcn reziprolre Systeme sind m ein- 
ander Jcollinear. 

Die ungestriclienen und die gestrichenen Veranderlichen 
konnen auf zwei unabliangige Koordinaiensysteme bezogen 
werden. Wenn den ungestrichenen Fundamentalpnnkten die 
gestriclienen Fnndamentallinien als reziprok zugeordnet werden, 
dem Einheitspunkt dort die Einheitsgerade hier, so treten an 
die Stelle der Substitutionen die einfaehen Proportionalititen 

/ A\ /ft '/v'' 

{ TC I Mjl Wfy W "~ =i= U/ *to * Xg j W< WA rtft ==r *t/| wtoj wvjf * 

In den folgenden Untersuchnngen werden wir dagegen atte 
Koordinaten auf dieselben festen Elemente beziehen; die yorigen 
Proportionalitaten wlirden dann nicht mekr die allgemeine 
Beziprozitat definieren. 

388. Pol- tuad Polarkegelsclmitt Nach den allgeineinen 
Substitutionen bestett zwischen den Koordinaten zsweier Puiikte, 
YOU denen der eine in der reziproken Greraden des anderen 
liegt ; die bilineare Gtleieimng Z( ik x~x k ^ oder 



(5) 



Daher gibt es auch Punkte, die auf den ifinen rejnproken Ge~ 
radm liegen, d. h. fur deren Koordinaten x i = #/ die Glei- 



326 XXI. Yon den reziproken Verwandtschaften. 388. 

chung (5) erfiillt wird. Diese Punkte liegen also auf dem 
Kegelscfoiitt Sa^x^** Q oder 



t 

den man den PolJcegelscJinitt der B&iproett&t nennt. Durch 
jeden Punkt desselben gehen zwei Strahlen p, p, die ihm 
reziprok zugeordnet sind ? jenachdem er als Punkt P' oder 
Punkt P angesehen wird. 

Ebenso gilt fur zwei Strahlen, deren einer dureh den 
reziproken Punkt des anderen geht, die Beziehtmg 2A ik u^u k = 0, 
und die StraUen, die durch die ilmen reziproken PmJcte 
gehen, umMllen einen Kegelsctnitt SA ik w,M t =*Q, den man 
zum Unterscliied TOE dem vorigen den Polarkegelsclinitt der 
Heziprozitak nennt. Seine Gleictung kann man in den Sub- 
stitution skoeffizienten selbst schreiben 



Man nennt diese beiden Kegelschnitte die Ordnwgskwven 
der reziproken Systeme, derm mit ihrer Hilfe definiert man leicht 
den Zusammenhaug entsprechender Elemente. Einem Punkte 
des Polkegelsekaittes entspricht die eine oder andere der von 
ihm an den Polarkegelschnitt gehenden Tangenten, je nachdem 
man ihn als dem ersten oder zweiteii System angeMrig be- 
traettet; einer Tangente des Polarkegelseknittes entspriclit 
der eine oder der andere von ihren Scfrnitbpunkten mit dem 
Polkegelsclinitt 7 je naahdem man sie dem einen oder andern 
System angehorig ansiett. 1st dann aber einem Punkte des 
Polkegelschnittes, als zu einem der Systeine gereclinet ; eine 
bestimmte der Tangenten zugeordnet, so kann fur jeden folgen- 
den Punkt kerne Zweideutigkeit mehr bestehen. Denn bewegt 
sich der ursprungliche Punkt auf dem Polkegelscbaitt in eine 
xweite Lage, so muB auei die reziproke Tangente des Polar- 
kegelschnittes stetig in die der zweiten Lage entsprectende 
* Dasselbe Stetigkeitsprinzip gilt im dualen Fall. 



Tripel vertanschbar entsprecliender Elemente. 327 

Um nun die Geraden p\p zu be^tirninen, die einem b- 
liebigen Pankte P, P' der Ebene entsprecben, ziebt man von 
dem Punkte an den Polarkegelselinitt die Tang*'iiten P'pj , P^p 2 ; 
hestimrat ihrc Schnittpunkte Pj, P/; P, P/ bez. mit dem Pol- 
kegelscbnitt so, daB, wemi ^ naefa ^(L bewegt wird, P 1 mit 
P 2 , P/ mit P 2 ' zusammenfalltj und erbalt in dem Paare ibrer 
Verbindungslinien P/ P/, P t P a die Geraden //, p, die clem 
1'unkte ectsprechen. Cm den ciner gegebenen Geraden j) ; |/ 
entsprechenden Pnnkt zn finden, be^timmt man ihre Scbnitt- 
punkte Pj, P 2 mit dem Polkegelscbnitt und zieht TOU dieseii 
clie Tangenten Pj$ 1; P^/; P 2 5jJ 2 , P 2 S $/ bez. an den Polar- 
kegelschnitt so ? daB P u ^ 17 ^/ Fteti S in A: ? 2 > '$2' ^^ 
gefiibrt werden; entspreclien dann PJ^'J Pg^a' den P 1 und 
K im ersten System^ so ist ihr Scbnittpunkt P der der Ge- 
raden entsprecbende Punkt im ersten und der Scbnittpunkt 
von P 1 ^ l mit P 2 ?P 2 der ibr entsprechende Pnnkt P r im 
zvreiten System. Insbesondere nennt man den der unendlich 
fernen Geraden eines Systems reziproken Punkt den Gegen- 
punkt des anderen Systems, 

389. Involntorisclies Tripel. Die leiden Ordnungskurten 
sind miteinandcr in doppelter Beriihrung. Denn fur eiuen 
Scknittpunkt derselben fallen beide zu ibm reziproken Geraden 
mit der in ibm beriibrenden Tangente des Polarkegelscbnittes 
zusammen. Es miissen daher auch, damit dieser Geraden nur 
ein Punkt reziprok sei, die Schnittpunkte dieser Tangente 
mit dom Polkegelschnitt zusatntnenfallen. Also beriihrt die- 
selbe die Ortskurve und die Hfillkurve in ibrem gemeinschaft- 
lieben Punkte; die vier Scbnittpunkte beider vereinigen sicb 
daher In zwei Beriihrungspunkte. Man. beweist dies aucb 
analytiscfa, indem man aus der mit den s gesaumten Sub- 
stitutionsdeierminante (7) in Xr. 388 durcb Entwicklung bildet 

(8) Ai% 2 + + (4s + 4*s>V% + - - 

und alsdaxm durcb Saumung der Diskriminante von (8) mit 

den ify die Gleicbung des Polarkegelsehnittes in Punktkoordi- 

naten V = 0, wo 



328 XXL Yon den reziproken Verwandtschaften, 389. 

denn man findet durch Subtraktion des Quadrates der lineareiL 
Funktion 

(A,, - Anfa + (4i~ As)*s + (Aa - Ai> 3 
von 7 den Rest 



4- (A n J-23 + .&. n .4 82 J. 32 -a sl 
der leicht als das Produkt des durch (6) definierten Aus- 
drucks U fur den Polkegelselinitt in das Vierfache seiner 
negatiy genommeneri Diskriminante A erkannt wird. Man 
hat also in der Tat 

(10) 7 = - 4 A U + { (At, - AM)^ + } *. 

Infolge dieses Znsammenhanges entfallt auch die seheinbare 
Zweidentigkeit der yoiiier gegebenen Konstrnktion, 

In dieser sind nach Nr. 297 die Punktreihen zweiter Ord- 
nung P 17 P 2 ,...; P x ', PS';.*- m ^ D"=0 ? ebenso die Strahlen- 
busctel zweiter / Klasse"p 1 $p l , P s %,..; PiW; P 2 W;-- att 
F = untereinander derart projektiv ? da6 ihre Doppelelemente 
die Selmittpunkte A i} A$ der reellen Berfihrungssehne A^A^ 
bez. die gemeinsamen Tangenten A^A^ AA 3 des reellen Be- 
ruhrungspols A% sind; daB ferner der Schnittpunkt der Ver- 
bindnngslinien PjPs', PgP/ auf A t A B liegt, bez. die Ver- 
bindungslkie der Schnittpnnkte P$ 19 P^', P^, PJfc 
durct AS geht. Diese Bemerkung gentigt in der Tat ? nm die 
Konstruktion ohne Benutzmng des Stetigkeitsprinzips eindeutig 
zu maclien. 

GemaB dieser Konstmktion sind die leiden Beruhrungs- 
purilde A 1? A B und die dwell sle gelienden gemeinsamen Tan- 
ffenten A l A%, A 3 A%, daJier aucJi der B&ruhrungspol A% und die 
IfarSJinmffSsehne A t A$ re0iprok ) ob man sie nun zum einen 
oder andern System rechnet, also ; wie wir sagen wollen, in- 
wlutorisch r&siyrok. Yon diesen drei Pnnkten nnd Geraden 
liegen also zwei reziproke Paare ineinander, das dritte, stets 
reelle, aber niebt. 

Es giU in dner Meziprozitat nur eln Tripel involutarisch 
rwiyroker Elemente. Denn ? damit fur einen Punkt x-^y ir 
$ y t die reziproken Geraden w/ nnd ^ zusammenfallen,, 
inlissen nacb. (1) nnd (3) die Gleichungen bestehen 



InToItitorisciies FandamentaldreieeL Doppeltreziproke Elemente 329 

pi/= fvu t oder -(- K jy,= 0, 

was nur fiir drei Werte von Q moglich ist. 

Den einfachsten analytischeuAusdruck der Reziprozitat er~ 
li'alt man in bezug auf das irivolutorische Tripel als Fundamental - 
dreieck. Denn ? sollen den Punkten IjOjO, OjliO, OjOjl 
die Geraden 0|0|I ; 0|ljO, 1|0|0 verfanschbar entspreclie% 
so miissen a n = 0, a n =* 0, % = 0, % = 0, a ss = 0, *% 
sein: also lauten die Substitutionen 



(11) 

und die (lleicliungen der Ordnungskurven (Nr. 388 } 



Im allgemeinen ? namlich so lange # 13 > ^ 3J ist, entsprieht 
jedem Elemente der Ebene nur ein anderes als doppelt resiproli 
(ygl. K"r. 387), einem Punkte der Schnittpunkt seiner beideu 
reziprok^a Strahlen p 9 p f , einem Strahl die Verbindungs- 
gerade seiner beideu reziproken Punkte P, P f , Die Koordi- 
naten y i und ^ dieser Elemente sind 

: - Osi 



Da somit y t : y z ^ : ^ S7 t? x : /' 3 = % : % ist, so Zze^ew doppelt 
ressiproke Punltie auf Strdhlen mis dem BcniJirungspol und 
doppelt reziprdke StraMen schneiden sigh auf der Beruhrungs- 
xeline* Dies liefert eine lineare Konstruktion von A% und A^i^ 
aus gegebenen Elementenqnadrupeln. 

Weil die vorige Substitution vom zweiten (jrade ist, ao 
nennt man auch die Yerwandtsdiaft cte" doppelt r&iproken Ele- 
mentenpaare wm sweiten Grade. Wir betrachten sie in Kfirze 
am Schlufi des Kapitels. 

B. Das anschaulichste Beispiel der Reziprozitat wird duix-h die 
einfachste Wahl zweier Kegelschnitte in Doppelberitimiug erhalten: 

Die Ordnungskimen seien zwei Jmcenfrische Krdse 

Z/s^+y'-^-O, Tso^ + ^-^-O. 

Da die TangentialgleichiiDg zu F lautet ^ 3 2 (w s + s ) + 1 O t 
so sind die Bedingungen ffir die Substitutionskoeffiziienten zu er- 



3SO XXI Yon den reziproken Yerwandtschaften. 390. 



mid *--* 4*--4bo falls i + *5 ^ er aus Ai-4* 
folgt ; 3 2 -*, 3 * s , aus 4,--^ a ^er c^cfc-O. Da endlich 

?8 S ft 2 1st, so ist zu setzen t 



~ ?l 8 ' -?r er 

Analog konnen zwei gleichseitige Hyperbeln mit gemeinsamen 
Asymptoten gebraucht werden. 

390. Polarsystem. Die vorangehenden Eigenschaften 
einer allgemeinen Reziprozittit hinsicbtlich involutorisch rezi- 
proker Elemente sind daran gekniipft, daB wenigstens ein 
Substitutionskoeffizient a lk von u hi yerschieden sei. In der 
Tat lehrt der Anblick der Substitutionen, daft unter den Be- 
dingungen __ 

die reziproken Elemente einander vertausMar entsprechen. Es 
hat dann keinen Sinn mehr zweierlei, in derselben Ebene 
liegende reziproke Systeme zu untersclieiden, sondern in dieser 
invdutoriscJwi Reziprotitat sind je ein PunU und eine Gewde 
der Ebene einander eindeutig zugeordnet, vermoge 

A 
(13) pill = <* tk $ t9 ~x % - SA ki u h . 

Die beiden Ordnungskurven der Reziprozitat fallen in 
einen Kegelsclmitt f(x 9 x)^2a it x t x k ^Q 9 die Leifkurve oder 
Direktrix der inwluiorisclien Begiprowtat, zusarnmen. Die 
Gleichung der zum Punkte y { reziproken Geraden Zcc. J ,y i x k = 0, 
ebenso die Anwendung der Konstruktion in Nr. 388 zeigt, 
daft die zugeordneten Elemente Pol und Polare in lezug auf 
die LeitJiurve sind. Man bezeiclinet diese Zuordnung daher 
als Potamziprozitat und fafit die reziproken Systeme als Polar- 
system zusammen. Pole, Polaren und Polardreiecke, Mittel- 
punkt ? Durctmesser und Achsen der Leifkurve oder des Polar- 
systems sind gleichbedeutende Benennungen. 

Eine Tteziprozitat, die $wei inwlutorische Paare von nicht 
in einander liegenden Elementen enfhalt, ist eine Pdttrreziprozitat 
Denn sind A und a iy A% und % yertauschbar, so sind es 
aueh a t a^(A^) und A l A^(a^) t d. h. es gibt ein Polardreieck 
AiAmA*. Nelimen wir dieses zum Fundamentaldreieck der 



Bestlmmung und Konstraktiort des Polarsystems. 331 

Eoordinaten, so entsprecben sich #.= und w f nur, 
wenn cc tft = (i <; Jfc), also lauten die Substitutionen 

pi=aA-; 

and die Gleicbung der Leitkurve ist 2Ja f ^ 2 0. Daber er- 
fordert die Bestimmung der Konstanten die Angabe eines 
weiteren Elementenpaares A^ a. Das Polarsystem ist also 
dwell drei Mementenpaare lestimmt, die Ikein Polardreieck Ulden. 
Jedes weitere Elementenpaar P,p ist durcb zwei Projektivi- 
taten zugeordnet 



Die Leitkurve des Polarsystems wird als Ort und Hiill- 
kurve der in einander liegenden Blementenpaare erhaltenu 
Auf jeder beliebigen Greraden ist eine Punktinvolution definiert 
dnrct. ihre Sclinittpunktpaare mit A t P, a i} die die Sdbnitt- 
pnnkte mit der Leitkurve als ihre Doppelpunkte liefert. Daher 
sind alle KonstruMonen der KegelschnittleJire im Polarsystem 
reell diirchfuhrbar, undbhangig von der Healitdt der Leifkurve. 
Die Einfiikrung des Polarsystems bedeutet so genau dieselbe von 
der Realitat unabhangige Definition fur die Kurven zweiten 
Grades, wie die der Involution fur das Punktepaar. Man kenn- 
zeiclmet das Polarsystem aucb. kurz als ebene Involution. 
Ubrigens ist das Polarsystem mit imaginarer Leitkurve mit 
Hilfe der Satze von Nr. 16, 17 und 18 leicht dadurch zu 
charakterisier^n, daB dann einem Pol im Innern eines Polar- 
dreieeks eine Polare entspricht, die ganz aufierbalb desselben 
liegt. 

B. 1) Ist ein Polardreieck A^A^ (Seiten bez. %, 2 , %) 
und ein Paar J. 4 , % gegeben, so sind aucb for 1, 2, 3 die 
Geraden A^ und bez. die Punkte a^ Paare von Polaren und Pol. 
Hiermit sind aucb die Involutionen barmonischer Polaren und bar- 
moniscber Pole an den Punkten A^^.A^ und in den Geraden 

a i > * - % J e ^ urcil zwei P aare bestimmt. 

Urn dann m einer belieUgen Geraden der Ebene den Pol m 
Iconstruieren f nimmt man zu ibren Scbnittpunkten mit a 13 a 2 , a s 
die entsprecbenden in den bez. Polinvolutionen. Der Scbnittpunkt 
ibrer Yerbindungsgeraden mit den Gegenecken J. l7 -4 2 , A 3 bez. ist 
der gesuckte Pol. So erbalt man insbesondere den Pol der unend- 
lich feraen Geraden oder den Mittelpunkt des Polarsystems; so 



332 XXI. Yon den reziproken Yerwaadtschaften. 391. 

auch die Involution harmonischer Polaren, die das Polarsystem in 
ihm fcestimmt, insbesondere ihr Bechtwinkelpaar und ihre Doppel- 
strahlen: die Achsen und die Asymptoten der Leitkurve. 

Mittelpunkt, Achsen, auch Brennpunkte und Leitlinien sind in 
jedem Polarsystem reell; die Brennpunkte sind (Nr. 300, 6) die 
Doppelpunkte der Involutionen in den Achsen, die durch ihren 
Sehnitt mit einer beliebigen Geraden p und den Sehnitt ihrer ISTor- 
male ans inrem Pol P als zweites Paar bestimmt werden, wahrend 
Mittelpunkt nnd bez. Achsenrichtung ihr erstes Paar bilden. 

1st die Leitkurve reell, so findet man unmittelbar als Doppel- 
elemente der beziiglichen Involutionen ihre Schnittpunkte mit zwei 
Seiten des Polardreiecks und die zugehorigen Tangenten als ihre 
Yerbindungslinien mit den bez. Gegenecken derselben, also- vier 
Punkte mit ihren Tangenten. Die Bestimmung des Polarsystems 
aus den Achsen oder aus einem Paar koujugierter Durchmesser ist 
davon nicht wesentlich verschieden. 

2) Wenn das Polarsystem durch die Achsen und em Paar 
yon solcher Lage bestimmt ist, dafi die Polinvolutionen in den 
Achsen (also auch in der unendlich fernen Geraden) elliptisch sind 
oder seine Leitkurve eine Ellipse ohne reelle Peripherieelemente 
ist, so kann man sie veiireten lassen durch die reelle Ellipse, die 
die symmetrischen Paare der Involutionen zu Scheiteln hat. Die 
Konstruktion zeigt sofort, daB die Polaren desselben Punktes und 
ebenso die Pole derselben Geraden fur die imagingtre und fur die 
reelle Ellipse in bezug auf den Mittelpunkt symmetrisch parallel 
liegen (Antipolare und Antipol). 

391. PolarreziprozitEt ist im allgemeiiien nur eine 
toesondere Lage allgemein reziproker Systeme, also nicht 
wesentKcli von der allgemeinen- Eeziprozitat verschieden. Man 
kaim namlich durch Verschiebung und Drehung des einen 
von zwei reziproken Systemen beide in involutoriscte Lage 
bringen. Bezieht man die allgemeinen Substitutionsformeln 
auf rechtwinklige Koordinaten und setzt f iir x \ y die allge- 
meinsten Ausdriicke einer reclitwinkligen. Koordinatentransfor- 
mation ; so wird 

{l^^ = <x u (x" + x cos cp y sin tp) 

+ <% (y + # sin 9 + y cos y) + u n , 
(14) I f*0 = a n (0 + 0cos9 ysiny) 

+ a2 O/o + x sin 9 "f y cos y) + % 3 , 
/i P of si (^ + x cos 9 y sin <p) 



Das Polarsystem aus der allgemeinen Reziprozitat. 333 

Die Ordnung der rechten Seiten naeh den Veranderlichen 
x, y zeigt, da8 man X Q , y Q , <p so zu bestimmen hat, daB 
&. = tc ki ' 1st. So ergibt sich 

a u sin cp + 12 cos (p = <% cos <p + # 22 sin qp ? 
tf n + a n y Q + KM % cos 9 -f tf s2 sin 9, 
a = a sin + cc cos ?. 



{15) 



Die erste dieser Gleichragen liefert swei Werte von g>, 
die andern bestiinmen sodann X linear: 



(16) 



M ) sin <p ( 



sin 9 (wh 



Geometriscli betrachtet kann diese Transformation anf 
folgende Weise geschelien. Man bestimmt znerst in jedem 
der Systeme den Gegen- oder HittelpunU, der der unendlick 
fernen Geraden als einer Geraden des anderen Systems ent- 
spriclit, dessen Strahlen also den Eichtungen in demselben 
entsprechen. Bringt man dann diese beiden Punkte durch 
Lagenveranderung eines Systems zur Deckang in ; so sind 
and die tmendlicb. feme Gerade unverandert iind involutoriscL. 
reziprok. Dieser Punkt wird der gemeinschaftliche Mittel- 
punkt, seine StraLlen werden Durclimesser der beiden Ord- 
nungskurven sein ? die nun ? weil sie in doppelter Beruhrung 
bleiben mtissen, zu aknlicben und konzentrischen Kegel- 
schnitten werden. (Nr. 226.) Man hat ferner noch und oo 
als Elemente eines Polardreiecks zn nehmen. Daher muB man 
das eine der beiden reziproken Systeme so um den gemein- 
samen Mittelpunkt drehen^ daB die einer Richtung A rezi- 
proke Gerade OA' die namliche 1st, ob man dieselbe zum 
einen oder zum andern System zahlt; dann gilt dasselbe fftr 
jede Richtung S und die reziproke Gerade OJ3' (Nr. 94). Es 
besteht dann Involution zwischen den Buscheln OJ. 7 OB, . .; 
OA' } OB'. Da nun aber die absoluten Richtungen der Ebene 



334 XXL Von den ieziproken Verwandtsehaffeen, 391. 

bei jeder Drekung des Systems uuverandert bleiben, so sind 
durcii erne solche die reziproken Geraden einer derselben 
wirklich zum Zusammenfallen zu bringen. (VgL B. 3.) 

Aber wir erzielen die involutorische Vereinigung durcli 
reelle Konstruktion; denn die Durchniesser der beiden ur- 
sprunglichen reziprokea Systems bilden zwei zu einander 
projektive Biiscliel, in denen je zwei einander entsprecken, 
von denen der eine der Ricbtung des andern zugeitorl Unter 
diesen Durchmessern gibt es im allgemeinen nur ein Paar zu 
einander rechtwinkliger j, r y denen ein Paar rechtwinklige 
konjugierte q, r entsprechen. Ihre Verkehrt-Yereinigung q 
mit r, r' mit q fflkrt zur Inyolution nnd liefert die Achsen 
der Leitkurve. Daher ist die inyolutorisclie Lage nnr auf 
&wei Arten herzustellen und hangt an der Endlichkeit der 
Koordinaten ^ 0? jr des Mittelpnnktes 0, also an a 12 % ^a u a 22 5 
der Fall der Gleichheit ist zunachst ausgesctlossen; bei para- 
bolischer Leitkurve ist er verwirkliclit. 

Wir konnen aber mit den wie oben bestimmten $ Q) y^ cp 
die GleichuBg der Leitkurve aus den nach. den Veranderlichen 
geordneten Bedingungsgleichungen S. 333 sofort schreiben: 

cos <p + tf 12 sin <p)x* + (% cos 9? cc 21 sin 
(17) + 2(a I2 cos 9? % sin 



und betracMen nun ikre Diskriminante 
% cos 9?^ sin <p 
^ 22 cos 9?% SID 9 



Entwickelt man sie nach den Elementen der letzten Spalte, 
so findet man die zugehorigen Unterdeterminanten unter Be- 
nicksicLtigung der Bedingungsgleiefoangen (15) gleich den 
entsprechenden Unterdeterminanten dei* Snbstitutionsdeter- 
minante A der vorgelegten Reziprozitat, z. B. 

, a n cos <p + a n sin cp 22 cos 9? cc 21 sin 9 j _ 
13 a sl cos y + a 82 sin 9? a 82 cos 9? % sin 9? j 
Bbenso aneh A^ A^ , J.^' J. S3 und iiberbaupt immer 
nach denselben Gesetzen der Umformnng z/'= A. 



Leitkegelschnitt des Polarsys terns. 335 

Wir konnen also aus der Substitution der reziproken 
Ebenen ScUusse ziehen auf die Art der Leitkurye der znm 
Polar system vereinigten Ebenen. 

Zunaehst folgt, daB die Leitkurve ein eigentUcher Kegel- 
schnitt sein wird ; so lange A nicht yerschwindet; fur A^ < 
eine Hyperbel, fiir J. 33 >0 Ellipse; sodann ein Geradenpaar ; 
reell und getrennt, parallel oder konjugiert imaginar, je nach- 
dem zngleich -4 83 ^0 bei A = ist. (Vgl. Kr. 310 und weiter- 

hin die singularen Projektivitaten.) Unter den Beispielen 4 6 
sind die Sonderfalle besprochen. 

B. l) Die den Punkten eines Durclimessers reziproken Geraden 
sind einander parallel, und einer Schar YQII Parallelen entsprechen 
Punkte auf einerlei Durchmesser, 

2) Die Koordinaten der zu w'= 0, v und u = 0, v = 
reziproken Gegenpunkte sind A n : A^ \ A^ : A n ; A n : A 3B \ A^ ; A^ . 
Da-her geschieht die Transformation der Systeme auf gemeinsamen 
Mittelpunkt durch 

A^(x- x) - AM A 81 , A^(y-y) - A^- A^. 

3) Man soil fur die konzentrische Lage beider Systeme den 
Drehungswinkel berechnen, der der Transformation des Textes ent- 
spriclit. Die Polaren eines beliebigen Punktes sind bei rechtwinkligen 
Koordinaten aus dem gemeinschaftliclien Mittelpunkt 

(a^o^ + a^y^x + 21 % + 22^i)2/ + ^33 ^ 0, 



und daber fur den unendlicb fernen Punkt y = ix t 
(a u + iu^x + (a 21 + iu^y = 0, 

( a n + i( *2i) x + ( a ia + *a)y - < 
Der Winkel dieses letzten Geradenpaares ist bestimmt durch 



Oder: Die dem Punkte x l \ y l des ersten reziproke Gerade 
d*es zweiten Systems erMlt durch Drehung nm den Winkel 6 die 
Gleichung 

i)( x cos ^ # sin $) + ( a si^i + ^22^1)^ sin 



oder { (a 1]L cos 6 + a n sin 0)^ + ( 12 cos fl + a 32 sin d)^ } x 
+ { (a 21 cos 6 ct n sin 0)^ + 0*22 cos ^ ^~ 12 ^ ^)^i } ^ "f~ ^33 ^ ^ * 
Dagegen ist die Gerade, die dem Punkte aj^, als dem trans- 
formierten System angehorig betrachtet, entspricnt 



{ (a lt cos 6 + 21 sin 0)x l + ( 2l cos 5 a lt sin B)y l } x 



336 XXL Yon den reziproken Yerwandtschaften. 891. 

(( 

~|- 1 (a lg cos + a. >( > sin 0)^ + (#22 cos lg sin 0)^ } ?/ + 3a = . 
Und diese Gerade ist mit der vorigen identisch, wenn man hat 
a^ cos 8 + 22 sin 8 = 21 cos 6 of u sin . 

Pur c^ 12 = (Z 21 ist zur Herstellung des Polarsystems aus den 
reziproken Ebenen eine Drehung nicht erforderlieh. 

4) Piir die Leitkurve als gleichseitige Hyperbel muB nach (l?) 

11 ' a 23 ' se i n 0< ^ er a n eos *P ~^~ a i2 s ^ n 9 " ^21 s ^ n 9 "~ ^22 cos 9 s ? 
man erhalt , 

also aus dem ullgemeinen Werte in (16 ) 



die Bedingnng ( ll + u&)* + (a n of 21 ) s = 0. 

5) Soil die Leitkurve ein Kreis werden, so wird 11 / = a^' und 
<* 12 '= gefordert, also nach (17) 

&n cos ^p -f- # 12 sin 9? = ^ 2 2 cos 9 ? a '2i sin <p, K^ cos 9 = o^ sin 9? . 
Also wird 



und somit die Bedingung 



Vgl. ffir Beispiele Nr. 396. 

6) Den Pall der elliptischen Leitkurve als reell oder rein 
imagin&r entscheidet das Yorzeichen der Halbachsenquadrate oder 
der Potenzen der auf den Achsen der Leitkurve durch das Polar- 
system bestimmten Polinvolutionen nach Nr. 152 und 142 dahin, 
daB entgegengesetzte Zeichen von a^'+Og/ JB und ^/, wo 
-S 2 = (!/ ^2s0 2 + & a i2^i & e Bealitat bedingen und umgekehrt. 

Ersetzt man in 



^11 ^ n cos 9 "f" is sin 90, a' 22 ' = or 22 cos g? o: 31 sin <p 

die Punktionen sin 9 und cos 9? durch ihre Werte in den a a , also 
durch Briiche mit den Zahlera a n + or 22 bez. of 13 # 2l und dem 
gemeinsamen Nenner 



so erhalt man die Bedingung in den Koeffizienten der Eeziprozitiits- 
Substitution 



Besondere Falle des Polarsystems. 337 

7) Wenn man das Polarsjstem bestimmt denkt dureh seine 
Aclisen qf (oder aj-Aehse) und qr (oder /-Achse, also durch das 
absolut groBte Polardreieck) und ein Paar P, p von Pol und Polare 
von solcher Lage, daB beide Koordinaten von P positiv und die 
Pluckerschen Linienkoordlnaten von p negativ sind, so 1st die Leit- 
kurve die reelle Ellipse ax 2 + 5# 2 = 1 fur a * or u : a 33 , b a 22 : a n 
oder mit den reziproken Werten als den Potenzen Jc^ und Jc y 2 der 
Polinvolutionen in den Achsen 7^ 2 ar + fe,. 2 ^ 2 = % x s k y *. 

Dreht man die Ebene mit P um die Achse x bez. y in sick 
zurtick, so daB P die Lage P 1 bez. P 2 erhalt, indem zugleich das 
Zeichen von & 2 bez. /c^. 3 wechselt, so entstehen Polarsysteme mit 
konjugiert-hjperbolischen L3itkurven von den Gleichungen 

T, 2^2 7. 2 .,.2 7. 27. 2 },p 7 T. 2 r 2 i T. 2..2 T. 2 /. 2 

y a & x ^y ' D6Z - ?/ ' x & K x lu y ' 

Auf demselben Wege kommt man durch Drehung von P um y 
bez, von P 2 um x nach. P 3 mit negativen Koordinaten, mit der 
imaginaren Ellipse fe y 2 rc a 7^ 2 / 2 == 7c/^ 2 . 

8) Die entsprechenden Rechtwinkelpaare aus den Mittelpunkten 
der reziproken Ebenen q_r und q'r bilden mit der unendlich fernen 
Geraden die rechtwinkligen Koordinatensjsteme, mit HilPe deren 
die Substitution der allgemeinen Beziprozit'at die einfacnste und 
fiir metrische Untersuckungen vorzugsweise geeignete Ausdrueks- 
form erhalt. 

392. Polarreziproke Kegelsclinitte. Wenn ein Polar- 
sjstem mit der Leitkurve L fest gegebea ist, so be- 
trachfcen wir nun mjederFigur Hire Polarreziproke in demPolar- 
systern, d. h. in bezug auf den Kegelschnitt L, indem wir die 
reziproke Figar aus den Polaren der Punkte als HiiEkurve und 
aus den Polen der Tangenten der ersten als Ort bilden. Wir 
nennen kurz Pol und Polare beziiglich L entsprecliende Ele- 
mente ? so daB sieh in polarreziproken Figuren die Elemente 
paarweise entsprechen und jede aus der anderen in gleicher 
Weise hervorgeht. 

Die HUUJsurve der Polaren aller PmJcte einer Kurve 8 
heifif; die Polkurve s zu S, wahrend der Ort S etwa als die 
Polkurve von s unterschieden wird. Da aber auch S die 
Hallkurve aller Punkte der Polarkurve s ist, so sind polar- 
reziproke Kurven S und s von gleichartiger Bedeutung. Die 
Ordnung der PolarreziproJten einer Kurve ist der Klasse der 
Kurve gleich. Denn ist n die Anzahl der Punkte ? in denen 
ine beliebige Gerade die Kurve s schneidet, so entspricht 

Salmon-Fiedler, anal. Geom. d. Kegelschn. II. 7. Aufl. 22 




338 XXL Von den reziproken Verwandtschaften. 393. 

denselben in der polaneziproken Figur S die gleiche Aztzahl 
der Tangenten von S, die durch den jener Geraden ent- 
sprechenden Punkt gehen (Nr. 28). Weil an einen Kegel- 
schnitt S nur zwei Tangenten von irgend einem Punkte aus 

gezogen werden konnen, so 
schneidet eine beliebige Gerade 
die Kurve 5 nur in zwei Punkten, 
d. L die Polarreziproke einer 
Kurve zweiter Klasse ist elne 
Kurve zweiter Ordnung. 

Aber nicht nur die Kegel- 

Fig. 40 'J^ X schnitte S und s ? sondern aucli 

die dnrcli sie als Leitkurven 
defliiierten Polarsysteme sind polarreziproke Figuren. Kon- 
struktiv folgert man dies daraus, dafi, wenn zwei Punkte P y P f 
in S den Tangenten pt, p't' an s entsprechen (Fig. 40), auch 
die Tangenten in P, P' an S den Bertihrungspunkten jp ; p' ent- 
sprechen miissen. Denn dann entspricht der Sdhnittpunkt Q 
von TP und T'P' der Beriihrungssehne pp. Einem Punkte Q 
und seiner Polare PP' in lemg aufS entspricht eine Geradepp' 
und ihr Pol q in "bezug auf s. 

Analytisch sind diese Satze einleuchtend, da lineare Sub- 
stitutionen in quadratische oder in bilineare Gleichungen 
wieder solche Gleichungen liefern (vgl. Nr. 175, 13). 

393. Die Methode der reziproken Polaren 124 ) hat in der 
geschichtlichen Entwickelung die Lehre von der reziproken 
Yerwandtschaft und von dem Dualismus geometrisclier Wakr- 
heiten vorbereitet. Ihre Ergebnisse folgen aus diesen allge- 
meinen Theorien durch besondere Annahmen iiber die Lage. 
Gerade durch die konstruktiv einfache und iibersichtliche Lage 
der zu vergleichenden Figuren hat diese Tlntersuchungs- 
methode ihren selbstandigen Wert. Sie setzt lediglich die 
Kenntnis der Polarentheorie der Kegelschnitte voraus. 

Aus jedem nur auf Beschreibung der Lagenverhaltnisse 
sich beziehenden oder projektiven Satz uber eine gegebene 
Figur kann rein mechanisch durch Vertauschung dual ent- 
sprechender Worte der reziproke Satz fiber die polarreziproke 



Die reziproken Polaren als Vorstnfe der Dualitat. 



339 



Figur abgeleitet werden. Z. B. folgt aus dem Pascalschen 
Satz fiir das einem Kegelsclmitt S eingeschriebene Sechseck 
ABCDEF der Brianchonsche Satz fur das dem Kegelsclinitt s 
umgeschriebene Sechsseit abcdef (vgl. Nr. 283). 

Durch. die NebeneinanderstelluDg einiger Satze mit ihren 
Reziproken soil im Folgenden Gelegenheit znr Anwendnng 
nnd Ubung dieser Methode gegeben werden. Auf die besondere 
Lagenbeziehung wird erst weiterhin einzugeien sein. 



B. 1) Wenn sich zwei Ecken 
dines Dreiecks auf festen Geraden 
bewegen, wahrend sieh die Seiten 
um drei feste Punkte drehen, so 
ist der Ort der dritten Ecke ein 
Kegelschnitt. (Nr. 276, 6.) 

2) Der bezeicknete Ort ist eine 
Gerade, wenn die festen Punkte 
der Seiten in einer Geraden liegen. 
(Nr. 52, 2, 3.) 

3) Wenn Ton einem Kegelschnitt 
zwei Punkte und zwei Tangenten 
gegeben sind, geht die Verbin- 
dungslinie der Beruhrungspunkte 
dieser Tangenten durch den einen 
oder andern von zwei festen 
Punkten. 

4) DiePolareneinesfestenPunk- 
tes in bezug auf alle demselben 
Viereck umgeseliriebenen Kegel- 
sehnitte bilden einStrablenbuschel. 

5) Der Ort des Pols einer festen 
Geraden in bezug auf alle durch 
dieselben vier Punkte gebenden 
Kegelschnitte ist ein Kegelschnitt. 
(Nr. 301, 1.) 

6) Die drei Geraden, die die 
Ecken eines Dreiecks mit den 
entsprechenden Ecken des in be- 
zug auf einen Kegelschnitt ge- 
bildeten polaren Dreiecks verbin- 
den, gehen durch einen Punkt. 
(Nr. 299, 3; 348, l.) 

7) Man soil einem Kegelschnitt 



Wenn sich zwei Seiten eines 
Dreiecks urn feste Punkte drehen, 
wahrend sich die Ecken in drei 
festen Geraden bewegen, so ist die 
| Hullkurve der dritten Seite ein 
Kegelschnitt. 

Die bezeichnete Htillkurve ist 
ein Punkt, wenn die festen Ge- 
raden der Ecken in einem Punkte 
zusammenlaufen. 

Wenn von einem Kegelschnitt 
zwei Tangenten und zwei Punkte 
gegeben sind, liegt der Schnitt- 
punkt der Tangenten in diesen 
Punkten stets auf der einen oder 
der andern von zwei festen Ge- 
: raden. 

Die Pole einer festen Geraden 
in bezug auf alle demselben Vier- 
seit eingeschriebenen Kegelschnit- 
te bilden eine gerade Reihe. 

Die Hullkurve der Polare eines 
festen Punktes in bezug auf alle 
dieselben vier Geraden beriihren- 
den Kegelschnitte ist ein Kegel- 
schnitt. 

Die drei Schnittpunkte der 
entsprechenden Seiten eines Drei- 
ecks und des in bezug auf einen 
Kegelschnitt gebildeten polaren 
Dreiecks liegen in einer Geraden. 
(Nr. 348, 1; 67,4.) 

Man soil einem Kegelsehnitt 
22* 



340 XXI. Von den reziproken Verwandtsckaften, 304. 



em Dreieck einsclireibeii , dessen 
Seiten dutch drei gegebenePaakte 
gehen. (Nr. 298.) 



ein Dreieck umsehreiben, dessen 
Ecken auf drei gegebenen Geraden 
liegen. 



94. Wean zwei Kegelschnitte 5' und S f und ihre Rezi- 
proken 6' und s r gegeben sind, so entsprechen den vier Schnitt- 
punkten A, B, 0, I) von S und S f die Tier Tangenten 
a, b } c } d* die s und 5' gemeinschaftlich sind; den sechs Sehnen 
AB, CD] AC, J37); AD, BC jener Schnittpunkte entspre- 
chen die seehs Schnittpunkte ab, cd; ac } Id] ad, be dieser 
gemeinschaftlich en Tangenten; d. h. dein wllstandigeu Viereek 
der enten das vnllstiindige Vierseit der letzten. 

Wenn sicli zwei Kegelschnitte bertthren, so beriihren sich. 
auch ihre Eeziproken: denn da die ersten einen Punkt und 
die zugehorige Tangente gemein liaben, so miissen die letzten 
eine Tangente und den zngehorigen Beruhrungspunkt gemein 
liaben. Und wenn zwei Kegelschnitte mit einander in doppelter 
Beriihrung sicd, so sind es ancli ihre Reziproken. Die Rezi- 
proken dues SilscJiels I Men eine ScJiar. 

Sind die Kegelschnitte S, s nnd die Leitkurve L gegeben, so 
entspreehen den gemeinsamen Pankten oder Tangenten von L 
und 5* die gemeinsamen Tangenten odor Pnnkte von L und 5. 
Denn die Schnittpunkte L, s und die Tangenten L, S sind 
paarweise Beriihrungspunkte und Tangenten der sich selbst 
reziproken Leitkurve. Somit Jtdbenje zwei reziproke Kegelschnitte 
S 9 s mit der Lcitkurve L ein gemeinschaftUches PolardreiecJc. 

Sind nur S und $ gegeben, so kann die Leitkurve L nur 
einer von den vier Kegelschnitten sein ? die durch das ge- 
meinsame Polar dreieck und die fernere Bedingung bestimmt 
sind 7 daB einer der vier gemeinsamen Punkte A : B,C,D von 
S 7 s der Pol zu einer ihrer vier gemeinsamen Tangenten a, &, c, d 
in bezug auf ihn sein muB. Es (jiU also vier Kegelsclmitte 
L tJ L%, L% y i 4 lezttglich derm %wei gegebene S und s einander 
polarrezifiro'k sind. 

B. 1) Wenu ein Dreieck einem Wenn ein Dreieck eiaem Kegel- 

Kegelschnittumgeschriebeableibt selmitt ebgeschrieben bleibt wak- 

wiLhrend zwei seiner Eckeri in festen rend sick zwei seiner Seifcen um 

Geraden fortsehreiten, so be- feste Punkte drehea, so mnhullt 



Beispiele von polarreziproken Satzen. 



341 



schreibt die dritte Ecke einen 
Kegelschnitt, der mit dem ge- 
gebenen in doppelter Beriihning 
isl (Nr. 295, 1.) 

2) Wenn drei Kegelschnitte 
zwei gemeinschaftliche Tangenten 
haben, oder wenn sie alle mit 
einem vierten Kegelsclmitt in 
doppelter Beruhrung sind, so 
gehen die sechs Sehnittsehnen 
derselben viermal zu je drei en 
durch einen Punkt. (Nr. 267.' 
Man darf diese Punkte als die 
vier Potenzmittelpunkte der drei 
Kegelscbnitte bezeichnen, die den- 
selben vierten Kegelschnitt dop- 
pelt beriihren. 

3) Wenn sicb zwei Kegelschnitte 
beriihren, so schneiden sich die 
Tangenten derselben in den End- 
punkten einer durch den Beruh- 
mngspunkt gehenden Sehne in 
der gemeinsehaftlichen Sehne der 
Kegelschnitte. 

4) Wenn man dnrch einen 
Schnittpunkt der gemeinscbaft- 
lichen Tangenten zweier Kegel- 
schnitte zwei beliebige Sehnen 
zieht, so schneiden sich die Ver- 
Mndungslinifn ihrer Endpunkte 
in einer oder der andern yon 
den gemeinschaftlichen Sehnen 
der Kegelschnitte. 

5) Wenn die Kegelsehuitte A 
mid beide mit dem Kegel- 
schnitt S in doppelter Beruhrung 
sind, so schneiden sich ihre Be- 
rtihrungssehnen mit 8 und ihre 
Schnittsehnen mit einander in 
einem Punkte und bilden ein 
harmoaisches Buschel. (Nr. 261.) 



die dritte Seite einen Kegelschnitt, 
der mit dem gegebenen in dop- 
pelter Beriihrung ist. (Nr. 295, 2.) 

Wenn drei Kegelschnitte zwei 
gemeinschaftliche Punkte haben, 
oder wenn sie alle mit einem 
yierten Kegelschnitt in doppelter 
Beriihrung sind, so liegen die 
sechs Schnittpunkte ihrer gemein- 
schaftlichen Tangenten viermal 
zu je dreien in einer Geraden. 
Man kann diese Geraden als die 
vier Ahnlichkeitsachsen der drei 
Kegelschnitte bezeichnen, die deii- 
selben vierten Kegelschnitt dop- 
pelt beriihren. (Vgl. Teil 1 , Nr. 
122.) 

Wenn sich zwei Kegelschnitte 
beriihren, so geben die Verbin- 
dungslinien der Beruhrungspunkte 
ihrer Tangenten aus einem Punkte 
ihrer gemeinsamenTaDgente durch 
den Scbnittpunkt der gemein- 
schaftlichen Tangenten der Kegel- 
schnitte. 

Wenn man in einer gemein- 
schaftlichen Sehne zweier Kegel- 
schnitte zwei Punkte wahlt, so 
liegen die Sehnittpunkte der von 
ihnen ausgehenden Tangenten in 
Geraden, die durch einen oder den 
anderen von den Schnittpunkten 
der gemeinschaftlichen Tangenten 
der Kegelschnitte gehen. 

Wenn die Kegelschnitte A und 
mit dem Kegelschnitt S in dop- 
pelter Beriihrung sind, so liegen 
die Sehnittpunkte ihrer mit S ge- 
meinschaftlichen Tangenten und 
die der Paare ihrer gemeinscbaft- 
lichen Tangenten in einer Geraden 
und bilden eineharmonischeReihe. 
(Nr. 309, 4.) 



342 XXI, Von den reziproken Yerwandtschaften. 395. 



6) Wenn die Kegelscbnitte A, 
jB, den Kegelseimitt 8 je dop- 
pelt und tiberdies A und B beide 
C einfack benikren, so schneiden 
sict die Tangenten in den Be- 
rukruugspunkten in einer gemein- 



Wenn die Kegelscknitte A, B, 
C den Kegelschnitt 8 je doppelt 
und iiberdies A und B beide C 
einfach beriikren, so gekt die 
Verbindungslinie der Beriikrungs- 
punkte durch einen Schnittpunkt 



schaftliefaen Sehne von A und B. \ der gemeinsamen Tangenten von 

; A und B. 

395, Invariantentlieorie reziproker Kegelselmitte. Fur 
die analytische Untersucliung polarreziproker Figuren wird 
die anBerste Vereinfachung dadurck erreicht, da6 die Leitkurve 
in der Grleicnungsform 

(18) V+^ + ^^0 

vorausgesetzt werden darf. Die Substitutionen der Rezipro- 
zitat reduzieren sick dann auf ^ % 17 d. k. auf einen bloBen 
Bedeutungswecksel der Koordinaten. Jede ternare Gleichung 
definiert, in PmU- oder in Linienkoordinaten gedeutet, polar- 
reziproke Kurven, mit (18) als Leitkurve. Abgeseken von der 
Deutung ist daker die Tangentialgleickung einer gegebenen 
Kurve identisck mit der Gleickung der Reziproken (der Rezi- 
prokalgleicliung) in den gegebenen Veranderlicken. 

Bei monomiscben Substitutionen bleiben Normalformen 
der Gleickungen erkalten (Nr. 299). Also kann das Funda- 
mentaldreieck in einem Polarsystem stets so gewaklt werden ; 
da8 mit bezug auf L == xf + x^ + x^ = als Leitkurve irgend 
zwei reziproke Kegelscknitte die Gleickungen kaben 

(19) I 
\ 

wo die letzte gleickbedeutend ist mit 

%^ 3 ^i 2 + ajfltj^H- a t a z x^= 0. 

Diese "beiden Kegelscknitte sind aber nickt nur bezug- 
lich der angegebenen Leitkurve reziprok, sondern iiberkaupt, 
so lange die Bedingungen p*u? = a?. 8 erfullt sind. Daker gibt 
es je vier Kegelscknitte, kinsicktlick deren zwei Eegelscknitte 
zu einander polarreziprok sind. Ikre Gleickungen konfieu 
gleickzeitig als 

(20) VVV=G 



Polarkurven und doppeltharmomsche Kegelschnitte. 343 

(for alle Zeichenkombinationen) geschrieben werden, sie haben 
also ein gemeinsames Polardreieck und paarweise doppelte 
Beruhrung, konnen aber nicht samtlich reell sein (2fr. 394). 

Die Polarkurve, also die HUllkurve der in bezug auf eine 
Leifkurve g(x,x) = Q genommenen Polaren oiler Punkte von 
f(x, x) = ? ist eine simultane Kovariante. In der Tat ist ihre 
Gleichung in der Form 
(21) 3H0(*,3)-2*(3?,aO = 

darstellbar (Nr. 354, i), wobei die Invariante 3H in Nr. 343 
und 348, die Kovariante 2k(x, x) in Nr. 354 definiert ist. 

Ebenso konnen wir nun f(x 9 x) als eine Leitkurve be- 
tracliten ; in bezug auf die wir die Polarkurve yon g(x, x) 
bilden; diese erscheint dann in der Gleieliungsform 
(21 a) SGfO, x) - 2k(x, x) = 0. 

Dalier geht die Kovariante 2Jc(Xj x) zweier Kegelschnitte 
f(x,x), g(x,x) durch die Schnittpunkte jedes der beiden 
Kegelschnitte mit der Polarkurve des anderen in bezug auf 
ilm. Ist die Kovariante 2Jc selbst die Keziproke eines der 
Kegelschnitte in bezug auf den anderen, so sind diese kon- 
jugiert (Nr. 349), und umgekehri 

Also decken sich fur H = 0, = die beiden Polarkurven 
(21) und (21 a) mit der Kovariante & Aus den. Gleichungen 

a 2 a s + %&! + a^cj =0, a t + a% + a s 0, 
folgt aber, daB, fiir $ als eine komplexe Kubikwurzel der 
Einheit, zu setzen ist 

%= %= s 2 a%* 

Somit gibt es Tripel von doppelt-Jiarmonischen Kegelschnitten 



deren jeder mgleich die HauptJcovarianten 2fc und 2H und die 
vereinigten PolarJcurven fur die beiden andern darstellt (vgL 
auch Nr. 360, S. 246). Jedem derselben konnen dann Dreiecke 
eingesckrieben werden ; die einem der andern umgeschrieben 
sind (Nr. 351). Die imaginare Darstellungsform beweist nur, 
daft das gemeinsame Polardreieck nicht reeE ist; die drei 
Kegelschnitte konnen reell sein (ygl. B. 3). 



344 XXL Von den reziproken Yerwandtscliaften. 396. 

B. l) Die Polarreziproke der gleichseitigen Hyperbel 
cPxy = a?x'y 5 2 / (Nr. 178, Gl. (9)) in bezug auf die Ellipse 

2 + !" 2 ~ = 1 1st eine Parabel (xx yy c 2 ) 2 + &xyxy = 0, 

die die Koordinatenacbsen beriihrt. Die gemeinsamen Tangenten 
der Parabel und Ellipse beruhren diese Kurven in den FuBpunkten 
der von x \ y auf sie geMlten Normalen. 

2) Der mit f(x* a;), <j(x, x) kovariante Kegelscbnitt Qf(x, x) 
H<?(#, a*) = geht durch die Schnittpunkte der Kegelschnitte 
/, g und durch die ibrer PolarkurTen. 

3) Ein Tripel doppelt-harmoniscber Kegelscbnitte wird be- 
stimmt durcli zwei gleiche Kreise, deren gemeinsame Sehne dem 
Eadius gleich ist. Vgl. Nr. 350, 9. 

Denn, setzen wir in den Gleicbungen (22) des Textes 

x^^l+xi, Xs^lxij ^3==^, 
so geben sie uber in 



Der erste Yon diesen drei Kegelscbnitten ist eine Hyperbel, bei der 
das Quadrat der halben Nebenacbse balb so groS wie das Quadrat 
der Radien der beiden Kreise ist. 

4) Je zwei doppelt-harmonische Kegelscbnitte baben Scbnitt- 
punkte von iiquianbarmonischem Doppelverbaltnis (Nr. 359, Gl.(69)). 

5) Die Leitkuryen zweier polarreziprok gedacbter Kegelscbnitte 



sind x^ Ya i 5 X x* 2 "\/a% \%^ ]/^s =* . 

Man nnterscheide die binsicbtlicb ibrer Eealitat moglicben Falle. 

6) Ein Kegelscbnitt kann so bestimrnt werden, daB ibm von 
fiinf Polarsystemen je ein Polardreieck eingescbrieben werden kann, 
oder daB er in & Polarsysteraen barmonisch ist und durch 5 It 
gegebene Punkte geht. Diese Bestimnmng umfaBt sehr viele be- 
sondere Falle. (Ygl Nr. 349 und Beispiele.) 

396. Zirkulares Polarsystem. Wir haben bisher Toraus- 
gesetzt, daB die Leitknrve L em ganz beliebiger Kegelsclinitt 
sei. Maa pflegt diesen jedocli zumeist als einen Kreis anzu- 
nelimen, weil die Reziprozitat dann einen metrisch elemen- 
taren Charakter annimmi Wir wollen darum im Folgenden 
tberall ? wo von Polarknrven ohne weiteren Beisatz die Rede 
ist, Polarkarven in ~bezug auf einen Kreis verstanden denken. 
Aus diesem zirMaren Polarsytfem geht jedes andere durch 




Polarsystem mit EJreis als Leitkurve. 345 

ftoUineare Uwformung Jiervor. Die Bezieioing zwiscben Folar- 
kurven in bezug auf einen Kreis lafit sich (NY. 110) wie folgt aus- 
spreehen: Wenn man von einem gegelenen Pwilde aus (Fig. 41) 
auf jede Tangents dcr Kurve S 

eine Normdle Tfallt und diese so ^?v^\x f" 

wait verliingert, dafl das RecJiieclc 

der Segments OT - Op einen kon- 

stanten Wert If crMU, so ist der 

Ort der Punkte p eine Knrve $, 

die die resiproke Polare von S 

genannt wird. Denn dies ist mit Fi s- & 

derBestimmunggleiclibedeutend, 

daft p der Pol von PT in bezug auf einen Kreis vdm Mittel- 

pnnkt und Radius jfc ist; die Taugente pt entsprictt daher 

dem Berubrungspunkte P, A. h. es ist auch OP rechtwinklig 

zn pt und OP- Ot=*JP. 

Eine Ver'anderung der GroBe 7v andert zwar die Stelle ; 
aber nicbt die Gestalt yon s, die a]lein in den meisten Fallen 
nns angeht. Darum kann in dieser Anschauungsweise yon 
der Bezieliung der Polarkurven die BezieLung auf den Kreis 
ganz unterdriickt werden ; die Polarkurve 5 in bezug auf den 
Leitkreis kann als die Re&proke von S in le^ug auf den 
Punld bezeiclinet werden, den man fur diesen FaE den Ur- 
sprung der Eeziprozitat nennt. 

Die mit der Anwendimg des EYeises als Hilfskegelscbnitt 
verbundenen Vorteile erlaubeD ; mit Hilfe dieser Methode auBer 
Satzen iiber die Lage der Figurea auch solehe zu transfor- 
mieren, die metrisclie Beziehungen von Linien und Winkeln ent- 
talten. Die Grundlage bilden die beiden Satze: Die Entfernung 
tines Punktes P vom Ursprung ist der reziprolce Wert der 
Entfernung des Ursprungs ron der entspredenden Geraden pi 
Der von zwei Miebigen G-eraden TQ, T'Q eingescJilossene 
Wirikel ist dem Wirikel pOp' gleich, den die entsprecfienden 
PunJite p, p am Ursprung lestimmen* denn Op ist normal 
zu TQ und O/ zu T'Q. 

397. Polarreziproke eines Kreises. Ist der Ort des Pols p 
einer Tangente PT des Kreises G in bezug ai^f den Kreis & vom 



346 



XXI. Yon den reziproken Yerwandtschafteru 397. 




Mittelpunkt zu ermitteln (Fig. 42) und ist M N die Polare des 

Mittelpunktes von C in bezug 
auf den Kreis h, so besteht 
ftir die Punkte C,p und ikre 
PolarenMjr,PTnachNr.ll2 
die Beziehung 

OC:CP=* OpipN. 
Diese zeigt nach der Konstanz 
von OG und CP ; da8 der 
Abstand des Punktes p von 
zu seinem Abstand von der Geraden MN in einem konstanten 
Verhaltnis OG : CP steht. Der Ort von p ist daher ein Kegel- 
schnitt, der zum Brennpunkt, MN zur entspreehenden 
Leitlinie und OG: CP als Exzentrizitat hat (Nr. 183). 

Diese ist demnacli grofier oder kleiner als Eins, je nach- 
dem auBerhalb oder innerhalb des Kreises C liegt, und sie 
ist gleich Eins, wenn der Pankt der Periplierie desselben 
angehort. Die Polarreziproke eines Kreises ist ein Kegelschnitt, 
der den Ursjprung mm SrennpunU und die dem Mittelpunkt 
entsprechende Gerade 0ur Leitlinie hat; derselbe ist eine Ellipse, 
Eyperlel oder ParaM, je nacJidem der Ursprung innerhalb oder 
aufierhalb des Kreises oder auf demselben liegt 

Analytisch liefert in der Tat die formale Ubereinstimmung 
der Kreisgleicliung und der Fokalgleichung von Nr. 196 den 
Beweis. So ist die Reziproke des Kreises (% of) 2 -f ^ 2 = (> 2 
in bezug auf x* + y* 1 = der Kegelsehnitt 

ps^a + y>j _ (KX _ 1)2 _ o oder (u + of + tf - p 2 = 0. 
Daher fallt die Hauptachse desselben in die Gerade OG und 
ist gleich dem durch. die Kreispotenz des Ursprungs dividierten 
Durchmesser. Die Kegelschnittsordinate im Brennpunkt ist 
1 : @ ? also ist der Hauptparameter der Rezipro'ken eines Kreises 
gl&ich dem redprolten Wert des Eadius, unabhangig von der 
Lage des Kreises. 

B, l) Wenn drei Kegelsehnitte einen Brennpunkt gemein 
haben, so liegen die Sclmittpunkte der Paare ihrer gemeinschaft- 
lichen Tangeaten in einer Geraden. Denn ftr den gemeinscliaft- 
lichen Brenapunkt als Anfangspunkt sind die reziprokea Kurven 



Die Polarreziproke des Kreises. 



347 



Kreise, und die besagten Sebnittpunkte warden die Potenzlinien 
derselben. 

2) Man konstruiere die Leitlimen der vier Kegelscfanitte, die 
duren drei gegebene Punkte geben und einen vorgesebriebenen 
Brennpunkt haben. 

Dazu bat man nur den Mittelpunkt des Kreises zu sueben, <fer 
die Polaren der drei Punkte in bezug auf den Brennpunkt beriihrt. 

398. "WmkelbeziehTingen. Zur reziproken Umformung 
diner Reihe yon Eigenscbaften, die sich auf die GroBe von 
Winkeln bezieben, macben wir von dem letzten Satze in 
Mr. 396 Gebrauch. 



B. 1) Zwei Tangenten eines j DieVerbindungsliniedesScbnitt- 
Kreises bilden mit ihrer Berlin- punktes zweier Tangenten mit 
rungssekne gleicbe Winkel. einem Brennpunkt balbiert den 

Winkel der Brennstrablen der Be- 
rubrungspunkte. (Nr. 190.) 

Denn der Winkel QPP f (Fig. 41) ist dem Winkel gleicb, der 
an von p, q gespannt wird; ebenso ist der Winkel QP'P dem 
von p'j q an gespannten Winkel gleicb; wegen. QPP' == QP'P 
ist daber pOq *=*p'0(. 



2) Jede Tangente eines Kreises 
ist senkrecbt auf der Verbindungs- 
linie ibres Berubrungspunktes mit 
dem Mittelpunkt. 



Jeder Punkt eines Kegelscbnit- 
tes fafit mit dem Schnittpunkt 
seiner Tangente mit der Leitlinie 
einen recbten 



am Brennpunkt 
Winkel. 



Denn die Leitlinie des Kegelscbnittes entspriebt dem Mittel- 
pnnkt des Kreises. 



3) Jede Gerade ist senkrecbt 
2n der Verbindungsgeraden ibres 
Pols mit dem Mittelpunkt des 
Kreises. 

4) Die Gerade, die einen Punkt 
mit dem Mittelpunkt eines Kreises 
verbindet, bildet mit den durcb 
diesen Punkt an den Kreis ge- 
zogenen beiden Tangenten gleicbe 
Winkel. 

5) Der Ort des Schnittpunktes 
derjenigen Tangenten eines Krei- 
ses, die einander unter gegebenem 



Jeder Punkt fafit mit dem 
Scbnittpunkt seiner Polare mit 
der Leitlinie am Brennpunkt einen 
recbten Winkel, 

Die Terbindungsgerade des 
Brennpunktes mit dem Sehnitt- 
punkte einer Geraden mit der 
Leitlinie balbiert den Winkel 
zwiscben den Brennstrablen der 
Scbnittpunkte der Geraden mit 
dem Kegelscbnitt. 

Die Hullkurve der Sebnen eines 
Kegelscbnittes, die einen gegebe- 
nen Winkel am Brennpunkt span- 



348 XXL YOE den reziproken Verwandtschaften. 398. 

Winkel scbneiden, ist ein konzen- 1 nen, ist ein Kegelsebnitt mit dem 
trischer Kreis. , niimlichen Brennpunkt und der- 

; selben Leitlinie. (Nr. 300, 3.) 

6) Die Hiilikurve der Berah- \ Der Ort der Scbnittpunkte der 
rungssebnenderjenigenTangenten i Taagenten eines Kegelscbnittes, 
eines Kreises, die ?ich unter einem j derenBeruhmngssebnenamBrenn- 
gegebenen Winkel sebneiden, ist I punkt einen gegebenen Winkel 
ein konzentrischer Kreis. spannen, ist ein Kegelscbnitt mit 

demselben Brennpunkt und der- 
1 selben Leitlinie. 

7) Wenn man von einem fasten \ Wenn eine feste Gerade eine 
Pnnkte an eine Eeibe konzentri- jReibe vonKegelscbnittenmitdem- 



scher Kreise Tangenten ziebt, so 
ist der Ort der Berubrnngspnnkte 
ein durck den festen Punkt und 
den gemeinscbai'tlichen Mittei- 



selben Brennpunkt und derseiben 
Leitlinie scbneidet, so ist die Hull- 
kurvederTangentenindenScbnitt- 
punkten ein Kegelscbnitt von dem- 



punkt geberider Kreis. | selben Brennpunkte, der die feste 

I Gerade und die Leitlinie beriibrt 

Wenn wir die Gerade unendlicb fern voraussetzen, so ergibt 
sicb als ein besonderer Fall des Satzes, dafi die Hiillkurve der 
Asymptoten aller derjenigen Byperbeb, die denselben Brennpunkfc 
und dieselbe Leitlinie baben, eine Parabel ist, die denselben Brenn- 
punkt bat und die gemeinscbaftlicbe Leitlinie beriibrt. 

8.) Die Hypotenuse eines dem < Der Ort der Scbnittpunkte der- 
Kreise eingescbriebenen recbt- : jenigen Tangenten einer Parabel, 
winkligen Dreiecks gebt durch. ! die einander recbtwinklig scbnei- 
den Mittelpunkt des Kreises, ' den, ist die Leitlinie. 

Wirsagen,,einerPar#M u , denn wenn die der Hypotenuse eines 
solchen recbtwiiikligen Dreiecks gegeniiberliegende Ecke als Ur- 
sprung gewablt wird, ist die Polarkurve des Kreises eine Parabel 
(Sr. 397). 

9) Die Eiillkurve einer Sebne j Der Ort der Scbnittpunkte der 
im Kreise, die an einem gegebe- j Tangenten einer Parabel, die ein- 



nen Punkte seiner Peripberie 
einen vorgescbriebenen Wiukel 
spannt, ist ein konzentriscber 



an der unter gegebenem Winkel 
scbneiden, ist ein Kegelscbnitt, 
der denselben Brennpunkt und 



Kreis. | dieselbe Leitlinie bat. 

Eine nocbmaiige reziproke Umforaung des letzten Satzes 

liefert den zuni ersten kollinearen Satz: Wenn die Sebne eines 

Kegelsehnittes an einem gegebenen Punkt desselben einen kon- 

.^stanten Winkel spannt, so beriibrt sie stets einen Kegelscbnitt, der 

den gegebenen doppelt berubri 



Beispiele liber Wlnkelbeziehnngen. 



349 



10) Wenn die Basis und derj Wenn von einem Dreieck zwei 
Winkel an der Spitze eines Drei- 1 Seiten nach ihrer Lage und der 
ecks gpgeben sind, so ist der Ort j Sehwinkel der Basis an einem 
der Spitze ein Kreis, der durch [ bestimmten Punkte gegeben sind, 
die Endpunkte der Basis geht. so umhiillt die Basis einen Kegel- 

; sehnitt, der diesen Pankt zum . 
; Brennpunkt hat und die beiden 
i gegebenen Seiten beriihrt. 

11 j Der Ort des Scbnittpunktes ; Die Hiillkurve der Sehne eines 
zu einander rechtwinkliger Tan- i Kegelsclinittes, die an einem ge- 
genten einer Ellipse oder Hyper- j gebenen Punkte einen rechten 
bel ist ein Kreis. I Winkel spannt, ist ein Kegel- 

i sehnifct, der diesen Punkt zum 
i Brennpunkt hat. (Nr. 264.) 

12 j Die FuBpunkte dei Lote, die 1 ans einem Punkte in der 
Peripherie eines Kreises auf die Seiten eines ihm eingeschriebenen 
Dreiecks gefallt werden, liegen in einer Geraden (Nr. 302, 3). Wenn 
wir jenen Punkt zuni Drsprung der Beziprozitat wahlen, so ent- 
spricht dem Dreieck ein einer Parabel umgeschriebenes Dreiseit; es 
entspricht auch dem FuBpunkt des auf eine Gerade gefallten Lotes 
die durch den entsprechenden Pankt senkrecht zn seiner Verbin- 
dungslinie mit dem Ursprung gezogene Gerade. Wenn wir also die 
Ecken eines Dreiecks, das einer Parabel umgeschrieben ist, mit 
dem Brennpunkt derselben yerbinden und in jenen Eckpunkten auf 
diesen Verbindungslinien Senkrechte errichten, so gehen diese durcli 
denselben Punkt Der Kreis, der die Verbin dungslinie dieses Punktes 
mit dem Brennpunkt zum Durchmesser hat, geht daher durch die 
Ecken des umgeschriebenen Dreiecks. Sornit: Die Brennpurikte der 
Parcibeln, die die Seiten eines Dr decks zu Tangenten Jiaben. liegen 
auf dtm umgesclincbcnen Kreis des Dreiecks, (Nr. 212,) 



13) Der Ort des FuBpunktes 
der Senkrechten (oder gleichge- 
neigten Geraden) ?om Brennpunkt 
einer Ellipse oder Hyperbel auf 
die Tangenten der Kurve ist ein 
Kreis, 



Wenn man von irgend einem 
Punkte aus nach einem Kreise 
Strahlen zieht und in den End- 
punkten derselben Senkrechte 
(oder gleichgeneigte Geraden) auf 
ihnen errichtet, so ist deren Hull- 
kurve ein Kegelschnitt, der den 
Punkt zum Brennpunkt hat. 



399. Vektorenbezielringen, Die Umformung von Satzen 7 
die die GroBen von Vektoren aus dem Ursprung enthalten, 
kami auf Grand des ersten Satzes in Nr. 396 gesehejheiL 



350 XXI. Von den reziproken Verwandtsehaften. 400. 



B. 1) Die Summe (bez. die 
Differenz) der Abstande paralleler 
Tangenten eines Kreises vom Ur- 



Die Summe der reziproken 
Werte der Abschnitte einer Fokal- 
sehne in der Ellipse ist konstant 



sprang ist konstant. 

Denn paralleled Geraden entsprechen Punkte in einer durch 
pden Ursprucg gehenden Geraden. Da diese Summe bez. Differenz 
dem doppelten reziproken Wert des Parameters des Kegelsehnittes 
gleich ist (Nr. 184, l), so ist bestatigt, dafi dieser nur vom Durch- 
messer und nieht yon der Lage des reziproken Kreises abhangt 
(Nr. 397). Also haben die Reziproken gleicher Kreise in bezug auf 
irgend einen Urspmng denselben Parameter, 

2) Das Kechteck der Abschnitte | Das Eecbteck aus den Senk- 
jeder dureh den Drsprang ge- rechten, die man vom Brennpunkt 
zogenen Sehne eines Kreises ist aufzweiparallele Tangenten fallt, 
konstant. j ist konstani 

Daher ist mit der durch den TJrsprung an einen Kreis zu 
ziehenden Tangente auch die konjugierte Achse der reziproken 
Hyperbel gegeben. 



S) Die Summe der Entfernun- 
gen des Brennpunktes yon den 
Beruhnmgspnnkten paralleler 
Tangenten ist konstant, B'amlieh 
gleicn der Summe der Brenn- 
strablen eines der Punkte. 



Die Summe der reziproken 
Werte der Abstacde eines be- 
liebigen Punktes Yon solcnen zwel 
Tangenten eines Kreises, deren 
Beruhrungssebne durch jenen 
Punkt gebt, ist konstant. 



400. Reziproke Iiomogene Gleidmngen. Jede Bomogene 
Gleictung zwischen den Laagea der Normalen Pa, Pb, usw. 7 die 
YOB einem Yeranderlichen Punkte P auf feste Geraden a, b, usw. 
gefallt werden, kann so transformiert werden, da8 wir eine 
homogene Gleichung zwischen den Loten Ap, Up, usw. er- 
halten ; die Yon den den. festen Geraden entsprechenden festen 
Punkten -4 ? J5 ; usw. auf die veranderliche Gerade p gefallt 
warden 7 die dem Punkte P entspricht Denn wir haben die 
Gleichung nur durch eine Potenz yon OP, den Abstand des 
Ursprungs Yom Punkte P, zu dividieren ; um dann nach. 
Nr. 112 fiir jedes Verhaltnis Pa : OP das gleichwertige Ap : OA 
zu substituieren. 

Wenn z. B. Pa, P6 ; PC, Pd die Yom beweglichen Punkte 
eines Kegelschnittes auf die Seiten eines eingeschriebenen 
Vierecks gefallten Lote sind, so ist nach Nr. 279 
(23) Pa*Pc=*'k*Pt*Pd. 



Vektorenbezielmngen. Beziproke homogene Gleiciiimgen. 351 

Die Division jedes Faktors mit OP und die angegebene Sub- 
stitution liefert die Beziehung 



_ 

OA ' OC " OB ' OD ' 

Da A > OB, OC, OD konstant sind ? so steht fur ein festes ? 
dem Kegelschnitt umgeschriebenes Vierseit das Produkt der 
Abstande einer veranderlichen Tangente yon zweien seiner 
Gegenecken zu dem Produkt ilirer Abstande von den beiden 
andern Gegeneeken in eineni konstanten Yerhaltnis> wie in 
NT. 279. 

Da nun jede Gleichung in trimetrischen Nbrmalkoordi- 
naten x i (Nr. 69 und 87) eine homogene Beziehung zwiscten den 
Abstanden eines Punktes von drei festen Geraden ist, so konnen 
wir die Gleichungnacli dieser Methode in eine Beziehung zwischen 
den Abstanden dreier fester Punkte von der entsprechenden Ge- 
raden verwandeln^ d. L in eine Beziehung zwischen trimetri- 
sclien Linienkoordinaten w f ; also die homogene Gleichung einer 
Kurve in den x i in die ihrer Reziprokalkurve in den u t . So 
wird fur ^ als die Entfernungen des Ursprungs von den 
Ecken des neuen Fundamentaldreiecks die allgeineine homo- 
gene Ortsgleichung zweiten Grades transformiert in 



Und fur y i als die Dreieckskoordinaten des Ursprungs geht 
aus einer Gleichung zweiten Grades SA^u^ = die Glei- 
chung der Reziprokalform in den x i hervor 



Das Produkt der Abstande 
zweier fester Punkte eines Kegel- 
schnittes von einer beliebigen 
Tangente desselben steht in einem 
konstanten YerMltnis zu dem 
Quadrate des Abstandes jener 
Tangente vom Schnitlpunkt der 
in jenen Punkten gezogenen Tan- 



B. 1) Das Produkt der Ab- 
stande eines beliebigen Punktes 
eines Kegelschnittes von zwei 
festen Tangenten desselben steht 
zu dem Quadrat seines Abstandes 
von ihrer Berubrungssehne in 
einem konstanten Verhaltnis. 
(Hr. 279.) * 



genten, 

Wahlt man bei dieser Transformation den Ursprung der Ee- 
ziprozitSt in dr Benihrungssehne selbst, so lautet der reziproke 



;)52 XXL Von den reziproken Yerwandtschaften. 400. 

Satz: Das Bechteek aus den Absehnitten, die eine veranderliche 
Tangente ernes Kegelschnittes in zwai paralielea festen Tangeaten 
desselben besfcimmt, 1st konstant. (Nr. 288, 4.) 

2) la jedem Kegelschnitte ist i Das Quadrat des Abstandes 
das Produkt derLangen derLote, i ernes festen Punktes von emem 
die man von zwei festen Pnnkten \ beliebigen Ptinkte eines Kegel- 
(den Brennpunkten) auf eine be- 1 schnitles steht zu dem Produkte 
liebige Tangente fiillt, konstant, I der AbstSnde dieses Punktes der 

! Kurve von zwei festen Geraden 
! in einein konstanten Verhaltnis. 

3) Wenn i'iir einen Kegelscbnitt ein Brennptinkfc nnd ein um- 
gescnriebenes Dreieck gegebea smd, so sind die Abstaade u t der Ecken 
des Dreiecks von einer beliebigen Tangente durch die Beziehung 
verbunden 

L sin 0* + ^ sin 6, + -^ sin d - 
^ l MS 2 % 3 

fur BH ^ 2? 5 3 als die Winkel, unter densn die Ssiten vom Brenn- 
punkte aus erscbeinen. Dies lehrt die Bildung der Reziproken 
von der homogenen Gleichung des einem Dreieck umgeschriebenen 
Kreises, 

Wird der Mittelpunkt des eingeschriebsnen Kreises als Brenn- 
punkt genommen, so ist 0.= J-(TC -)- J.J, Q. sin ^A^ (>, uad die 
Gleicbung des eingeschriebenen Kreises in diesem System ist 

cot A + M? cor i-A + H, C3t A = 0. 



Pur jeden der auBerlich beruhrenden Kreise sind zwei der Kotan- 
genten durch die entsprechenden Tangenten zu ersetzen. 

4) Wenn fur einen Kegelschnitt der Brenapunkt und ein ein- 
geschriebenes Dreieck gegeben sind, so werden die Absfeande seiner 
Ecken von einer ver&nderlichen Tangente der Kurve durch die Be- 
ziehung verbunden 

Die Gleichung des umgeschriebenen Kreises in Linienkoordi- 
naten erhiilt die Form 

sin A^y^ + sin A$ ]/% + bin A$Yu B . 



6) Die Gleicinmg eines Kegelscknittes bei einem gegebeaen 
Brennpunkt und drei Tangenten ist 



Man erhalt sie durch die Bildung der Reziproken 211 der znletzt 
gefundejien Gleichung des umgeschriebenen Kreises. 



Projektlye Strecken- imd Winkelbeziehungen. 353 

6) In derselben Art erhalten wir aus 3) die Gleichrmg eines 
Kegelschnittes bei gegebenem Brennpunkt und drei Pimkten 



401. DoppelverMltais-Eigenscliaften. Manche auf GroBen- 
verhaltnisse beziigliche Satze lassen sick in solche Ober har- 
monische oder gleiche Doppelverhaltnisse umwandeln. Ihre 
Transformation wird alsdann durch die grundlegende Eigen- 
schaft ermoglicht: Tier PanUen einer geraden Eeihe cntsprechen 
vier Straklen eines Siischels von gleicliem Doppelverhdltnis. Zur 
selbstandigen elementaren Begriindung derselben hat man nur 
anzufiihren, da8 jeder Strahl ; der den Ursprung mit einem 
Punkte der Reilie verbindet, zu dem Straale des Biischels, der 
dem Punkte entspricht ? rechtwinklig ist. Mit Hilfe dieses 
Satzes lassen sich die projektiven Eigenschaften der Eegel- 
schnitte aus denen des Kreises ableiten. 

Das Doppelverhaitnis yon vier Punkten einer Geraden ist 
aber nicht die einzige Streckenbeziehung, die durch. eine 
Winkelbeziehung ausgedru'ckt werden kann. Fiir jede Gleichung ; 
die durch die wie in Nr. 84 yollzogene Substitution des Aus- 

drucks 

/0 ., OA-OB-siu AO'B 

(2oj ------- _ ------- 

fur jede in ihr vorkommende gerade Strecke AB in eine 
Gleichung zwischen den Sinus der an einem gegebenen Punkte 
gespannten Winkel ubergefuhrt werden kann, gilt ebenfalls, 
dafi sie fiir die Schnittpunkte jeder beliebigen Transversale 
mit den Geraden A, OB . . . wahr ist, die jene Punkte mit 
diesein gegebenen Punkte verbinden. Indem roan alsdann 
den gegebenen Punkt zum Ursprung der Reziprozitat nimmt ; 
kann ein reziproker Satz leicht abgeleitet werden. So ist z. B. 
der folgende CarnotschQ Satz eine unmittelbare Folge YOU 
Nr. 150: Wenn ein Kegelschnitt die Seiten -4 2 -4 37 A 2 A l} AA % 
eines Dreiecks bez. in den Punktepaaren J? 1? J5/; -B 2 ?-^/? B*>>^ 
schneidet ; so ist 



Dieses Verhaltnis besitzt die ebeli erwahnte Eigenschaft^ also 

Salmon-Fiedler, anal. Geom. d. Kegelschn. II. 7. Aufl, 23 



354 XXI. Von den reziproken Verwandfcschaften. 402. 

dtirfen fur die in ihm auftretenden Strecken die Sinus der 
Winkel eingefukrt warden, die die Punkte bestimmen. Wir 
konnen dann den zum Carnotschen Satze reziproken Satz von 
Ghasles bilden, den wir in Nr. 314 gegeben haben. 



B. Das Doppelverhaltnis des 
Buschels, das durch die Yer- 
bin dung von vier festen Punkten 
eines Kegelschnittes mit einem 
veranderlichen ftinften Punkte 



Das Doppelverhaltnis der Punkte, 
in den en vier festeTangenten ernes 
Kegelscbnittes von einer verander- 
lieben funftea Tan gen te geschnit- 
ten werden, 1st konstant. 



entsteht, ist konstant. 

Der erste dieser Satze ist ftir den Kreis wahr, weil alle Winkel 
des Buschels konstant sind; infolgedessen ist der zweite fur alle 
Kegelschnitte riclitig. Der zweite Satz gilt fur den Kreis, weil die 
von den vier Punkten am Mittelpunkt bestimmten Winkel konstant 
sind; infolgedessen ist der erste Satz ftir alle Kegelsehnitte wahr. 

Indem man die Winkel betrachtet, die in der reziproken Figur 
den am Kreise vorhandenen konstanten Winkeln entspreehen, er- 
kennt man, daB die von den vier Punkten der veranderlichen 
Kegelschnittstangente am Brennpunkt bestimmten Winkel konstant 
sind, und daB ferner die Winkel,. die von den Schnittpunkten der 
vier Strahlen des Biischels mit der Leitlinie am Brennpunkt ge- 
spannt werden, von konstanter GroBe sind. 

402. Metrisclie Tlieorie reziproker Kegelsclmitte. Je 
nahter eine Gerade oder ein Punkt dem Ursprung ist, desto 
weiter mu6 offenbar der entsprechende Punkt oder die ent- 
sprecliende Gerade von demselben entfernt sein; insbesondere 
entspricht jeder durch. den Ursprung gehenden Geraden ein 
"anendlich ferner Punkt und dem Ursprunge selbst die nn- 
endlich ferae Gerade. Hieraus ergibt sict allgemein die Be- 
stimmung der Gattung des reziproken Kegelsehnittes. 

Den beiden durch den Ursprung an die Kurve zu ziehenden 
Tangenten entspreehen die unendlict lernen Punkte der rezi- 
proken Kurve. Je nachdem vom Ursprung aus zwei reelle 
oder imaginare Tangenten an die Kurve gezogen werden kon- 
nen ; hat die reziproke Kurve zwei reelle oder imaginare un- 
endlich ferne Punkte, und wenn der Ursprung in der Kurve 
liegt, so daB die von ihm aus zu ziehenden Tangenten zu- 
sammenfallen, so fallen die unendlich fernen Punkte der rezi- 
proken Kurve zusammen und die zugehorige Tangente ist 



Die Metrik reziproker Kegelschnltte. 355 

die unendlich feme Grerade. Mit den genau definierten Unter- 
scheidungen gilt somit das Kriterium YOU Nr. 397 allgemein: 
Der reziproke Kegelsclinitt ist eine Hyperbel, erne Ellipse oder 
sine Parabel, je nacMem der Ursprung auperhalb, innerhalb 
des gegclenen Kegelschnittes oder auf demselben liegt, unab- 
l\'dngig von dessen Galtuny. 

Den Beruhrungspnnkten der Tacgenten aus dem Ursprung 
entsprechen die Tangenten in den unendlicli fernen Punkten 
der Reziproken, d. h, die Asymptoten derselben. Die Exsen- 
trmtat der Beziproken liangt nur YOU ihrem Asymptotenwinkel 
ab (N> . 163) und dieser ist gleici. oder supplementar dem Winkel, 
den die vorn Ursprung ausgehenden Tangenten der Original- 
kurve einschliefien. Die Reziproke eines XegdschniUes in lemg 
auf einen PunU seines reellen Haupfkreises als Ursprung ist 
eine gldchseitige Hyperbel. 

Ferner entspricht der Schnittpunkt der Asymptotea der 
Eeziproken der Bertilirungssehne der vom Ursprung an die 
gegebene Kurve gezogenen Tangenten. Also entspricht der 
MiMpunU der Eeziproken der Polare des Ursprungs in lezug 
auf den gegelenen Kegelsclmitt. Es ist nnr ein besonderer Fall 
LieiTon, wenn dem Mittelpunkt eines Kreises die Leitkurre 
des reziproken Kegelscbnittes entspricbt (Nr. 180). 

Die Aclisen der Eeziprokalkurve sind parallel der Tangente 
und Normale eines mit dem gegebenen honfokalen Kegelschnittes, 
der durch den Ursprung geM. Denn sie sind parallel den 
Halbierungslinien des Winkels, den die Yom Ursprung an die 
gegebene Kurve gehenden Tangenten mit einander bilden 
(NT. 188 und 229). Auch sind die Achsen der fieziproken aus 
ihrer Durchmesser- Involution zu bestimmen, die zur Involution 
harmonischerPolaren des gegebenen Kegelschnittes am Ursprung 
projektiv ist. Sofort bekannt sind die Aclisen dann, wenn eine 
Achse der gegebenen Kurve durch den Ursprung geht. Insbe- 
sondere gilt offenbar der Satz: Die Eeziproke eines KegelsclinitUs 
in lemg auf seinm Mittelpunkt als Ursprung ist der Itoactisiak 
Kegelschnitt, dessen Achsen diereziproken Werte der gegebenen haben. 

B. 1) Die Reziproke einer Parabel in bezug anf einen Punkt 
ihrer Leitlinie ist eine gleicbseitige HyperbeL 

23* 



356 XXI. Von den reziproken Yerwandtschaften. 403. 

2) Man weise die folgenden Satze als reziprok nach: 



Die Hohen eines der Parabel 
tungeschriebenen Dreiecks schnei- 
den sicli in der Leitlinie. 



Die Hohen eines der gieieh- 
seitigen Hyperbel eingesehriebe- 
nen Dreiecks schneiden sich auf 



i der Kurve. 
8) Man ieite den letzten Satz aus dem von Pascal ab. (VgL 

Nr. 275, 3.) 

403. Beziproke Kegelsclmittsysteme. Durclt die polar- 
reziproke Umformung gehen die punktuell linearen Kuryen- 
systeme aller Stufen in tangentiell-lineare Systeine derselben 
Stufen iiber (Nr. 271). Sehr haufig kann man dureh geeignete 
Wahl des Ursprungs dem reziproken System einen besonderen 
Cbarakter geben, der die Untersuchung desselben tibersicht- 
licher werden lafit. 

Allen Kegelschnitten mit einem gemeinsamen reelienPunkt 
entsprecben fiir diesen als TJrsprung gleichzeitig Parabeln. 
Allen KegelsclinitteB mit zwei reeEen oder imaginaren ge- 
meinsamen Tangenten entspreclien fur deren Schnittpunkt als 
Ursprung gleichzeitig Kegelschnitte mit parallelen Aetsen und 
Asymptoten ? d. h, homothetische Kegelschnitte. 

Die Eeziproken Ton irgend zwei Kegelschnitten konnen 
konzentrisch gemacht werden, indem man eine Eeke ihres ge* 
meinsamen Polardreiecks als Ursprung nimmt. Jedes Bilschel 
oder jede Sctar entspricht so einer Sehar oder einem Buschel 
fconzentrischer Kegelschnitte, deren Grundelemente ein Parallelo- 
gramm bilden. 

Die reziproken Umformungen beliebiger Kreissysteme 
geben das Mittel, Eigenschaften von Kegelschnitten zu er- 
kennen ? die einen gemeinsamen Brennpunkt haben. Zu den 
Kreisen eines Biischels ohne reelle Schnittpunkte lafit sich 
stets ein Punkt finden, fur den als Ursprung die reziproken 
Kinren der Kreise konfolcale Kegelsclmitle werden (Nr. 228). 
Denn diese Reziproken werden konfokal, sobald sie einen ge- 
meinschaftlichen Mittelpunkt baben. Also muB der Ursprung 
in bezug auf die Kreise die namliche Polare haben, d. L er 
muB einer der beiden Grenzpunlde des Buschels sein. 



B. 1) Konfokale Kegelschnitte 
scbneiden einander recbtwinklig. 
(IS T r. 229.) 

2) DieTangenten Ton zwei kon- 
fokalen Kegelschnitten aus einem 
beliebigen Punkte bilden gleicbe 



Reziproke Kegelsebnittsysteme. 357 

Die gemeiBSchaftlielie Tangente 
von zwei Kreisen bestimmt an 
jedem der Grenzpunkte einen 
reebten Winkel. 

Die auf einer Sekante von zwei 
Kreisen zwiscben denselben ge- 
legenen Abscbnitte spannen an 



Winkel mit einander. (Nr. 229.) I jedem der Grenzpunkte gleicbe 

j Winkel. 

3) Der Ort des Pols einer festen | Die Polaren eine? festen Punktes 
G-eraden in bezug auf die Kegel- j in bezug auf die Kreise eines 
sebnitte eines konfokalen Systems j Biisclieis gehen durcb einen festen 
ist zur festen Geraden recbt- Punkt, der mit jenem an jedem 
winklig, (BTr. 229, 1.) der Grenzpunkte einen recnten 

I Winkel bestimmt. 

4) Die Metliode der reziproken Polaren bietet eine einfacbe 
Aufiosung der Aufgabe des Ajpollonius dar: Einen Kreis zu "be- 
scJireilen, der drei gegebene Kreise lerulirt. Der Ort des Mittel- 
punktes fur eiuen Kreis, der zwei gegebene Kreise (l), (2) beiiibrt, 
ist offenbar eine Hyperbel, die die Mittelpunkte dieser Kreise zu 
Brennpunkten bat; denn die Aufgabe reduziert sicb sogleicb auf 
diese andere: Man soil den Ort der Spitze eines Dreiecks bestimmen, 
fur das die Basis und die Differenz der Seiten gegeben ist. Infolge- 
dessen muB (Nr. 396) die Poiare des Mittelpunktes in bezug auf 
einen der gegeben en Kreise immer einen Kreis berubren, der leicht 
konstruiert werden kaim. Ebenso muB die Polare des Mittelpunktes 
fur einen unter denjenigen Kreisen, die die Kreise (l) und (3) zu- 
gleicb beriihrea, auch einen gegebenen Kreis beruhren, Wenn wir 
daber zu den zwei so bestimmten Kreisen eine gemeinscbaftlicbe 
Tangente zieben und den Pol derselben in bezug auf den Kreis (l) 
nebmen, so ist mit ibm der Mittelpunkt eines die drei Kreise be- 
rabrenden Kreises gefunden. 

404 Gleielrang des reziproken Kegelscimittes. Wenn 
die Lange des vom Mittelpunkt auf die Tangente ; gefallten 
Lotes mit Hilfe des von ihr mit den Adasen gebildeten Win- 
kels a durch j) == i/(a 2 cos 2 a + 6 s sin 2 a) ausgedruckt wird 
(Nr. 167, l), so ist der Abstand jp eines beliebigen Punktes 
X Q I y Q von dieser Tangente gleich p % cos a y Q sin a. 
Mit Hilfe von p r fc 2 ergibt sich hieraus umnittelbar die 
Gleiehung der Reziproken eines Kegdsehnittes mit Iwug auf 
einen Punkt % j y als Ursprung in der Form 
(27) (x^x + y^y + A* 2 ) 2 = ct?x? + Vf', 



358 X3 Von den reziproken Verwaiidtschaf'ten. 404. 

insbesondere erhalt man $x l -f & V = Jc\ wenn der Mittel- 
punkt selbst Ursprung isl (Nr. 397.) 

1st uberhaupt die Reziprolce einer Kurve in lemg auf den 
gum Ursprung genommenen Nullpunld der Koordinaten bekannt, 
so Jcann man daraus die Gleichung Hirer fur einen leliebigen 
Purikt x Q | y als Ursprung gelildeten Eetsiprohen ableiten. 1st 
namlich p der Abstand einer Tangente vom Nullpunkt, also 
ilir Abstand P ^ = P yom Punkte X Q | y gleicli (p # cos a 
2/ sin a), so ist wegen pr = 7c 2 7 P * E = X 2 die Polarglei- 

dnang der reziproken Kurve 

jT 2 jfe 2 . -, , 

._- SB -. ^ cos a y sin a; daner 



Wir mtissen demnach. in die Gleichnng der auf den Koordi- 
natenanfang bezogenen reziproken Kurve fur $ und y bez. 



einsetzen ? uin die gesuctte Gleichung zu erhalten. 

Das Ergebnis dieser Substitution kann in der folgenden 
Art einfaeii ausgedriickt werden: Sei die Gleichung der auf 
den Anfangspunkt der Koordinaten bezogenen reziproken Kurve 

u (n) + u (n-l] + w (-2) + . . . = Q ; 

wo u^ die Vereinigung der Glieder m ten Grades bedeutet. 
Dann ist die Gleichung der dem Punkte # j y entsprecten- 
den Reziproken 

uw+MC-^^+y^+g) + M (- 2 )f?M+i!\ 2 + . . . _ o'. 

\ % / V & ) 

Sie ist offenbar mit der ersten von demselben Grade. 

So wird die Reziproke eines durcli die allgemeine Glei- 
chung gegebenen Kegelschnittes in bezug auf die Leitkurve 
x* -j- y s = If durch Einsetzen von x : ft 2 [ y : T$ fur u\v 
in die Tangentialgleichung erhalten als 
A n x* + 2A n xy + A^y* - ZA^Vx - 2A^ t Vy + A^ - . 

Allgemein hat die reziproke Polare einer Kurve f(x, x) = 
in bezug auf eine Leitkurve g(x 9 x) die Gleichung 
g,, ft) 0, wo g % - /(*,), i - 1, 2, 3. ' 



Reziprozitat mit parabolischer Leitknrve. 359 

Dies wurde bereits in Nr. 354, i gezeigt; dabei ist 
(29) F(gi,9*,ff3 = 3H0(a, x) - 2t(s, a?). 

(VgL aueb Nr. 395.) 

B. Man erlautere den Fall der Bildimg der Polarreziproken 
in bezug auf die symmetrisch gesebriebene Leickurve iC 2 + # 2 4- # 2 = 0. 

405. Parabolisclie Polarreziprozitat. Es gibt eine Grappe 
von Satzen, zu deren Transformation vorteilbaft eine Pardbel 
als Leitkurve m ) genommen werden kann. Diese Satze bezieben 
sich auf die GroBe von Strecken, die einer festen Geraden 
parallel gemessen sind. Die Parabel ist zur reziproken TJm- 
formnng dieser Satze besonders geeignet, well der zwischen 
irgend zwei Geraden gelegene Abscbnitt in der Acbse der 
Parabel demjenigen Abschnitt der Acbse gleich ist ? der zwi- 
sclien den yon den Polen dieser Geraden gefallten Acbsen- 
normalen liegt. (Nr. 204.) 

Bei der Anwendung dieser Methode entsprecben den zwei 
Kurventangenten, die der Acbse der als Leitkurve gewablten 
Parabel parallel sind ? die unendlicb fernen Punkte in der 
Eeziproken. Daber ist diese Kurve eine Hyperbel oder Ellipse 7 
je nacbdem jene Tangenten reell oder imaginar sind; endliclt 
ist die Kurve eine Parabel, wenn diese Achse durcb einen 
der nnendlicb fernen Punkte der gegebenen Kurve gebt. 

Immerbin ist diese Methode der parabolischen Polaren 
in ibrer Anwendnng offenbar beschrankt. 

B. 1) Jede veranderliche Tan- Die Asymptoten nnd die durch 



gente eines Kegelschnittes be- 
stinimt in zwei festen parallelen 
Tangenten desselben Abscbnitte, 
deren Recbteck von konstanter 



irgend einea Pankt der Kurve 
zu ihnen gezogenen Parallelen 
bestimmen in einer festen Ge- 
raden Abschnitte, deren Rechteck 



Grofie ist (Nr. 151 und 171, 3). ikonstant ist (HTr. 164). 

Den Beriihrungspunkten der parallelen Tangenten entsprechen 
die Asymptoten der reziproken Hyperbel, den Schnittpnnkten mit 
der beweglffehen Tan gente aber Asymptotenparallelen durcb den 
reziproken beweglicnen Punkt. Der reziproke Satz ist gleichbe- 
deutend mit dem Satze von der Konstanz des Recbtecks der Asym- 
ptotenparallelen. 

2) Diejenigen Sehnen iner Hy- Wenn eine beliebige Tangents 
perbel, die von zwei festen Punk- j einer Parabel zwei feste Tan- 
ten derselben nach einem ver- j genten derselben scnneidet, so be- 



360 3Q3* Von den reziproken Yerwandtscnaften, 406. 

anderlieben dritten Pnnkte der jstimmendievonihrenEndpTinkten 
Kurve gezogen werden, bestimmen ! auf die Scbeiteltangente gefallten 



auf jeder Asymptote je einen 
Absdmitt von unveranderlicher 



Lota in dieser emeu Abselmitt 
von konstanter Lange. 



Lfinge (Nr. 174,2). 

406. Inversion. Das eindentige Entsprechen von Punkten 
mit Punkten oder von Geraden mit Geraden, das zusammen 
fur die Kcllineation, und das von Punkten mit Geraden oder 
von Geraden mit Punkten, das susamwen fur die Eetiprowtat 
charakteristisch ist, kann getrennt nacli verschiedenen Gesetzen 
in sehr verscliiedeiien Arten hergestellt werden. Alle diese 
Arten geben AnlaB zur Transformation von Figuren in an- 
dere Figuren und zur Ubertragung der auf jene beziiglichen 
Satze auf diese ; somit zur Eikenntnis neuer geometrisclier 
Wahrheiten. 

Im AnschluB an die zirkulare Polarreziprozitat ist es 
leictt genug ? ein Entsprechen von Punkten ganz analog zu 
begriinden, wie bier das Entsprechen von Pol und Polare. 
Der Fufipunkt der Polare in dem Durchmesser des Pols kann 
als dem Pol entsprechend angesehen werden; dann gilt das 
Gesetz: Bntsprechende Punkte liegen auf eiuerlei Durchmesser 
des Leitkreises ? und das Produkt ihrer Abstande vom Mittel- 
punkt ist konstant. Damit kommen wir zuruck auf die in 
Nr. 125 127 betrachttete Verwandtschaft der zirkularen In- 
version oder der re^iproJcen Radienvektoren. m ) 

Inverse PimMe Bind auJi doppelt reziprolte Elemente in 
jeder Reziprozitat, die den Inrersionslireis und irgend einen 
famzenlriscJien Kreis mr Ordnungskune /ml 127 ) (Nr, 389 und B.) 
Das involutorische Tripel besteht aus dem Inversionszentrum 
und den imaginaren Kreispunkten, d. h. diesen sind alle Punkte 
der reziproken Dreiecksseiten doppelt reziprok oder invers 
(Nr. 125). 

Infolge der quadratischen Substitution wird die Inverse 
einer Kurue n ter Ordnung im Allgemeincn wn der Ordnung 2n. 
Man ubersieht sofort, dafi diese Ordnung sich stets dann er- 
niedrigt, wenn die gegebene Kurve durch Ecken des Tripels 
geht Denn, so oft dies geschieht^ sondert sich von der Kurve 



InTersion tmd reziproke Radien, 361 

g^ter Ordnung eine Seite des Tripels ab; nur der von dem 
Tripel unabhaBgige Tell dieser zerfallenden Kurve entspricht 
der Kurve n iQT Ordnung eindeutig. Zu einem Kegelsctnitt 1st 
die Inverse im allgemeinen erne Kurve vierter Ordnung; zu 
eiiiem Kreise, da er durcli die imaginaren Kreispunkte geht ; 
wieder ein Kreis; zu einem Kreise durcli das Inversionszentrum 
nur noch eine Gerade. 

Bilden wir in bezug anf denselben festen Kreis zn 
einer gegebenen Kurve gleichzeitig die Polarreziproke und 
die Inverse, so ist auf jeder Tangente der ersten ein Punkt 
der letzten der FuBpunkt des vom Mittelpunkt auf sie ge- 
fallten Lotes: Die Inverse ist die Fufyimtikurve der Polar- 
reziprolten fur den Mittelpunkt des gemeinsamen Leifkreises. 
So ist die FuBpunktkurve eines Kegelscinittes fiir einen der 
Brennpunkte der Scheitelberuhrungskreis (Nr. 189 und 161). 

Neben der Eigenschaft der Inversion, WinkelgroBen nicht 
zu andern (Nr. 127), tritt als die wicMigste diejenige auf, 
DoppelverMltnisse am Kreise nicht m andern. Nennt man 
das Doppelverhaltnis von vier Punkten eines Kreises geradezu 
das Doppelvertaltnis des Kreisvierecks, so kann man den 
Satz so aussprechen: Inverse Kreisvierecke sind doppdverlialtnis- 
gltich. Daniit konnen projektive Beziehungen von Punktreihen 
und von Strahlenbiisclieln auf zirkulare Eeihen und Kreis- 
btischel (ibertragen werden. 

Den Beweis liefert der Satz von Nr. 297, daB Strahlen 
eines Buschels einen Kegelsctnitt in Punktepaaren einer In- 
volution sclineideB., dessen besondere Anwendung auf den Kreis 
scion Nr. 119 enthalt. Nun haben oflfenbar vier Punkte eines 
Kreises und die auf den Inversionsstrahlen atnlich gelegenen 
Punkte des inversen Kreises gleiche DoppelverMltnisse, denn 
diese werden durcli ahnlict gelegene Strahlenbuschel gernessen. 
Mit diesen sind aber die vier invereen Punkte involutorisch, 
namlich perspektiv zu einer und derselben Reite in der Polare 
von in bezug auf den inversen Kreis (Nr. 125). EndlicH 
haben vier Punkte einer Geraden und die eatsprechenden auf 
dem durch gehenden inversen Kreise als gemeinsaines 
Doppelverhaltnis dasjenige itrer InversionsstraKLen. 



362 XXL Von den reziproken Yerwandtschaften. 406 

B. l) Aus den Substitutionen as : y : 1 = x : y : (x' 2 + y'*] 
folgt die einfache Beziehung komplexer Koordinatenverbindungen 



Schreibt man a^ : a? 8 | #g : # 3 fiir x iy \x-\-iy und #/ : # 3 ' j # 2 ' : #/ 
fBr #' + $y' | x' *#', d. h. fiihrt man das involutorische Tripel als 
Eundamentaldreieck ein, so erhalt man die symmetrischen liomogenen 
Substitutionen der Inversion: 



2) Aus dem Satze, daB eine sich um einen fasten. Punkt drehende 
Gerade in zwei festen Geraden projektive Reihen bestinamt, folgt 
Inyers: Die Kreise eines Biischels bestimmen in jedem von zwei 
festen Kreisen, die durch je einen der Grand punkte des Biischels 
gehen, projektive Punktreihen. Ebenso folgt: Die Kreise eines 
Biischels bestimtnen in einem festen Kreise zwei involutorische 
Punktreihen; usw. 

3) Die drei Kreise, die durch einen Punkt und die Schnitt- 
punkte von je zweien unter drei beliebigen Kreisen gelegt werden 
konnen, haben einen zweiten gemeinschaftlichen Punkt. Denn die 
Potenzlinien von drei Kreisen gehen durch einen Punkt. 

4) In jedem System von drei Kreisen bestimmen die sechs 
Paare Beriihrungskreise von je zweien unter ihnen, die durch einen, 
und denselben Punkt gehen, sechs Schnittpunkte mit einander, die 
viermal zu dreien in Kreisen durch jenen Punkt liegen. Denn die 
sechs Schnittpunkte der gemeinschaftlichen Tangenten von drei 
Kreisen liegen viermal zu dreien in Geraden. 

5) Wenn sich zwei veranderliche Kreise unter konstantem 
Winkel auf einer festen Kreisperipherie und tiberdies in einem festen 
Punkte schneiden, so umhullt der Kreis, der in jeder ihrer Lagen 
durch den festen Punkt mit ihren veranderlichen Schnittpunkten 
im festen Kreise bestimmt wird, einen zweiten festen Kreis, der 
mit dem ersten und jenem Punkte dieselbe Potenzlinie hat. Denn 
wenn sich zwei Geraden in einem festen Punkte eines gegebenen 
Kreises unter konstantem Winkel schneiden, so umhullt die Ver- 
bindungslinie ihrer Schnittpunkte mit dem Kreise einen zweiten 
festen, dem ersten konzentrischen Kreis. 

6) Man transformiere durch Inversion die Figur, durch die 
man aus drei Paaren entsprechender Punkte zweier projektiver 
konzyklischer Eeihen die Doppelpunkte derselben bestimmt (BTr. 297), 
fiir ein auf der Kreisperipherie gelegenes Zentrum. Man erhalt 
eine von Ohasles benutzte Konstruktion. 

7) Aus dem Satz vom Schneiden der Hohen eines Dreiecks 
folgt nach der Theorie der reziproken Polaren: Die drei Lote, die 



Inversion. Reziproke Koordinaten. 363 

man in einem Punkte auf seinen Yerbindungslinien mit den 
Ecken eines Dreiecks ABC errichten kamu treffen die Gegenseiten 
des Dreiecks in Punkten einer Geraden. Durch Inversion mit dem 
Zentrum folgt: Wenn man auf den gemeinschaftlichen Sehnen 
OA, 0-8, OG Yon drei in sich sehneidenden Kreisen in Lote 
erriehtet, so liegen ihre zweiten Schnittpunkte mit den entsprechen- 
den Kreisen auf einem durch gehenden Kreise. Die abermalige 
Bildung der Reziprokalfigur mit dem Ursprung Jjftt: Wenn drei 
Parabeln von einerlei Brennpunkt von je zwei SSten desselben 
Dreiecks beriihrt werden, so benibren die zu diesen Seiten recht- 
winkligen Tangenten der entspreehenden Parabeln eine und die- 
selbe Parabel vom namlichen Brennpunkt, 

407. Methode der resiproken Koordinaten. Um ein im 
allgemeinen eindeutiges Entsprechen von Elementen zu defi- 
nieren ? kann ; wie bislier em Kegelsclinitt ; auch ein Dreieck 
oder Viereck als feste Hilfsfigur dienen. Es genilgt auf einige 
solche Methoden hinzuweisen,. 

Verbindet man einen Punkt x. mit den Ecken eines Drei- 
ecks und nimmt man zu jedem EckstraU den symmetrischen 
in bezug auf die Halbierungslinie des zugehorigen Dreiecks- 
winkels, so schneiden sich diese drei Eckstrahlen wieder in 
einem Punkte y i (Nr. 65 ; 8). Die trimetrisahen Jfornialkoordi- 
naten des einen Punktes sind die reziproken Werte von denen 
des andern. Man kann offenbar diese Punkte als einander ein- 
deutig und vertauschbar entsprechend in bezug auf das Drei- 
eck oder nach. der Methode der resiproken Koordinaten an- 
sehen. (Nr. 317, 2.) 55 ) 

Die Zuordnung ist wiederuin quadratisch ? und zwar so, 
daB bei Benutzung trimetrischer Normalkoordinaten einer Gre- 
raden Ea t x t = ein dem Dreieck umgescliriebener Kegel- 
sclinitt 21 (a t : x^ == entspricnt" (Nr. 302) und umgekekrt. 
Damit erkennt man die Inversion als Sonderfall dieses Ent- 
sprecttens (Nr. 406, i). Der unendlich fernen Geraden ent- 
spricnt der umgeschriebene Kreis des Dreiecks (Nr. 302 ? 3), 
jedeni Eckpuokt aber entsprechen alle Punkte der Gegen- 
seite. Die einzigen sich selbst entspreehenden Punkte sind 
die Mittelpunkte der vier dein Dreieck eingeschriebenen Kreise. 
(Teil 1, Nr. 73, S. 138.) 



364 XXI. Yon den reziproken Verwandtschaften. 408. 

Ebenso konnte man em Entsprecben Ton Geraden naeii 
reziproken Linienkoordinaten aufstellen. 

Endlich kann jedem Prakte eine Gerade zugeordnet werden ? 
deren Linienkoordinaten die Reziproken der Punktkoordinaten 
sind. Geometriscb bedeutet dies nacli Nr. 67, l das Entsprcclien 
zwisclien einem Punlte y. und seiner SarmoniMe 2?(> 3 :^)==0 
In lezug auf^das Fundamentaldrciec'k. Die unendlicb feme 
Gerade ist die Harmonikale des Scbwerpunktes. Den Pnnkteii 
einer geraden Reihe Za^^O entsprechen als Harmonikalen 
die Tangeuten eines dtm Dreieck eingeschriebenen Kegel- 
scBnittes 2(a t : u t ) = 0. Den Ecken cles Dreiecks entsprechen 
alle durch sie getenden Strahlen. 

B. 1) Naeh. der Methode reziproker Koordinaten liegen ent- 
sprechende Punkte entweder zugleich im Innern des Dreiecks, also 
auch des umgescbriebenen Kreises, oder beide aufierhalb dieses 
Kreises und in derselben Winkelflache des Dreiecks, oder der eine 
in dem zwiscben einer Dreiecksseite und dem umgescbriebenen 
Kreise geiegenen Abscbnitt und der andere im Scheitelwinkelraum 
der Gegenecke. Dem Mittelpunkt des umgescbriebenen Kreises enV 
spricbt der Hobecsclmittpunkt usw. Je zwei einander eutsprecbende 
Punkte konnen als die Brennpunkte eines dem Dreieck eingescbrie- 
benen Kegelscbnittes angeseben werden. 

2) Einer beliebigen Geraden entspricht der JSTeunpunkte-Kegel- 
scbnitt derselben in bezng auf das durcb die Punkte von den Ko- 
ordinaten 1 | 1 | 1 gebildete Yiereck. (Vgl Nr. 365, B.) 

3) Den Tacgenten eines mit dem umgescbriebenen Kreise kon- 
zentriscben Kreises entsprecben umgescbriebene, unter einander 
ahnlicbe Kegelschnitte; jenem Kreise selbst die Hiillkurve dieser 
Kegelsehnitte, eine Kurve vierter Ordnung. 328 ) Man erortere den 
Sonderfall der gleicbseiiigen Hyperbeln. (Nr. 165, 2.) 

4) Die Harmonikalen der unendlkb fernfn Punkte umbuHen 
diejenige Ellipse, die die Seiten des Dreiecks in ibren Mittelpunkten 
beriihrt. 

408, Qnadratisc&e Verwandtscliaft. Suchen wir ein Ent- 
sprecben Ton Elementen unter Benutzung yon vier festen 
Elenienten zu vermittelriy so konnen wir diese durcb die mit 
ibnen bestimmten linearen Kegelscbnittsjsteme ersetzt denken. 
Eine Zuordnung von Punkten, bei der geraden Reiben wieder- 
um Kegelschnitte entsprechen ; gibt die Beziehung der doppelt 
konjugierten Pole eines Kegelscbnittbusehels (Nr. 250 und 322). 



Allgemeine inadratische Venvandtschaft. 365 

Naeh Nr. 390 konnen wir diese auch. ganz allgemein als die 
Verwandtschaft cler doppelt konjugierten Pole in zwei Polar- 
systemen m ) definieren. Aber auch sckon clurch eine allgemeine 
Eeziprozttcit wird eine quadratisehe Verwandtschaft der doppelt 
reziproken Elemeiite erzeugt (Nr. 889). Wir werden soforfc 
erkennen, daB die beiden Yerwandtscbaften unter derjenigen 
dritten als besondere Falle enthalten sind ? die einem Punkte 
je eines Systems in zwd Iteziprozitiiten den in beiden rezi- 
proken Sclinittpunkt ihrer reziproken Geraden zuordnet. Wir 
bezeichnen diese als die allgemeine quadratische Verwat/dtscliaft. 

Da zwischen reziproken Punkten einer Reziprozitat eine 
bilineare Beziehung besteht, so konnen wir doppelfc reziproke 
Pnnkte x i und y t in zwei Reziprozitaten durch zwei Gleicbungen 
(30) Z 1?1 + X^ + Z,y, = 0, J^'y, + X,'y, + X s 'y s = 0, 
in denen die X 2? Xf lineare Formen der x i bedeuten, ver- 
bunden voraussetzen. Sollen x i und y i insbesondere doppelt 
koirjugierte Pole in zwei Polarsystemen sein ? so besteben eben- 
falls diese Grleichungen mit der Besonderheit, daB in jeder 
die Koeffizienten Ton x t y k und x k y t identiscli werden. Bind 
endlich x t) y l durcb eine Reziprozitat einander doppelt zuge- 
ordnet, so miissen die beiden Gleicbungen identisch werden, 
eobald wir in der einen die x i und die y. yertausclien. 

Demnach bestelik allgemein die quadratische Transfor- 
mation 



Also entsprechen den Punktreiben in den Seiten des Koordi- 
natendreiecks y i = 0, ?/ 2 = 0^ y s = die Kegelschnifcte 
(32) X,X B '-X S X,'=0, XtXi'-X^'-O, X^'-X.X^O. 
Diese geben aber durch drei gemeinsame Punkte x , fur deren 
Koordinaten die beiden Definitionsgleichungen (30) identisch 
werden. Die Gleichungen X t .= (>X/ ? i = 1 ; 2, 3, liefern nam- 
lich nach Elimination von x lf x st % s fiir den Proportionalitats- 
faktor p eine Gleichung dritten Grades. Wird eine ilirer 
Wurzeln an Stelle von p in X^ ^X f f eingesetzt^ so erhalt 
man die Koordinaten des entsprechenden gemeinsanien Punktes 
der drei Kegelschnitte (32) durch Auflosen dieser Gleichungen 



366 XI. Yon den reziproken Verwandtachaften. 408. 

nacb x^ix^.x^. Demnaeb gelien alle Kegelscbnitte, die den 
geraden Eeibenj/^O entsprecben, durch diese drei Punkte x i9 
und jedem von diesen entsprecben umgekebrt alle Punkte y. 
der Geraden ZX^^O. Jedem andern Punkte y t entspriebt 
also, da er als Scbnittpunkt zweier Geraden angegeben werden 
kann, der vierte Sebnittpunkt der jenen zugeordneten Kegel- 
schnitte, einem Strablenbusebel ein Kegelscbnitibuscbel. Die 
drei festen Punkte des Kegelschnittnetzes nennen wir die 
HauptpmUe des Systems der x^ 

Umgekebrt gilt fur die Bestimmung des einem Punkte ^ 
entsprechenden Pnnktes y i das Analoge, vermittelt durcb. die- 
selben, nur nach den x t geordneten ? Gleicbungen 273^. = 0> 
2?r f X=*0, in denen Y i9 T^ die y i linear entbalten. Den 
geraden Eeihen I I OL\ + ^ 2 % + ^3^3 = entsprecben die Kegel- 
scbnitte des Netzes 



durcb die drei Hwptpwikte des Systems der y.. Den durcb 
einen Hauptpunkt der x t gebenden Geraden entsprecben nun 
zerfaDende Kegelscbnitte, denen eine Verbindungslinie zweier 
Hauptpunkte der y. acgebort. In den Leiden BauptdreiecJcen 
entxprechen einancler ddher eine Ecke des einen und eine Seite 
des andern. Endlicb gibt es nocb vier sich selbst entsprechende 
Punkte in der Verwandtscbaft, namlicb die Scbnittpunkte der 
Polkegelscbnifcte ZJX.x.^ ? J3V# a .= beider Eeziprozitaten, 
Beschaftigen wir uns nur mit dem allgemeinen Fa31 5 wo 
die Hauptdreiecke nicbt ausarten, so konnen wir auf eines 
derselben die Koordinaten beziehen. Sollen z. B. alien Ge- 
raden x t Kegelscbnitte 2^y 9 y & + ^y^ + ^y^ entspre- 
cben, so muB es drei Konstanten \ geben ; so daB Xf = "k^ 
wird; nur dann entsprecben den Fundamentalpunkten drei 
Geraden X t .= 0, die das Hauptdreieck der $ t bilden. Nun 
werden die Substitutionen der einen Gruppe 



Die allgemeine qwdratische Verwandtschaft entMlt die 
als Sonderfall Ihre Grundgleicbungen driicken 



*} Aucb die Eeziprozitat 1st in der allgemeinen Veiwandtschaffe 



Quadrafcische Verwandtscnaft. 367 

die Koordinatenyerihaltnisse y^iy z \ y% : % in Form von gleicli- 
fenannt gebrockenen Funktionen der x i aus, und man erhalt 
dies ; sobald man identiseh. 3^=0, X/=0, X^^X t f setzi 
Auf die aUgemeine quadratische Verwandtschaft kommt man 
umgekelirt, wenn man die jSTenner der jenen Verhaltnissen 
gleiebwertigen Ausdriieke als ungleidi Yoraussetzt y^y^^L^iL^ 
y% : 2/3 == i 2 : Z/ 4 . Einer Geraden ay l + 6^ a + cy% == entspricht 
jetzt ein Kegelschnitt c^L^L^ + bL 2 L B -f cZ 3 i 4 = ; der durch 
die drei Punkte i x i 3 = 0, i 2 = i 4 = 0, i 3 = Z 4 = hin- 
durchgeht; diese sind jetzt die Hauptpunkte der x^ aber 
1^ = 0, i 2 = sind nicht Seiten ihres Dreiecks. 

409. Verwandtscliaft doppelt konjugierter Elemente. Von 
Wichtigkeit ist vorziiglich der Fall der involutorischen Ver- 
wandtschaft zweiten Grades, fur die das Gleichungspaar in 
den x i und y. symmetriscb. sein muB. Alsdann kann nur ent- 
weder X t ~ Y z , X? ^ T/ oder Z.= J[, Y 8 = X? sein, sofern 
man x. und y. als gleicbartige Vefanderliche reclinet. Diese 
Bedingungen definieren- aber die durch zwei Pofersysteme 
oder eine Reziprozitat vermittelte Verwandtschafi In beiden 
decken sich die Hauptdreiecke, nur in yerschiedener Zuordnung 
der Ecken und Seiten (Nr. 389). 

Nehmen wir die Fundamentalpunkte als die Hauptpunkte ; 
so mussen X { = deren Verbindungslinien darstellen (Nr. 408). 
Also sind fur die Substitutionen nur die Anordnungen moglicb 



die nacb dem Friiheren die genannten Eauptfalle charakteri- 
sieren. Somit isi die MetJiode der reziproJcen Koordinaten der 
Ausdruck der allgemeinen Verwandtschaft doppelt 'konjugierter 
Elemente. 

Nach friiheren Ergebnissen kann sie leicht geometriscli 
konstruiert werden ? sobald man ihre sich selbst entspreehen- 
den Eleinente, die gemeinsamen Elemente der die Polarsysteme 
definierenden Kegelschnitte, kennt. Das Hauptdreieck ist das 
Diagonal dreieck jenes Quadrupels, von dem ein Element als 

mit entbalten, n'amlicii dann, wenn eine der definierenden Gleichungen 
identisch wird (X t ^0), 



J68 XXI. Von den reziproken Yerwandtschaften. 409. 

jEinheitselement gewahlt werden kann. Alsdann definiert die 
allgemeine Methode der reziproken Koordinaten die Verwandt- 
schaft der in lezug auf das Quadmpel 1 1 + 1 1 doppelt 
jugierten Elements folgendermaBen: Die Gleichungen x t y i ^ 
definieren involutorisehe Strahlenbiischel mit den Doppel- 
strablen x? =- x k a 9 d. h. die Verbindungsstrahlen von ent- 
sprechenden Punkten mit einem Diagonalpunkt sind konju- 
gierfc harmonisch zu den dureh ilin gehenden Seiten des 
sich selbst entsprechenden Vierecks. (Vgl. die B, l, 2, 3 iiber 
die Konstruktion der gemeinsamen Eleinente von zwei Polar- 
systemen.) 

Wir konnen aber z. B. die Verwandtschaft in legag auf em 
Yierseitantibi direkfc auf einen Sonderfall des Satzes yon Nr. o!4 ; 5) 
grunden: 130 ) Die harmoniscli konjugierten der Schnittpunkte 
einer Geraden L mit den Diagonalen in bezug auf die zuge- 
horigen Ecken liegen in einer Geraden II. Dreht sich L nm einen 
Punkt P, so schneidet U in den Diagonalen projektive Punkt- 
reiben aus ; d. L U nmliiillt einen dem Diagonaldreiseit ein- 
geschriebenen Kegelschnitt P ; nnd umgekehrt. Dieser P ent- 
sprecliende Kegelschnitt P artet nur aus, wenn P einer Diago- 
nale augehort, namlich in das Punktepaar, das ans dem zu P 
in der Diagonale tiarmoniseli konjugierten und dem gegen- 
uberliegenden Diagonalpunkt besteht 

Damit tritt deutlich hervor ; dafi vier Strahlen von P 
und die entspreehenden Tangenten von P dasselbe Doppel- 
verlialtnis liaben. Doppelverhaltnisse in 'entsprechenden Gebild&n 
ersten und zweiten Grades einer quadratisclien Transformation 
halen gldclien Wert (vgL Nr. 406). 

Die vorige Zuordnung 1st aber identisch. mit der Ver- 
wandtschaft der doppelt konjugierten Polaren in bezug auf 
die Schar der dem Vierseit eingeschriebenen Kegelsclinitte ; 
dean ihr analytiscier Ausdruck ist w^=Wj^ ? und die Glei- 
chungen der Punktepaare der Schar siod in u^^u/^u^ 
enthalten. Durch jeden Punkt P gehen also zwei doppelt 
konjugierte Polaren, die die Tangenten aus P an den ent- 
sprechenden Kegelschnitt P sind und in P von den durch diesen 
Punkt gehenden beiden Kurven der Sehar beriihrt werden. 



Involutorische Verwandfsciiaft zweiten Grades. 369 

B. 1) Man konstruiere die gemeinsamen Elemente von #wei 
Polar systemen, die durch je ein Polardreieck und ein Paar bestimmt 
sind. 131 ) 

Insofern wir die Polarsysteme als zwei Kegelscbnitte auffassen, 
erscheinen ihre yier gem eins amen Punkte und ihre vier gemeisamen 
Tangenten als die Objekte der Aufgabe sie ist biquadratisch. 
Da aber die gemeinsamen Punkte durch sechs gemeinsame Sehnen 
verbunden werden und die gemeinsamen Tangenten sich in Paaren - 
in sechs Punkten schneiden, erhalten wir jene vier Punkte als 
Schnitte der gemeinsamen Sehnen zu je drei, und dual die vier 
gemeinsamen Tangenten als Yerbindungsgeraden jener seeks Schnitt- 
punkte zu je drei. Auch ist die Definition der die vier Punkte ver- 
bindenden Sehnen und die der Sehnittpunkte der vier gemeinsamen 
Tangenten naeh der Natur der Polarsysteme klar: Die sechs Ver- 
bindungsgeraden s der gemeinsamen Punkte sind die Geraden, 
denen in beiden Polarsystemen dieselbe Involution harmonischer 
Pole zukommt, und die sechs Sehnittpunkte T der gemeinsamen 
Tangenten sind die Punkte mit einerlei Involution harmonischer 
Polaren. Wir wissen auch schon, daB die Sehnen zwischen den 
gemeinsamen Punkten in Paaren durch die Ecken des gemeinsamen 
Polardreiecks b eider Kegelschnitte gehen, und daB die Sehnittpunkte 
der gemeinsamen Tangenten in Paaren auf den Seiten des gemein- 
samen Polardreiecks liegen. Ist also dieses gemeinsame Polardreieck 
gefunden, so wird alles TJbrige durch Involutionen, also durch qua- 
dratische Gleichungen erhalten das Polardreieck ist so zu sagen 
der Yertreter der kubischen Resolvente der biquadratischen Gleichung 
der Aufgabe. 

2) Die Bestimmung des gemeinsamen Polardreiecks geschieht 
ebenso leicht durch Ermittelung seiner Eeken wie dual durch die 
seiner Seiten mit Hilfe der doppelt konjugierten Elemente der 
beiden Polarsysteme. Weil der doppelt konjugierte Punkt zu einem 
gegebenen der Schnittpunkt seiner beiden Polaren ist, so entsprechen 
einer geraden Punktreihe in der Ebene der Polarsysteme zwei zu 
einander (weil zu ihr) projektive Strahlenbiischel ihrer Polaren und 
damit als Punkten der Eeihe doppelt konjugiert die Punkte eines 
Kegelschnittes. Diese Kegelschnitte gehen alle durch die drei Punkte 
mit einerlei Polaren und ihre Yerbindungsgeraden sind diese Po- 
laren selbst. Zwei gerade Beihen #, ?, in denen wir auBer dein 
gemeinsamen Punkt je zwei Punkte willkiirlich wahlen, liefern je 
fiinf Punkte fur solche Kegelschnitte (?, JD, die sich im doppelt 
konjugierten des Punktes gl und in den drei Ecken des gemein- 
samen Polardreiects schneiden. (Und dual.) 

B) An dies Dreieck schlieBt sich nun die Konstruktion der 
.gemeinsamen Punkte und Tangenten derLeitkegelschnitle wie folgt: 

Salmon-Fiedler, anal. Geom. d. Kegelschn. II. 7. Aufl. 24= 



370 XXL You den reziproken Verwandtschaften. 409. 

Die beiden Verbindungsgeraden gemeinsamer Punkte, die durcli 
eine seiner Ecken gehen, sind die Doppelstrahlen der Involution^ 
die durcli die Verbindnng dieser Ecke mit zwei Paaren doppelt 
konjugierter Punkte bestimmt wird. Und die beiden Schnittpunkte 
gemeinsamer Tangenten, die in einer seiner Seiten liegen, sind die 
Doppelpunkte der Involution, die in ihr durch die Schnittpunkts 
mit zwei Paaren doppelt konjugierter Geraden bestimmt wird. (In 
B. 2 sind g und die Verbindungsgerade g* ihrer Pole, und wieder 
7, I* zwei solehe Paare.) Nach dem Friiheren sind die Realit&ts- 
verhaltnisse ersiehtlich. 

4) An das Polardreieck der vorigen Beispiele kann man di$ 
Definition der B&sckel und Scharen von Polarsyst&men kntipfen, 
Die Angabe eines Polardreiecks und zweier konjugierter Punkte be- 
stimmt unendlich viele Kegelschnitte, weil jede durch den eineii 
dieser Punkte gehende Gerade als Polare des andern einen solcheE 
liefert; weil die Involutionen mit den s als Doppelstrablen fur alle 
dieselben sind, so bilden diese Polarsysteme wie ibre Leitkurven 
ein Biischel; zu einem Punkte ein Polarenbiischel. Der Angabe eines 
Polardreiecks und zweier konjugierten Geraden entspringt die Schar 
von Polarsystemen mit der dualen Grundeigensehaft. 

5) Nimmt man als Definitionsgleichungen - x^y^ %^/ 2 = O f 
^i%^i+ ^2^2+ ^x$y%*** 0, wo das erste Polarsystem in die 
Yerbindungsstrahlen der Pole mit einem Hauptpunkt ausartet, so- 
entsprecben den Geraden w- die Kegelscbnitte 



Bei Deutung in recbtwinkligen Koordinaten (% == y$ = l) besteht 
das Hetz aus den durch. den Nullpunkt gehenden homothetiscbeit 
Kegelschnitten. Je zwei Kegelschnitte schneiden sich im Nullpunkt 
uater demselben Winkel, wie die entsprechenden Geraden. Mit 
A! = oder mit l t A 2 erhalt man ein Hetz von Parabeln oder 
Ton Kreisen. Der letzte Fall ist derjenige der Inversion (Nr. 406 1 

6) Eine An wen dung der allgem einen inYolutorischen Trans- 
formation bietet die Figur zweier projektiven Strahlenbuschel 
in perspektiver Lage. So entspringt der Satz; Wenn zwei 
projektive Biischel von Kegelschnitten /(#, x) + lg(x, x) O r 
f(,a?) + Ag(#,#) (Sfr. 322) durch dieselben drei Punkte 
Aj J? 5 G gehen, so da6 der vierte Grundpunkt des einen D, der 
des andern E ist, und sie so liegen, daB der durch die ftinf Punkta 
-4, -B, (7, D, E bestimmte Kegelschnitt sich selbst entspricht, so 
liegen die vierten Schnittpunkte der entsprechenden Kegelschnitte 
beider Biischel s&mtlicii auf einem dem Dreieck .4, B, umge- 
schriebenen Kegelschnitt. 

Besonders be^uem erlaubt diese Methode von Kegelschnitteii 
zu Kurven hdherer Ordnung uberzugehen; so gibt die Erzeuguu^ 



Yiorseitsverwandtscbaft und Normalenproblem. 371 

der Kegelschnitte durch projektive Biisehel eine Erzeugung von 
Kurven vierter Ordnung; nsw. 

7) Wenn die Punkte c, c (Fig. 36, S. 112) mit den unend- 
iich fernen imaginaren Kreispunkten zusammenfallen, so bilden 
die dem Vierseit eingeschriebenen Kegelschnitte eine Schar kon- 
fokaler Kurven, fur die die assoziierten Punkte (Nr. 115 und 181) 
a, a und &, &' die reellen und iznagin&ren Brennpunkte bezeichnen, 
wShrend C der gemeinsame Mittelpunkt ist. Nach Nr. 374 sind 
nun die eutsprechenden Geraden X, 2f zu einander rechtwinklig, 
und da sie die Abschnitte aa', "bl> f zwiscken den Brennpunkten nar- 
monisch teilen, so sind sie Tangente und Normale zweier konfo- 
kaler Kegelschnitte in ihrem Schnittpunkt. Zugleich entspricht 
jedem Punkte^ eine Parabel P, die die Geraden aa\ II' beriihrt 
und die Gerade pC zur Leitlinie hat. 

Den Normalen, die von j? an einen Kegelschnitt 8 der konfo- 
kalen Schar gezogen werden konnen, entsprechen die Tangenten, die 
der Kegelschnitt 8 mit dieser Parabel gemeinsam hat. Wenn diese 
gemeinsehaftlichen Tangenten konstruiert sind, so bestimnaen ihre 
Beruhrungspunkte in 8 mit die fraglichenNormalen. Das Doppel- 
rerhaltnis der vier Tangenten ist dem der vier Normalen gleich. 

Die FuBpunkte der Normalen sind die ,Sehnittpunkte von S 
mit einem Kegelsehnitt if, der die Polarkurve von F in bezug auf 
G ist und daher, weil P dem zu S harmonischen Dreieck: ABC 
eingeschrieben ist, demselben Dreieck ABC umgeschrieben sein 
inufi. Also ist er eine gleichseitige Hjperbel durch den Mittelpunkt 
von $, deren Asymptoten den Aehsen von 8 parallel sind. (Vgl, 
NT. 178.) Umgekehrt bestimmt jede dem Dreieck ABC umge- 
schriebene gleichseitige Hyperbel in 8 vier Punkte, deren Kormalen 
sieh in einem Punkte p schneiden, wo p der Parabel P entspricht, 
die die Polarkurve jener Hyperbel in bezug auf S ist. 

Wenn nun den Tangenten von 8 die zugehorigen Normalen 
entsprechen, so entspricht der Kurve 8 ihre Evolute (Nr. 245), eine 
Kurve von der vierten Klasse, die durch diese Zuordnong mit Hilfe 
der'bekannten Kurve S untersucht werden kann 



Zweiundzwanzigstes Kapitel. 
Yon der Methode der Projektion, 

410. Zontralprojektion. Wir habea im Vorhergehenden 
gezeigt, wie die allgemeine Idee der Verwandtschaft zweier 
geometrischer Figuren in mannigfachen Formen erscheint 
Die einfachste und anschaulichste Begriindung einer solchen 
Beziehung bietet die Mefhode der ProjeUion dar, 182 ) 

Wenn alle Punkte einer in der Ebene E gelegenen Figur 
mit irgend einem reellen, festen Punkte im Raume durcli 
StraHen yerbnnden werden, so bilden diese einen Kegel yon 
der Spitee 0; die Schnittlinie dieses Kegels mit einer be- 
liebigen Ebene E' bildet eine Figur, die man die Zentral- 
frojektion der gegebenen Figur aus deni Projektionszentrum 
auf die Bildebene oder Projektionselene E' nennt. Man be- 
zeiclinet den Kegel dann auch als den projwierenden Kegel 

Jedem PunJtfe in der einen Figur entspricht ein Purikt in 
der andern, namlioh der ScMttpunkt ikrer Ebene mit dem 
projizierenden Strable des ersten. Eine Gerade wird immer 
als Gerade projm&rt. Denn die projizierenden Strahlen aller 
Punkte der Greraden bilden eine enthaltende Ebene, die 
projizierende Ebene der Geraden, die durcli ibren Schnitt mit 
E' die Projektion der gegebenen Geraden bestimmt, 

Wenn Punkte in der einen Figur in einer Greraden liegen, 
so liegen auch die entsprecbenden Punkte der andern Figur 
in einer geraden Linie; wenn Geraden in der einen Figur durcli 
denselben Punkt hindurchgelien ; so scbneiden sich. auch die 
entsprechenden Geraden der andern in eineni Punkte ? namlich. 
dem entsprechenden Punkte jenes ersten. 



Projizierende Elemente und singulare Projektivitaten. 373 

Die den Punkten einer Greraden entspreckenden Punkte 
und ebenso die Biisciiel einander entspreckender Greraden sind 
projektiy oder yon gleicken Doppelyerkaltnissen naek Nr. 84ff. 
und kurz: Die geometrisclie Verwandtsckaft, die die Zentral- 
projektion zwiscken zwei Ebenen begriindet, ist die aus Nr. 92 
bekannte Kollineation. Ikr algebraiscker Ausdruck ist somit 
die lineare Substitution der Pnnktkoordinaten von Nr. 91 mit 
cler transponierten der Linienkoordinaten bei niektversekwin- 
clendem Modul A. In Nr. 387 f. ist ebenso die Verwandtsckaft 
der Reziprozitat zwiscken yereinigten ebenen Systemen yon 
den linearen Substitutionen mit nicktyersckwindendem Modul 
aus behandelt worden, in der jedem Punkt eine Grerade und 
umgekehrt, jeder geraden Eeihe ein zu ihr projektiyes Biischel 
und umgekehrt entspriclit; die durch einen reellen Kegel- 
schnitt definierte Polarreziprozitat bildet einen griindlicli be- 
kannten Sonderfall; dabei ist aber mit dem Pall der yer- 
schwindenden Diskriminante in Nr. 310 die Unbestimmtkeit 
der polaren Zuordnung als wicttig teryorgetreten 7 also die 
Frage nacL. der geometrischen Bedeutung der linearen Substi- 
tutionen mit yersckwindendem Modul. Es ist ein Vorzug der 
Methode der Projektion, daB sie dieselbe in alien hierler ge- 
horigen Fallen klar stellt und damit auch sicker zur algebrai- 
sclien Behandlung fukrt. 

411. Die singnlaren Projektivitaten. Solcke sind in der 
Metkode . der Projektion, also ftir die Kollineation, fundamental, 
weil sie mit den projmerenden Slratilen un& Ebenen ent- 
springen, die die Projektion verniitteln. 188 ) 

Wenn a) die Ebene E das ProjeMionsgenfrum ewthalt, 
so liegen die Bilder aller ihrer Punkte aufier in ilirer 
Scknittlinie s mit der Bildebene E', in der Art, daB jeder 
Punkt yon dieser alle Punkte der Geraden abbildet, die ihn 
mit yerbindet; und zugleich liegen in s die Bilder alier 
Greraden in E, die nicht durck geken. Dagegen liegen die 
Originale aller Punkte yon E' aufier s in 0, und die Origi- 
aale aller Greraden in E' aufier s sind gerade Linien durck 
in E, so zwar, daB alle durck denselben Punkt yon s 
gekenden denselben Originalstrakl kaben. 



374 XXII. Von der Methode der Projektion. 411. 

Wir haben also in der einen Ebene einen singularen 
Parikt oder sagen wir Her 5, dem die Punkte der andern 
Ebene entsprecten, und in der andern Ebene eine singulars 
Gerade s 9 die alle Geraden der andern Ebene abbildet; den 
geraden Eeihen durcli 5 entsprechen die Punkte auf s' pro- 
jektiv, den StraUenbiisclieln aus Punkten yon s' die nacl. 
diesen gehenden Geraden ans 8. 

Wir gelien zum algebraischen Ausdruck dieser Besonder- 
heiten. Damit dem Punkte S von den. Koordinaten $ f jeder 
Punkt des gestriehenen Systems und der Geraden von den 
Koordinaten or/ jede Gerade des ungestriclienen entsprici.t ? 
d, h. damit die Verhaltnisse der Koordinaten der dem Punkt s 
und der Geraden 6 i entsprechenden Gebilde die Form : 
erhalten, mussen die Substitutionen 



die Besonderheit haben ; daB 

! + 0*s 4- a <8 ^s ^ ; ?i^i' 
ist: -also nach der ersten Bedingung 



und nacla der zweiten 



; 

Damit erhalten wir die Substitution wie folgt: 



+ 



Sie ist bestimmt, aber ihre Moduldeterminante ist Null, 
weil die Elemente der erstea Zeile die Suinmen der mit Kon- 
stanten multiplizierten entsprectenden Elemente der zweiten 
und dritten Zeile sind. Die Substitution wird vereinfacht, 
wenn wir bei beliebig gedachter Vereinigung der Ebenen E 



Singulars Projektivitaten. 375 

-and E" den singularen Punkt als Fundainentalpunkt A % mit 
Koordinaten s iy 0, und die singulare Gerade als gegenuber- 
liegende Fundamentallinie #/ mit Eoordinaten or/, ; wah- 
!en; sie ist dann 

SiXt' = 0, /x# 2 ' = % 2 # 2 -f g3 JT-JJ , /^V = %# 2 -f %j^3 
imd invers 

VUl = 0, ve% = M 2 ' + % 2 a'? w s ^ % t( a' + "ss^s'- 
Mm der ersten Unterdeterminanten ihres Moduls ist Ton 
Null verschieden ; man hat zwei statt drei Gleielmngen zui' 
Bestimmung. Einer bestimmteE Geraden durch den singularen 
Punkt # 2 /l% = entsprickt nun z. B. auBer der singularen 
Geraden die andere Gerade durch. ihn aus 

(% 3 + ^ssK - fat + ^^22)^3 = 0, 
<iiie nur fiir 

# 2 : #g == I (a as i -p % 3 ) : (c^A + c^) 

mit jener zusammenfa-llt, usw. 

Aber nocli ein anderer Fall ist mogliclt, namlich b) daft 
-das ProjeMonsgentrum ein Punkt in der SchnittUnie EE' ist 
Wir konnen kurz sagen, daf! dann jede der leiden Ebenm 
dnm singularen PunU oder S in einer singulars Geraden s 
cnfhalt, also da6 jene Punkte alien Punkten der jeweiligen 
andern Ebene und diese Geraden alien Geraden derselben ent- 
sprechen; tiberdies jeder Geraden durch den singularen Punkt 
'des einen alle Geraden durch den singularen Punkt des andem 
Systems. Denken wir wieder beide Ebenen beliebig Yereinigt, 
so konnen wir die singularen Punkte zu Ecken und die durch 
sie gehenden singularen Geraden zu Seiten des Fundamentai- 
dreiecks wahlen und erhalten nacb dem Yorigen die Substi- 
tution mit fi^'o-O, f*<*0, f*a? 8 '- aas^; statt drei Glei- 
<jhungen hat man nur eine, und neben A verschwinden aucli 
alle ersten Unterdeterminanten. 

Gemafi der Definition, nach der wir die Projektiyitaten 
in Kollineationen und Eeziprozitaten scbeiden^ ergeben sich 
aber tieraus auch die moglicben Falk der singularen Itegi- 
jprozitaten. Ersetzen wir das eine der kollinearen Systeme 
a) durct ein reziprokes, so ist dieses zum andern reziprok 



376 XXIL Von der Methode der Projekticm 411. 

und es entstehen so zwei Falle singularer Reziprozitat, nani- 
lich dureli tlberfiihrung des Systems mit singularem Punkt 
in ein reziprokes mit singularer Geraden a a) Regiprozitat mit 
gwei singularen Geraden, denen je alle Punkte der andern 
Bbene entsprechen, wahrend jedem Punkte einer singularen 
Linie jede Gerade durch einen bestimmten Punkt der andern 
entspricht. Ersetzen wir aber das andere der beiden kolline- 
aren Systeme durcli ein reziprokes, so entsteht a/J) die Jtetfi- 
prozitat mit singularen Pwhten, wo jedem derselben jede 
Gerade des andern Systems entspricht und insbesondere jeder 
Geraden durcb den singularen Punkt des einen ein unbe- 
stimmter Punkt in einer projektir zugeordneten Geraden 
durch den singularen Punkt des andern. Dagegen entstebt 
aus der singularen Kollineation b) nur eine singulare Eezi- 
prozitat b/J) mit einem singularen PunJct in einer singularen 
Geraden in jedem System, denen je eine unbestimmte Gerade 
und ein imbestimmter Punkt des andern entsprechen ; wahrend 
einem andern Punkte der singularen Linie ein unbestimmter 
Strahl durch den singularen Punkt des andern Systems ent- 
spricht. 

Die zugehorigen Substitutionen bildet man durch die ge- 
eigneten Ersetzungen der ss t durch die u usw. Dietlbertragung 
alles dessen auf kollineare und reziproke Biindel, insbesondere 
Biindel yon einerlei Scheitel (Nr. 415) ist augenscheinlich. 

B. 1) Wenn das Projektionszentrum in einer Origin algerad en 
liegt, so ist deren Bild ein Punkt, ihr Sehnitt mit der Bildebene 
Die Projektmtatsgleichung (Nr. '93) zwisciien zwei entsprechenden 
Beihen all' ~{- II + <^'+ d =* enthalt diesen Pall; sie gibt 
fur l' den Wert (?' bei I = : 0, wenn man hat d = <?</, 
I) = CLG. Sie wird dann 

aU r ad I + cl f - cs f - 0, d. i. (l f - <f)(c + al) == . 

Man bemerke, daB die Auswertung der Parameter in beiden Eeihen 
die Bestimmtheit der projizierenden Ebene der projizierenclen 
Geraden gibt Dasselbe ergibt die Beliandlung der Substitution 
fur den singulS,ren Pall, aus der durch 



Oder 



Singulare Reziprozitaten. 377 

als Parametergleicliung entspringt. Das gilt ofienbar aucb fur pro- 
jektive Biischel. Der Zusammenbang mit der parabolisclien Involu- 
tion 1st offenbar. (Kr. 18 und 331.) 

2) Man untersucbe die Ausartungsformen der Kegelsclmitte r 
die aus der Verbindung solcber singular projektiver Elementar- 
gebilde bervorgeben. 

3) Bei den beliebig vereinigten singularen Reziprozitaten aa) ? 
a/3) den Polkegelscbnitt und den Polarkegelscbnitt zu bestimmen, 
ist leicbt. Fur a a) ist der Polkegelscbnitt ein die singularen Punkte 
entbaltenderKegelscbnitt; diese zwei Punkte selbst bilden denPolar- 
kegelsebnitt. Fiir a/?) wird der Polkegelscbnitt von den singularen 
Geraden gebildet, und der Polarkegelscbnitt ist eine sie berubrende 
Kurve zweiter Klasse. Endlicb bilden im Falle b|3) die singularen 
Geraden den Polkegelscbnitt und die in ibnen liegenden singularen 
Punkte den Polarkegelscbnitt. 

4) Durcb Deckung der singularen Elemente singular-reziproker 
ebener Systeme entsteben Polarsysteme. Welcber Art ist der.Leit- 
kegelscbnitt? Punktepaar, Geradenpaar, Boppelpunkt und Doppel- 
gerade ineinanderliegend. 

412. Wir projizieren nun eine nicht durch das Zentrum 
gehende Ebene. Wenn eine durcb das Zentrum parallel zur 
Bildebene E' gelegte Ebene die Originalebene E in einer Ge- 
raden r schneidet, so projiziert sicL. jedes Strahlenbiischel 
in ? das seinen Sclieitel in dieser Geraden r bat, in ein 
System von Parallelen in E'. Denn ein Strati, der vom Zen- 
trum nacn einem beliebigen Punkte der Geraden r gezogen 
wird ; begegnet der Projektionsebene erst in unendlicber Bnt~ 
fernung. Insofern jener Punkt Sehnittpunkt von inekreren 
Geraden ist, miissen sich diese als solcbe Geraden projizieren, 
deren Scnnittpunkt unendlicli fern liegt. Umgekenrt wird 
jedes System von Parallelen in E in em solches Strahlen- 
bliscliel projiziert, das seinen Sclieitel in einem Punkte der 
Geraden q f hat ; in der eine durch parallel zur Original- 
ebene E gelegte Ebene die Projektionsebene E' schneidei Nur 
die Parallelen zur Bildebene baben auch parallele Bilder. 

So fuhrt ims die Methode der Projektionen zu dem 
Scblusse, daB ein beliebiges System von Parallelen als ein 
durch einen unendlich fernen Punkt gebendes Bliscliel be- 
traclitet werden kann (Nr. 68); ebenso, daB alle unendlicb. 
entfernten Punkte einer Ebene als in einer Geraden gelegen 



#78 X ^LL Von der Methode der Projektion. 413. 

anzusehen sincl (Nr. 75), da ihre Projektionen in der Ge- 
raden qf liegen. 

Wir bemerken endlich, daB die Schnittlinie s der Pro- 
jektionsebene mit der Ebene der Figur zugleich der Ort der 
Schnittpunkte der Geraden der Figur mit ihren bez. Pro- 
jektionen ist. Man nennt diese Gerade ; den Ort der in beiden 
Systemen sick selbst entsprechenden Punkte ; die Spur der 
einen Ebene in der andern, Auf jedem Strahl durch naeh s 
ist die Mitte zwisehen und s auch Mitte zwischen q und r. 
Jede der beiden Geraden r, g', die in jeder Ebene der un- 
endlich fernen Geraden der andern entsprechen, heiBt Flucht- 
linie oder Gegenachse der einen Ebene in der andern. Die 
Punkte jeder Fluchtlinie entsprechen den Eichtnngen der 
Strailen der andern Ebene und lieiBen Gegen- bez. Flucht- 
ymkte der zugehorigen Parallelen. 

415. Jede ebene Kurve wird in eine andere Kurve von 
dersellen Ordnung und Klasse projmert Denn wenn die ge- 
gebene Kurve durch eine Gerade in einer Anzahl von Punkten 
A, .B, 0, D . . . gesclmitten wird ; so wird ihre Projektion 
durct die Projektion der Geraden in eben so vielen entsprechen- 
den Punkten A', If, G f , D' . . . geschnitten. Aber die Ordnnng 
einer Knrve wird church die Zahl von Punkten geometriseh 
bestimmt, die sie mit einer Geraden gemein haben kann 
(Nr. 27). Wenn unter den Schnittpunkten der Kurve mit einer 
Geraden neben reellen auch imaginare sind, so bleibt die 
Zahl der reellen und der imaginaren Punkte durch Projektion 
ungeandert. Wenn sich zwei Kurven schneiden^ so schneiden 
sich ihre Projektionen in derselben Anzahl von Punkten; reellen 
Schnittpunkten entsprechen reelle ; imaginaren aber imaginare.*) 

Jed$ Tangente der einen Kurve wird in die entsprechende 
Tangente der andern Kurve projmert Denn jede Sehne AS 
der einen Kurve wird als cine Sehne AS' projiziert; wenn 
aber die Punkte A, B zusainmenfallen, so fallen auch A', B' 
zusammen, und die Sehne A' I? ist die entsprechende Tangente 

*) Eine Ausnahme machen nor die Kurven, deren Ebenen durch 
das Piojektionszenbrum gehen, da ihre Projektionen in die Spur der 
Ebene fallen. 



Grundgesetze tier Zentralprojektion. 379 

der Projektion der Kurve (Ni*. 104). Wenn zwei Kurven ein- 
ander in einer Anzabl von Punkten beriihren ; so berfthren 
ibre Projektionen einander in eben so yielen zu jenen ent- 
sprechenden Punkten. 

Wenn irgend eine Eigensehaft, die sieh niebt auf die 
GroBe yon Streeken oder von Winkeln, sondern anf die Lage 
yon Geraden als durch gewisse Punkte gebend oder gewisse 
Kurveii beriihrend, oder auf die Lage Yon Punkten usw. be- 
zieht ; fiir eine gegebene Kture wahr ist, so bleibt* diese Eigen- 
scliaft fur alle die Kurven gultig ; die aus der gegebenen dnrch 
Projektion hervorgehen. 131 ) Beispiele bietet Nr. 423 f. 

414. Projektive Eigensckaften heiBen Eigenschaften 
einer Figur, die erhalten bleiben, wenn man durch Projektion 
aus der gegebenen Figur eine neue Figur entstehen lafit Zu 
4iesen Eigenscbaften geboren anBer den yorbin bezeichneten 
nuch. einige solcbe, die die GroBen YOU Streeken uncl Winkeln 
scheinbar enthalten. So stimmt das DoppelYerbaltnis Yon vier 
Punkten in einer Geraden (ABCD), da es durcb das Doppel- 
scbnittYertaltnis des projizierenden Biisebels (0* ABCD) am 
Zentrum der Projektion gemessen wird ; mit dem der vier 
Punkte (A'ffC'D') tiberein, in denen dies Btiscliel durch eine 
beliebige Transversale geschnitten wird. DoppelverhMtnisse 
werden durch ProjeMon nicht geandert (Vgl Kap. V.) Aber 
Halbierungen werden zu barmoniscben Gruppen ; syxnmetriscbe 
Reiben oder Biiscbel zu involutorischen. 

Oder^ wenn 2wiscb.en den durcli eine beliebige AnzaH von 
Punkten in einer Geraden bestimmten Streeken eine Gleicbung 
von der Form 



bestebt ? in der jedes Glied die namlichen Punkte nur in ver- 
schiedener Ordnting enthalt ; so ist diese Eigenschaft projektiv. 
Denn nach Nr. 84 kann man fur AB das Verhaltrds 

OA-OB-swAOBiOP 

und fur die iibrigen Streeken entsprechende Ausdriicke ein- 

setzen, wodurch die Gleieliung in alien Gliedern das Produkfc 

OA-OB-OC-OD-OE-OF 



380 XXII. Yon der Mefcbode der Projektion. 414. 

im Zabler und die GroBe OP 3 im STenner entbalt; durch 
Division mit diesen Faktoren wird sie daber auf eine Be- 
ziehung zwiscben den Sinus der am Punkte gebildeten 
Winkel zuriickgefiibrt. 

Aucb ist leicbt zu erkennen, daB die Punkte A, B, G, 
D ; Ej F nicbt in einer Geraden zu liegen braucben, um diese 
Projektivitat zu begriinden; wenn die Senkrecbte OP nicbt 
fur alle in der Gleicliung auftretenden Strecken die namlicho 
ist, so miissen diese nur so geordnet sein ? daB in jedem Gliede 
der Gleichung im Nenner das namliche Produkt solclier zu- 
getorigen Lote OP OP' OP" ... auftritt. Als ein Beispiei 
dafiir erwahnen wir den Satz: Wenn Geraden ; die von den 
Ecken eines Dreiecks ABO nach. deinselben Punkte seiner 
Ebene gezogen werden ; die Gegenseiten desselben in den 
Punkten a, 6 ; c schneiden, so ist Al - Be < Oa gleich A c * Ba 01). 
Weil diese Gleicliung von der eben besprocbenen Art ist so 
reichi es bin, sie fur irgend eine Projektion des Dreiecks ABC 
zu beweisen; machen wir fur diese die Voraussetzung, daB 
der Punkt in unendlicher Entfernung projiziert sei^ so 
werden die Geraden AB y BO, Cc einander parallel und die 
Gleicliung wird Ab Be = Ac Ba, deren Wahrheit obne 
Weiteres ersichtlicb. ist. 

Offenbar reicbt es tiberliaupt zum Beweise solclier pro- 
jektiver Eigenscbaften von Piguren bin, den Beweis fur die 
einfacbste derjenigen Figuren zu liefern, in die die gegebene 
projiziert werden kann; i. B. oft fur eine solebe ; in der eine 
gewisse Gerade der Figur unendlicb fern erscbeint. Wenn 
z. B. gefordert ware, die harmonischen MgenscJiaften des vott- 
standigen Vierecks ABCD mit den Diagonalfunfcten EFG zu 
untersueben, so verbinden wir alle Punkte dieser Figur mit 
einem Punkte im Raume durcb Strablen und schneiden die 
Verbindungslinien durcb eine zur projizierenden Ebene OEf 
bez. OFG oder OGE parallele Ebene, so daB etwa EF in 
unendlicber Entfernung projiziert erscbeint. Die Projektion 
A'IfC'I)' des Vierecks ist dann ein Parallelogramm. Jedes 
Vieyeck Jcann demnach mnachst (vgL Nr. 424 ? s) ttmbral in ein 
Pwattelogramm projieiert werden. Da nun die Diagonalen <?'JET ; 



Projektive Bigenscliaften. Beispiele. 381 

Q-'F' eines Parallelogramms die Seiten B'G' imd bez. A'B' 
halbieren und zu A'B' bez. S' C' parallel sind, d. It. je mit 
den Ecken und dem unendlich fernen Punkt dieser Seiten 
harmonische Gruppen bilden ? so schlieBt man aus der projek- 
tiren Natur dieser Beziehung die Satze von Nr. 66. Die 
Projektion in ein Rechteck oder Quadrat andert bieran nichts. 

B. 1) Wenn zwei Dreiecke ABC, A'B'C' so gelegen sind, 
daB die Schnittpunkte der entsprechenden Seiten AS, A'B'; 
BO, B' C'\ CM, G'A f in einer Geraden liegen, so sclineiden sicli 
die Verhmdungsgeraden der entsprechenden Ecken AA\ BB', CO' 
in einem Punkte. (VgL Nr. 67, 4.) 

Der Satz bedarf keines Beweises mehr, wenn man, wie es 
seine projektive IsTatur erlaubt, die Figur, auf die er sieh beziebt, 
so projiziert, daB die Gerade, in der sich die entsprechenden Seiten 
beider Dreiecke schneiden, in unendlicher Entfernung erscbeint; 
denn er geiit alsdann in den einfachen Ausdruck der Ahnlichkeit 
nnd abnliclien Lage beider Dreiecke fiber: Wenn in zwei Dreiecken 
abc\ atf c die Seiten des einen den Seiten des andern parallel sind, 
so schneiden sick die Yerbindungsgeraden der entsprechenden Ecken 
in einem Punkte; dies geht einfach aus der Bemerkung hervor, daB 
die Geraden a a' und Jfc' beide die Gerade ce' in dem namlichen 
Yerh'altnis teilen. 

2) Aber der vorige Satz und sein dualer: Wenn zwei 'Dreiecke 
so gelegen sind, daB die Verbindungsgeraden ihrer entsprechenden 
Eckenpaare durch einen Punkt S gehen, so schneiden sich die Paare 
ihrer entsprechenden Seiten in einer Geraden s erscheinen nach 
den Projektionsgesetzen unmittelbar klar aus den Definitionen. Demi 
in der Figur des ersten sehen wir eine Projektion der zwei Drei- 
ecke, die die Schnittpunkte yon drei nicht in derselben Ebene 
liegenden Geraden durch 8 mit zwei S nicht enthaltenden Ebenen 
bilden; ihre entsprechenden Seiten schneiden sich in der Schnitt- 
linie dieser Ebenen. Und wenn man *von drei Punkten dieser Schnitt- 
linie s zweier Ebenen ausgeht, und in diesen Ebenen Dreiseite ge- 
bildet denkt, deren entsprechende Seitenpaare durch jene drei Punkte 
bez. gehen, so liegen ihre entsprechenden Ecken auf drei Geraden 
durch einen Punkt $, weil sich Geraden, die paarweise aber nicht 
alle in einer Ebene liegen, in einem Punkte schneiden. Die betrach- 
teten Satze sprechen nur die Eigenschaften der Projektionen dieser 
raumlichen Figuren aus, 

3) Daran schlieBt sich ohne neue Voraussetzungen die Er- 
weiterung auf die p&rspetktiven Vierecke und Tiers&ite: Wenn zwei 
ebene Vierecke ABCD, A'B'C'lf so liegen, daB sich funf ihrer 
entsprechenden Seitenpaare JLJ5, A'B\ usw. in funf Punkten einer 



382 XXIL Yon der Methode der Projekticm. 414. 

Geraden s sehneiden, so liegt aucli der Schnittpunkt des seehsten 
Seitenpaares, etwa CD, C'D', in dieser Geraden, und die Verbin- 
dungsgeraden der entspreclienden Ecken A A', usw, gehen durch 
einen Punkt 8, Und: Wenn zwei ebene Tierseite so liegen, daB 
fiinf ihrer entsprechenden Eckenpaare in Geraden aus einem Punkte S 
enthalten sind, so liegt auch ihr sechstes Eckenpaar in einer Ge- 
raden durch diesen Punkt, und die yier Schnittpunkte ihrer ent- 
spreclienden Seiten liegen in einer Geraden s. 

Denn fur den ersten Satz: Die Dreiecke ABC, A'B'G' und 
wieder ABD, A'B'D' liegen nach Voraussetzung perspektiy fur 
die Gerade s als Acbse und einen Punkt 8 als Zentrum; daher 
geht DD' auch durch 8, und die Dreiecke BCD, B'C'D' sind t 
well sich JjG, B'C' und ED, B'D' in s sehneiden, ebenso per- 
spektiv, oder die Geraden CD, G'D' gehen durch einen Punkt 
Ton s. TJnd dual. 

Denken wir das erste Viereck (Vierseit) und die Gerade s 
(den Punkt 5) gegeben ; so lafit &ieh das zweite in seiner Ebene 
auf dreifach unendlich viele Arten bilden, weil man seine Seiten 
A'B', E'C', C'A' durch die Schnittpunkte yon s mit bez. AE, 
BC, CA beliebig nur so, daB sie em Dreieck A'B'G' bilden 
ziehen kann; dann treffen sich die yon A f nach dem Schnitt- 
punkt yon s mit AD und die yon B' nach dem Schnittpunkt yon 
s mit BD gezogene Gerade in einem Punkte D r , dessen Yerbin- 
dungsgerade mifc C' durch den Schnitt der Geraden 5 und CD 
gehen mufl. Die Bildung eines Vierecks ABCD gentigt offenbar 
um den sechsten Punkt s, CD zu erhalten; und die Bildung eines- 
Vierseits alcd um den sechsten Strahl 8, cd zu finden: Das voll- 
standige Viereck (Vierseit) liefert durch die Schnittpunkte zweier 
Gegenseitenpaare mit s (die Verbindungsgeraden seiner Gegenseiten- 
paare mit 8} di^ei Paare der Involution in s (an S). Man hat die 
Konstruktion einer inyolutorisehen Eeihe in s aus dem Paare s,BC\ 
s,AD und dem Paare $,AC; s,BD oder die Konstruktion des- 
entsprechenden Punktes 5, CD zu dem Punkte s, AB. Und dual 
erh&lt man die Konstruktion des involutoriscTicn Buschels aus 8, das 
durck gwti Paare bestimmt 1st, d. h. zu jedem funften Strahl aus 
S den sechsten, der mit ihm ein Paar bildet. 

4) Bewegt sich der funfte Punkt der Involution aus zwei 
Paaren in der Geraden 5, bez. dreht sich der funfte Strahl des in- 
yolutorisehen Buschels ura 8, und will man die Lagen des jeweiligen 
entsprechenden mit dem geringsten Linienaufwand konstruieren, so 
erMU man m der Konstruktion der involutorisclicn SeiJie stets ein 
Paar projektwe StraUenluschel, aus denen sie geschnitten wird, und 
zur Konstruktion des involutorischen Strahlcnbuschels ein Paar der 
funktreXkm^ die wn ihm projimcrt werden; so daB sich 



Involution und Projektivitat aus den Definitionen. 383- 

die Konstruktion projektiver Buschel und Eeihen und damit die 
gauze projektive Geometrie als mit folgend aus der vorigen Ent- 
wieklung, also als Bcstandstuck jeder Geometrie, mabMngig von 
ParaUelenaxiom und MetriJc ergibt. 

Wenn in der Involution auf s zwei Paare J., A l und J?, JB 1 
gegeben sind und zu dem Punkte C der entsprechende C i gesucht 
wird man wird die Figuren Her wie im Vorigen leicht selbst 
bilden so daB man die Konstruktion mit der Bildung eines Drei- 
ecks zu beginnen hat, dessen Seiten dureh -4, J? 15 C bez. gehen, so 
wahle man auf der Seite durch A zwei seiner Ecken T, T' fest, 
so daB fur jedes G die dritte Ecke U auf der Geraden S^ in 
ihrem Schnittpunkt mit dem um 2 sich drehenden Strahle 1C 
liegt. Dann ist die Konstraktion von G l als Partner von G in der 
Involution in s die Konstruktion des zu TC entspreehenden Strahles 
in dem Buschel aus T', das zu T - ABC projektiv ist. Denn A l 
ist. das perspektive Zentrum T n dieser beiden Buschel (Rr. 67) 
und die Bildung des Vierecks durch Einzufiigung der Ecke U' zu 
T, 2", U fordert den Schnitt der Geraden TS mit UA^ d.h. mit 
Z7T", und T'CI geht nach diesem U'. Biickt G in s fort, so U in 
jT-Bj, U' in TS und U'T' schneidet O t aus s eine Kette von 
Gliedern in paarweis perspektivem Zusammenhang, also von glei- 
chen entspreehenden DoppelverhaKnissen (Nr. 86) nach der ersten 
Entwicklung. Und dual fur die Involution im Strahlenbuschel mit 
<Jem volistSndigen Vierseit. 186 ) 

415. G-eometrie im BtLndel. Die projizierenden StraHen 
der Punkte, die projizierenden Ebenen der Geraden einer Ebene 
bilden, wie man sagt, ein Silndel von Strahlen und Ebenen 
am Zentrum als Scheitel. Also ist das Btindel in semen 
Elementen Strahl und Ebene von. derselben Mannigfaltigkeit, 
wie die Ebene in den ihrigen Punkt und Gerade. Aus der 
ebenen Geometrie folgt soinit eine Geometrie im Bundd, die 
die Lagenbeziehungen zwischen den Strahlen und Ebenen durch 
einen Scheitel untersucht. Nach dein Vorigen gelten alle 
Doppelverhaltniseigenschaften ebener Figuren auch fiir die sie 
projizierenden Figuren des Biindels ; sobald man den Begriff des 
Doppelverhaltnisses von vier Strahlen eines Btischels auf die 
sie projizierenden Ebenen eines Buschels iibertragt Demnach 
erhalten wir aus projektiven S'atzen der ebenen Geometrie 
die entspreehenden der Geometrie im Biindel, indem wir nur 
Strahl md Ebene an Stelle wn Punkt und Strahl setzen. 



334 XXIf. Yon der Methode der Projektion. 416. 

Wahrend die gewohnliche Anschauung das Biindel uli* 
Ton der Bbene wesentlich verschieden ansieht, weil es den 
ganzen Raum erfiillt, ist die allgemeine analytische Geometrie 
im Bunflel und in der Ebene identisck Hierin liegt die un- 
mittelbare Reehtfertigung der Einfiikrung der r'aumlichen Pro- 
jektionsmethode in die Untersuchungen der ebenen Geometric. 
In der Tat Vonmn wir die fernaren homogenen Koordinaten 
wn Elementen der Ebene auch als die Koordinaten der proji- 
mrenden Elemente des Eundels deuten, sobald wir als Fniida- 
mentalstrahlen und -ebenen des Biindels die projizierenden der 
Fundainentalpunkte und -linien der Ebene einftihren; denn die 
Koordinatenyerhaltnisse sind Doppelyeriialtiiisse. Gleichungen 
ersten und zweiten Grades in % bez. u { definieren Ebenen bez. 
Strahlen, und Kegel zweiter Ordnung bez. Klasse im Bundel. 

Und scbneiden wir StraKlen und Ebenen des Biindels mit 
einer Original- und einer Bildebene, .so definieren die Koordi- 
naten der Elemente P der einen Figur die der entsprechenden 
Elemente P r der aadern, falls wir sie je auf entsprechende 
Fundamentaleleniente A i} E, J./, JE' der Ebenen beziehen. 
Eine Originalkurve und Hire Projektionen sind durcli dieselbe 
Gleiclwng in perspektiven Eoordinatensystemen dargestellt. 

Fuhren wir insbesondere nickt-homogene Koordinaten ein, 
indem wir x s und % konstant denken ; so heiBt dies ; wir unter- 
suchen statt der Originalfigur eine Projektion auf eine Ebene ; 
die zur Verbindungsebene des Zentrums mit der Fundamental- 
linie -4^ parallel ist Dann ist A^A% die miendlich feme 
Gerade und man hat noch daftir zu sorgen, daB die Projek- 
tion des Einheitspunktes E in die Halbierimgslinie A s ' E f des 
Winkels der Achsen A^A^ A^A^ faUt (Nr. 88), wozu nur 
QE die Strecke AA% Jhalbieren nruB, Umgekelirt wird mit 
dem Honaogenmachen eine beliebige Projektion eines auf zwei 
Achsen bezogenen Originals eingefuhrt. 136 ) 

416. ZentralkolHneation und Umlegung. Ebene Systeme 
entsprechen sich nach der Methode der Zentralprojektion in 
der Weise, dafi alle Paare entsprechender Punkte in Geraden 
aus einem Punkte liegen, und aUe Paare entsprechender 
Geraden sich in Punkten einer Geraden s begegnen; und diese 



Geometrie iin Bimdel. Zenfcralkollineatioa. 385 

Beziehung bleibt aucli ungestort, wenn wir beide Systeme 
durch eine Drehung des einen urn ihre gemeiusciiaftliche 
Scknittlinie s in eine Ebene zusammenlegen. Man erhennt 
$araus die Identitat der mitrdljprojelctiven J3e0ieJiung ebener 
Systeme mit der zentriscJien Lage Mlinearer Systeme. 

Denn da der Winkel y YOU zwei sich sehneidenden Ge- 
radeii durcli den yon Parallelen aus dem Zentrum an dies em 
gemessen wird ; so liefert die TJmlegung der Ebene Ogf urn g' 
als die Fluchtlinie der Ebene des Winkels seine wahre GroBe: 
man verbindet das mit Oq' umgelegte Zentrum (0) mit den 
Fluchtpunkten $/, QJ der Scbenkel, d. i. mit den Schnitt- 
pnnkten ihrer Bilder mit g'. Infolgedessen ist ancb der von 
(0)Q r mit g/' eingescblossene Winkel der Winkel der Greraden 
gegen die Spur s der Ebene des Winkels. Wenn man also 
die Flucbtpnnkfce der Greraden in der Ebene mit dem mit der 
Ebene 0%' umgelegten Zentrum (0) durcli StraHen Yerbindet 
und zu diesen durcli die entsprechenden Durcbgaiigspunkte 
Sj, S% Parallelen zieht, so geben diese die Lagen jener Gre- 
raden nach tiberfiihrung in die Bildebene an. Insbesondere ent- 
sprickfc diesem Gesetze gemaB jeder durcli (0) gehende Strahl 
sich selbst. Es liegen also, weil entsprechende Punkte die 
Schnittpunkte von entsprechenden Geraden sind, auch nocli 
nach der Zusammenlegung beider 
Systeme in eine Ebene die entspre- 
xshenden Punkte in StraHen aus 
einem Punkte (0), dem Zentrum der 
Kollineation. Zur Konstruktion nur 
noch dies. 

Wir denken Yom Zentrum dei 
Projektion dieNormalezur Bildebene 
mit dem FuBpunkte O l (Fig. 43) 
und beschreiben mit ilirer Lange 
(der Distanz) als Radius um O t in 
der Bildebene den Distanz-Kreis D] 
ist dann s die Spur und q die Flucht- 
linie der Ebene eines in die Bildebene projizierten Systems, 
so erhalten wir das zugehorige Zentrum (0) der Kollineation 

Salmon-Fiedler, anal. G-eom. d Kegelschn. II. 7. Aufi. 25 




386 XXII. Von der Methode der Projektion. 416 

in dem Lot von O l auf g' rnit dem FuBpunkt H', indem wir 
yon H' auf die Grerade H' die Hypotenuse des rechtwinkli- 
gen Dreiecks aus den Katheten 1 E r und 1 abtragen. 

Wie vorher beschrieben, zeichnet man nun die Figur der 
Ebene sq (Fig. 44) in die Bildebene ; indem man zu jeder Geraden 
SQ' oder g derselben die entsprechende Gerade g als Parallele 
zu (0}Q f durch 8 zieht. Die Spur s der Ebene wird die Achse 
und (0) das Zentrum der Kollineation genannt; die Flucht- 
linie q die Gegenachse im Bild, und die Parallele r zu ihr r 
die yon (0) ebenso weit und im namliclien Sinne entfernt ist, 
wie s Ton q' (NV. 412) die Gegenacltse in der Umlegung oder 
im Original; diese hat fur den IJbergang vom Original zum 

Bild die gleiche Verwendung 
wie q fur den- vom Bild zum 
Original. DasrecbtwinkligeKo- 
ordinatensystem im Bilde mit 
g[ als x f = und dem Null- 
punkt in H r entsprictt dem 
rechtwinkligen System im Ori- 
ginal mit r als x und dem 
JSTullpunkt fl; die Acltsen der 
x und x entsprechen einander^ 
die y und y je der unendlich 
fernen Geraden des andem 
Systems. Aucb. die symmetriseh 
gleichen" Reihen t, t f und Bti- 
schel I 7 , T' konstruiert man 
leicht aus derselben Umlegung. 
. 44. (S. Fig. 44.) Die Gegenacbsen 

kounen in der Mitte zwischeii 
Kollineationszentrum und -Achse zusammenfallen ; namlicb 
dann^ wena das Projektionszentrum in der Halbierungsebene 
des Drehungswinkels zwischen beiden Ebenen liegt; wenn es 
in der Halbierungsebene seines Nebenwinkels liegt, so sind die 
Gegenachsen symmetriseh zur Kollineationsachse und diese- 
enthalt das Kollineationszentrum. Im ersten Falle hat man die 
Involution der kollinearen elenm Systeme. Aus der Kollineations- 




Zentralkollineation. 387 

achse, der einen Gegenachse und dem umgelegten Zentrum (0) 
bestimmt sicb zu dem als gegeben gedacbten einen System 
das andere durcb lineare Konstruktion, zum Original das Bild 
auf gleicbe Weise nur mit der anderen Gegenachse wie zum 
Bilde das Original. 137 ) 

Wir kehren zur Winkelbestimmung zuriick. Die Bilder von 
zwei zueinander rechtwinkligen Richtungen im Original sind 
zwei Punkte in #', deren Verbindungslinien mit (0) an diesem 
Punkte einen rechten Winkel bilden ; oder sie sind Durchmesser- 
endpnnkte eines Kreises durch (0) ; also nach der schon in 
Nr. 18 benutzten Ausdrucksweise: Alle Paare rechtwinkliger 
Ricbtungen in der Originalebene werden abgebildet durcli die 
Paare der elliptiscben Involution in q' 9 die von (0) aus durcL. 
die Recbtwinkelinvolution projiziert wird ? die also H' zum 
Mittelpunkt und das Paar im Kreis aus H' durcb (0) zum 
symmetrisclien Paar bat. (Distanzpunkte.) 

Und ebenso: Die Paare recktwinkliger Ricbtungen in der 
Bildebene b^ben ibre Originale in der Gegenacbse r in den 
Paaren derjenigen elliptiscben Involution, die durcb die Recbt- 
winkelinvolution urn (0) projiziert wird, die also in S ibren 
Mittelpunkt und auf dem aus If durcb (0) beschriebenen 
Kreise ibr symmetriscbes Paar bat. 

Die letztgenannten Paare bilden die symmetriscb har- 
moniscbe Darstellung der Entsprecbenden zu den absoluten 
Punkten der Original- bez. der Bildebene. Da nun die Invo- 
lution der Paare recbtwinkliger Ricbtungen die Polinvolution 
des Kreises auf der unendlicb fernen G-eraden ist, so bat 
notwendig der in einer kollinearen Figur einem Kreise entr 
sprecbende Kegelscbnitt die in der Gegenacbse seines Systems 
liegende elliptiscbe Involution mit den Distanzpunkten als 
dem symmetriscben Paar zu seiner Polinvolution in dieser 
Gegenacbse. Und wenn Kegelscbnitte des einen Systems in 
dessen Gegenacbse dieselbe elliptiscbe Polinvolution bestimmen ; 
so entsprecben ibnen im andern System immer dann lauter 
Kreise ; wenn das Zentrum der zwiscben beiden bestebenden 
KoUineation der Scbeitel der iiber jenen stebenden Recbt- 
winkelinvolution ist; die Wahl der Kollineationsacbse hat nur 

25* 



388 XXII. Von der Methode der Piojektion. 416. 

EinfluB auf ihre GroBe und Lage. Es ist klar, dafi damit 
die Fragen naeh der Cfberfuhrung Ton Kegelscknitten in Kreise 
durcH Projektion vollstandig und in einfachster Art erledigt 
sind. (Man rergleiche aber die elementare Behandlung der- 
selben in Nr. 4181) 

Bringen wir Original und Bild irgendwie unverandert zur 
Vereinigung in eine Ebene, so konnen nun die Elemente beider 
Systeme auf ernes der beiden Fundamentalquadrupel A t9 E bez. 
Af, E' bezogen werden. Dann unterliegen die bister iin andern 
gedeuteten Koordinaten einer linearen Transformation, die 
durch. die Lage ihres Quadrupels im gewahlten System be- 
stimmt ist. Der geometrische ProzeB zeigt so die Identitat 
des analytischen Ausdrucks for Koordinatentrausformation und 
allgemeine Kollineation. Haben wir, wie oben, die Kollinea- 
tion nur durcb. eine Drelmng der gegebenen Ebenen urn die 
gemeinsame Schnittlinie erzeugt, so sind die Substitutionen 
ron der besonderen Art, wo ein StraHenbiiseliel und eine 
Punktreibe je sicli selbst entspricht. YgL B. 7, 

B. 1) Der Mittelpunkt des Bildes von einem Kegelschnitt eat- 
spriclit dem Pol der Gegenachse r in ihm (Nr. 414). 

2) Die zentrisch kollineare Figur zu einem kreisfSrmigen Ori- 
ginal mit dem Kollineationszentrum als Mittelpunkt ist ein Kegel- 
schnitt, der diesen Punkt zum Brennpunkt und die Gegenachse q 
xur entsprechenden Leitlinie hat. Auch das fuhrt direkt auf das 
Gesetz von Nr. 183. 

3) Urn zwei Kreise einer Ebeae in zwei Kreise zentral zu pro- 
ji/ieren, hat man iire Potenzlinie als Gegeaachse r der Kollineation 
zu wahlen und von ihrem Schnitt mit der Zentrale aus in dieser 
den Radius des kleinsten Orthogonalkreises beider Kreise abzu- 
tragen (Kreis fiber dem symmetrischen Paar der gemeinsamen Pol- 
involution durch (0)), urn das Kollmeationszentrum zu erhalten. 
Die Wahl der andern Gegenachse g' oder der Achse s (parallel r) 
liefert entsprechende Kreise fur alle Kreise des Biischels, das die zwei 
gegebenen bestimmen. Man schneidet ihre Eadien leicht in 5 ab. 

4) Zu einer gewahlten Zentralkollineation gehoren immer un- 
endlich viele Zentralprojektionen: Ihre Projektionszentren liegen 
auf dem Kreise, der in der Normalebene durch (0) zu r aus H be- 
schrieben wird. 

5) Wenn unter den drei Geradenpaaren eines Kegelschnitt- 
biischels (Nr. 2511) nur ein reelles ist, so sind entweder die in 



Zentralkollineaticm. Ebene S.clinitte Ton Kreiskegeln. 389 

ihnen liegenden, alien Kegelschnitten gemeinsamen Polinvolutionen 
beide elliptiscli oder eine von ihnen ist hyperbolisch, Im ersten 
Falle sind beide Gegenachsen fur die Uberfuhrung des Kegelscbnitt- 
btiscliels in Kreisbtischel Yerwendbar und der Gesamtort der zuge"- 
horigen Projektionszentra besteht aus den zwei Kreisen in ihren 
Normalebenen mit den halben Distanzen ihrer symmetrises en Paare 
als Eadien, usw. Fur ein bestinimtes Zentnim ist die Bildebene 
parallel zur Ebene Or. 

6) Die dreifach unendlieli vielen Kegelscnnitte, die auf einer 
Geraden r dieselbe elliptisehe PolinYolution bestimmen (und deren 
jeder durca drei seiner Punkte bestimmt werden kann), liefern als 
entsprecnend alle Kreise der Bildebene je dureh die entsprecnen- 
den der drei Pnnkte. 

7) Nimmt man den UTullpunkt yon recktwinkligen Koordi- 
naten als Kollineationszentrum (0), x = a als Achse (Spur) und 
x = & als Flucntlinie #', so gibt die Ausfunrung der Konstruktion 
des Textes die Gleichungen 



J 



Das entsprechende Koordinatendreieck der Projektion, in dem die 
homogenen Koordinaten die Werte px \ py \ ft haben, ist gebildet 
aus a & | 0; 0|oo; 0(0 (Streifenkoordinaten Nr. 88). 

Fiir a = 2 6 hat man die involutorische Kollineation, fur a 
ihre entgegengesetzte Umlegung. 

417. Zegel zweiten Grades. Alle Projektionen eines 
Kreises aus einem niclit seiner Ebene angehorigen Zentrum 
sind nach Nr. 413 Kurven zweiten Grades. Man nennt daher 
Kegel iiber kreisformiger Basis selbst Kegel zweiten Grades. 
Die Untersuchung der % ebenen Quersclxnitte soleher Kegel ist 
nach. dem VortergeiLenden identiscli mit der Theorie der zu 
Ereisen kollinearen Kuryen. Es soil Mer aus der raumlicheji 
Auffassung die elementare Definition dieser Querscioiitte ab- 
geleitet und damit die Bezeictnung der Kurven zweiten Grades 
als KegelschniUe direkt begrundet werden. 

Man pflegt einen Kreiskegel ferner gerade oder scMef zu 
nennen, je nachdem die Verbindungsgerade seiner Spitze mit 
dem Mittelpunkt des Basiskreises auf dessen Ebene senkreelit 
ist oder nicht: Aclise des Eotationskegels im ersten Fall. Da 
die Vorstellung des geraden Kreiskegels die emfacliere ist ? so 
ist es zweekmafiig, yon ihm auszugehen. Jedoeh stimmt die 



390 %ITT. Yon der Methode der Projektion. 418, 

Untersuchung der Schnitte des schiefen Kegels mit derjenigen 
der Sehnitte des geraden Kegels vollig tiberein, 

Die Schnitte eines jeden Kegels mit parallelen Ebenen 
sind ahnliche Kurven. Denn wenn wir in der Ebene der einen 
Kurye einen Punkt A und in der Ebene der andern Kurve 
den entsprechenden Punkt a auf A annehmen, und von ihnen 
nach irgend zwei entsprechenden Kurvenpunkten J? ; & Vektoreu 
ziehen, so folgt aus den ahnlichen Dreiecken OAB und Qal> 
die Verhaltnisgleichheit A : Oa == AS : ab. Weil also jeder 
Vektor der einen Kurye zu dem entsprechenden Vektor der 
andern in dem namlichen konstanten Verhaltnis OA: Oa steht 
und die entsprechenden Winkel iibereinstimmen, so sind 'die 
beiden Kurven ahnlich (Nr. 227). Insbesondere wird jeder Kreis- 
kegel dnrch eine Ebene, die seiner Basis parallel ist, in einem 
Kreise geschnitten, Wir denken nur die entsprechenden 
Pnnkte A, a als die Mittelpnukte der "beiden Knrven. 

Allgemeiner erkennen wir aber nach denselben tJber- 
legungen, daft die ZentralprojeMon ebener Figuren aufparallele 
Ebenen ahnliche Figuren liefert. Da alsdann Spur und Flucht- 
linie unendlich fern sind ; so ist unter Umlegung der einen 
Ebene in die andere eine Parallelverschiebung zu yerstehen ; 
bei der alle Punkte Normalen der Ebene beschreiben. Man 
kommt so auf die Ahnlichkeit in ahnlicher Lage als Sonder- 
fall der Zentralkollineation. 

418. Die ebenen Schnitte eines Ereiskegels sind von Ge- 
radenpaaren abgesehm entweder Ellipsen oder Hyperbeln oder 
Parabeln. Im Falle des geraden Kegels lege man durch die 
Achse OCeine Ebene OAB senkrecht zur Schnittebene M SsN 
und betrachte AB als die Ebene der Zeichnung. Die Schnitt- 
ebene sowohlwie die Basisebene ASB ist dann rechtwinklig zur 
Ebene der Zeichnung, ebenso die Grerade BS, in der sich jene 
beiden Ebenea schneiden. Wir setzen alsdann zuerst voraus, da6 
die Crerade MN f in der die Schnittebene die Ebene OA B schnei- 
det ; den beiden Seitenlinien A und OB des Kegels auf der- 
selben Seite des Scheitels begegnet, wie Figur 45 es augibt. 

Durch irgend einea Punkt s der Schnittkurve legen wir 
eine zur Basis parallele Ebene und erhalten dadurch fur das 



Ebene Schnitte des geraden Kreiskegels. 



391 




45. 



^Quadrat der Ordinaten RS nnd rsr der Kreise A SB and asl 

die Ausdriicke RS* = AR - RB und r$ 2 = ar - r&. Wenn man 

aber die "ahnliclien Dreiecke ARM nnd 

vrM, BRN und IrN betrachtet, so 

folgt 

AR-RB:MR-RN-ar-rl>:Mr-rN, 

also 

R~S*:rs*=~MR EA T : JTr - r JV. 

Das Quadrat einer beliebigen Ordi- 
iiate rs der Schnittkurre MSsN steht 
also zu dem Reehteck aus den von ikr in 
der Geraden MN bestimmten Abschnit- 
ten in dem konstanten positiven Ver- 
lialtnis RS* : MR RN. Nach Nr. 151 1st der betrackfcete 
Kegelschnitt eine Ellipsej die MN zur Hauptachse tat, und 
deren Heine Acb.se sicli aus der Bemerkung bestimmt, daB 
ihr Quadrat zu MN 2 im Verbaltnis .E/S 2 : MR B N stehen mnB 

Die Tatsache ; daB das Verialtnis ri 2 : Nr - rM konstant, 
etwa gleich x 2 ist, fuhrt sofort zur Schettdgleichung der Ellipse. 
Denken wir uns namlich in der Sclinittebene MSsN ein Ko- 
ordinatensystem znit NM als Abszissenachse ; einer durch N 
rechtwinklig zu NM gezogenen Geraden als Ordinatenaelise,, 
o ist Nr a?, rs = y. Setzt man ferner 
NM=* 2 a, so folgt r M = 2a x, und aus 
rs*:Nr-rM = x? geht / a == 

herror oder auch f == 2_prc ~~ 

2a* 2 durch 2p ersetzt VgL Nr. 192. 

"Wir nehmen zweitens an, eine der bei- 
den Seiten OA und OJ5, etwa OA, werde 
von der Geraden MN erst in der Verlange- 
rung gesebnitten (Fig. 46). Der vorige Be- 
weis bleibt vollig unverandert* nur in dem 
Bndergebnis tritt die Veranderung ein, daB 
nun das konstante Verhaltnis zwischen dem 
Quadrat der Ordinate r$ und dem Rechteek 
Jfr rN aus den Abschnitten stattfindet, die ein aufterer 



\ 



~~ ^ wenn man 




392 XXII. Yon der Metliode der Projektion. 419. 

Teilpunkt in der Strecke M N bestimmt. Die Schnittkurve 
ist in diesem Falle eine aus den beiden Zweigen Ns S und 
Ms'ff bestebende Hyperbel mit der Hauptacbse MN=2a, 

Fiibrt man bier das entsprecbende Koordinatensystem 
ein wie im zuyor betracbteten Falle, so ist Nr x 9 rs = y f 
Mr 2 a + x\ da ferner Mr und rN entgegengesetzte Rich- 
tung baben ; ist das Verbaltnis rs*:Mr-rN nun negativ, 
etwa gleicb H 2 ; also rs 2 : Mr Nr = + ^ 2 ; tmd man erhali 

jT- 0(20 + fl> 3 = 2px + ^x\ Vgl. Nr. 192. 

Wenn drittens die Gerade M N zu einer der Seiteii 

parallel ist (Fig. 47), so steht, wegen AR = ar und RB : rb 
= NR : Nr, das mit dem Recbteck ar r& 
gleicbe Quadrat der Ordinate rs zu der Ab- 
szisse Nr in dem konstanten Verbaltnis 
R8*:NR oder AR-RB:NR. Denmack 
ist die Scbnittkurve in diesem Falle eine 




Setzt man das konstante Verbaltnis 
- N rs 2 : Nr gleicb 2p, so ist bei demselben Ko- 
ordinatensystem wie zuvor rs y, Nr == 5? f 
man erbalt /= 2pn;. Vgl, Nr. 198. 
Man erkennt die Parabel deutlicb als den Grenzfall zwi- 
seben Ellipse und Hyperbel, wenn man die Scbnittebene sicli 
etwa urn die zu OB senkrechte Scheiteltangente dreben lafit. 
Die Lagen der Scbnittebene fur Hyperbel, Ellipse, Parabel 
konnen dadurcb cbarakterisiert werden, daB die parallele Ebene 
durcb die Spitze des Kegels diesen in reellen oder imaginareii 
Geraden schneidet oder langs einer, Seitenlinie beriibrt. 

419. Schnitte des scMefen Kreiskegels, Die Ebene der 
Zeicbnung sei durcb die Spitze des Kegels und den Mittel- 
punkt C des Basiskreises senkrecbt zu dessen Ebene gelegt 
(Fig. 48); QS sei die Scbnittlinie der Scbnittebene mit der 
Ebene des Kreises AQSB. Ferner sei LK der die Sebne Q$ 
balbierende Durcbmesser und MN die Gerade, die die durch 
ihn und die Kegelspitze gelegte Ebene mit der Schnittebene 
gemeinsam bat. 




Ebene Schnitte des Kreiskegels. 393 

Nun entwickelt sicli der Beweis ganz wie yorher: das 
Quadrat der Ordinate ES ist dem Rechteck LE EK gleich., 
und wenn wir wieder eine zur Basis 
parallele Ebene einfuhren, so ist das 
Quadrat der ihr angehorigen Ordinate rs 
gleich dem entsprechenden Rechteck 
Ir * rh Wir beweisen sodann aus den 
ahnlichen Dreiecken KEM, JcrM und 
L EN, IrN in der Ebene QLK, ebenso 
wie im Falle des geraden Kegels, daB 
das Verhaltnis der Quadrate ES 2 : rs 2 
dem Verhaltnis der Eechtecke gleich 
ist, die aus dea durch den FuBpunkt 
der Ordinate bestimmten Abschnitten yon MN gebildet 
werden. Deninack ist die Schnittkurve ein Kegelschnitt, fur 
den MN der die Sehne QS halbierende Durchmesser ist, 
und zwar eine Ellipse, wenn MN die Geraden OL und OK 
auf derselben Seite der Kegelspitze schneidet; eine Hyperbel y 
wenn diese Schnittpunkte auf rerschiedenen Seiten der Spitze 
liegen ; und eine Parabel, wenn einer derselben unendlich 
fern ist. 

Die in dem Beweise gemachte Voraussetzung, dafi der 
Basiskreis reelle Punkte mit der Scbnittkurve gemein liabe y 
ist in jedem Falle statthaft, weil jeder Kreis, den irgend eine 
der Basis parallele Ebene in der Kegelflache bestimmt, als 
Basis betraehtet werden kann. 

Aufier diesen Kreisen gibt es aber in jedem sclnefen 
Kreiskegel eine #weite Beihe von untereinander pa-rallelen Kreis- 
schnitten. Denken wir uns nSmlich. eine Schnittebene um die 
Normale der Zeichnungsebene in G gedreht, so kommt sie in 
eine zweite Lage ; in der das zwisohen OJ., OB enthaltene 
Stuck AS ihrer Spur dieselbe Lftnge AS annimmt. Der 
yon ihr dann ausgeschnittene Kegelschcitt hat zwei gleich 
lange zueinander rechtwinklige Durchmesser, ist somit ein 
Kreis, ebenso sind alle parallelen Querschnitte Kreise. 

420. Wenn ein Kreissclinitt des Kegels von einer Ebene 
in der Geraden QS geschnitten tvird, so' legegncn der m QS 



394 XXII. You der Methode der Projektion. 421. 

konjugierte Durclimesser in diesem Querschnitt und im Kreise 
sich mit QS in demselben Punkte. Sctneidet QS den Kreis 
reell, so ist der Satz einleuchtend und konnte auf den Fall 
ausgedehnt werden, wo QS nicht in reellen Punkten schneidet. 
Direkt wird bewiesen, daB der Durcfonesser df, der die zu 
qs parallelen Sekien eines beliebigen Kreisschnittes halbiert, 
einen Durclimesser DF zur Projektion hat, der die gleieh- 
gerickteten Sehnen eines parallelen Schnittes halbiert (N"r.417). 
Der Ort der Mittdpunkte aller zu qs oder QS parallelen 
Sehnen des Kegels ist die Ebene Odf] der zu QS in irgend 
einem Scbnitte konjngierfce Durclimesser ist daher die Sctnitt- 
linie der Ebene Odf mit der Ebene dieses Sctnittes und geht 
durch den Punkt JR ; in dem QS die Ebene Odf schneidet. 

Wenn in demselben Falle die m QE im Kreise und im 
andern SclmiUe konjugierten Durclimesser in Teile RD, BF; 
Eg, Ek gesclmitten werden (Fig. 49), so verhalten sich die 
EecJitecke DE-EF und gE*Ek wie die Quadrate des m 
QS parallelen und des Iconjugierten DurcJimessers des Schnittes. 
Dies erkennt man sofort ? wenn q$ den 
Ereis in reellen Punkten triffit; denn 
alsdann ist fs 2 = dr - rf. Fur den all- 
gemeinen Fall ist aber bewiesen, daB 
die Gferaden g"k, df, Df in einer die 
Spitze des Kegels enthaltenden Ebene 
liegen; daher sind die Punkte d, D 
Projektionen yon g und liegen mit g in 
einer durch die Spitze getenden Ge- 
raden. Wie in Nr. 419 folgt daher aus 
ahnlicten Dreiecken dr - rf: DE EF = gr r k : g E - R~k] 
und weil dr * rf iind gr rk den Quadraten der parallelen 
Halbdurchmesser proportional sind ? so stehen auch ])E - EF 
und gE E'k in demselben VeAaltnis. Dieser Satz gestattet 7 
fur "den BohmiigsTcq und die Grerade QS das Produkt DR-EF 
oder das Quadrat der durck E gehenden Tangente des Kreis- 
schnittes zu bestimmen, dessen Ebene durch QS gett. 

421. Jeder KegelschniU Ttann in einen Kreis projimrt 
wie jede Kreisprojektion ein Kegelseknitt ist. Wir 




Projektion des Kegelschnittes in einen Kreis. 395 

konnen dafiir aueh sagen: Jeder Kegd ssweiten Grades ist ein 
KreisJcegel Wenn man durch die Spitze des Eegels parallel 
zur Ebene des Basiskreises erne Ebene' legt, die die Schnitt- 
ebene gskq in der Greraden TL schneidet, so folgt als ein 
besonderer Fall des Yorigen, da8 gL * Lit : OL* gleich dem 
Verhaltnis der Quadrate zweier bekannten Durehmesser des 
Schnittes ist Somit ist es eine unbestimmte Aufgabe, zu 
em em gegebenen Kegelschnitt Jc uncl einer Geraden TL seiner 
Ebene die Spitze eines Kegels ; der & zur Leitkur^e hat, so 
zu bestimmen, daB der yon einer zu OTL parallelen Ebene 
in ihm bestimmte Schnitt ein Kreis sei. Denn wenn wir den 
2u der Greraden TL konjugierten Durcbmesser der Sclinitt- 
kurve zieben, so ist die Entfernung OL des Punktes L yon 
der Spitze des Kegels durcli das Vorhergehende bestimmt; 
nnd OL ist in der Normalen aus zu TL zu messen, well 
OL dem zu TL rechtwinkligen Durchmesser eines Kreises 
parallel sein mu8. Die Spitze kann demnach in jedem 
Punkte eines gewissen um L in einer zu TL senkrechten 
Ebene beschriebenen Kreises genommen werden. 

Ein Kegelschnitt Jcann immer in der Art in einen Kreis 
projiziert werden, daft eine in seiner Elene fieliebig gewahlte 
Gerade TL, die ihn nicht schneidet, in unendliche Entfernung 
projwiert wird. Man bat dazu die Spitze des projizierenden 
Kegels nur auf dem oben bestimmten Kreise zu wahlen, und 
irgend eine der zur Ebene OTL parallelen Ebenen als Pro- 
jektionsebene zu nekmen. Statt dessen kann man auch sagen: 
Jeden Kegelschnitt Jcann man so in einen Kreis projiziemij 
dafi der MittelpunU des Kreises die Projection dnes beliebigen 
Punktes im Innern des Kegelschnittes ist. Denn t wir babea 
nur die Polare jenes Punktes in unendliche Entfernung zu 
projizieren. 

422. Brennpunkte und Leitlinien lassen sich sehr ein- 
fach an die Betrachtung der Schnitte des geraden Kegels 
anknlipfen. 189 ) Man kann in jeden geraden Kegel zwei Kugeln 
so einschreiben (Fig. 50), daB sie zugleich die Scbnittebene 
beriihren: die Beruhrungspunkte sind die Brennpunkte F,F f 
der Sehnittkurye, nnd jedem entspricht als Leitlinie der Schnitt- 




396 XXII. Von der Methode der Projektion. 422. 

kurve die Gerade, in der die Ebene des Beruhrungskreises 
der zugehorigen Kugel und des Kegels die Sclinittebene trifft 
Denn wenn man einen beliebigen Punkt P 
der Schnittkurve mit der Spitze des Kegels 
durch. eine Gerade verbindet und die Schnitt- 
punkte derselben mit den Ebenen der Be- 
ruhrungspunkte durch D, d bezeichnet, so 
hat man zwisohen den Tangentenlangen der 
Kugeln die Beziekmgen PD*=PF,Pd=* PF f , 
demnach fur eine Ellipse PF+PF f =~Dd> 
und diese konstante Lange stimmt mit der 
groiJen Achse M N der Schnittkurve iiberein. Fiir den Lyper- 
bolisclien Schnitt befindet sich offenbar in jeder Kegeloffiaung 
eine Beruhrungskugel auf derselben Seite der Ebene. Der 
Punkt R, in dem sick die Geraden FF' und AS bei ge- 
nugender Verlangerung sclineiden, 1st ein Punkt der Polare 
des Brennpunktes F, weil die Polare yon R in bezug auf 
den Kreis AFB zugleich ihm in bezug auf die Tangenten 
OA 9 OS harmonisch konjugiert ist. 

Dw Ort der ScJieitel aller geraden KreisJcegelj aus denen 
eine gegebene Ellipse (Hyperbel, Parabel) geschnitten werden 
Jcann, ist eine Hyperbel (Ellipse, Parabel) in einer mr Schnitt- 
ebene normalen Ebene, die die Srennpunkte der Ellipse (Hyperbel r 
Parabel) m Seheiteln und Hire Scheitel m SrennpunJcten Jiat. 
Dean die Differenz von MO und NO ist konstant, da sie 
gleich MF'~~NF r ist*) usw. 



*} Mit Hilfe dieses Prinzips konnen Eigenschaften der am Brenn- 
punkte eines Kegelsclmittes gespannten Winkel aus den Eigenschaften 
von Kugelkrlisen abgeleitet werden. Man weiJS z, B., dafi fiir einen 
iesten Punkt P in der Kngeloberflache und einen beliebigen festen 
Kreis auf der Eugel die Beziehung tg-JJ.P-tg|J5P=konst. besteht,. 
wenn A nnd B die Schnittpunkte dieses Kreises mit einem durch den 
Punkt P gehenden grofitcn Ereise der Kugel bezeichnen. 

Nehmen wir nun einen Kegel, dessen Basis der erste Kreis und 
dessen Spitze der Mittelpunkt der Kugel ist, und denken ihn durch 
eine beliebige Ebene geschnitten, so erhalten wir ,den Satz: Wenn man 
durch einen Punkt p in der Ebene eines Kegelschnittes eine Gerade 
zieht, die diesen in den Punkten a, I schneidet, so ist das Produkt 



Breaupunkfce der Kegels chnitfce. Jlontinuit&tsprinzip. 397 

B. 1) Der Parameter $> der Schnittkurve 1st konstant, so lange 
der Abstand ihrer Ebene von der Kegelspitze derselbe bleibt, n&m- 
licli gleich dem Produkt aus deni Abstand in die Tangente des 
Iialben Offnungswinkels. 

2) Man kann aus gegebenem Zentrum jeden Piinkt in der 
Ebene eines Kreises in einen Brennpankt der Projektion desselben 
projizieren. 

423. Kontimiitatsprinzip. Kegelschnittbuschel konnen in 
Kreisbuschel projimrt werden, zunachst alle solche ; die nicht 
lanter reelle Schnittpunkte haben. Denn wemi wir einen der 
Kegelschnitte so in einen Kreis projizieren, daB eine seiner 
idealen Schnittsehnen mit dem andern in unendliche Ent- 
fenrang projiziert wird (Nr. 420), so miissen die Projektionen 
der iibrigen Kegelscitnitte auck Kreise werden, well sie mit 
dem ersten die unendlich fernen Punkte geraein haben. Ins- 
lesondere konnen DoppelbertihrungsMschel in Buschel Jtonzen- 
triscfier Kreise projiziert werden. 1st die Beriihrung imaginar ; 
so projiziert man sie so t in Kreise, daB die BeriiTirungsseline 
in unendliche Entfernung fallt. (Nr. 259.) 

Mit Hilfe solcher Projettionen gelangt man ; sofern sie 
als reell vorausgesetzt werden, von jeder Eigenschaft eines 
Kreisbiiscliels zur entsprechenden Eigenschaft eines Kegel- 
schnittbtischels, das zwei imaginare Grrundpunkte hat. Nach- 
dem aber die Zentralprojektion als mit der Zentralkollineation 
identisch erkannt worden ist (Nr. 416), iibertragt sich die 
AUgemeinheit der analytischen Methode auf die Ergebnisse 
der Methode der Projektionen. Zwar haben wir nur reelle 
Substitutionen wirklich untersncht, aber alle algebraischen 
Operationen und Projektionen musses eintreten, sobald einem 
einzigen reellen Elemente ein einziges imaginares entspricht; 
sie Jconnen aber so beschaffen sein, daB nnr gewissen reellen 
Punkten wiederum reelle entsprechen. 



der Tangeuten von den Halften der Winkel, die ap, bp an der Spitze 
des Kegels spannen, konstant. Da nun diese Eigenschaft fur die Spitze 
jedes geraden Kegels gelten mnB, aus dem der gedachte Eegelscnnitt 
geschnitten werden kann, und da sein Brennpunkt ein Punkt in dem 
Orte dieser Spitzen ist, so erh'alfc man far den Brennpunkt die Be- 
ziehnng tg afp - tg $bfp = konsi uo ) (Vgl. Nr. 194, 7.) 



398 3QQL Yon der Methode der Projektion. 423. 

So wie die analytischen Prozesse, durch die die Eigen- 
schaften der durch Gleichungen von der Form f(x } y) JcLM 
oder f(x,y) & 2 = 0, usw. dargestellten Kurven erkannt wer- 
den, ungeandert bleiben, ob man voraussetzt, daB die Greraden 
L^Q^ If = den Kegelsehnitt f(x 9 y) = in reellen oder 
imaginaren Punkten schneiden, so ist es nacli der erwahnten 
Identitat gestattet, den durch Zeiitralprojektion gewonnenen 
Satzen Allgemeiaheit zuzuschreiben. Denn Eigenschaften von 
Kegelschnittbiisclieln mit einer idealen Sohnittsehne konnen 
untnoglich durch allgemeine Gleichungen ausgedruckt werden ; 
ohne daB diese sie zugleich fur Biischel mit reellen Grrund- 
punkten beweisen. Dies zu fibersehen ist init Hilfe der AJgebra 
meist Ieichter 3 als mit den Mitteln der reinen Geometrie. In 
der UnabMngigTieit der algebraischen Prozesse von der Unter- 
scheidung zwischen reellen and komplexen Grofien ~berulit die 
Serechtigung des Prinzips der Kontinuitat, nach dem Eigen- 
schaften einer Figur, die lei der Realitat gewisser in ihnen 
auftretender Elemente bewiesen sind, auf den Fall der Nicht- 
realitat dieser Elemente ausgedehnt werden. H1 ) 

Es sind Beispiele fur die Anwendung des Prinzips, wenn 
man den Satz von Nr. 220, 4 als eine allgemeine Eigenschaft 
der Kegelschnitte so ausspricht: Durch einen Punkt in der 
Peripherie eines Kegelschnittes und durch zwei beliebige 
Punkte seiner Ebene lassen sich immer drei Kegelschnitte 
legen, die mit dem gegebenen eine Beriihrung zweiter Ord- 
nung haben, und die Bertihrungspunkte liegen mit den drei 
angenommenen Punkten in einem Kegelsehnitt; oder, wenn der 
Satz von Nr. 116 zu dem Satze von Nr. 267 erweitert wird 
(vgl. Nr. 272); oder 3 wenn an Stelle eines mit einem Kegel- 
sehnitt verbundenen Punktes ein Kegelsehnitt tritt, der mit dem 
gegebenen in doppelter Beruhrung ist (vgl Nr. 193, 1; Nr. 297); 
oder an Stelle der Brennpunkte eines Kegelschnittes ein kon- 
fokaler Kegelsehnitt (wie Nr. 229 gegen Nr. 187); oder ; wenn 
wir die Erzeugung einer Kurve dritter Ordnung aus zwei 
projektiven involutorischen Biischeln mit sich selbst entspre- 
chendeni Scheitelstrahl allgenaein ausspreehen, auf Grund von 
Nr. 300, 8; usw. (Vgl. besonders auch die Kap. XIX und XX.) 



Eigenschaften der Kegelschnitte aus ^solchen des Kreises. 399 

424. Kegelselmitts- nnd Kreiseigenscliaften. Wir geben 
nun Beispiele zu der Art und Weise ? wie Eigenschaften der 
Kegelschnitte aus denen des Kreises ocler aus anderen be- 
sonderen Eigensclxaften der Kegelschnitte zentralprojektiv ab~ 
geleitet werden konnen 

B, 1) Jede durch einen festen Punkt gezogene Gerade wird 
von einem Kegelschnitt und von seiner in bezng auf diesen ge- 
noinmenen Polare hannonisch geteilt; die Tangenten in den Schnitt- 
punkten schneiden sich auf der Polare. 

Es reicht Mn, zu bemerken, daB diese Eigenschaft ebenso wie 
ihre Eeziproke projektive Eigenschaften sind, und daB sie fur den 
Kreis Gultigkeit haben; infolgedessen sind sie notwendig fur alle 
Kegelschnitte wabr. Alle Eigenschaften der Kreise, die von der 
Theorie der Pole und Polaren abhangen, gelten fiir Kegelsehnitte 
uberhaupl 

2) Die Eigenschaften der Punkte und Tangenten eines Kegel- 
schnittes, die sich auf die Gleichheit von DoppelverhSltnissen be- 
ziehen, sind projektiver Natur; sie gelten fiir alle Kegelschnitte,. 
wenn sie fur den Kreis bewiesen sind. Alle Eigenschaften des 
Kreises, die aus gleichen Doppelverhaltnissen hervorgehen , sind 
gleichmSJJig far alle Kegelschnitte wahr. Die Satze von Pascal nnd 
Brianclion beispielsweise branchen nnr fiir den Kreis bewiesen ztt 
werden, urn allgemein gtiltig zu sein; die Pascalsche Gerade wird 
in unendliche Entfernung, der Brianchonsche Punkt als Mittelpunkt 
des Kreises projiziert, in den man den gegebenen Kegelschnitt iiber- 
fiihrt. Beide Satze nehmen eine so elementare Gestalt an, daB sie 
des Beweises kaum noch bedurfen: Wenn in einem dem Kreise eia- 
geschriebenen Sechseck zwei Paare gegentiberliegender Seiten par- 
allel sind, so sind es auch die dritten; wenn in einem dem Kreise 
umgeschriebenen Sechsseit zwei Paare von Gegenecken in je einem 
Durchmesser liegen, so ist dies auch fur das dritte Paar der Pall 

3) Der Satz von Garnot (Nr. 314) ist eine projektive Eigen- 
schaft und braucht nnr fur den Fall des Kreises bewiesen 211 
werden, in dem er deshalb sofort als richtig erkannt wird, weil 

A^ - -^JV- A^s ^i^'j usw - ( Nr - 401 Der Satz 8 ili ebe:a - 
so und wird in derselben Art bewiesen fur ein beliebiges Vieleek. 

4) Umgekehrt konnen aus diesem Camotschen SaUe die Satze 
von Nr. 150 leicht abgeleitet werden; denn wenn wir den Punkt -4 3 
in Gleichung (35) von Nr. 314 in unendlicher Entfernung voraus- 
setzen, so ist 



unter der Yoraussetzung, daB die Gerade A 1 B. i zu A^,jB i parallel ist. 



400 XXII. Von der Methode der Projektion. 424. 

5) In zwei konzentrischen Kreisen wird jede Sehne des einen, 
die den andern beriihrt, im Beriihrungspunkte halbiert In zwei 
Kegelschnitten, die eine doppelte Bertihrung miteinander haben, 
wird jede Sehne des einen, die den andern beruhrt, im Beruhrungsr 
punkt und im Scknittpunkt mit der Beruhrungssehne harmonisch 
geteilt (Nr, 289, 7). Das Beispiel Nr. 226, 2 ist ein besonderer Fall 
dieses Satzes. 

6) Wenn drei konzentrische Kreise gegeben sind, so wird jede 
Tangente des einen von den beiden andern in Punkten geschnitten, 
deren Doppelverh&ltnis konstant ist. Wenn drei Kegelsehnitte 
einander in den n&mlichen beiden Punkten beriihren, so Vird jede 
Tangente des einen von den andern beiden in vier Punkten ge- 
schnitten, deren Doppelverhaltnis konstant ist. 

Der erste Satz ist wegen der Unveranderlichkeit der vier Ab- 
schnitte einleuchtend, der zweite kann als eine Erweiterung der 
projektiven Teilung der Tangenten eines Kegelschnittes betrachtet 
werden. In derselben Weise konnen die Sstze von Nr. 296 in bezug 
auf Doppelverhaltnisse in Kegelschnitten, die sich doppelt beriihren, 
unmittelbar "bewiesen werdea, indem man die Kegelsehnitte als 
konzentrische Kreise projiziert. 

7) Wenn ein Dreieck einem Kegelschnitt eingeschrieben ist 
und zwei seiner Seiten durch feste Punkte gehen, so soil man die 
Hiillktirve der dritten Seite bestimmen. (Nr. 297, 4.) 

Wenn wir die Verbindungsgerade der festen Ponkte in nn- 
endliche Entfernung und zugleich den Kegelschnitt in einen Kreis 
projizieren, so verwandelt" sich die Aufgabe in diese: Ein Dreieck 
ist einem Kreise eingeschrieben, und zwei seiner Seiten sind festen 
Geraden parallel; man soil die Hullknrve der dritten Seite bestim- 
men. Diese Kurve ist ein konzentrischer Kreis, weil der Winkel an 
der Spitze des Dreiecks gegeben ist, und die Hullkurve ist dem- 
nach im allgemeinen Fall ein Kegelschnitt, der mit dern gegebenen 
eine doppelte Beriihrang in den beiden Punkten hat, die in der 
Yerbindungsgeraden der gegebenen Punkte liegen. 

8) Die projektiven Eigenschaften des in einen Kegelschnitt 
eingeschriebenen Yierecks zu untersuchen (vgl Nr. 414). 

Nach den gegebenen allgemeinen Entwickelungen kann der 
Kegelschnitt in einen Kreis und zugleich das Yiereck in ein Eecht- 
eck projiziert werden. Fur ein in einen Kreis eingeschriebenes Becht- 
eck ist der eine Diagonalpunkt im Mittelpunkt des Kreises; dem- 
nach ist der eine Diagonalpunkt des in einen Kegelschnitt einge- 
schriebenen Yierecks der Pol der Geraden, die die beiden andern 
verbindet. Fur das dem Kreis eingeschriebene Eechteck liefern die 
in seinen Eekpunkten an den Kreis gelegten Tangenten einen Rhom- 
bus, dessenDiagonalenmit den Diagonalen desEechteeks zusammen- 



Eigenschaften der Kegelsehnitte aus solchen des Kreises. 401 

fallen. Zwei von diesen zusammengefallenen Diagonalea liegen im 
Endlichen. das dritte Paar 1st im Unendliehen, Infolgedessen fallen 
allgemein die Diagonalen des in einen Kegelschnitt eingeschriebenen 
Yierecks und des entsprechenden umgeschriebenen Yierseits zusam- 
men. (Vgl. Nr. 414 SchluB, Nr. 66 und 276, 5.) 

9) Wenn vier Pankte eines Kegelsehnittes gegebcn sind, so 
ist der Ort seines Mittelpunktes ein Kegelschnitt, der durch die 
Mittelpunkte der Seiten des gegebenen Vierecks hindurchgeht. 
Wenn vier Pankte eines Kegelscbnittes gegeben sind, so ist der 
Ort des Pols einer festen Geraden ein Kegelscbnitt, der zu den 
Endpunkten jeder Seite und dem Sehnittpunkt der gegebenen Geraden 
mit derselben in ihr den vierten harmonischen Punkfc bestimmt. 
(Vgl. Nr. 365.) 

10) Der Ort der Punkte, in denen alle parallelen Sehnen eines 
Kreises in einem gegebenen Verhaltnis geteilt werden, ist eine 
Ellipse, die mit dem Kreise eine doppelte Beruhrung hat. (Nr. 158.) 
Wenn man durch einen festen Pankt eine Gerade zieht, die mit 
einem festen Kegelschnitt die Punkte J., B gem in hat, und in ihr 
einen Punkt P so wahlt, daB das Doppelverhaltnis der vier Punkte 
0, J., J2, P unverandeiiich ist, so ist der Ort des Punktes P ein 
KegeJschnitt, der mit dem gegebenen eine doppelte Beruhrung hat. 

425. Mit Hilfe der allgein einen. Definition der Brenn- 
punkte (Nr. 181) konnen Eigenschaften derselben projizierend 
auf ihren aligemeinen Ausdruck gebracht werden. Hier ist 
aber stets eine imaginare Projektion oder, statt derselben, 
nach einer reellen Projektion das Kontinuitatsprinzip von 
Nr. 423 in Anwendung zu bringen. 

B. 1) Wenn ein Kreis zwei gegebene Kreise stets beruhrt, so 
ist der Ort seines Mittelpunktes ein Kegelschnitt, der die Mittelpunkte 
der gegebenen Kreise zu Brennpunkten hat (Nr. 195). Wenn ein 
Kegelschnitt durch zwei feste Pankte A, B geht und zweifeste Kegel- 
schnitte stets beruhrt, die auch durch A und B gehen, so ist der 
Ort des Pols der Geraden AB ein Kegelschnitt. Dieser ist dem 
Yierseit eingeschrieben, das Yon den Verbindungsgeraden der ge- 
gebenen Punkte A) B mit den in bezug auf die beiden gegebenen 
Kegelschnitte genommenen Polen der Geraden AB gebildet wird. 

Hier kommen gleichzeitig die folgenden verschiedenen Prin- 
zipien zur Anwendang: daB alle Kreise durch zwei feste Punkte in 
unendlicher Entfernung gehen; da8 der Mittelpankt der Pol derVer- 
bindungslinie dieser festen Punkte ist; daB der Brennpunkt als der 
Schnittpunkt der von ihnen ausgehenden Tangenten der Kurve be- 
trachtet werden mu8; und daS wir zur Ausdehnung unserer Scnltisse 
von imaginaren auf reelle Punkte berechtigt sind. 

Salmon-Fiedler, anal Geom. d. Kegelscin. II. 7. Aufl. 26 



402 XXII. Von der Methode der Projection. 425. 

2) Wean von einem Kegelschnitt ein Brennpunkt und zwei 
Punkte der Peripherie gegeben sind, so liegt der Schnittpunkt der 
in diesen Punkten an ihn gezogenen Tangenten in einer festen Ge- 
raden (Nr. 190). Wenn zwei Tangenten und zwei Punkte eines 
Kegelschnittes gegeben sind, so liegt der Schnittpunkt der in diesen 
Punkten an ihn zu ziehenden Tangenten in einer festen Geraden. 

3) Wenn ein Brennpunkt and zwei Tangenten eines Kegel- 
schnittes gegeben sind, so ist der Ort seines andern Brennpunktes 
eine Gerade. (Nach Nr. 188.) Wenn vier Tangenten und in 
zwei en derselben je ein fester Punkt (A bez. J?) gegeben sind, so 
ist der Ort des Sehnittpunktes der Tangenten, die man von A und & 
an die einzelnen dem Tangenten vierseit eingeschriebenen Kegel- 
schnitte legen kann, eine Gerade. 

Denn jeder der zwei unendlieh fernen Kreispunkte liegt in 
einer der yom ersten Brennpunkt ausgehenden Tangenten, und die 
von diesen Kreispunkten ausgebenden beiden andern Tangenten des 
Kegelschnittes schneiden sich im andern Brennpunkte. 

4j Wenn drei Tangenten einer Parabel gegeben sind, so geht 
der ihrem Dreieck umgescbriebene Kreis durch den Brennpunkt 
der Kurve (Nr. 212). Die Ecken zweier Dreiecke, die einem 
and demselben Kegelschnitt umgeschrieben sind, liegen wieder auf 
einem Kegelschnitt. (Nr. 287, 7 und 299, 2.) 

Dena der Brennpunkt bestimirit, zusammen mit den beiden 
imagin&ren Kreispunkten, ein zweites der Parabel umgeschriebenes 
Dreieck. 

5) Der Ort der Mittelpunkte aller Kreise, die durch ein en, 
festen Punkt gehen und eine feste Gerade beriihren, ist eine Pa- 
rabel, die den festen Pnnkt zurn Brennpunkt hat. Wenn eine 
Tangente und drei Punkte eines Kegelschnittes gegeben sind, so ist 
der Ort des Schnittpunktes der Tangenten in irgend zweien dieser 
Punkte ein Kegelschnitt, der dem durch die drei Punkte bestimmten 
Dreieck eingeschrieben ist. 

6) Der Ort des Mittelpunktes aller einem Yierseit eingeschrie- 
benen Kegelschnitte ist die Gerade, die die Mittelpunkte der Dia~ 
gonalen des Vierseits verbindet. Wenn vier Tangenten eines 
Kegelschnittes gegeben sind, so ist der Ort des Pols einer Geraden g 
die Verbindungsgerade der vierten harmonischen Punkte, die man. 
auf jeder Diagonale des Vierseits zu ihren Endpunkten und zu ihrem 
Schnittpunkte mit g konstruieren kann. 

7) Aus unserer Definition der Brennpunkte ergibt sich ? daB 
ein gemeinsebaftlicher Brennpuukt zweier Kegelschnitte als der 
Schnittpunkt gemeinschaftlicner Tangenten derselben angesehen. 
werden mufi und denmaeh die in Nr. 267 entvrtckelten Eigenschaften 
eines solchea hat. Wenn zwei Kegelschnitte einen Brennpunkt und 



Weitere Beispiele. 403 

die zugehorige Leitlinie gemeinsehaftlieh haben, so miissen sie als 
solclie Kegelsehnitte betrachtet werden, die eine doppelte Beruhrung 
miteinander haben, und konnen daher als konzentrische Kreise pro- 
jiziert werden. 

8) Auck tiber die Beziehungen gweler Kegelsohnitte ftihrt die 
Methode der Projektion mit groBer Leichtigkeit zu eiiier Pulle von 
Satzen allgemeiner Natur. Wir projizieren beide Kegelschnitte so, 
daB eine State ibres gemeinsamen Polardreiecks im Bilde unend- 
lich fern ist, beide also konzentrisch werden. Sie haben dann im 
allgemeinen ein reelles gemeinschaftliches Paar korijugierter Durch- 
messer nur dann nicht, weim sie Hyperbeln sind, deren Asym- 
ptotenpaare sich trennen und vier reelle gemeinsame Punkte 
oder Tangenten, wenn sie einen solchen Punkt oder erne solche 
Tangente haben. Wir nehmen an, daB dies der Fall sei, und nennen 
a, &, c, d die gemeinsamen Tangenten mit den Beriihrungspunkten 
AH J 2 ; BI, J5 2 -, C A , C%', 1)3, D 2 bez. am ersten und zweiten Kegel- 
schnitt; ferner , J 1 , ^, H die gemeinsamen Punkte, und e l7 6 2 : 
fit A? 9n ^2? ^i"> ^2 ^ e ^ n ibnen an den ersten und zweiten Kegel- 
schnitt gehenden Tangenten. Alle erwahnten Punkte liegen in 
Paaren auf einerlei Durchmesser A^C-^^ EG-, A Z C%, I? 2 ^2i ^-&i 
B 1 D 1 und in Parallelen zu den gemeinsamen koajugierten Durch- 
messern J. 2 5 2 , EF, A 1 S lt 0^, GH, (7 2 D 2 ; A^D^ EH,A^, 
B 2 C 2J FG-, ^Cj', die Geraden sind in Paaren parallel a, c; I, d; 

] us w., oder sie schneiden sich in jenen Durchmessern. (Nr. 362, 6.) 
diesen Beziehungen sind die Satze von Nr. 355 f. tiber die 
Kegelschnitte H und /J einleuchtend, zugleich aber noch eine Menge 
anderer. 

Die vier gemeinschaftlichen Punkte liegen mit jedem Gegen- 
eckenpaar des umgeschriebenen Yierseits in einem Kegelschnitt; z. B. 
E, F, a, If, &, cd. Die Geraden A^E, B^\ (7 } ff, DjH be- 
riihren einen Kegelschnitt in -4 1? B^ ^n A ^ ez - ^ e P ur kte Jl l7 
B^A^B^ E, F und C^ , D t , 2 , D 2 , J5, J? liegen je in einem Kegel- 
schnitt, und diese beiden Kegelschnitte bertihren sich in E und JP. 
Das erste geschieht zw5lfmal in der Figur, namlich folgender Ta- 
belle entsprechend, nach deren erster Gruppe aufier den vorange- 
fuhrten auch A^B^B^G-H^ C^C^O-H cloppelt bertihrende 
Kegelschnitte sind: 

EG AA 



B& B^ \ FG 

Die dual entsprechenden Satze bildet man leicht. 143 ) 

426. Metrik der Projektion. Strecten oder Winkelj die 
in der gegebenen Figur von gleicher GroBe sind ; sind in einer 

26* 



404 XXII. Von der Metliode der Projektion. 4=26. 

Zentralprojektion im allgemeinen von verschiedener GroBe. 
Daher sind die Gesetze zu untersuclien, nach denen metrisehe 
Eigenschaften verallgemeinert warden konnen. Naeh. Nr. 415 
muB erwartet werden, da8 diese Gesetze mit den Ergebnissen 
der Tbeorie der Distanz in Nr. 374ff. zusammenfallen. 

Zunachst ist die Projektion einer Strecke mit ihrem Hal- 
bierungspunkt $ eine Strecke, die durcli die Projektion von H 
und den Fluchtpunkt der Geraden harnioniseh geteilt wird. 
Hiernach kaon man im Bilde eine Skala konstruieren. Ferner 
bilden die Richtungen Ton zwei zueinander reehtwinkligen 
Geraden mit den imaginaren absoluten Richtungen ein har- 
monisclies Buschel. Wenn also vier harmonisclie Punkte 
A 9 B, C, D einer Geraden durcb. eine reelle oder imagin'are 
Projektion so projiziert werden, daB die Punkte A und C, die 
wir als reell oder als imaginar denken diirferij mit den zwei 
imaginaren tmendlieh fernen Kreispnnkten zusammenfallen ; 
so projizieren si eh gleichzeitig beliebige durch die Punkte S 
nnd D gebende Sreraden als die Schenkel eines recbten Winkels. 
Und umgekelirt: Wenn zwei Geraden zueinander reelitwinklig 
sind, so werden sie als Geraden projiziert, die die Verbindungs- 
linte derjenigen leiden festen Punkte liarmonisch teilen, die als 
die Projektionm der unendlich fernen imaginaren KreispunJcte 
erscheineu. 

Die Projektion eines Geradenpaares mit seinen Winkel- 
bialbiereiiden ist daher ein Geradenpaar und das harmonisclie 
Paar, das dasselbe mit den Projektionen der StraHen der 
absoluten RichtuDgen gemeinsain hat. Hieraacli kann in der 
Projektion eine Winkelskala konstruiert werden. Nehmen wir 
die ProjeJitionen der unendlich fernen imaginaren Ereispunkte 
als die absolaten Elemente der Metrik , nach der wir die pro- 
jmerten Gelilde messen, so ubertragen sicfi alle metriscJien Grofiew 
unverandert; nicht aber im allgemeinen, wenn wir dieselbe Messung 
im Original und Sild anwenden. Man erhalt durcli Projektion , 
nicht die allgemeinste Metrik, sondern nur die der parabo- 
lischen Geometrie (Nr. 385). 

B. 1) Die TaBgente eines Kreises ist rechtwinklig zum Radius 
des Beriikrungspunktes. Jede Sehne eines Kegelschnittes wird 



Metrik der Projektlonen. 405 

durch eine Tangente desselben and durch die Yerbindungsgerade 
ihres Beruhrungspunktes mit dem Pol der gegebenen Sehne har- 
monisch geteilt 

Denn sobald wir die Sehne des Kegelschnittes als in die un- 
endlich ferae Gerade der Ebene eines Kreises projiziert voraussetzeii, 
erscheinen diePunkte, in denen dieseibe den Kegelschnitt schneidet, 
als die unendlieh fernen imaginaren Kreispnnkte und der Pol der 
Sebne als der Mittelpunkt des Kreises. 

2) Jede durch den Brennpunkt eines Eegelscbnittes gehende 
Gerade 1st recbtwinklig zu der Verbindungsgeraden ihres Pols mit 
dern Brennpunkte. (Nr. 190.) Jede Gerade durcli einen festen 
Pankt P bildet mit den beiden von P ausgebendea Tangenten eines 
Kegelscbnittes und der Verbindungslinie von P mit dem in bezug anf 
die Kurre genommenen Pol der Geraden ein liarmoniscbes Biiscbel. 

Denn die vom Brennpunkt ausgehenclen Tangenten. des Kegel- 
scbnittes sind die Verbindungsgeraden des Brerrapunktes mit den 
unendlicb fern en imaginaren Kreispunkten. 

3) Nacb Nr. 425, 6 ko'nnen wir den Ort des Pols einer Geraden 
in bezug auf ein System konfokaler Kegelschniite bestimmen; derm 
die Brennpunkte bestimmen, heiBt ein dem Kegelscbnitt uuagescbrie- 
benes Vierseit aogeben, das die Verbindungsgerade der Brennpunkte 
zu einer Diagonale hat. Infolgedessen ist der vierte harmonische 
Punkt zu dem Scbnittpunkt der gegebenen Geraden mit der zwiscben 
den Brennpunkten enthaltenen Strecke ein Punkt des gesuchten 
Ortes. Die andere Diagonale liegt anf der unendlicb fern en Geraden, 
und ibre Endpimkte sind die imaginaren Kreispunkte; demnacb ist 
der gesuchte Ort zur gegebenen Geraden rechtwinklig und somit 
Yollkommen bestimmt. 

" 4) Zwei konfokale Kegelscbnitte scbneiden einander unter 
recbten Winkeln. Wenn zwei Kegelscbnitte demselben Yierseit 
eingeschrieben sind, so teilen die beiden in jedem ihrer Scbnitt- 
punkte zu ziehenden Tangenten derselben jede Diagonale des "Vier- 
seits harmoniseh. 

Wir bemerken, dafi der letzte Satz ein Fall von dem reziproken 
Satze zu Nr. 289, 4 ist. 

5) Der Ort des Sebnittpunktes rechtwinkliger Tangentenpaare 
eines Kegelscbnittes, der einen imEndlichen gelegen en Mittelpunkt M 
bat, ist ein Kreis mit demselben Mittelpunkl Wenn man von. 
zwei Punkten S, D, die eine gegebene Strecke AC harmoniseh 
teilen , Tangenten an einen Kegelschnitt Jc konstruiert, so ist der 
Ort ihres Sehmttpunktes ein durch die Punkte J,, gehender 
Kegelschnitt fc\ und die Pole der Geraden AG in bezug auf fc und ft 
fallen zusammen. 

Der Satz kann auch so ausgesprochen werden; Der Ort eines 



406 XXH. Von der Methode der Projection. 426. 

Punktes 0, for den seine Verbindungsgerade mit dem Pol der 
festeii Geraden AO durch den festen Punkt C gent, 1st em durch 
die Punkte A und C gehender Kegelschnitt. Die Richtigkeit dieses 
Satzes ist daraus ersichtlich, dafi wir das Doppelverhaltnis des von 
Tier beliebigen Lagen der Geraden CO gebildeten Biischels als mit 
dem des Biiscbels iibereinstimmend erkennen, das die vier entspre- 
ehenden Lagen von AO bilden. (ISTr. 322, 1.) 

6) Der Ort des Schnittpunktes der Tangenten einer Parabel, 
die einander rechtwinklig scbneiden, ist die Leitlinie. Wenn in 
dem allgemeinen Satze 5) die Gerade AC den gegebenen Kegel- 
schnitt beruhrt, wird dr Ort des Punktes die Gerade, die die 
Bei'iihrungspunkte der von A und C ausgebenden Tangenten des 
Kegelschnittes verbindet. 

7) Der Kreis ? der einem in bezug auf eine gleicbseitige Hy- 
perbel sich selbst konjugierten Dreieck umgeschrieben ist, gebt 
dureh den Mittelpunkt der Kurve. (Nr. 165,3.) Wenn zwei Drei- 
ecke in bezug auf denselben Kegelscbnitt sich selbst konjugiert sind, 
so liegen ibre secbs Eckpunkte auf einem Kegelscbnitt. (Nr. 299, 2 
und 348, 8.) 

Die Schnittpunkte der gleicbseitigen Hyperbel mit der unend- 
lich fern en Geraden sind der Kurve in bezug auf die imaginaren 
Kreispunkte harmoniscb konjugiert; das von ibnen mit dem Mittel- 
punkt gebildete Dreieck ist also ein Polardreieck der Kurve. Durch 
Reziprozitat ergibt sicb, daB die Seiten von zwei in bezug auf ein en 
Kegelschnitt sich selbst konjugierten Dreiecken einen Kegelschnitt 
bertihren. 

8) Werden durch einen beliebigen Punkt eines Kegelschnittes 
zwei Geraden rechtwinklig zueinander gezogen, so geht die Sehne, 
die ihre Endpunkte in der Kurve verbindet, stets durch einen festen 
Punkt, (Nr. 193, 1.) Wird durch einen beliebigen Punkt eines 
Kegelschnittes ein harmonisches Buschel gelegt, in dem zwei Strahlen 
unveranderlich siod, so geht die die Endpunkte der jedesinaligen 
beiden anderen Strahlen verbindende Sehne stets durch einen festen 
Punkt. 

Dasselbe Ergebnis lautet, anders ausgedriickt: Wenn zwei 
Punkte a, e eines Kegelschnittes gegeben sind, und (abed) eine 
harmonische Gruppe ist, so geht die Gerade Id stets durch einen 
festen Punkt, namlich durch den Schnittpunkt der in a und c an 
den Kegelschnitt gezogenen Tangenten. Denn die Tangente des 
Kegelschnittes im Punkte a muB die Gerade Id in dem vierten har- 
monischen Punkte zu dem Punkte K schneiden, den ac mit ihr ge- 
meinsam hat, weil (a - alcd) ein harmonisches Buschel ist; und das 
ntafiche gilt von der Tangente in c, so daB beide Tangenten bd in 
demselben Punkte schneiden miissen, Als ein besonderer Fall dieses 



Ableitnng allgemeiner Satze ans besonderen. 407 

Satzes erscheint der folgende: Wenn durch einen festen Punkt eines 
Kegelschnittes zwei Geraden so gezogen werden, daB sie mit einer 
festen Geraden gleiehe Winkel bilden, so geht die Sehne, die ihre 
Endpunkte verbindet, durch einen festen Punkt. 

427. Zwei Strahlen, die einen konstanten Winkel ein- 
schlieBcn, bilden mit den Strahlen absoluter Bichtang- aus 
ihrem Sckaittprmkt ein konstantes Doppelverhaltnis (Nr. 378). 
Daher beschreiben die Sehnittpunkte der beiden Schenkel 
eines sich in seiner Bbene um seinen Scheitel 8 drehenden 
konstanten Winkels auf einer beliebigen Geraden g der Ebene 
projektive Punktreihen, deren imaginare Doppelpunkte aus g 
durch die Verbindungslinien von S mit den unendlich fernen 
imaginaren Kreispunkten ausgeschnitten werden. 

B. l) Der in demselben Segment eines Kreises fiber derselben 
Sehne stenende Peripheriewinkel ist konstant. Dieser Satz 1st, wie 
der gegenw^rtige Artikel lehrt, die von der Doppelverhaltnisgleich- 
belt von vier Punkten eines Kreises angenommene Form far den 
Fall, wo zwei dieser Punkte in unendlicher Entfernung sind. (Nr. 280 
und 424, 2.) 

2) Die Hiillkurve derjenigen Sehnen eines Kegelselmittes, die 
am Brennpunkt einen konstanten Winkel spannen. ist ein Kegel- 
schnitt, der mit dem gegebenen den Brennpunkt und die Leitlinie 
gemein hat. (K"r. 300, a.) Wenn die von dem Ponkte ge- 
zogenen Tangenten mit dem Kegelschnitt die Punkte T, T' gemein 
haben , und zwei Punkte A xmd B auf der Kurve so gew&hlt wer- 
den 5 daB das Doppelverh'altnis (0- A1BT') konstant ist, so ist 
die Hiillkurve der Sehne AS ein Kegelschnitt, der den gegebenen 
in den Punkten T, T r beruhii. 

3) Der Ort des Schnittpunktes derjenigen Tangenten einer 
Parabel, die einander unter gegebenem Winkel schneiden, ist eine 
Hyperbel, die mit der Parabel den Brennpunkt und die Leitlinie 
gemein hat. Wenn eine begrenzte Gerade AB, die einen Kegel- 
schnitt in C beruhrt, von zwei Tangenten desselben nach konstan- 
tem Doppelverh'altnis geteilt wird, so ist der Ort ihres Schnitt- 
punktes ein Kegelschnitt, der den gegebenen in den von G ver- 
schiedenen Beruhrungspunkten der von A , B ausgehenden Tangenten 
beruhrt 

4) Wenn durch den Brennpunkt eines Kegelschnittes Geradec 
gezogen werden, die mit den Tangenten der Kurve einen gegebenen 
Winkel einschlieBen, so ist der Ort des Schnittpunktes der Geraden 
und der zugehorigen Tangente ein Kreis. Wenn eine verander- 



408 XH Yon der Methode der Projektion. 427. 

liclie Tangente eines Kegelschnittes zwei feste Tangenten in T, T* 
und eine feste Gerade in M. sehneidet, und ein Punkt P in ilir so 
bestimmt wird, da6 das Doppelverhaltnis (PTMT'} konstant ist, 
so 1st der Ort des Punktes P ein Kegelschnitt, der durcii die Punkte 
geht, in deceit die festen Tangenten die feste Gerade schneiden, 
(Nr- 292, 4.) 

5) Ein Sonderfall von 4) ist: Der Orfc des Punktes, in dem 
der von zwei festen Tangenten eines KegelscLnittes in einer ver- 
anderlichen Tangente desselben bestimmte Abschnitt in einem ge- 
gebenen Verhaltnis geteilt wird, ist eine Hyperlel, deren Asym- 
ptoten den festen Tangenten parallel sind. 

6) Wenn von einem festen Punkt die Gerade gezogen wird, 
die einen gegebenen Kreis im Punkte P schneidet, nnd an sie der 
konstant e Winkel TPO angetragen wird, so ist die Biillkurve des 
neuen Scnenkels TPbei veranderlichem P ein Kegelscnnitt, der den 
Punkt zum Brennpnnkt hat Wenn das Doppelverbaltuis eines 
Buschels, VOD dem drei Strahlen durch feste Punkte geben, gegeben 
ist, nnd der Sebeitel desselben sich anf einem dureh zwei dieser 
Punkte gebenden gegebcnen Kegekchiiitt bewegt, so umlmllt der 
vierte Strahl desselben einen Kegelscbnitt, der die Verbindungs- 
geraden dieser zwei Punkte rait dem dritten festen Punkt berahrt 

7) Ein Sonderfall von 6) ist: Wenn zwei feste Purikte A nnd 
j? eines Kegelscbnittes mit einem veranderlichen Punkte P desselben 
durcb Geraden verbuBden warden, und der von den Yerbindungs- 
linien in einer festen Geraden bestimmte Abscbnitt in dem Punkte M 
in einem gegebenen Verhaltnis geteilt wird, so ist die Hullkurve 
der Geraden PM ein Kegelschnitt, der die durch A und 13 gezoge- 
nen Paralleleu zu der festen Geraden beriibrt. 

8) Wenn man an die um den festen Punkt sich drehende 
Gerade OP in ihrem Schnittpunkt P mit eiuer fe&ten Geraden den 
kocstanten Winkel TPO antrligt, so ist die Hiillkurve seines neuen 
Scbenkels PT eine Parabel, die den PuDkt zum Brennpunkt bat, 
Wenn das Doppelveibaltnis eines Buschels, von dem drei Strahlen 
durch feste Punkte geheu, gegeben ibt, und sein Sebeitel sich. langs 
einer festen Geraden bewegt, so i&t die Hullkurve des vierten 
Strahles ein Kegelscbnitt, der die drei Seiten des von den gegebe- 
nen Punkten gebildeten Dreiecks beruhrt. 

9) Die von eineni beliebigen Punkte an die Kurven eines 
Systems konfokaler Kegelschaitte gezogenen Tangenten bilden mit 
zwei festen Geraden gleiche Winkel. (Nr. 229,) Die Tangenten, 
die von einem beliebigen Punkte an die einem gegebenen Vierseit 
eingeschriebenen Kegelschnitte gezogen werden, schneiden jede Dia- 
gonale des Vierseits in einer Involution, der die Endpunkte der 
Diagonale als ein Paar konjugierter Punkte angehoren. (Nr. 289.) 



Parallelproje&tioB. 409 

428. Parallelprcjektlon. Wenn das Projektionszentnim in 
unendliche Enti'ernung riickt, so gehen die Strahlen des pro- 
jizierenden Biindels in parallele Sirahlen iiber, deren Lage 
gegeniiber der Bildebene angegeben werden muB. Legt man 
durcli alle Punkte der Begrenzung einer Figur StraBJen d&r- 
selben Richtung, so bilden sie einen projizierenden Zylinder 
und jeder Quersclmitt desselben LeiBt eine Parallelprojektion 
der Figur. 

Die gebrauehlicliste Projektionsnchtung ist die zur Bild- 
ebene rechtwinklige. Die FuBpunkte der von den Punkten 
der Begrenzung einer Figur gefallten Lote bilden die Orfho- 
gonalprojeJition der Figur. Die entsprechenden ebenen Figuren 
haben nicht nur unveranderten projektiven Ciiarakter ; sondera 
auch. gewisse metrische einfache Beziehuiigen. 

Pordllele StraJilen Jiaben zur ParaHelprojektion wiedtr par- 
allele Strahlen. Die gegebene Strecke und ihre Projektion sind 
den Seiten eines Dreiecks gleich, dessen Winkel nur durcli 
die Neigungen der Strecke und der Projektionsrichtung gegen 
die Bildebene bestimmt sind. Parallele Sirecken sicken su 
ikren ParallelprojeMonen in Iwnstantem VerMltnis. Insbesondere 
ist die Ortbogonalprojektion einer Strecke* das Produkt der Lange 
der Strecke in den Kosinus des von der Projektion und der 
Strecke eingeschlossenen Winkels. Wie die in der Bildebene 
selbst liegenden Strecken nicht geanSert werden, so ist die 
Projection jeder &ur Bildebene parallelen Strecke ilir gleich. 

Der FlcicJieninJiaU einer tegrenzien ebenen Figur steht #u 
dem Irihalt iJirer ParallelprojeMon in einem Jconstanten Ver- 
MUnis. Setzen wir die Ordinaten der Figur und ibrer Pro- 
jektion rechtwinklig zur Schnittlinie ihrer Ebenen voraus ? so 
setzeB sicb. beide Flachen aus Parallelstreifen Ton je gleicber 
Breite zusammen ; deren Hohen in einem konstanten Verhalt- 
nis stehen, das nur von der Neigung der Ebene und der 
Projektionsriclitung abhangt. Nach der Methode des SHI. Ka- 
pitels (Nr. 236) folgt die gleicte Proportionalitat der ganzen 
Flachen. Die Flache der Ortbogonalprojektion ist gleicli dem 
Produkt aus dem Inhalt der Originalflache und dem Kosinus 
des Winkels der beiden in Betraciit konamenden Ebenen. 



410 TKII. Ton der Metkode der Projektion. 428. 

Bringt man die ebenen Figuren durch Drehung der einen 
uin die Schnittlinie ibrer Ebenen in dieselbe Ebene (Nr. 416), 
so erhalt man den besonderen Fall der zentrischen Lage kol- 
linearer Systeme, bei dem das Kollineationszentrum unendlicit 
fern ist. Man liat alsdann die als Affinitat bezeichnete Ver- 
wandtschaft ebener Figuren. Die Affinitat zwischen der TJm- 
legung des Originals und der Orthogonalprojektion wird man 
selbst orthogonal nennen, weil die Affinitafcsriclitung zur Kol- 
lineationsaclise rechtwinklig ist, 

Diese Affinitat geht in scHefe bez. orthogonale Symmetrie 
zur Aehse fiber, wenn die Richtung der projizierenden Strahlen 
der Halbierungsebene des Drehungswinkels zwiscben. beiden 
Ebenen angehort. Gehort* die RicMung dagegen der Hal- 
bierungsebene des Nebenwinkels an ; so wird die Affinitats- 
riclituDg mit der Achsenricbtung identisch, und man erhalt 
flachengleiche Systeme. 

Jede Ellipse Icann orthogonal in einen Kreis projmert 
werden. Wir wahlen die Projektionsebene so, daB ihre Schnitt- 
linie mit der Ebene der gegebenen Ellipse der kleinen Aahse 
der Kurve parallel ist und zngleich so, dafi der Kosinus des 
yon den beiden Ebenen eingeschlossenen Winkels dem Ver- 
haltnis "b : a der kleinen zur grofien Achse gleich ist. Alsdann 
bleiben alle zur kleinen Achse parallelen Sehnen der Ellipse 
nnyerandert in der Projektion, wahrend alle der groBen 
Acbse parallelen Sebnen in dem Verhaltnis & : a yerkiJrzt 
werden; folglich wird die Projektion ein Kreis vom Radius 6. 
(Nr. 158.) Die reehtwmkligen Durchmesserpaare des Kreises 
liefern die konjugierten der Ellipse. (Nr. 169) Dabei kann 
ein Brennpunkt an eine beliebige Stelle des Kreisinnern pro- 
jiziert werden. 

Da bei Parallelprojektionen keine irn Endlicben gelegenen 
Geraden in die unendlicli feme projiziert werden, sind alle 
Querscbnifcte eines Kreiszylinders Ellipsen (oder zwei Mantel- 
linien usw.). Surch ParallelprojeMon wird die Galtung des 
Kegelsclmittes nicht ge&ndert. Aucb. entsprechen sieh in Original 
und Bild die Mittelpunkte. 



Parallelprcjekticm. 411 

B. 1) Untersuchung des Ausdrucks in Kr. 169, 6 fur den Ea* 
dins des Kreises, der einem in einen Kegelschnitt eingeschriebenen 
Dreieck umgeschrieben ist. 143 ) 

Bekanntlich gilt die Beziehung &FR = 1^1^ wenn H diesen 
Eadlus, F den Flacheninhalt des Dreiecks, Z 1? 7 g , 1 3 die Seitenlangen 
desselben bezeichnen. Projizieren wir dann die Ellipse in einen 
Kreis vom Radius &, so gilt, well dieser Kreis als der umge- 
schriebene Kreis des projizierten Dreiecks erseheint, die Beziebung 
4cF'l) = Z// 2 'Z 3 '. Wenn wir nun die den Seiten dieses Dreiecks par- 
allelen Halbmesser der Ellipse durcli Z/, &", &'" bezeichnen, so gel tea 
die Proportionen l^ : l t = b : V, Z 2 ' : 1 2 I : I", 1 B ' : i s = I : V". 
Ferner steht F' zum Inbalt itlr 1 des Kreises vom Eadius b in dem- 
selben Yerbaltnis wie F zum Inhalt 7tab der Ellipse von den Halb- 
aciisen a nnd b: 'demnach ist F' : F *=* I : a. Alles dies gibt die 
Bezieliung 

&;^ = Z 4^--^==^ 2 ^'^" Oder JZ-51O'''. 
m 2 jf tio 

2 ) Gute weitere Beispiele liefern die Probleme von der klein- 
sten einem Dreieck umgeschriebenen und der groBten ihm einge- 
schriebenen Ellipse, usw. Jene gent in den umgeschriebenen Kreis 
fiber fur ein gleichseitiges Dreieck, dessen Eektangenten zu. den 
Gegenseiten parallel sind; und dies letzfce gilt auch fiir die Pro- 
jektion. 

3) Man scbreibe einer Ellipse ein konvexes ^-Eck P.,P 2 P 3 . . . . 
ein, dessen Seiten am Brennpunkt F gleicne WmkQlP 1 FP^^P^FP s 
= . . . spannen, und projiziere die Ellipse orthogonal in einen Kreis. 
Die Projektion P/P/P/ ... des n-Ecks heiBt ein Jiarmonisches 
Kreis tieleck in bezug atif den Punkt F, d.Ji. ein solckes, dessen Seiten 
ikren Abst^nden von dem festen Punkt F' proportional sind. 

Denn ziehen wir in P t , P 3 die Tangenten Pj T^ P 3 T an die 
Ellipse, so ist P 1 r T f = P 3 'T', also rerhalten sieh die Abstande 
der Seiten P/P/, P/P/ von T' wie sin T'P/P/ : sin 2"jP/P f ' 
= sin P/P 3 'P/: sin P/P/P/ = P/P/ : P/P/, aber auch wie die 
analogen Abst^nde von F', weil F'P^T' ebenso wie FP$T in einer 
Geraden liegen (Nr. 190). 

4) Jedem harmonischen Kreisvieleck kann eine Ellipse einge- 
schrieben werden. Denn auf der in 3) benutzten Ellipse erzeugen 
die Schenkel eines sich um F drehenden konstanten Winkels pro- 

jektive Eeiben von Schnittpunkten P t P 2 P B . . . und P 2 P 3 P 4 

Die Verbindungslinien entsprechender Punkte, d. h. die Seiten des 
Vieleeks umhullen einen doppeltberiihrenden Kegelschnitt (Nr. 297). 
Die Bertihrungspunkte liegen auf den Strahlen absoluter Eichtung 
von JP, also hat der Kegelschnitt mit dem ersten den Brennpunkt F 
und die Leitlinie gemeinsam. 



412 XXII. Yon der Methode der Projektion. 429. 

429. Ort&ogonalsystem im Biindel. Auch die geonie- 
trische Verwandtscbaft der Polarreziprozitat lafit sich. in frucht- 
barer Weise mit dem ProzeB der Projektion dm eh gerad- 
linige Strahlen aus einem Zentrum auf eine Ebene Yerbindea 
in dem besonderen Falle, wo die Leitkurve ein Kegelsehnitt 
yon der Gleicbungsfonn # 2 + y^ + # 2 = 0, d. b. ein urn den 
Anfangspunkt der Koordinaten mit dem Radius i besehrie- 
bener Kreis isi Es ist dies der wiebtige Fall, wo die polar- 
reziproken Gleicbongen identisct sind ; aber dual gedeutet 
werden (Nr.395). Die Gleielmng der Polare des Punktes x'\y' 
oder P ist alsdann, mit ^ = /== 1, xx' + yy' -j~ 1 = 0; man 
konstruiert sie wie folgt: Man bildet aus dem Radiusvektor 
PO des Pols und der Einheit & als Katheten ein recht- 
winkliges Dreieck ^0(0^) und sckaeidet PO durcB, das im 
Endpunkt (O x ) von (OJP auf der Hypotenuse (OJP erricMete 
Lot; die im Schnittpunkt Q auf dem RadiusTektor erricbtete 
Normale p ist die Polare von P. 

Dies Verfabren ist einer einfachen stereometrischen Ver- 
anschaulichung fahig. Denken wir BBS das Dreieck P(0 }Q 
nm PQ aufgerie3atet ? m bis 0(0 X ) auf der Bildebene senkrechfc 
ist ; so ist die durcb p und O l gelegte Ebene recbtwinklig 
zur Geraden O t P. Wird also in der Entferwung Eins vom 
Zentnm der Beziprozitat auf der Normale ikrer Ebene ein 
Prqjektionssentrum angenQmmen, so sind der Selistrahl O^P eines 
Pols und die projmerende Ebene O^p seiner Polare m ein- 
ander recfitwinUig. 1 ^ 

Ordnet man nun in einem Bunclel den Strahlen ihre 
Normalelenen als entsprechend zu, so nennt man die Gesamt- 
lieit solcber Element enpaare ein OrtJiogonalsystem. 145 ) Deuten 
wir aber die Koordinaten 'x \ y \ $ im Biindel, so stellfc 
,c 2 +y^+^^Q einen imaginaren Kegel dar, in bezug auf 
den der Strahl 1 P und die Ebene 0^ als polarkonjugierte 
Elemente zusammeiigelioren, wie der Punkt P und die Gerade j> 
in bezug auf den Querschnitt des Kegels mit der Bildebene, 
Das Orthogonalsystem ist also eine Polarreziprozit'at mit dem 
Kegel als Leitkegel. 

Endlicli aber kann dieser Kegel auch als die um als 



iia Biindei. 413 

Hittelpnnkt bescliriebene Kugel vom Eadius Null bezeiehnet 
werden. In der Tat liegt in der durch 00 t geiegtea Ebene 
ein Mantellinienpaar des Kegels, das nacli den unendlich. 
fernen imaginaren Kreispuaktea dieser Ebene geht ; somit als 
ein Nullkreis gilt (Nr. 98); denn die Mantellinien schneiden 
anf den Schenkeln O t O, QP eines reclifcea Winkels Strecken 
YOU den Langen 1 und i ab. Durch Drehung dieser Quer- 
schnitte um 00 entsteht aber ein Kegel absoluter Richtungen 
oder eine Nullkugel. 

B. 1) Jeder Kegel zweiten Grades kann als Leitkeyel ernes 
Polarsystems im Biindei gedeutet werden. Man hat in der Tat nur 
das ebene Polarsystem, das einen seiner Querselmitte definiert, aus 
seinera Zentram zu projizieren. Zwei koazentrisclie Kegel haben 
ein gemeinsaraes liarmonisclies Polartripel, 

2) Ein Kegel zweiten Grades hat drel tsueinander retilitwinklige 
AcJisen. Dean das ihn definieren'le Polarsystem hat mit dem Ortho- 
gonalsystem an selnem Scheitel ein harmonisches Polartripel ge- 
meinsam, dessen Strahlen zu den entspreehenden Ebenen recht- 
winklig sind. 

3) Das konzentrische Orthogonalsystera ordnet einem Kegel 
zweiten Grades einen Normalen- Kegel zweifcen Grades zu, dessen 
Mantellinien die Normalen der Tangentialebenen des ersten sind. 
Die Quersehnitte beider Kegel sind polarreziproke Kurven io bezug 
auf den FuBpunkt des vom Kegelscheitel auf die Ebene gefallten 
Lotes. 

4) Die beiden durch zu den Kreisschnittebenen parallel ge- 
legten Ebenen enthalten Rechtwiukelinvolutionen harmonischer Po- 
laren in bezug auf den Kegel. Das Orthogonalsystem ordnet ihnen 
zwei Strahlen mit Bechtwinkelinvolutioaen harmonischer Poiar- 
ebenen in bezug auf den normalen Kegel zu. 

5) In jedem Kegel zweiten Grades gibt es $icei FokalstraKlm, 
d. b. Strahlen, deren jeder einen Brennpunkt aller zu ihm normalen 
Quersehnitte enthalt. Denn sind die Strahlen die TrSger von Eecht- 
winkelinyolutionen im Bflndel, so haben ihre FuBpunkte in Nomial- 
ebenen dieselbe Eigensehaft (Nr. 181). Die Fokalstrahlen sind die 
Normalen der Kreissehnittebenen des normalen Kegels. 

430. Metliode der EreissclieiteL Da im Vorlgen der 
Leitkreis nnd das Projektionszentrum sich gegenseitig be- 
stimmen, so kann man die zugrunde liegende Betracbtungs- 
weise dahin ausspreelien ? da8 tiberhaupt ein Kreis Tom Mittel- 
pnnkt M und dem Eadius r in der Ebene E durch zwei 



414 XXII. Ton cler Methode der Piojektion. 430, 

Punkte 8 und S> im Raume dargestellt ocler bestimmt werdeB 
kann, die in den durch Ilfi f3 = JfS' 2 r 8 gegebenen Ab- 
standen MS .MS' von Jf in der in If auf E enich- 
teten Normale liegen. Sie sind offenbar flir jeden reellen 
ftreis imaginar uud fur jeden rein imaginaren reell und wer- 
den nacli A. I\ Mobius die Sclieitel des Kreises genannt. 146 ) 
Also sind die ScMtel auch als die Mittelpunlde der Kugeln vom 
Radius Null anmselicn, von tfenen der gegebene Kreis der 
Quersclnitt ist Denn ist X em Punkt des Kreises^so hat 
man K 2 --JLS 2 und offenbar SX*~ MX* + 3fS*- 0, 
d, h. die Scheitel haben von jeclem Punkte des Kreises den 
Abstand Null 

Die Beziehungen von Kreisen in der Ebene lassen sicht 
nun an den r'aumlidhen Beziebucgen zwischen ifcren Scheiteln 
untersuchen. Der Hauptsatz dieses UbertragUDgsprinzips lautet: 
Die Enifernungen zwisclien den Scheitcln zweicr Kreise sind 
gleieh den Langen ihrer gemeinsawtn lanyei'fen. Bezeichnen 
wir die auf der einen Seite cler Ebene gelegenen Scheitel yon 
Kreisen (S f ) mit S^ ihre symmetrischen mit S/ ? so ist \8^ 
oder S/S/ gleich den inneren, /%$/ oder S^'S^ gleich den 
auBeren Taugenten von (S^ und (S g ). Denn ihre Quadrate 
Mind gleich dem Quadrat der Zentraldistanz, verinehrt um das 
(Juadrat der Summe bez. Differenz der Nornialen der Scheitel 
oder auch vermindert um das Quadrat der Summe bez. Diffe- 
renz der Kreisradien (Nr. 118). 

B. Das ApolloniscJie Problem (Nr. 123). 

Die Mittelpunktskoordinaten und Kadien der drei gegebenen 
Kreise S { , 5 2 , S 3 des Problems seien a k | $ k i(& y ft ) fur als eine 
Konstante. Alsdann sind die Gleichungen der Kreise 

(a? - * k }*+ (y - &) 2 + (g - y^- 0, * - I, 2, 8, 
und der Apollonisclie Kreis (S) hat die Gleichung 
(a-^+^-jS^+^-^i-O, 

wenn ce\\ i(z--y) seinen Mittelpunkt und Eadius bestimmeru Die 
Bedingungen z. B. der iuneren Bertihruug zwischen ihrn und jenen sind 

0* - "O 1 + (P - &)'+ (7 - n) 2 = 0. * =- 1, 2, 3, 

dean diese Gleichungen sagen aus, daB die L'augen der aufieren 
gemeinsamen Tangenten zwischen ihm und jenen Null sind. 



Kreisscbeitel. Problem de^ Apollonius. 415 

Zur Elimination der a, /3, y zwiscben den drei Bedingungen 
und der Gleiehung des Apollonischen Kreises fuhrt dann folgende 
Uberlegung. Es ifet &/S' 1 2 = 0, wenn die inneren gemeinsamen Tan- 
genten, und SS^^ 0, wenn die HuBeren gemeinsamen Tangenten 
der Kreise die LUnge Null haben; jenes ist also die Bedingung der 
auBeren, dieses die Bedingung der inneren Berubrung. Den Apol- 
lonischen Kreis sucben beiBt daher niehts anderes als: diejenigen 
Kugeln vom Radius Null bestimmen, die von jedem der drei ge- 
gebenen Kreise einen Sebeitel entbalten. 

Nun bestebt aber zwischen den gegenseitigen Abstanden von 
funf Punkten im Eaume eine Beziebung, die sicb von der in Nr. 128, 2 
fur vier Punkte der Ebene gegebenen nur dadurcb unterscbeidet, 
daB in der Determinate funften Grades der Saum 1, 15 2 , 25 s , 
35 2 , 45 2 , recbts und unten hinzutritt, man bat die Beziebung in 
B. 3 a. a. 0. Wenn dann der funfte der Punkte der Mittelpunkt einer 
durcb, die vier ersten gebenden Kugel vom Eadius Null ist, so daB 
15, 25, 35, 45 s'amtlich Null sind> so kommt man zu der am ScbluB 
von B. 3 a. a. 0. gefundenen Beziehung zwiscben den Langen der 
gemeinsamen Tangenten von vierKreisen, die von demselben funften 
Kreis beriibrt werden; bier also erscbeint sie als eine Beziebung 
zwischen den gegenseitigen Entfernungen von vier Punkten einer 
Kugel vom .Radius Null. Die irrationale Foim derseiben 

ffihrtwegen M 14 + 1 S + IS 84 - 



il -y^p"^)* -f (y - ftp+"(7^7J 2 , usw. 

wonacb 23, 31, 12 die Langen der EuBeren gemeinsamen Tan- 
genten der bezeichneten Kreispaare sind, direkt zu der Gleicbung 
von Casey in Nr. 128 (Teil I, S. 263) 

23 y^ + 31 ]/S~ 2 + 12 ]/&j - 0, 

die, rational gemacbt, zwei der Bertihrungskreise ausdriicki 

Der geometrische Sinn dieser Losung ist, daB die Querscbnitte 
der Projektionsebene mit den beiden Nullkugeln (*S) und (S'), die 
durcb die Scbeitel 8^ 8^ S% bez. durch 8^ S%\ 6 T 8 ' geben, zwei 
der Apollonisoben Kreise sind. 

Und die Konstruktion von Gergonne ergibt sicb daraus in 
folgender Weise. Die Geraden 8^, S^S^ S^S l scbneiden die 
Ebene der drei Kreise in ibren auBeren Ahalicbkeitspunkten, die 
in der Scbnittlinie derseiben mit der Ebene der drei Scbeitel 8^83 
als der beziiglichen Ahnlicbkeitsacbse liegen. Die Gerade SS' schneidet 
dieselbe Bildebene in einem von 6 r 1? 6g, S 8 gleicbweit entfernten 



416 X^n. Von dei Hethode der Projektion. 431. 

Punkte, also in einem Punkte gieiclier Tangentenlangen zu den ge- 
gebenen Kreisen oder im Potenzmittelpuntt E derselben. DaS die 
Punkte $, S' von jedem Punkte der vorerw'abnten Ahnlicbkeits- 
aclise gleicben Abstand. haben, sagt welter aus, daB die Tangenten 
von den Punkten der JLhnlicbkeitsachse an die erhaltenea Apollo- 
niseben Kreise gleicblang sind, oder dafi diese Achse die Potenz- 
linie derselben seia mu8. 

Da endlicb die Kreise 8 und S L sich beriibren mussen, baben 
die entsprecbenden Kugeln vom Radius Null (S) und (/S 1 ) in alien 
Punkten der Qeraden 88 l Beriibning miteinander; somit liegen die 
Benihrungspunkte des Kreises 8 l mit den beiden Apollonischen 
Kreisen 8 und S' in der Ebene S^SS'jR, die auch die Normals zur 
Ebene 8^8^ im Pttnkte 8 enthalt. Daber ist ihre Schnittlinie mit 
der Bildebene die &erade, die den Potenzmittelpunkt R mit dem 
Pol der Abnlicbkeitsacbse in bezug auf den Kreis Eins verbindet; 
denn jene Normale ist die Polare der Ahnlicbkeitsachse in bezug 
auf die Nullkugel Eins. 147 ) 

431. Metkode der rauinlielien DarsteEung. 2yMo- 
grapbie. 14S ) Die vorige Metbode *ist sehr beqnem, urn die 
Kreisiehre nach ihrer Anleitang analytisch zu entwickeln ; 
aber sie ist infolge des Ubergangs vom Reellen zum Imagi- 
naren nicht ebenso vorteilkaft fiir die geometrisclie Konstruk- 
tion. Diese Schwierigkeit kann man nun leictt beseitigen, 
indem man das imaginare Scheitelpaar des Kreises durch ein 
reelles Stelhertreterpaar ersetzt. Es kommt dies darauf hinaus ; 
als die Scheitel des Kreises die Spiteen der gleickseitigen, geraden 
Kegel m letrachten, die den Kreis aw Basis Jiaben; d. h.jeden 
Kreis als Distanzkreis zugehoriger Projektionszentra nacli 
Nr, 416, 

Deiiken wir in der Mittelnormale jedes Kreises den Radius 9 
als MS und MS' beiderseits abgetragen, so entspricht offen- 
bar eine gemde Eeihe von Seheiteln der Gesamfheit der einem 
Tangentenpaare eingeschricbenen Kreise. Denn die Orthogonal- 
projektionen M von S erfullen eine Gerade, die'Zentrale der 
Kreise, deren Radien MS den Abstanden MA vom Schnitt- 
punkt A der Greraden mit der Ebene proportional sind. Also 
ist A ein gemeinsamer AhnlicJikeitspunkt der Kreise. Punkte 
einer Ebene sind Scheitel von Ereisen, die die Sptu der 
Ebene zu -einer AJmUchhitsachse kaben (Nr. 122). 



ZyklograpMe (Konstruktion von Kreisen und Ereissystemen). 417 

In jedein KreisbUschel (Nr. 120) ist die Differenz der 
Quadrate des Radius und der Mittelpunktsentfernung Tom 
Zentralpunkt des Buschels konstant. Die Sclieitel der Kreise 
eines Buschels lilden also eine gleitJiseitige Hyperbel, die die 
Zentidle des Buschels und die im Zentralpunkt erriehtete 
Normale der Ebene zn Aehsen hat (N"r. 165, i). Die Grenz- 
punkte des Buschels sind die in der Zentrale liegenden Scheitel 
der Hyperbel (Nr. 121). 

Alle Kreise, die einen gegebenen Kreis leruhren, haten die 
Pdnlde des ilber jenem Kreise steJienden geraden gleiclise'rtigen 
Kegels #u Selielteln. Denn einer Mantellinie desselben ent- 
sprechen alle die Basis in ihrem FuBpunkt beriihrenden Kreise. 
Damit ist wieder ein Mittel zur konstruktiven Losung des 
Apollonisehen Problems gegeben. 149 ) Aber in der Bemerkung 7 
daB die Rotation der ein Kreisbtischel darstellenden Hyperbel 
um ihre zur Zeichnungsebene normale Achse ein einteiliges 
bez, zweiteiliges Rotationshyperboloid als Repr'asentanten des 
Kreisnetzes oder linearen Kreissy stems zweiter Stufe (Nr. 122) 
liefertj namlich mit reellem bez, rein iuiagina-rem Orthogonai- 
kreis, liegt der Keim zu der Entdeckung, daB diese einfaehen 
Formen zur gleichartigen Losung aller Winkelschnittproblenie 
ilber Kreise flihren nicht nur in der Ebene ? sondern auch 
anf der Kugel ? und in beiden Fallen mit EinschluB der ima- 
ginaren Kreise und Winkel Probleme, denen wir schon in 
Nr. 124 ; 2 und Nr. 128, 2 begegnet sind; hier liegt auch der 
Keim zur vollstandigen Theorie der linearen Kreissysteme und 
den entsprechenden Konstruktionen und Theorien fiber Ktig-eln 
und Kugelsysteme ; also auch zur Inversion. 

Wie den Kreisen nach dieseni besonderen Verfahren, so 
Jconnen iiberhaupt den Kegelsctinitten eines Systems dritter Stufe 
die Punkte oder Ebenen des Eaumes nacli bestimmten Qesetzen 
guc/eoriinet werden. Denn der Raum ist ein dreidimensionales 
Gebilde, eine dreifache Mannigfaltigkeit von Punkten und 
Ebenen, wie das System dritter Stufe eine dreifache Mannig- 
faltigkeit von Kurven enthalt. 

Insbesondere aber weist die Lehre YOU den linearen Ver- 
wandtschaften iiberall hinaus auf die raumliche Geometrie, 

Salmon- Fiedler, anal. Geom. d, Kegelsclm. H. 7. A.uil. 2 7 



418 XXIL Von der Methode der Projektion. 431. 

well erst da die organische Entwickelung aus Grundgebilden 
ihre vollstandige Durclif filming findet Der Wert der ProjeJc- 
tionsmefhode leruht vor allem in der geometriscfien Anschau- 
Uckkeit, die sie den analytiscJien Operationen m geben er- 
fault. Als Hauptnnterschied in der Handhabung der geo- 
metrisclieii und der analytiscten Methode stellt sich aber der 
h.eraus ? daB das rein geometrische Verfahren meist einfacher 
zuerst zu einem besonderen Satze fiihrt, dessen Verallgemeine- 
rung die Projektionsmetliode liefert; walirend die algebraische 
Recbnung den allgemeinen Satz in der Kegel ebenso leicbt 
wie den besonderen beweist, so dafi nach Anfstellung des 
ersten nur seine Anwendnng auf besondere Falle vorzu- 
nebinen ist. 



LiteratnmacliweisnEgeB. 

1) Nr. 249, S. 1. Vgl. J". Pluclcer, Analytiscb-georaetriacbe Eat- 
wicklungen, Bd. 1, Essen 1828, Bd. 2, Essen 1831. 

2) Nr. 252, S. 6. Vftl L. Heffter und 0. KoeJiler, Lebrbucb der 
analytischen Geometrie, Bd. 1, Leipzig und Berlin 1905, S. 317. Fur 
die in Nr. 253255 bebandelte Einteilung der Kegelsclmittbuschel vgL 
man auch eine von W. JDieck gegebene Darstellung in dessen von Herrn 
L. Heffter angeregter Dissertation (Kiel): n Zur Klassifikation der Ponkte- 
paar- und Kegelschnitt-Biiscbel", Sterkrade 1908. 

3) Nr. 256. 3, S. 16. Ygl. W. Fiedler, Geometrische Mitteilungen VII, 
Yierteljahrsschrift der naturforschenden Gesellschaft in Ziiricb, 29 Jahr- 
gang (1884), S. 343 und besonders S. 346 f. Fur r li r 2t r s als Radien 
und c t , c a , c s als Zentraidistanzen (mit c l -f <? 2 + c a = 0) 1st die Be- 
dingung G I c z c s + <?i ^ 2 + C 8 r 2 2 + c s r s 2 = . Fur die Potenzen p l ,p%,p s 
eines Punktes folgt daraus leicnt 2c f jJ 4 - s s=0, BO dafi z. B. die Punkte 
eines dritten Buschelkreises die Beziehung p l *'-p%* = c s :c i erfullen 
mtissen. 

4) Nr. 261, S. 21. Ygl. J.-V. Poncelet, Traile des propriety's pro- 
jectives des figures, Bd. 1, 2. Aufl., Paris 1865, S. 232. 

5) Nr. 5J62, S 22. K. Mohn, Jahresbericht der deutsehen Mathe- 
matiker-Yereinigung, Bd. 16, S 364 f. 

6) Nr. 266, S. 27. K. Rohn, Jahresb. d. deutsch. Matb.-Yer, Bd. 22 
(1913), S. 333ff. Der Satz findet sich zuerst bei Oh. J. Brianchon, M^- 
moire sur les lignes du second ordre, Paris 1817, S. 35. 

7) Nr. 268, S, 30. Der Satz von Brianehon steht zuerst in der 
Correspon dance sur 1'ecole poly technique (publ. par Hackette) Bd. 1 
(1801/8), S. 151 [1805]; vgl. ferner Brianclion, Journ. de lecole polyt. (1} 
cak 13 (1806), S. 301, sowie cab. 10 (1810), S. 12 und Annales de ma- 
tbematiques Bd. 4 (1813/4), S. 379381. Die Bemerkung zu ^ = + s a 
gegen das Ende von Nr. 268 stammt von L Toclhunter. 

8) Nr. 272, S. 37. Fiir beliebige Kreise, die ja die imagin'aren 
Ejreispunkte gemeins-am baben, gibt J.-V. Poncelet den Beweis, Trait^ 
des propr. proj., 1. Aufl., Paris 1822, S. 223; 2. Aufl, Bd. 1, Paris 1865, 
S. 216. J". Plucker bewies den Satz analytiscb, Analytiscb-geometrisclie 
Entwicklungen, Bd. 1, Essen 1828, S. 241 und 257. Ygl. aucb K Edhn, 
Jabresber. d. deutscb. Matb.-Yer., Bd. 16 (1907), S. 3(51. A. Voss nannte 
den Scbnittpunkt,der Trager der drei Punktepaare den Zentralpurikt, 
Zeitscbrift fur Matbematik und Physik, Bd. 18 (1873), S. 104. 

9) Nr. 274, S. 38. K Rohn, Jabresber. d. deutscb, Matb.-Yer., Bd. 1*5 
(1907), S. 373. 

10) Nr. 274, S. 39. K Rohn, ebenda, S. 375. * 

11) Nr. 275, S. 40. JB. Pascal fand den Satz im Winter 1639/40, 
im Alter von 16 Jabren, und spracb ibn in einer etwas anderen Form 
aus, n&mEeb bei Benutzung von Figur 13 auf Seite 40 etwa so: Wer- 

27* 



420 Literaturnachweisungen. 

den dureh einen beliebigen Punktp der Ebene zwei beliebige Geraden 
gezogen, die einen Kegelschnitt in a und f bez. in c und d treffen und 
schneiden die von einem beliebigen Punkte q der Ebene nach a und d 
gezogenen Geraden den Segelschnitt in b bez. e, so gehen die drei Geraden 
/, "be nnd # durch einen und denselben Punkfc r. Pascal lieB seine Schrift 
JCssay pour led coniques in Paris im Jahre 1640 in Form eines Flug- 
blattes drucken. Ein Facsimile desselben findet man in der von L Brun~ 
schvicg nnd P. Boutroux veranstalteten Ausgabe der Werke yon Pascal, 
Bd. 1, Paris 1908, S. 252. 

12) Nr. 275, S. 40. Fur eine Erweiterung desselben Beweis ver- 
fahrens und des Pasealschen Satzes vgl. E. LacMan in The Messenger 
of Mathematics, Bd. 15 (1885/6), S. 155 ff. Hat man zu einem Kegel- 
schnitt s = drei Paare von Eegelschnitten ,w*; t?,^; w, tc\ so dafi 
die je gemeinsamen Punkte derselben in s liegen, d. h. ist 

s = lu l*u\ s= jit? ff* sT, = vie? ^c", 

SO folgt ft,'*/ VIG = /A'*V* I? 1C* 

oder die vier Schnittpunkte von v, w liegen mit denen von ?*, if* auf 
einem neuen Kegelschnitt s x ^ v tt^ v ; = ; ebenso die w . u und die w*, u* 
anf s 2 ^ vw 1*u : und die w. v mit den w 1 *, i? x in s s ^ lu pv == 0; 
und diese drei neuen Kegeiachnitte gehoren zu einem Buschel. Zahl- 
reiche Sonderfalle. 

13) Nr. 275 B. 1, S. 41. Pappus, 2vvayyrj ^K^r^Lanv.^ etwa 
295 n. Clir. geschrieben, vgl. die Ausgabe Pappi Alexandrini Collectionis 
quae supersunt e libris manu scriptis, hrsgg. von JP. Hultsch, Bd 2, 
Berlin 1877, S. 88'7 und 893 (Buch 7, prop 139 und 143). Fiif die wich- 
tige Bedeutung des Satzes von Pappus fur die Untersuchungen iiber 
die Grundlagen der Geometric vgl. H. Wiener, Jahresb. d. deutsch. Math. 
Yer, Bd. 1 (1890/1), hrsgg. 1802, S. 46; ebenda Bd 3 (1892/3), hrsgg. 
1894,8.72; A, So 1 oenfties, Jahresb. d. deutsch. Math.- Ver. i (1890/1), 
tegg 1892, S 62; F. Sdhwr, Math. Annalen, Bd. 51 (1899), S, 401^/9; 
2). Rilbertj Grundlagen der G-eometrie (Kap. 6) [Festschrift zur Feier 
der Enthiillung dea Grauss- Weber- Uenkmak in (Jottingen, Leipzig 1899, 
S. 71/7], 3, Aufl. Leipzig und Berlin 1909, S. 38/45; 97/106; 6\ Hessen- 
berg, Math. Annalen, Bd. 61 (1905), S. 161/72; Sitzgsb, d. Berliner math. 
Gesellschaft, Bd. 4 (1905), S. 70/4; /. Hjelmslev, Math. Annalen 64 (1907), 
S 469/71; F. Schur, Grrundlagen der Geometrie, Leipzig und Berlin 1909, 
B. 139, 154/9. 

14) Nr. 275, B. 2, S. 41. Der Beweis wurde Salmon unabhimgig 
von A. de Morgan und W. 8. Burnside mitgeteilt. Aus dera letzten 
Zusatz von Nr. 212 folgt, dafi die vier Kreise, die den Dreiecken aus 
Tier Geraden umgeschrieben sind, durch einen Punkt, den Brennpunkt 
der zugehorigen Parabel, gehen. Fdr funf Gerade bewies A. Miguel 
(Journal de mathematiques pures et appliquees (1) Bd. 10 (1845), S. 349), 
daB die Brennpunkte der fiinf Parabeln, die sie zu vieren beriihren, 
auf eiaem Kreis liegen. Die Kreise, die in solcher Art den sechs Funf- 
seiten aus sechs Geraden entsprechen, gehen durch einen Punkt, und 
aus den von sieben Geraden gebildetcn Sechsseiten erhalt man so sieben 
Punkte eines Kreises; vgl. W. K. Clifford, The Oxford, Cambridge, and 
Dublin Messenger of Mathematics (1) Bd 5 (1871), S. 124141 oder 
Mathematical papers, London 188*2, S. 3854, 

15) Nr. 275 B. 3, S. 4.1. Der Beweis stammt von John C. Moore. 
1 16) Nr. 276, S. 42 und B. 6, S. 44. 0. Maclaurin bemerkt (Philo- 
sophical Transactions of the London Eoyal Society, Bd. B9 (1735/6), 
S 163) , dafi er diese Erzeugungsweise der Eegelschnitte schon 1722 



Literaturnachwef sungen . 421 

gefunden hat, aber er veroffentlichte sie erst 17S5 a3s AnLang zu einer 
anderen Abhandluug (PJbilos. Trans. London, Bel. 39 U735/6), S. 143;. 
Der AnlaB zur VerQffentlichung dieser Arbeit und cles Schriftstucke's 
von 1722 war die Schrift von W. Braikenridge n Esercitatio geomettica 
de descriptione curvarum", London 173.'J und eine Abbandlung des- 
selben Yerfassers in Philos. Trans. London. Bd. 39 (1735/6), S 2536. 
A. Schlamp konstruierte einen Apparat zur Erzeugung der Kegelschnitte 
nach Maclaurin (Progr. Neues Gymnasium zu Darmstadt, 1908;.^. Dingel- 
dey untersuchte einen besonderen Fall der Erzengungsweise der Kegel- 
scimitte nach Braikenridge nnd Muclaurin und zeigte, wie die drei 
festen Puukte und die zwei fasten Geraden liegen mii&sen, wenn man 
eiiien Kreis, eine gleicbseitige fiyperbel oder eine Parabel erzengen 
will (Atti del quarto congresso internazionale dei mafceuiatici in Boma 
1908, Bd. 2, Roma 1909, S. 278284; JahresL. d deutscn. Mata.-Yer., 
Ed. 18 (1909), S. 99107). * 

17) Kr. '278, S. 51. J. Steiner lenkte die Aufmerksamkeit der Geo- 
meter auf die vollstandige Figur des Pascalchen Sechsecks (Annales 
de matne'matiques pures et appliquees, hrsgg. von J. D. Gergonne, 
Bd. 18 (1827/8), S. 339/40 oder J, binders gesanamelte Werke, "hrsjjg. 
von R. Weterstrass, Bd. 1, Berlin 1881, S. 2*24 -o). Seine Siitze erganzte 
/. Flucker (Journal fin- die reine und angew. Mathexnatik, Bd 5 (1830)^ 
S. 275/80 oder J. Pluckers ge&arrsmelte math. Abhandluiigen, brsgg. von 
A. Schoenjhes, Leipzig 3 89,5, S. 160/71; vgl. ouch J". Steiner, Systeruatische 
Entwickelung der Abhangigkeit geometrischer Gestalten von einander, 
Berlin 1832, S. 311/2 oder ges. Werke, Bd. l, S. 450 7 1) oder Ostwulds 
IQass. Nr 83, Leipzig 1896, S 140 r l. Spnter haben 0, Heste (J. reine 
angew. Math., Bd. 24 (1842), S. 43; Bd/41 (1851), S. 2C.9/71: Bd. 75 
(1873), S. 1/5 oder 0. Nesses gesammelte Werke, Miinchen 1897, S. 60,1; 
253/6; 585/90), T. P. Kirkman (Cambr. Dublin math. Jouraal Bd. 5 
(1850), S. 185/200), A. Cayhy (J. reine angew. Math. Bd. 41 (1851), 
S. 66/72, 84 oder CoUected papers, Bd. 1, Cambridge 1889, S. 550/56) das 
System untersucht, ferner Giossmanu (J reine angew. Math. Bd. 58 
(1861), S 174 78), 2T. Cr. Cltr. v. Staudt (ebenda Bd. 62 (1863), S. 14^ .'50), 
A. Cayky (Quarterly Journal pure appl math, Bd. 9 (1868), S. 348 "53 
oder Coll papers, Bd. 6, Cambridge 1893, S. 129/34), 0. Hesse (J. reine 
angew. Math, Bd 68 (1868), S. 194 ''6 oder Ges, Werke, Miincben 1897, 
S. 541/2), F. Graefe (Diss. Bern 1879; Zeitscbr fur Math u. Physik 
Bd 25 (1880), S.2J5/6; Erweiterungen des Pascalschen Sechsecks, Wies- 
baden 1880; J. reine angew. Math. 93 (1882), S. 184 /7). Vgl. ferner 
0. Hesse, Yorlesungen aus der analytischen Geometrie der geraden 
Lime, des Punktes und des Kreises in der Ebene, 4. Aufi,, Leipzig 1U06, 
S. 155/82; J. Bteiners Vorlesungen uber synthftische Geometric, 2. Teil 
Die Theorie der Kegelschnitte, bearb. von H. Schroter, B. Aufl. durch- 
gesehen von B. Sturm, Leipzig 1898, S. 1-21/32 und 511/2; F. Linde- 
mann, Vorlesungen uber Geometrie, mit besonderer Benutzung der Vor- 
trage von A. Clebsch bearb. und hrsgg., 2, Aufl., Bd. 1, 1. Teil, 1. Liefe- 
rung, Leipzig 1906. S. 275304. 

A Gayley leitete die Eigenschaften der Figur aus der Projektion 
der fiinfzehn Durchschnittslinien von sechs Ebenen ab; ebenso L* Cre- 
mona (Atti E. Accad. Lincei, Memorie mat , S. Serie, Bd. 1 (1876/7), 
S. 854/74), die sogleich zu erwahnendea neuen Ergebnisse von (jrtus. 
Veronese durch Projektion der fiinfzehn Geraden einer Flache dritter 
Ordnung mit Doppelpunkt aus diesem. 

Die Dualitat zwischen den entdeckten EigenscJiaften der Figur des 
wllstandigen Pascalschen SeclisecJis 1st durch Gius. Veronese n^her be- 



422 Literature achweisTiBgen. 

stimmt worden in w Nuovi Teoremi sull 1 Hexagrammum Mysticmn" 
(Atti R. Accad. Lineei, Meinorie mat., 3- Serie, Bd. 1 (1876/7), S. 649/703). 
3Die Untersuchungsmethode ist die der perspektiven Dreiecke wie in 
Nr. 277 und 278 des Textes; sie wird erweitert in der Bt trachtung der 
27 Dreiecke, die von dreimal drei Pnnkten A } , A%, A & ; S lt I? 8 , J8 3 ; O l , 6 8 , (7 8 
auf drei Geraden aus einem Punkte gebildet werden; diese Dreiecke 
bilden 36 Temen paarweiae perspektiver Dreiecke, uad die Perspektiv- 
Achsen jeder Terne gehea durch einen Punkt', die so erhaltenen 36 Punkte 
liegen zu vier in 27 Geradea. Ferner seien gegeben vier Dreiecke und 
vier Vierecke, das erste mit dem zweiten, das zweite dein dritten, das 
dritte dem vierten und das vierte dem ersten perspektiv liegend wean 
die vier Perspektivzentra der Dreiecke in einer Geraden sind, so gehen 
die Perspektiv- A chsen durch einen Punkt und fur die Vierecke liegen 
die vier aus ihren Dreiecken also entspringenden Punkte in einer Ge- 
xaden; und aus zwei perspektiven Dreiecken A ] B 1 C 1 ^ A^B^G^ wird 
durch die Ecken B^C^, S C 1 oder A, C t A t , Z A 1 oder B und A l B< i , 
A l B l oder C em drittes zu beiden perspektives Dreieck gebildefc und 
gezeigt, dafi die drei Perspektivzentra in einer Geraden liegea. 

Nack Ableitung der 10 konjngierten Pdare der StHnerschen Punkte 
G und der 60 den Pascal&chen Geraden p zugeordneten Kirkmauschen 
Punkte If folgen die wichtigen Satze: Dk 00 Geraden p und die 60 
Punkte H Ulden, seehs Figuren it von je 10 Pnnkten H, die zu drei auf 
entsprechenden Geraden liegen; durch jeden Punkt H gehen drei Ge- 
raden p. Die Zuordnung zwischen einer Geraden p und einem Punkt H 
vollzieht Veronese folgeadermafien : Von den 15 Verbindungslinien der 
6 Punkte eines KegeLschnitts lafit er die sects Seiten ernes Sechsecks 
weg; aus den iibrigen Verbindungslinien kann man drei Sechsecke 
bilden, deren Pascalsche Geraden p sich in jenem Punkt H scbneiden, 
der der Geraden p des unterdruckten Sechsecks zugehort Aus jedem 
der drei Sechsecke kann man drei andere ableiten, doch sind von diesen 
9 Sechsecken mir 6 neu: so ergeben sich die 10 Sechsecke einer Figar a, 
und man kann zeigen, daS sie sich bei dem eben genannten Verfdihren 
untereinander reproduzieren. 

Zwei dieser Figuren n haben vier Punkte G in einer Geraden j 
und die vier entsprechenden Geraden g aus einem Punkte J gemein; 
dazu sechs der 45 Punkte P, in denen sich die 15 Fundamentalgeraden 
in Paaren schneiden, die zu* drei in vier Geraden p liegen. Diese gehoren 
einzeln den vier iibrigen Figuren an und gehen durch jene vier 
Punkte G. Drei der Figuren ha ben einen Punkt G und die ent- 
sprechende Gerade g gemein. Die 45 Punkte P bilden 15 Dreiecke z/ tt , 
die den 15 Paaivn ', k der sechs Figuren % entaprechen; durch die 
Ecken von d ik geht keine der Geraden g der Systeme $, k\ die 30 Punkte P 
einer Figur # werden von den Ecken der Dreiecke A^ der 10 Paare 
aus den funf andern gebildet. Die 12 Geraden g durch' die Ecken von 
/IM schneiden sich 8mal zu dreien in vier Punkten G und in vier Punk- 
ten jET; jene liegen in den vier Geraden g, diese entsprechea vier Ge- 
raden p beider Figuren it. In zwei Figuren it gibt es zwei Vierseite 
aus Geraden JD, deren Ecken Punkte R sind und deren Seiten sich 
paarweise in Pnnkten P des Dreiecks ^ der beiden Figuren und in 
Punkten G ihrer Geraden j begegnen. Ihre 12 Ecken liegen in Paaren 
auf eechs Geraden # 18 , die paarweise durch die Ecken des Dreiecks 2% 
gehen und mit seinen Seiten harmonische Gruppen bilden, so dafi alle 
sechs in vier Punkten Z% zu dreien zusammentr effen ; es gibt 90 solche 
Geraden und durch jeden Punkt H gehen drei von ihnen; die Anzahl 
der Punkte Z% ist 60 und in jeder Geradea # 12 liegen zwei. Die vier 



Literatumachweisungen. 423 

Punkfce Cr einer Geraden j und die Schnittpunkte T derselben mit zwei 
Seiten des Dreiecks d lk der zugehorigen Figuren bilden eine Invo 
lution. Drei Punkte Z% , die den Geraden p eines Punktes G entspre- 
chen, liegea in emer Geraden g\ die vier Geraden g zweier Figuren it 
tmd zwei der Geraden aus ihrem Punkte / nach Ecken des gemeinsamen 
Dreiecks d t % bilden drei Paare einer Involution. Zwei Figuren it ent- 
balten zwei Vierecke von Punkten H paarweise in vier Ueraden g aos 
dem zugehorigen Punkte J, und die Perspekiiv-Aebsen ihrer Dreiecks- 
paare sind die Linien p, die in den vier andern Systemen it durch die 
ersten bestimmt werden. Ihre Polaren in den beiden Figuren it be- 
gegnen sich. paarweise in den vier Punkten G der Geraden j derselben 
und in den vier Perspekfcivzentren Z^ ihrer Ueraden g. Souiit entspre- 
chen die Punkte Z t den Geraden p und funf der Figitren n bestimmen 
daher die sechste. 

Die drei Punkte 2 , die den p aus einem H entsprechen, liegen 
in einer Geraden # 2 ; soleher gibt es 60 T durch jeden Punkt Z t gefaen 
drei und sie bisgegnen sich iiberdies zu drei in den 20 Pankten Cr. Sie 
entsprechen einerseits den p, andrerseits den H. Die 90 Geraden t ia 
schneiden sich paarweise in 180 Punkten J, die zu drei in den 60 p 
liegen und in jeder derselben mife den drei H Pdare einer Involution 
bilden. Die Z^ und z% bilden wie die H und p seeks Figuren ' wn 
je zehn Paaren von Pvlarsystemen. Die PanJcte G und J und die Ge~ 
raden g,j und v iz sind den Sytfemen (Hp) und (Zs\ gemein. Funf 
dieser Systeme fastimmen ein sccJistes der jedesmal andern Art. Und 
so fort. 

Das Hexagramm setzt sich aus unenfflich vielen Systemen (Zz) zu- 
sammen, deren jedes aus secJis Figuren TC besteht, wn denen fiinf eiw 
, Figur des vorliergehenden und erne des folgenden Systems bestitnmen, 
mit Ausnahme wn (Hp) t wo funf Figuren it die sechste desselben Systems 
und eitte des Systems (Zz\ bestimmen. Die Punktepaare Z % Z & , Z Z$ , . . . 
bez Strahlenpaare # 2 # 3 , ^ 4 ^ 5 ,... in einer g (bez. um einen 6?) bilden 
Invplutionen , mit den zugehorigen Punkten H und J bez. den zuge- 
Mrigen Strahlen p und g als Doppeiementen; usw. 

Erwahnt seien noch die Arbeiten von L. Klug, Die Konfiguration 
des Pascalschen Sechsecka im allgern einen und in uer speziellen Fallen, 
Klausenburg 1898, und in den Monatsheften fur Mathematik und Physik, 
Bd. 14 (1903), S 74/91. 

Der Absicht, zweckmafiige Bezeiclinungen fur die erwahnten und 
fiir andere in der Pascalschen Konfiguration auftretende Punkte und 
Geraden zu geben, sind Arbeiten von A. Cayley (Quart. Journ. pure 
appl math., Bd. 9 (1868), S. 268/74 oder Coll. papers, Bd, 6, Cambridge 
1893, S. 116/22) und von Christine Ladd- Franklin (American Journal 
of math , Bd. 2 (1879), S. 1/12) gewidmet. 

18) Nr. 279, S. 54. Der Satz in B. 4 ist von W. S. Eurnside. 

19) Nr. 279, S. 54. Der Satz in B. 5 rtihrt von Egberts her. 

20) Nr. 285, S. 65. Eine vollst'a-ndige Theorie der Kegelschnitte 
aus den prqjekciven (Jrandeigenschatten begann M. Ohasles n Trait^ des 
sections coaiqties", Paris 1805, ohae Fortsetzung. Vgl auch /. Sterner^ 
Tories ungen iiber sjnthetische Geometrie, 2. Teil, Die Theorie der 
Kegelschnitte, bearb. von H. Schrdter, 3. Aufl., durchgesehenvon B. Stu rm, 
Leipzig 1898. 

21) Nr. 285,i, S. 65. Die Ausdrucksweise des Satzes in B 1 gab 
JR. Townsend in dem Werke: w Chapters on the modern geometry", 
Bd. 2, Dublin 1865, S. 165. Vgl. die elegante Behandlung eines allge- 
meinen Problems iiber projektive Buschel von 0. Hesse in Journ. reine 



424 Literaturnaehweisimgen 

angew. Math., Bd. 62, (1863), S 188 oder Gesammelte Werke, Munchen 
1897, S. 507 und im allgemeinen fur diesen Gegenstand desselbea 
Autors schon genannte M Yorlesungen" (3 7). 

2*3) Nr, 286, 2, S. 68. Vgl 38 des in Anm. 20 erwahnten Steiner- 
scben Werkes, ferner C. Pelz, Sitzungsber. der kgl. bobrn, Gesellsch. 
der Wissensch. in Prag, 1879, S. 205/46, (7. Cranz, Syntbetisch-geome- 
trische Theorie der Krummung von Kurven und Flachen 2. 0., Stuttgart 
1886, S 19/28; K. Bohn, Jahresb. d. deutsch, Math.-Ver. 18 (1909), S 402/5. 

23) Nr, 287, 3, S. 70 M CJiasles, Aper9u bistorique sur Torigine 
et le developpement des metbodes en geometrie, 2. AufL Paris 1875, 
S. 336 oder die deutsche Ausgabe der 1. AufL, brsgg. von L. A. Sokncke, 
Halle 1839, S. 85J. 

24) Nr. 289, S 75. Scbon G-. Desaryues (Brotdllon project d'une 
atteinte aux evenemens des rencontres d'un cone avec un plan, Paris 
163U; (Euvres, brsgg. von N. G. Poudra, Bd. 1, Paris 1864, S. 188) be- 
merkte, dafi die Punktepaare, in denen ein beliebiger Kegelscbnitt nnd 
die zwei Paare von Gegenseiten eines eingescbriebenefi Vierecks VOB, 
einer beliebigeu Geraden getroffen werden, eine Involution bilden. 
Oh. Sturm (Anna'es de mathem. pares et appliqu Bd. 17 (l826/7\ S. 180) 
erweiterte den Satz zu der im Text ausgesprochenen Fassung. Desargues 
ist uberbaupt der Entdecker der Involution und bat diese scbon sebr 
vollstiindig entwickelt. 

25) Nr. 296, B. 3, S. 90. Der Satz riihrt von _R. Townsend her. 

26) Nr. 298, S. 93. Fur den Fall, daB der KHgeUcbnitt ein Kreis, 
das Yieleck ein Dreieck ist und die drei festen Punkte in einer Geraden 
liegen, bat scbon Pappus (Zwctywyri ^^^^iv.^ Buch 7, prop. 117; 
Pappi Alesandrini Collectionis quae supersont e libris manu scriptis, hrsgg, 
von F. Hultsch, Bd. 2, Berlin 1877, S. 848 '50) eine Lo'sung gegeben, bei 
beliebiger Laj2e der drei Punkte J. de Castillon (Giovanni Salvemini da 
Castiglione) , Nouv. Mem. A cad. Berlin 7 (1776), brsgg. 1779, S. 26U/83, 
dem 6r. Cramer die Aufgabe im Jabre 1742 vorgelegt batte. Ebenda 
(S. 284/7) findet man eine rein algebraiscbe Losung von J. L Lagmnge, 
die J". de Carfillon mitteilt. L. N. M. Carnot vereinfachte die von La- 
grange gegebene Ldsung und dehnte sie unter Beibebaltung des Kreises 
auf den Fall eines beliebigen Vielecks aus (Geometrie de position, 
Paris 1803, S. 383/7). Aach L. JMer, N. Fuss, A. J Lexell, Th. Clausen, 
A. F. Mobius, A. Cayley baben sich mit der Aufgabe ifir den Fall des 
Dreiecks beschaftigt. Eine analytiscbe LSsung bei Kreis und beliebi- 
gem Vieledk hat vor Qarnot schon S. L'Huilier (Mem. Acad. Berlin, 
Jahrg. 1796. brsgg. 1799, S. 94112) gegeben; die erste geometrische, 
aber etwas verwiekelte Losung dieses Falles der Aufgabe stammt von 
A. Giordc.no [Mem. mat fis. Soc. itaL delle scienze (1) 4 (1788), S. 4 7], 
nnd unabbangig von diesem gelangte G. F. Malfatti feb^nda S. 201/5] 
zur gleichen Losung. Man bezeichnet diese Aufgabe haufig als das 
Ottaianosche Pnbkm nach dem m der Nabe des Vesuv ^elegenen 
Stadtcben Ottaiano, dem Geburtsorte von A. Giordano. Bei 'beliebigem 
Ke*gelschnitt wurde die Aufgabe von Ch. J. Brimckon, J. D. Gergonne, 
J. V. Ponceletf A. Gopd, J. Steiner behandelt. Der aogegebene Beweis 
der Ponceietscben Konstruktion ist von Townsend. Nahere Literattir- 
angaben findet man bei M JBrucJcner, Das Ottaianoscbe Problem, Progr. 
Zwickaa 1892, bei IS. Rotter, Jabresb. d. deutscb Math -Ver. 5 2 (1898), 
Leipzig 1901, S. 143/8, sowie in dem Artikel von F. Dingeldey iiber 
Kegelschnitte in der Enzyklopadie der mathematischen Wissensch alten, 
Bd. 3, T^il 2, S. 44/5 oder franzosische Bearbeitunst, Paris und Leipzig 1 
1911, S, 102/3.. ^ 



Literaturnachweisungen. 425 

27) Nr. 300, S. 99 Vgl. hierzu J. Plucker, Analytiseh-geornetrisehe 
Entwicklungen, Bd. 2, Essen 1831, S. 61/4, sowie J. reine angew. Math. 
10 (1833), S. 84/5 [1832] oder Ges. wissensch. AbhandL? Bd. 1, hrsgg. 
von A. ScJwenflies, Leipzig 1895, S. 290/1. Die Wurzeln dieser projektiven 
Anschauung gehen zu J. F. Poncelet und Ph. de la Hire zuruck. 

28) Nr 300, 8, S. 102 Vgl. E. Faure, NOUT. Ann. math. (1) 20 
i'1861), S. 56 und L. Cremona ebenda (2) 3 (1864), S. 23 ; 5 oder Opere 
mateinatiehe, Bd. 2, Mailand 1915, S. 160/70, 

29) Nr. 300, 8, S. 102. Vgl. H. Schroter, Math. Ann. 5 (1872), S. 50/63 
[1871], sowie H. Durege ebenda, S. 83/94. Insbesondere entwickelt 
Schroter die Eigenschaften der Brennpunktskurve der Kegelschnittschar. 
Die W. Fiedlersche Entwicklung cles Satzcs von dem Erzeugnis der 
projektiven Involntionen mit sich selbst entsprechendem Bcheitelstrahl 
ist die darstellend geometrische; man findet sie bei W. Fiedler w l->ie 
darstelleude Geometrie in org.tnischer Verbindung mifc der Geometrie 
der Lage", 3. Aufl., 2. Bd , Leipzig I8f 5 T S. 182; im 8. Bd , Leipzig 1888, 
54 f. desselben Werkes wird die darans entspringeude Theorie der 
Kurven dritter Ordnung weitergefiihrt 

30) Nr. 301,3, S 104. Die Losuug der Aufg BistvonW.S.Burnside. 

31) Nr. 301, 6, S. 106. Diese Ableitnng gab W. R Hamilton. 
B 32) Nr. 302, S. 107. Dieser Satz ist von X. JV. M. Carnot (Ge'o- 

metrie de position, Paris 1803, S. 453) gegeben worden. Vgl. auch 
33. Bobillier, Ann. math, pures appl. 18 (1827/8), S. 321/3. 

38) Nr. 302, S. 107. u Dieser featz n'ndet sich schoc bei G. Ceva, 
De lineis rectis se inyiceni secantibus statica constructio, Mailand 1678. 
Vgl. auch M. Chasles, Aper9u historique sur 1'origine et le developpe- 
ment des methodes en geometrie, 1. Aufl , Briissel 1837, Note 7; aus 
dem Franzosischen iibertragen durch L. A. Sohncke, Halle 1839, S. 301. 

34) Nr 302, S 107. Kine von 0. Hermes in seinem Programm von 
1860, Die Verhaltniskoordinaten in der Ebene, gegebene Gleichung. 

35) Nr 303, S. 110. Die Schar der Parabeln, die die Seiten eines 
Dreiseits beriihren, wurde hauptsachlich von J. Steiner behandelt (vgl. 
J. reine angew. Math 2 (1827), S. 191 und Ann. math, pures appl. 10 
(1828/9), S 59 oder Ges. Werke, Bd. 1, Berlin 1881, S. 134 und 207) 
und, zum Teil in anderer Eichtung, von J. Pliieker, Analytisch-geome- 
trische Entwicklungen, Bd. 2, Essen 1831, S. 202ff. und 216 ff. 

36 j Nr, :-i03, 2, S. 110 eine von A. Hart herruhronde Gleichung. 
Die Bebandlung der Ellipse zu drei Tangenten mit deni Mittelponkt 
und den Halbachsen a, & mit Hilfe der exzentrischen Anomalie der 
Beriihrungspunkte gibt nach IF. F. Walker (Quart. Journ. pure appl. 
math. 7 (1866), S. 120 [1864]) den Satz: Fur P,j?,JR ala Seitenmitten 
des Tanoentendreiecks und a,,y als die exzentritchen Anom alien der 
Beruhrangspunkte ist die Flache des Dreiecks QOE gleich |&tg |-(j?~7). 
Man leitet daraus den Satz Ton H. Faure ab, dafi das durch die Po- 
laren dsr Seitenmitten eines Tangentendreiseits gebildete Dreiseit for 
alle eingeschriebenen Kegelschnitte konstanten Inhalt hat. Fur einen 
allgemeineren Satz uber die Flachen solcher Polardreiecke vjfl. Nr. 373, s, 

37) Nr. 303, 6, S. ill. Dieser tJbergang wurde von Hart gezeigt. 

88) Nr 304, S. 111. Vgl. W. A. Whihcorth, The Oxford, Cam- 
bridge and Dublin Messenger of Mathematics, 1. Reihe, Bd. 3 (1^66), 
S. 71 ff. 

39) Nr. 304, i, S. 113. Die gegebene Losung 1st von P. Serret, 
Nouv. Annales de Math. (2) Bd 4 (1865), S. U7/6J. 

40) Nr. 304, 2, S. 114. Ebenda S. 151/9. 

41) Nr. 304, 3, S. 115. Vgl. K. Gr. Ghr. von Staudt, Uber die Kurven 



Liteiaturnachweisungen. 

zweiter Ordnung, Nfirnberg 18.81, S. 23. Der Satz findet sich auch Lei 
L Hesse, Diss. Konigsberg 1840 oder J. reine angew. Math, 20 (1840), 
S 301/2 oder Ges. Werke, Munchen 1897, S. 41/2 J. Steiner (J. reine 
an*ew. Math. B (18*28), S. 212 oder Ges. Werke, Bd. 1, Berlin 1881, 
S.I 7l) hat den Satz: Sehneidet man die drei Diagpnalen ernes voll- 
standigen Viereoks mifc einer Geraden nnd konstruiert man in jeder 
Diagonale den vierten harmonisehen Punkt zu dem eben genannten 
Schnittpunkt und den Enden der betreftenden Diagonale, so liegen 
diese drei neuen. Punkte in einer Geradea. 

42) Nr. 804, 5, S. 115. Em Satz von A F. MMus, J. reine angew. 
Math. 26 (1843), S. 29/30 oder Ges. Werke 1, Leipzig 18^5, S. 587. 
Mobius hat die Beziehung sofort in die Gleichutig zwischen den 
Eadienvektoren und den Langen von vier Ortern eines Planeten uinge- 
setzt usw. __ 

43) Nr. 304, 6, S. 116. Satz von J J. Fylvester, London- Edmburg- 
Dublin philos. mag. (4) 31 (1866), S. S80 ; 4 oder Papers 2, Cambridge 
1908 S. 5o9/62: Beweis von W. S. Burnside. 

44) Nr. S04 ; 12, S. 118. VgL A. Cayky, J. reine angew. Math. 68 
(1868), S. 178/9 [1867] oder Coll. math, papers, Bd. 7, Cambridge 1894, 
S* 125. 

45j Nr. 306, S. 120. Die=:e Methode wurde von F. JoacMmstJial 
eingefiihrt, J. reine angew. Math. 33 (1846), S 373. 

46) Nr. 309, 2, S 125. VgL Gr. W. Hearn, Researches on curves 
of second order, London 1846, S. 86 ff.; A. .Cayky, Qaart. Joura. pure 
appl. math. 8 (1867), S. 220/2 oder Coll math, papers, Bd. 6, Cambridge 

'47) Nr. 309, 3, S. 127. Na-heres findet man bei A. Gayley, Cam- 
bridge and Dublin math. Joura. 5 (1850), S. 148/5:4 oder Coll. math, papers, 
Bd. 1, Cambridge 1889, S. 496/9; Quart. Journ pure appl. math. 6 (1864), 
S. 2jff. oder Coll. mafch. papers, Bd. 5, Cambridge Id92 ; S 260 ff. 

48) Nr. 312, S. 132. Vgl. z. B. 0. Hesse, Vier Vorlesungen ans 
der analytischen 'Geometric, Leipzig 1866, S. 16 oder Zeitschr. f. Math, 
und Phys. 11 (1866), S. 384. 

49) Nr. 312,5, S. 134. VgL die an unbewiesenen Satzen reiche 
Abhandlung von J. Steiner, J. reine angew. Math. 45 (1853), S, 189211 
oder Ges. Werke 2, Berlin 1882, S. 445 468. Fur vollstandige geo- 
metrische Ableitung sehe man die Abb. von W. Fiedler, Acta mathe- 
matica 5 (1884), S. 331-408. . 

50) Nr. 312, 8, S. 135. Vgl J. Steiner, J. reine angew. Math. 1 
(1826), S. 178/80 oder Ges Werke 1, Berlin 1881, S. 35/7. Einen geo- 
metrischen Beweis gab A. S. Hart, Quart, J. pure appl. math. 1 (1857), 
S 219/21 [1855]. Nach Steiners Anleifcung gab H, Sch,roter einen Beweis 
J. reine angew. Math. 77 (1874), S. 230/41, ferner F. G Aff otter, Math. 
Ann. 6 (1873), S, 597602. Die Steinersche Verallgemeinerang auf drei 
paarVeise zu beruhrende Kreise statt der Seiten des Dreiecks hat 
W. Oodt behandelt, J. reine angew. Math. 84 (1878), S, 259/63 [1877]. 
Man vgl. auch die analytischen umfassenden UntersuchuDoeri von 
A. Gayleu, Philos. Trans. London Roy. Soe. Jahrgaag 1852, S. 253/78 
oder Coll math, papers, Bd. 2, Cambridge 1889, S 57-86; ferner 
F Mertens, Denbschr. der Akad. der Wissensch. in Wien, math.-naturw. 
Elasse, Bd. 36, 2. Abt. (1876), S. 195234. [1875]. Ausfiihrliche Lite- 
raturangaben findet man bei M. Simon, Uber die Entwicklung der 
Elementar-Geometrie im 19. Jahrhundert, Leipzig 1U06, S. 146/50. 

51) Nr. 313, s, S 137. VgL J. Plucker, Aaalytisch-geometrische 
Entwicklungen, Bd. 2, Essen 1831, S. 198. 



LiteraturnacliweisiiBgen. 427 

52) Nr. 314, S 138. Der Satz von Oarnot findet sicli in dessen 
Ge'ornetrie de position, Paris 1803, S. 293, der Satz von Ckasles in 
dessen Traite des sections coniques 1, Paris 1865, S. 27 

53) Nr. 314,4, S 139. Vgl. ,7. fiteiner, Annales de matheinatifiues 19 
(1828/9), S 3 [1828] oder Ges Werke, Bd. 1, Berlin 1881, S 184. 

54) Nr. 318, S. 142. Diese Methode gab S Arwhold, J. reine angew. 
Math. 61 (lh'63), S. 101/3 [1862] Vgl. auch 8 Gundelfinger, Annali di 
mat. para ed appl. (2) 5 (1871/3), S. 225/6, sowie dessen ^Vorlesungen 
aus der analytischeu GdOmetrie der Kegeir;ehnitc; a , hrsgg. von F. Dmgd- 
dey, Leipzig 189.% S 33/7; ferner M. Pasch, Arch Math. Phys. (3) 25 
(1917), S 231/6 [1U15] 

55) Nr. 317, 2, S. 144. Vgl J. Steiner, Ann. math, pnres appl. 19 
(1828/9), S. 41 f. und S. 47 [1828] oder Ges. Werke, Bd. 1, Berlin 188), 
S. 194 und 198. 

56) Nr. 321, 3, S. 153. Vgl. K. W. Feuerbrtdi, Eigenschaften eini- 
ger merkwurdiger Punkte des geradiinigen Dreiecks, Xiiniberg 1822, 
S. 38. Der folgende Beweis ist von /. Gasey, und die Ausdehnung auf 
die Kreise des Apoilonischen Problems, die er gleichfalls beweist, war 
von Hart gegeben. 

57) Nr 3-22, S. 155. Ftir den Fall, daB die Polaren durch die einer 
bestimmten Rn-htung zugehorigen konjugierten Darchmesser gehildet 
werden, alo einem unendlich ferneu Pol zu<?ehoren, findet sich dieser 
Satz bei G-. Lame, Ann. math, pares appl. Bd. 7 (l-Uti/7), S. 233 uad 
Examen des difftirentes mefchodes employee? pour r^soudre les problemes 
de g^ometrie, Park 1818, 8. 34. Allgemein hat den Satz J. V. Poncelet, 
Traite' des proprietes projectives des figures, 1. AufL, Paris 1822, S 213 y 

2. Aufl, Bd. 1, Paris 1863, S. 206. 

58) Nr. 322, 4, S. 157. Der Satz ist von W. S. Burnside 

59) Nr. 3-22, 5, S. 157. Dieser Satz riihrt her von Williamson nnd 
ist eine Form der Konstruktion von rlurven viertftr undidritter Ord- 
Dting aus projektiven Involutionen rnit selbst entsprechendem Scheitel- 
strahl. 

60) Nr. 325, S. 16^. Vgl A. Qttylty, A fifth memoir upon quanties, 
Philos. Transactions London, Bd. 148 (1858), London 1859, S. 42i) 463 
oHer Collected math, papers Bd 2, Cambridge 1889, S 527557, ferner 
TF. Fiedler, Die Elemeute der neueren Geometrie und der Algebra der 
binaren Formea, Leipzig 1862. Fur ein eingehenderes Studnun der 
Invariautentheode der binaren Formen verweisen wir auf A. Olebsch, 
Theoiie der bittaren algebraischea Forrnen, Leipzig 1872; Cr. Saltiton, 
Vorlesungen uber die Algebra der linearen Transforrnationen , deutsch. 
bearb. yon W. Fiedler, 2. Aufl., Leip/Jg 1877; F. Faa di Bruno, Ein- 
leitung in die Theorie der binaren Formen, deutsch bearb. von Th. 
Walter, Leipzig i,*8l; P Gordan, Vorlesangen iiber Invariantentheorie f 
hr.sgg. von Gr. Kerschenstetner , Bd. 2, Leipzig 1887; J.. Clebsch, Vor- 
lesungen uber Geometrie, bearb. und hrsgg von F. Lindemann, Bd. 1, 

3. Abteilung, 1. Aufl. Leipzig 1876, 2 Aufl Leipzig 19061910; W.Fr. 
Meyer f Allgemeine Formen- und Invariantentheorie, 1. Bd. Binare 
Formen, Leipzig 11)09 (Sammlung Schubert Nr. 33). Fur ternare Formen 
kommt norh in Betracht E. Study, Methoden zur Theorie der ternaren 
Formen, Leipzig 188J. 

61) Nr. 326, S. 170. Vgl. E. Baltzer, Theorie und Anwendung der 
Determinanten, 5. Aufl., Leipzig 1881, S. 135/6. 

62) Nr. 327, S. 172. Man stmliere die Abhandlung von /S. Aron- 
hold, J. reine angew. Math. 62 (1863), S. 281345 

63) Nr. 333, 2, S. 184. Vgl. A* Cayley, A fifth memoir upon quan- 



428 Literaturnachweisungen. 

tics, Philos. Trans. London, Bd. 148 (1858), London 1859, S. 438 oder 
Collected math, papers, Bd. 2, Cambridge 1889, S. 537. 

64) Nr. 384, S. If- 4. Vgl. 0. Sattaglwi, Giorn. di mat. 2 (1864), 
S, 170373, 193-202, 243253, 340 &61 und 3 (1865), S. 24-31, 5159, 
218-227. 

Co) Nr. 335, S 187. Diese Darstellung ist einem Manuskiipte ent- 
nommen, das IF. Fiedler nach dem Erseheinen seiner in Anm. 60 ge~ 
nannten Schriffc vom Jahre 1862 TOB J. Clebsch erhalten hatte. Vgl. 
aucli das Werk des Letztgenannten ^Theorie der "binaren algebraischen 
Formen", Leipzig 1872. 

66) Nr. 336, S 190. For die 'Jheorie der Involution ist -wichtig 
die Abbandlung von A. Cayley, Transact. Cambridge Philos. Soc., ll r 
Teil 1 (1866), S. 2138 [1863] oder Collected math, papers, Bd. 5, Cain- 
bridge 1892, S. 295312. Vgl. ferner & Salmon, Vorlesungen iiber die 
Algebra der linearen Transfonnationen, dentsch bearb. von W Fiedler^ 
2. Ann 1 ., Leipzig 1877, S. 210ff. Vgl endlich die Abhandlungen. von 
JEL Witner } n Eein geometrische Theorie der Darstellung binarer Formen 
dureh Punktgruppen auf der Geraden u , Darmstadt 1885 sowie ^Geo- 
metrische Invariantentheorie der binaien Fornaen", Jalirebb. d. dentsch. 
Math.-Ver. 17 (1908), S. 21)1313. 

67) "Nr. 338, i, S 193. Das Beispiel ist von L. Cremona. 

68) Nr. 340, S. 198. Vgl. die Abhandlung von P. Gordan, J. reine 
angew. Math. 69 (1868), S. 823/54, ferner J). Hflbert, Nacbr. d. Ges. d. 
Wissensch zn Gottingen, Jahrg. 1891, S, 23*2 ff. 

69) Nr. 343, S, 4 203. Auf die Gleichnng 3. Grades fur % bat zuerst 
6r. Lame hinge^vicden in seiner Schrift Esamen des differences methodes 
employees pour resoudre les prohlemes de geometric, Paris 1818, S 71/2; 
vollst'andig angegeben hat sie J. Plucker, Analytisch-geometrische Ent- 
wicklungen, Bd. 1, Essen 18*28, S. 241. 

70) ISFr v 345, S. 206. Vgl. K. Eemmer, Kriterien der Realitat fur 
die Schuittpunkte von Linien zweiter Ordnnng, Diss. GieBen 1878, sowie 
W. E. Story, Amer Journ. math 6 (1884), S. 225/34; vgl. auch F. Ger~ 
baldi, Keiidiconti circ mat. di Palermo 1 (1887), S 827/87; #. Sforea, 
ebenda Bd. 2 (1888\ S. 172/5. Bei S Gundelfmger, Vorlesungen aus der 
analyt Geom. der Ke^elschnitte, hrs#g. von F. Dingeldey, Leipzig 1895, 
S. 371/7 werden die Kriterien far die Kealiiat nnd das Zusammenfallen 
der Gfmndpnnhte des Kegelschnittbfischels mit Hilfe oiner Kombinante 
des Biischels gegeben. Dieses Bach entbO.lt eine geschlossene Entwick- 
lung nnd Darstellun,Gr der metrischen Unteifcuchuugen in all^emeinen 
projektiven Koordinaten. Sein zweiter Abschnitt behanclelt die Kegel- 
schnitt-Btiscliel und Scharen, ferner die Netze und Gewebe; ein Anhang 
enthiilt zahlreiche Aufgaben mit ihren Losungen. Vgl auch J?. Grerlach, 
Die Metrik in projektiven Koordinaten, Diss. Zurich 1899. 

71) Nr. 345, 3, S. 209. Vgl. W, Fiedler, Arcbiv Math. Phys. (1) 
39 (1862), S. 20/3. 

72) Nr. 347, , S. 212. Vgl. 0. Hesse, Vier Vorlesungen aus der 
analytischen Geometrie, Leipzig 1866, S 19/22, 31 oder Zeitscnr. Math, 
Phys. 11 (1866), S. 387/tJO, *399 ; P. Semt, Ge'ometrie de direction, Paris 
1869, S. 130/1. 

73) Nr 348, S. 215 und Nr. 349, S. 216. Die Bedeutung der linea- 
ren Bedingung fur die Koeffizienten der Gleichung einer Kurve zweiter 
Ordnung ist von 0. Hesse zuerst gefunden % orden (J. reine angew. 
Math. 45 (1853), S. 83/7 [1852] oder Ges. Werke, Miinchen 18 ( J7, S. 298/303), 
und zwar hat Hesse den luhalt seiner sich hierauf beziehenden Ab- 
handlung, wie J". Lwoili in der Gesaintausgabe von Hesses Werken 



Literature aehweisungen. 429 

(S. 700) bemerkt, schon ana 1. Dezeinber 1837 in sein Diarium 1837/44 
aufgezeichnet An die Erganzungen G. Salmons in Nr. 348, i kniipfte 
H. J. S Smith in einer wiehtigen Abhandlung (Proc. London math. Soc. 
(1) 2 (186(5/9), S. 85/100 oder Papers 1," Oxford 1894, S 524/40) an, die 
die Losung der Probleme in Nr 349 enthiilt. Nur die Konstruktion der 
besonderen Aufgabe 7, S. 21 9 f. wurde schon friiher von E. de Jonqwieres 
(IN ouv. Ann. math. (1) 14 (1855), , S 435/40) gegeben. Man vergleiche 
auch das Bueh yon H. Pidjuet, Etude geometrique des systemes ponc- 
tnels et tangentiels de sections coniques, Paris 1872; ferner besoqders 
fur die algebraische Behandlung die Arbeit yon J. Rosanes, ,,Ub8r 
Systeme von Kegelschnitfcen", Math. Ann. 6 (1873), 8,264/312 [1872] 
Ferner sei noch genannt das Werk von W. F. Meyer, Apolaritat und 
rationale Kurven, Tubingen 1883. Die im Texte erwahnten Redewen- 
dungen harmonisch umgeschrieben bez. eingeschrieben stammen von 
Smithy Eosanes nennt die betreffenden Kegelschnittpaare konjugiert; 
die Ausdriicke stiitzen, tragen, ruhen, apolar hat Th. Eeye eingefiihrt 
(Geometrie der Lage, 4. AufL, 1. Teil, Leipzig 1899, S. 266; J reine 
angew. Math 78 (1874\ S. 97). 

74) Nr. 350, S. 221. Satz von K Faure, Nouv. Ann. math, (1) 19 
(I860), S. 234. Vgl. auch L. Painvin ebenda S, 294 und G. Salmon 
ebenda S. 347/8; W. Fiedler, Zeitsohr far Math, und Phys. 6 (1861), 
S. 140/6; J Steiner, Vorlesungen fiber synthetische Geometrie, 2 Teil: 
Die Theorie der Kegelschnitte, bearb. von H Scfirtiter, 3. Aul, hrsgg? 
von E. Sturm, S. 178/9; S. Gundelfinger , Yorlesungen aus der analyti- 
schen Geometrie der Kegelschnitte, hrsgg von F. Dingeldey, Leipzig 
1895, S. 343/4. A. Cazamian (Nouv. Ann. math. (3) 13 (1894), S. 229) 
verallgemeinerte den Satz von Faure und zog viele Folgerungen aus 
ihm (ebenda S. 324/48). Ygl. auch A. F. Tony, The Messenger of math 
10 (1831), S. 161/70. 

75) Nr. 350, 2, S. 222. Der Satz 1st von Hart. 

76) Nr, 350, s, S. 222. Das Brgebnis dieses Beispiels stamint von 
W. 8. Burnside. 

77) Nr. 350, 9, S. 223. Das Beispiel n'ndet man zuerst bei N. M. 
Ferrers, Quart. J. pure appl matk 7 (1866), S. 2-2. 

78) Nr. 351, S. 223. Mit der "Aufgabe, irgend einem gegebenen 
Kegelschnitt \ ein ^-Eck einzuschreiben, clessen n Seiten einem ande- 
ren gegebenen Kegelachnitt \ umgeschrieben sind, hat sich /. V. Poneelet 
beschaftigt (Trait6 des-proprietes projectives des figures, 1. AufL, Paris 
1822, S. 358/62; 5!. Aufl. Bd. 1, PariR 1865, S. 347/50). Er gelangt zu 
dem Satz: Schreibt mjin 7^ einen gebrochenen Linienzug ein, dessen 
einzelne Geraden 7; 2 beriihren, und sehlieBt sich dieser Linienzug nicht, 
BO hat die Aufgabe keine Losung; sehlieBt er sich aber, so gibt es 
unendlich viele Losungen, indem sich alsdann mit jedem Punkt von Jc L 
als Anfangspunkt ein geschlossenes -n-Eck zeichnen l&Bt, Zu Nr. 350 
und 351 vergleiche man die Note von E. Bettrami, Giorn. math. 9 
(1871), S. 341/4 Oder Opere mat Bd. 2, Mailand 1904, S. 182/7, die von 
der Betrachtungsweise in Nr. 291 ausgeht. Die Bedingung fiir das eia- 
und umgeschriebene Dreieck wurde von A, Cayley mit Hilfe der Theorie 
der elliptischen Integrale gegeben (London Edinburg Dublin philos, mag. 
(4) 5 (1853), S. 281/4; (4) 6 (1853), S. 99/102, 376/7 oder Coll math, papers 
Bd. 2, Cambridge 1889, S. 53/6; 87/90, 91/2; Philos. Trans. London, 
Bd. 151 (1861), S; 225/39 oder Coll math, papers Bd. 4, Cambridge 1891, 
S. 292/308; Comptes Rendus acad. sc. Paris 55 (1862), S. 700 oder Coll. 
math, papers Bd. 5, Cambridge 1892, S. 21/2), Far Kreise und ein 
beliebiges Vieleck hatte 0. G. J, JacoU die Bedingung mit Hilfe der 



430 Literaturnachweisungen. 

elliptischen Funktionen abgeleitet (J. reine angew. Math. 3 (1828) t 
S. 381/9 oder Werke Bd. 1, Berlin 1881, S. 284/93), fur Kugelkreise 
F. /. EicMot (J. reine angew. Math. 5 (1830), S. 250/67 [1829]. 
Cayley beweist, daB, wenn di'e Quadratwurzel aus der Diskriminante 
K s^ _|-3x*H + 3%0-4-J3 von H/+ #, naeh Potetfz~en von % entwickelt, 
einen Ausdruck von der F'orm a + ^ + ^x 2 -) ergibt, die Bedin- 
gungen" far die Moglichkeit eines dem Kegelschnitt f= eingesehrie- 
benen und dem Kegelschnitt </ umgeschriebenen n-Ecks, fur 
n == 3, 4, 5, 6, 7, 8 durch die Ausdrticke 



ceg + 2^f c/ 2 d*g e 3 = 0, d/% + 2e/# <% 2 6*.fc f s = , 

gegeben sind, die sarntlich aus den Koeffizienten der Reibenentwicke- 
hmg gebildete Determinanten darstellen. Man vergleiche auch /. Eo- 
sanes nnd H. Pasch, J. reine angew. Math. 64 (1866), S. 126/66 [1864]; 
111. Moutard im Anhang zu J". 7. Poncelets Applications d'analyse et 
de geometrie, Bd. 1, Paris 1862, S. 535/60; M Simon, J. xeine angew. 
Math. 81 (1876), S. SOI/23 [1875]; S, Gundelfinger, J reine angew. Math. 
83 (1877), S. 171/4; Gr. H. Halphen, Traite des fonctiona elliptiques et 
de lenrs applications, Bd 2, Paris 1888, S. 367/412; <? Kohn, Sitznngsb, 
Akad. Wien Bd. 100, Abt Ila (I8ul), S. 6/19 [1890]. J". Thomae (Berichte 
d. Ges. d. Wissensch. zu Leipzig, math.-phys. Xlasse, Bd. 4.7 (1895), 
^. 352/68) erledigt das SchlieBungsproblem, indem er eine symmetrische 
zwei-zweideutige Verwandtschaft xngrunde legt nnd rein geometrische 
Betrachtungen benutzt. Auch bei K. Eohn (Berichte d. Ges. d. Wissensch. 
zn Leipzig, math.-p'hys Klasse, Bd. 60 (1908), S. 94/131) bilden die eben 
gcnannten Yerwandtscbaften den Aosgangspunkt seiner analyti^ch-geo- 
nietrischen Betrachtungen. Er gibt bis n = 23 wirklich die Bedingun- 
gen an, die erfullt sein miifesen, wenn der eine von zwei Kegelschnitten 
dem w-Eck eingeschrieben, der andere nmgeachrieben sein soil. Aufier- 
dem betrachtete er ^-Scke, die einern Kegelschnitt Jc Q eingeschrieben 
sind, wabrend n 1 Seiten je einen von n 1 Kegelschnitten 
l\, Jc%, . . . . & n t beriihren, die mit A' einem nnd demselben BuscJ?el 
angehoren; er zeigte, dafi dann auch die letzte Seite stets einen Kegel- 
schnitt k n des Bfischels beruhrt. Eohn zei^t ferner, dafi bei Anderung 
der Heihenfolge der von d'en einander folgenden Seiten des w-Ecks be- 
riihrten Kegelschnitte. immer noch geschlossene *i-Ecke vorhanden sind ? 
wenn es solche bei der urspranglichen Reihenfolge gab. Wir vexweisen 
ferner noch anf K. Eolin, Berichte d. Ges. d. Wissensch. zu Leipzig, 
math.-phys. JQ., Bd. 65 (1913), S. 185194; H.Liebmann, Sitzgsb. Akad. 
d. Wissensch. zu Munchen, math-phys. EX, Jahrg. 1916, S. 19 30; 
J. Ihomae, Her. Ges. d. Wissensch. Leipzig, t< math.-phys. KL, Bd. 69 
(1U17), S. 287305. Einen geschichtlichen Uberblick iiber das Schlie- 
jBungsproblem gibt G. Loria, J. poligoni di Poncelet, Turin 1889; ein 
Nachtrag hierzu in Bibliotheca mathem. (2) 3 (1889), S. 67/74. 

79) Nr. 352, S. 226. Ygl. #. Salmon, Yorlesungen iiber die Al- 
gebra der linearen Transformationen, deutsch bearb. von W. Fiedler? 
2. Aufl., Leipzig 1877, S. 149; A. Clebsch, Yorlesungen iiber Geometrie, 
bearb. und hrsgg. von JP. Lindemann, Bd. 1, 1. Aufl., Leipzig 1876 t 
S. 266; 2. Aufl v 2. Lieferung, Leipzig 1910, S. 486. 

80) Nr. 355, S. 232. Gr. Desargues bemerkte, daB die Punktepaare t 
in denen ein beliebiger Kegelschnitt und die zwei Paare von Gegen- 
seiten eines eingeschriebenen Vierecks von einer beliebigen Geraden 
getroffen werden, eine Jnv olution bilden (Brouillon project d'une atteinte 
aux e^v^nemens des rencontres d'un cdne avec un plan, Paris 1639 oder 



Literatuinachweisungen. 431 

(Euvres de G. Desaigms, hrsgg. von N. G Poudra, Bd. 1, Paris 1864, 
S. 188). Ch. Sturm erweiterte den Satz, indem er zeigte, daB uberhaupt 
drei beliebige, einem Viereek umgeschriebene Kegelsehnitte von irgend 
einer Geraden in Punktepaaren emer Involution getroffen werden (Ann. 
math, pures appl. 17 (1826/7), S. 180). 

81) Nr. 865, S, 233 und Nr. 356, S. 233. VgL K G. Chr. vonStaudt, 
fiber die Kurven 2. Ordnung, Nuralerg 1881, S. 24/5. Die Wichtigkeit 
dieser beiden Kegelschnitte als Kovarianten betonte zuerst G. Salmon 
(Cambr. Dublin math. J. 9 (1854), S. 3u [1*53]). Vgl. auch H. Grass- 
mann, Projektive Geometric der Ebene, Bd. 2, 1. Teil, Leipzig und 
Berlin 1913, S. 355/7 nnd 365/7. 

82) Nr. 356, 5, S. 236. Die Kurve vierter Ordnung, die einem aqui- 

anharmonisclien Doppelverhaltnis (a = i+-^~y3j zugehSrt, wurde von 



J". Thowae naher untersucht (Berichte d. Ges. d. Wissensch. zu Leipzig, 
matL-pbys. KL, Bd. 64 (1912), S. 446/78). 

83) Nr. 357, 5, S. 239. Vgl. G. Salmon, London Edinburg Dublin 
philos. magazine (4) 13 (1857), S. 190. 

84) Nr. 357, 6, JS. 239. Vgl. G. Salmon, London Edinburg Dublin 
philos. magazine (4) 13 (1857), S. 190/1 und 267/0.. A. Cayky betrach- 
tete (Quart. Journ. pure appl. math. 1 (1857), S3. 344/54 oder Coll. 
papers, Bd. 3, Cambridge 1890, S. 6775) das Problem den Ort der 
Spitze cines Dreiecks zu 2nd en, das einem gegebenen Kegelschnitt /' uni- 

feschrieben ist, wahrend die Basisecken gegebene Kurven durchlanfen. 
ind diese Kurven Kegelschnitte, so ist der Ort von der 8. Ordnung, 
er beruhrt f in den Punkten, ic denen ibn die in bezug auf / #e- 
nommenen Polaren der Schnittpunkte der beiden Kegelschnitte treffen. 

85) Nr. 357, 7, S. 239. Vgl G. Salmon, London Edinburg Dublin 
philos. magazine (4) 13 (1857), S. 269 und 337. 

86) Nr. 357, 8, S. 240. Vgl. G, Salmon, London Edinburg Dublin 
philos. magazine (4) 13 (1857), S. 337/8. 

87) Nr. 357, 9, S. 240. Diese projektive Kurvenerzeugung ist von 
G. H. Ealphen (J math, pures appl (3) 2 (1876), S. 96 if.) fur f als 
irgend eine algebiaische Kurve benutzt worden, urn Singnlaritaten zu 
transformieren. 

88) Nr. 358, S. 241. Vgl. die Abbandluog von S Guwdelfinger 
n Zur Theorie des Kegelschnittbiischels" (Zeitsihr. Math. Fhys 20(1875), 
S. 153/9 [1874]); ferner$ Gundelfiwger, Vorlestmgen aus der analytischen 
Geometrie der Kegelachnitte, hrsyg. von F. Diwgeldey, Leipzig 1895, 
S. 366 ff.; J". Walker (Quart. J. pure appl. math. 10 (1870), S. 163/7, 
317/20 [1869]). 

89) Nr. 358, S. 241. In der vorhin erwahnten Abbandlung von 
8. Gundelftnger (Zeitscbr. Math. Phys 20, S. 154) steht falsehlieh 
KQ /l<? statt KC ^^; in Zeile 14 v. u. ist daselbst der Faktor zu 
ersetzen durch , in Zeile 1 v. u. ist bei 2 (, A) der Faktor 8 beizu- 
fugen. Zu G3. (59) vgl. auch S. Gwndelftnger, J. reine angew. Math. 
74 (1872), S. 87/9 [1871]. 

90) Nr. 358, B. S. 242. Vgl. 8. Gundelfinger, Vorlesungen aus der 
analytischen Geometrie der Kegelschnitte, hrsgg. von F. Dingeldey, 
Leipzig 1895, S. 381. 

91) Nr. 359, S. 245. S. Gundelfinger hat zuerst bemerkt, daB die 
Kovariante m eine Kombinante des KegelsehnittbuscheJs ist; er hat 
auch zuerst auf die Bedeutung der Kurve fur die Geometrie des Biischels 
hingewiesen (Zeitschr. Math. Phys. 20 (1875), S. 156 und 159 [1874]). 



432 Literaturnachweistmgen. 

92) Kr. 360, S. 245. Dieser schone Satz -wurde von F. Mertens 
(Sitzungsber. Akad. Wien Bd. 91, 2. Abt. (1885), S 637/9) gefunden. 

93) Nr. 360, S. 246. Drei auf solche Weise miteinander verbun- 
dene Kegelschnitte erwahnt zuerst J. Rosanes in seiner Inaugural- 
Dissertation w De polarium reciprocarum theoria observations ", Breslan 
1865, S, 13, ferner in Math. Ann. 2 (1870), S. 552. Hier wird aucbi er- 
wahnt, dafi fur je zwei solche Kegelschnitte die zugehSiige Staudtsche 
Kurve 2. Ordnang, die durch die Beriihrungspunkte der gemeinsamen 
Tangenten geht, mit der Staudtschen Kurve 2. Klasse, die die acht in dea 
Schnittpunkten. der Kurven gezogenen Tangenfcen beruhrt, zusaminen- 
failt. Auch N. M. Ferrers (Quart. J. pure appl. math. 7 (1866), S. 20/2) 
gelangt zu drei Kegelschnitten ,, die in der angegebenen Weise durch die 
Polaren ihrer Pankte miteinander verbunden sind, indem er sich fragt, 
was es bedeatet, wenn far zwei sonst beliebige Kegelschnitte die Invarian- 
ten H und verschwinden. Ala Kurven des Biischels werden die aqui- 
anharmonischen Kegelschnitte bei Rosanes und Ferrers nicht betrachtet; 
als solche findet man sie zuerst wohl bei G-. Battaglini (Giorn. mat. 8 
(1870), S. 184 und 144), der die quadratische Gleiehung fiir den diesen 
Korven zugehorigen Parameter I ableitet, ebenso die kubische Glei- 
chung fur die den drei harmonlschen Kegelschnitten zugehorigen Para- 
meterwerte. Alsdann leitete S. Gundelfinger an den in Anm. 88 ge- 
nannten Stellen mehrere geometrische Eigenschaften der aquianhar- 
monischen und harmonischen Kurven des Biischels ab ; auch F. Gerbaldi 
(Annali di mat. puia ed appl. (2) 17 (1889), S. 169/72) ist in diesem 2u- 
sammenhange zu nennen. Vgl. ferner 6r. Kolivi, Silzungsber. Akad. 
"Wien 93, 2. Abt. 1886, S. 314/36 und 349 f.; F. Lindemann in der 
2. Auflage der von ihm bearbeiteten und herausgegebenen ,,Vorlestingen 
iiber Geometrie von A. Clebscli", 2. Lieferung, Leipzig 1910, S. 517/29. 

Zwei Kegeischnitte , die in solcher Beziehung zueinander stehen 
wie die Leiden aquianharmonischen (die fur sie gebildeten simultanen 
Invarianten H und ?erschwinden) werden von F. G-erbaldi in Invo- 
lution beflndlich genanufc, Atti della E,. accad. delle scienze di Torino 
17 (1831/2), Torino 1881, S. 566 [1882]. Er betrachtet Gruppen von 
sechs solchen paarweiae in Involution befindliehen Kegelschnitten, an 
die sich neuerdinga ein hohes wissenschaftliches Interesse kniipft. Es 
betrifffe die neuere gruppentheoretische, durch A. Clebsch und F. Klein 
eingeleitete Theorie der Besolventen der allgemeinen algebraischen 
Gleichungen hoherer Grade, nach clem Prinzip, daB die Vertauschungen 
der Wurzeln uuter sich durch lineare Transformationen des Raumes 
ersetzt werden konnen. Vgl. A. Ctebsch w t)"ber die Anwendung der 
quadratiischen Substitution auf die GL-icliung 5. Grades und die geo- 
metrische Theorie des ebenen Funfseik> u , Math. Ann. 4 (1871), S. 284/345 
und das Werk von F. Klein ?> Vorlesungen uber das ikosaeder und die 
Auflosung der Gleichungen vom filaften Grade", Leipzig 1884. An dem 
vorher genannten Ort folgt unmittelbar (S. 846/58) auf die Arbeit von 
Ckbseh der Aufsatz von F. Kltin ,,tJber eine geometrische Eeprasen- 
tation der Eesolventen algebraischer Gleichungen", in dessen SchluB- 
abschnitt S. 355/8 die Wurzeln der Gleichung 6. Grades-durch sechs 
paarweise in Involution liegende lineare Komplexe dargestellt werden, 
so daB ihren Vertauschungen lineare Uniformungati des Punktraumes 
entsprechen. K"un hat in Bd. 47 der Math. Ann, (1896), S, 531/56 [1895] 
A. Wiman (Lund) seine Untersuchungen ,,lJber eine einfache Gruppe 
von 360 ebenen Jlollineationen" vero'ffentlicht,, die mit den geraden 
Vertauschungen von 6 Dingen holoedrisch isomorph ist, uncl in der 
zwei verbundene Gxuppen von je 6 in 15 Paarea harmonischen Kegel- 



Literaturnachweisungen. 433 

sehnitten als Elemente auftreten (sechs gleichberechtigte Ikosaeder- 
kegelschnitte). In Bd. 50 (1898), S. 473/6 [1897] hat F. Gerbaldi eine 
.-gedrangte tJbersicht seiner Ergebnisae angeschlossen. . 

94) Nr. 360, 4, S. 247. Dieser Satz wurde dem Herausgeber (F. Z>.) 
im Marz 1901 von S. Oundelfmger miindlich mitgeteilt, die Satze in 
B. 5 und 6 fand der Herausgeber im August 1915. Dreiecke in sechs- 
fach perspektiver Lage hat zuerst J, Hosanes in seiner in Anm. 93 er- 
wahnten Inaugural-Dissertation S. 18/20 behandelt; er zeigte auch, daB 
awei solche Dreiecke nie reell sind, dafi vielmehr zwei reelle Dreiecke 
h6*chstens vierfach in perspektiver Lage sein konnen. Vgl. auch J". Ro- 
manes, Math. Ann. 2 (1870), S. 549/52 und H. Schroter ebenda, S, 553/62. 
8. Gundelfinger bewies, dafi bei sechsfach perspektiver Lage zweier 
Dreiecke die 9 Schnittpunkte ihrer Seiten die Wendepunkte jeder durch 
sie gelegten Kurve dritter Ordnung sind (Math. Ann. 7 (1874), S. 455 
|1873] und Archiv Math. Phys. (3) 1 (1901), S. 252/4; vgl. auch J". Vdlyi, 
ifonatshefte Math. Phys. 9 (1898), S. 169/76. H. Wiener hat die Satze 
ftber die Lage der sechsfach perspektiven Dreiecke in seiner Abhand- 
iung ^Die Einteilung der ebenen Kurven und Kegel dritter Ordnung 
in 13 Gattungen", Halle 1901, S. 30 durch eine Figur erlautert, wobei 
er fur die vorkommenden imaginaren Elemente die v. Staudtsche Dar- 
stellung des Imaginaren wahlte. Wir erwahnen ferner eine Abhand- 
Iting iiber mehrfach perspektive Dreiecke und Tetraeder von JE? Hess, 
Math. Ann. 28 (1887), S. 167260 [1886]. 

95) Nr. 360, 7, S. 248. Ygl. L. Cremona, The Oxford, Cambridge 
and Dublin Messenger of mathematics 3 (1866), S. 13/4. Schon 1864 
wurde der Satz, dafi die 14 im Text angegebenen Punkte auf einern 
Kegelschnitt liegen, von Cremona als Aufgabe zum Beweis gestellt 
{{Horn. mat. 2 (1864), S, 30) und dann von V Janni (ebenda S. 49/50), 
und von Gr. SakagUni (ebenda S. 52/6) bewiesen. 

96) Nr. 360, 8, S. 249. Diese Gleichung (nur mit etwas anderer 
Bezeichnungsweise) wurde zuerst von N. M. Ferrers aufgestellt, The 
Oxford, Cambridge, and Dublin Messenger of mathematics 3 (1866), 
B. 68/70. Vgl. auch 8. Oundelfinger , Zeitschr. Math. Phys, 20 (1876), 
B. 159 [1874]. 

97) Nr. 360, 10, S. 249. Vgl. F. Gerbaldi, Annali di mat. pura ed 
appl. (2) 17 (1889), S. 168/71; F. Lindemann in der 2. Aufi. der von 
ihm bearbeiteten und herausgegebenen n Vorlesungen tiber Geometrie 
von A. Clebsch", 2. Lieferung, Leipzig 1910, S. 520/3. 

98) Nr. 361, i, S. 251. A. Cayley gab im wesentlichen diese all- 
gemeine Auflosnng des Problems der Beriihrungen (J. reine angew. 
Math. 39 (1850), S. 4/13 [1848] oder Coll. math, papers Bd. 1, Cam- 
bridge 1889, S. 522/31). 

99) Nr. 361, 3, S. 255. Diese Gleichung erhielt zuerst Jl Casey 
-durchBetrachtungender spharischen Geometrie (Proc.E. Irish Acad., 1866). 

100) Nr. 361, 4,-S. 256. Fur diese Ausdehnung des Feuerbachschen 
Satzes siehe Gr. Salmon, Quart. J. pure appl. math. 6 (1864), S. 67/7B 



^ 

101) Nr. 362, S. 257. Vgl. die Abhandlung von S. AronJiold Uber 

eine fundamental Begrundting der Invariantentheorie", J, reine angew. 
Math. 62 (1863), besonders S. 317/20 und 328/9. 

102) Nr. 362, S. 260. Fur die Transformation auf die Eauptachsen 
gtudiere man die Abhandlung von C. 6r. J. Jaeobi, J. reine angew. Math. 
12 (1834), S. 50 ff. [1833] oder Ges. Werke, hrsgg. von K Weierstrass, 
Bd. 3, Berlin 1884, S. 247 ff. und 0. Hesse, Vorlesungen fiber analytische 
Geometrie des Eaumes, Leipzig 1861, S. 237ff.; 3. AufL, hrsgg. von 

Salmon.- Fiedler: anal, Gooai. d, Kejelschn. II. 7. A.ufi. 28 



434 Liter aturnaehweisungen. 

S. Grundelfinger, Leipzig 1876, S. 283 ff,, ferner K Weierstrass, Monatsber; 
d. Akad. cL Wissensch. zu Berlin, Jahrg. 1858, Berlin 1859, S. 207/17 
oder Math. Werke 1, Berlin 1894, S. 232/43. 

103) Nr 362, 2 u. 4, S. 261 u. 262. Die Darstellung der Transfor- 
mation der Gleichungen zweier Kegelschnitte auf das gemeinsame 
System harmonischer Pole in B. 2 und die Gleichungen der Schnitt- 
punkte zweier Kegelscbnitte in B. 4 bat S. Aronhold gegeben in dei 
in Anm. 101 erwabnten Abbandlung; vgl. daselbst S. 328/9 und 319/20, 

104) Nr. 863, S. 266. Die Determinant e, die man aus den par- 
tiellen Ableitungen erster Ordnung von n bomogenen Formen VOB 
n Yer'dnderlichen bilden kann, bezeichnet man nacb dern Yorgange 
yon /. J. Sylvester (Pbilos. Trans. London, Bd. 143 (1853), S. 476 und 546 
oder Coll. math, papers Bd. 1, Cambridge 1904, S. 506 und 583) als 
Jacobische Determinante mit Riicksicht auf eine Abbandlung von 0. G. 
J. facobi, J. reine angew. Math. 22 (1841), S. 327/8 oder Ges. Werke, 
brsgg. von K Weierstrass, Bd. 3, Berlin 1884, S. 403 oder W. Ostwald } 
Klassiker der exakten Wissenscbaften Nr. 78, Leipzig 1896, S. 15. Da- 
her der Name Jacobische Kurve. Die Bezeicbnting Hessesche Kurvt 
odei Hessiane runrt von L. Cremona ^Introduzione ad una teoria geo- 
metrica delle curve piane" in den Memorie accad. scienze 1st. Bologna 
(1) 12 (1861), S. 411 oder Opere matem. Bd. 1, Mailand 1914, S. 438 ; 
deutsche Ubersetzung von M. Curtze ,,Einleitung in eine geometriscbe 
Theorie der ebenen Ejzrven", Greifswald 1865, S. 212 f. 

105) Nr. 865, 8. 271. Vgl. E. Belframi, Mem. 1st. Bologna (2) 2 
(1862), S. 366/82 oder Opere matem. 1, Mailand 1902, S. 49/62; Giorn, 
mat. 1 (1863), S. 110/6; vgl. ubrigens aucb J.jSteMier, J. reine angew 
Matb. 30 (1846), S. 104/5; Giorn. Arcadico di scienze (Rom) 99 (1844), 
S. 157/60 oder Werke 2, Berlin 1882, S. 335/6. 

106) Nr. 365, S. 272. Ygl. zum Yorbergebenden aucb S. Gundel- 
finger, VorlestiDgen aus der analytiscben Geometrie der Eegelscbnitte, 
brsgg. von F.Dingddey, Leipzig 1895, S. 195 201; ferner das in 
Anm. 81 genannfce Werk von H. Grassmann, S, 370/7 und 380 393. 

107) Nr. 365, S. 273. Dieses System wurde zuerst von P. G-ordan 
aufgestellt und von F. Lindemann mitgeteilt in dem Bucbe Yorlesungen 
fiber Geometrie mit besonderer Benutzung der Yortrage yon Alfred 
Clebsch", bearb. und brsgg. von F. Lindemann f Bd. 1, Leipzig 1876, 
S. 288/302; 2. Aufl., 2. Lieferung Leipzig 1910, S. 508/30. 

108) Nr. 366, 2, S. 277. Dies Beispiel ist von W. S. Burnside. 

109) Nr. 367, S. 278. Ygl. A. Cayley, J. math, pures appl. 9 (1844), 
S. 890/1 oder Coll. math, papers Bd. 1, Cambridge 1889, S. 187. Die 
Bezeicbnung Cayleysehe Kurve stammt von L. Cremona ,,Introduzione 
ad una teoria generale delle curve piane" in den Memorie accad. scienze 
1st. Bologna (1) 12 (1861), S. 412/3 oder Opere matem. Bd. 1, Mailand 
1914, S. 439, deutsche Ubersetzung von M. Curtze w Einleitung in eine 
geometriscbe Theorie der ebenen Kurven", Greifswald 1865, S. 215. 
Mitunter wird auch die Bezeicbnung Sermitesche Kurve gebraucbt mit 
Biicksicht auf die Abhandluug von Ch. Hermite, J. reine angew. Math. 
67 (1860), S. 371 oder (Euvres Bd. 2, Paris 1908, S. 100. Sind /, g, Ji 
die partiellen Ableitungen einer ternaren kubischen Form F, so ist die 
Cayleysehe Kurve die n Pippian u von F(A. Cayley, Philos Trans. London, 
Bd. 147, Jahrg. 1857, London 1858, S. 415 [1856] oder Coll math, papers 
Bd. 2, Cambridge 1889, S. 381). Mheres findet man noch bei A. debseh, 
Yorlesungen uber Geomekie, bearb. und hrsgg. von F, Lindemann, 
Bd. 1, Leipzig 1876, S. 519ff., wo auch weitere Literatnrangaben und 
bei G-. Salmon, Analytische Geometrie der hoheren ebenen Kurren, 



Literaturnachweisungen. 435 

bearb. von W. Fiedler, 2 Aufl., Leipzig 1882, 5, Kapitel, besonders 
S. 195ff, 

110) Nr. 367, S. 280. Vgl. & Gundelfinger, Vorlesungen ana der 
analytischen Geometrie der Kegelschnitte, hrsgg. von F. Dingeldey, 
Leipzig 1895, S. 225. 

111) Nr. 367, 2, S. 281. W. Fiedler wurde durch 8. Gundelfinger 
an dieses Beispiel erinnert. Ygl. das dual entsprechende Beispiel in 
dem soeben in Anm. 110 genannten Buche, S. 388. 

112) Nr. 368, i, S. 284. Die Invariants T mirde zuerst von J". J". 
Sylvester (Cambridge Dublin main. J. 8 (1853), S. 267 oder Coll. math, 
papers, Bd. 1, Cambridge 1904, S.420) gegeben, die Beziehung zwischen 
T und den Invarianten 9 m , 1S2J 18S usw. von W. S. Burnside, 
Quart. J. pure appL math. 10 (1870), S. 244 [1869]; von diesem stam- 
men anch mehrere andere in Nr. 368 enthaltene Ergebnisse (Quart. J. 10, 
S. 239 ff.). Der mit Q bezeichneten Determinante auf Seite 20 der 
Abhandlung von Burnside 1st ubrigens ein Minuszeichen vorzusetzen. 
Zum System von drei ternaren quadrafcischen Formen sehe man auch 
/S. Gundelfingers an Ch, Hermite ankniipfende, algebraisch weiterfuhrende 
Untersuchungen in J. reine angew. Math. 80 (1875), S. 73/82 [1874], 
ferner C. Ciamberlini, Giorn. mat (1) 24 (1886), S. 141/57. 

113) Nr. 369, S. 285. Vgl. W. S. Burnside a. a. 0., S. 241. 

114) Nr. 369, S. 285. Ebenda S, 243. Andere Darstellun gen gaben 
mit Hilfe der Symbolik der ternaren quadratischen Formen /. Eosanes, 
Math. Ann. 6 (1873), S. 280/1 [1872], ferner C. Ciamberlini, Giorn. 
mat. 1 (24) (1886), S. 154/7, sowie K. Bohn, Berichte der kgl. sachs. 
Gesellsch. d. Wissensch. zu Leipzig, math.^phys. Klasse, Bd. 67 (1915), 
S. 101/5, Die Darstellung von /. Rosmes fipdet man auch in dem 
Werke A. Clebsch, Yorlesungen fiber Geometrie, bearb. und hrsgg. von 
F. Lindemann, Bd. 1, Leipzig 1876, S. 521/4. 

115) Nr. 371, 2, S. 290 und Nr. 372, 2, S. 292. Diese Beispiele 
stammen von W. S. Burnside. 

116) Nr. 371, s, S. 290, Fur lelieUge projektive Koordinaten findet 
man die entsprechende Formel mit ihrer Ableitung bei S. Gundelfinger, 
Yorlesungen aus der analytischen Geometrie der Kegelschnitte, hrsgg. 
von F. Dingeldey, Leipzig 1895, S. 271/2. 

117) Nr. 373, S. 293. Vgl. P. /. Hensley, Quart. Journ. 5 (1862), 
S. 177183 [1861] und A. Cayley, ebenda S. 275280 oder Collected 
math, papers, Bd. 4, Cambridge 1891, S. 505509 Die Entyyickltmg 
des Textes gab a .Salmon, Quart. Journ. 5 (1862), S. 307 ff. Uber die 
Behandlung des Problems der Biennpunkte mit Hilfe der Algebra 
binarer Formen durch Einfiihrung einer komplexen Veranderlichen 
e = x + iy ver5ffentlichte F, H. Sieleck eine interessante Abhandlung 
J. reine angew. Math. 64 (1865), S. 175 182 '[1864]. Hier findet man 
z. B. (S. 177) den Satz: Sind die beiden Brennpunktpaare zweier Kegel- 
schnitte vier harmonische Punkte eines Kreisea, so liegen die acht Be- 
ruhrungspunkte der vier gemeinsamen Tangenten b eider Kegelschnitte 
auf einem Eireis. Und fur eine Kegelschnittschar gibt es ein festes 
Punktepaar, das mit den Brennpunkten jeder Kurve der Sehar vier 
harmonische Punkte anf einem Kreis bildet. 

Die Anwendung der in den Beispielen von Nr. 373 enthaltenen 
allgemeinen Ergebnisse auf die einem Dreieck urn- und eingeschriebe- 
nen Kegelschnitte (Nr. 302/4) und auf die Kegrelschnitte mit demselben 
Tripel harmoniseher Pole (Nr. 299) liefert zahlreiche interessante Satze. 
Vgl, J. 8temer, J. reine angew. Math. 55 (1858), S. 382 f. oder Ges. 
Werke, hrsgg. von K. Weierstrass, Bd. 2, Berlin 1882, S. 669 f. und die 

28* 



436 Literaturnachweisun gen. 

sick darauf beziehende Dissertation von K. Dorholt, Uber emem Dreieok 
um- und eiageschriebene Kegelschnitte, Munster 1884. 

118) Nr. 374, S. 297. Der Inhalt der Nummern 375377 und 
380382 1st im wesentlichen eine freie Ubertragung mehrerer Absatze 
der wichtigen Abhandlung von A. Cayley ? ,A sixth memoir upon quan- 
tics\ Philos. Trans. Eoy Soc London, Bd. 149, Jahrg. 1859, London 
1860, S. 6190 [1858] oder Coll. math, papers, Bd. 2, Cambridge 1889, 
S. 561592, und zwar entsprechen den Nummern 375, 376, 377 des 
voriiegendea Buches bei Cayley die Absatze 165/6; 209/10; 211/13, den 
Hummern 380, 381, 382 die Absatze 205/8; 214/5; 216/8. Der Inhalt 
der Nummern 378/9 und 383385 ist der Arbeit von F. Klein ^tJber 
die sogenannte Nicht-Eaklidische Geometrie" (Math. Ann. 4 (1871), 
gj. 573625) entnommen uad zwar entsprechen den Nummera 378 und 
379 dea voriiegenden Buches die Paragraphen 3/4 bez. 7, den Nummern 
383, 384, 385 die Paragraphen 9, 11/12, 13 der Abhandlung von Klein. 
Auch ein Teil von Nummer 382 ist 4 dieser Abhandlung entnommen. 
In freier deutscher ftbertragung- erschien die OayleysohQ Theorie schon 
in der zweifcen Anflage von W. Fiedlers Bearbeitung der Salmonschen 
ff Conic sections" iin Jahre 1866; vgl. auch W. Fiedler ,,Die Elemente 
der neueren Geometrie und der Algebra der binaren Formen", Leipzig 
1862, S. 217 235. 

JP, Klein hat in der vorhin erw'ahnten Abhandlung gezeigt, wie 
die Euklidische Metrik als Sonderfall der Cayleyschen Mafibestimmung 
gewonnen werden kann. AnBerdem hat er daselbst die auf die Par- 
allelentheorie sich beziehenden Ergebnisse der Arbeiten von 0. F. Gauss, 
N. L Lobateckefsbij , W. und J. Bolyai sowie anschlieSende Betrach- 
tungen von B. Riemann und H. Helmholtz in neuer Weise dargelegt 
und die Beziehung der Cayleyschen Mafibestimmung zu den verschie- 
denen Mafigeometrien entwickelt, die sich den eben erwahnten Par- 
allelentheorien anreihen. 

Was Crams betrifft, so sind mehrere Brief e zu erwahnen, beson- 
ders solche an W. Bolyai, Chr L. Gerling, W. Olbers, F. W. Eessel, 
H. G. Schumacher, ferner niehrere NotizUatter -, naheres findet man in 
G, F. Gauss' Werke, Bd. 8, Leipzig 1900, S, 157268, Wie Gauss in 
einem Briefe an Schumacher vom 28. November 1846 b'emerkt, geht 
seine Besch&ftigung rnit einer Geometrie, die stattfinden miifite, wenn 
die Euklidische nicht die wahre ware, aof dae Jahr 1792 zuriicik (Brief- 
wechsel zwischen 0. F, Gauss und H. (7. Schumacher, hrsgg. von C, A. 
F. Peters, Bd. 5, Altona 1863, S. 247); Gauss war damals erst 15 Jahre 
alt Vgl. ferner P. StdcM und F. Engel w Die Theorie der Parallel- 
linien von Euklid bis auf Gauss", Leipzig 1895, S. 209236. Auch in 
der Festrede von E. Scliering w Carl Friedrich Gauss' Geburtstag nach 
hundertjahriger Wieclerkehr" (Abhandlungen der kgl. Gesellschaft der 
Wissenschaften zu Gottingen, math.-phys. KL, Bd. 22 (1877), oder Ges, 
math. Werke von E. Sobering, hrsgg. von R. Haussner und K. Sehermg, 
2. Bd., Berlin 1909, S. 176213) wird der wertvolle Inhalt von Briefen 
an W. Botyai und aa F. W. Vessel initgeteilt. Wie erwahnen ferner 
den sehr interessanten, von F. Schmidt und P. Btackel herausgegebenen 
Briefwechsel zwischen Gams und Wolfgang Bolyai, Leipzig 1899. Einen 
ausfiihrlichen Bericht fiber die Untersuchungen von G-OMSS im Gebiete 
der nicht-Euklidischen Geometrie gibt P. StacM in seiner Abhandlung 
r C. F. Gauss als Geometer", Nachr. von der kgl. Ges. d. Wissensch. zu 
Gottingen, Beiheft zum Jahrg. 1917, S. 3866. 

Die hier in Betracht kommenderi Abhandlungen von N. L Lo~ 
batschefsUj sind: ^Uber die ABfangsgriinde der Geometiie u , zueist in 



Literaturnachweisungen. 437 



rassischer Sprache im Kasaner Bote 18291830 erschienen und 
Anfangsgrunde der Geometrie mit einer vollstandigen Theorie der Par- 
allellinien", ebenfalls russisch in den Kasanei Gelehrten Schriften 
1835 1837. Diese beiden Arbeiten wurden von F. Mngel ins Deutsche 
ubersetzt und unter dem Titel N. I. Lobatschefskij. Zwei geometrisehe 
Abbandlungen", 1, Teil, Leipzig 1898 herausgegeben. Der 1899 er- 
schienene, ebenfalls von Engel verfaBte zweite Teil des Werkes ent- 
halt zahlreiche Anmerkungen und einen ausfuhrliehen Bericht fiber 
Lobatschefskijs Leben und Schriften. Wir nennen ferner n lmaginare 
Geometrie" und ,,Anwendung der imagin'aren Geometric auf einige 
Integrate". Diese beiden Abhandlungen ersehienen zuerst in den Ka- 
saner Gelehrten Schriften 1835 bez. 1836 in russischer Sprache. Sie 
wurden von H. Liebmann ins Deutsche 'ubertragen nnd mit zahlreichen 
Anmerkungen versehen tpid bilden Heft 19 der ^Abhandlungen zur 
Geschich'te der mathematischenWissenschaften" (begrundet von M.Cantor), 
Leipzig 1904. Wir nennen endlich noch den Aufsatz ,,Geometrie ima- 
ginaire", J, reine angew. Math. 17 (1837), S. 295320, ferner ^Geome- 
trische Untersuchnngen zur Theorie der Parallellinien", Berlin 1840 
(ein Facsimiledruck erschien 1887) nnd ,,Pangeometrie", zuerst in russi- 
scher Sprache in Kasan 1856 erschienen. Eine deutsche, von H. Lieb- 
mann veranstaltete tJbersetzung der Pangeometrie bildet Heft 130 von 
Ostwalds Kfess. der exakten Wissensch., Leipzig 1902. Alle diese 
Schriften finden sich aueh in der vollstandigen Sammlung der geome- 
trischen Arbeiten Lobatscliefsltijs , von den en der erste Teil 1883, dei 
zweite Teil 1886 in Easan erschienen ist. Ygl. ferner J". Frischauf 
^Elemente der absoluten Geometrie", Leipzig 1876, ein Buch, das 
ubrigens einige Unrichtigkeiten enthalt. 

Bei Wolfgang Botyai (Yater) und JoJiann Bolyai (Sohn)^ erwahnen 
wir das Werk des Vaters W. Bolyai de Bolya w Tentamen inventutem 
studiosam in elementa matheseos purae, elementaris ac sublimioris, 
methodo intuitiva, evidentiaque huic propria, introducendi", Bd. 2 
Elementa geometriae et appendices", Als Anhang enthielt dieser Band 
eine Abhandlung des Sohnes /, Bolyai ^Appendix scientiam spatii ab- 
solute veram exhibens". Das Werk erschien im Jahre 1833 in Maros- 
Yasarhely, Eine neue, von J", Kurschdk, M. Rethy, B. Totdssy de Ze- 
pefhnek veranstaltete Ausgabe des Tentamen erschien in Budapest 
(Bd. 1 im Jahre 1897, Bd. 2 im Jahre 1904), eine solche des Appendix 
1903 ebenda, beide als Festschrift zur Jahrhundertfeier (1902) des Ge- 
burtstages von J. Botyai. In deutscher Sprache .veroffentlichte P. Stdclcel 
den grofiten Teil dieser und anderer Schriften der beiden Bdlyai so* 
wie eine sehr ansf 'iihrliche , mit zahlreichen Literatur-Nachweisungen 
versehene Leben sbeschreibung in dem Werke ^Wolfgang und Johann 
BolyaL Geometrische Untersuchungen", 2 Teile, Leipzig und Berlin 
1913. Eine deutsche Bearbeitung des Appendix gab auch J. Frischauf 
in seinem Buche n Absolute Geometrie. Nach J. Bolyai", Leipzig 1872,. 

Yon B. Riemann ist dessen Schrift M Cber die Hypothesen, welche 
der Geometrie zu Grande liegen" zu erwahnen, die er bei seiner Habi- 
litation in- Gdttingen im Jahre 1854 beim Kolloquium vorlas. Nach 
dem Tode des Yerfassers wurde dieser Aufsatz von E. DedeMnd neu 
herausgegeben in den'Abhandlungen der Gesellschaft d. Wissensch. zu 
Gdttingen, Bd. 13 (1866/7), Gdttingen 1868, S. 133152; vgl. auch 
B, Riemawns gesammelte mathematische Werke, hrsgg. unter Mit- 
wirkung yon E, Dedekind von H. Weber, 2. Aufl. f Leipzig 1892, S. 272 
287. 

Yon IT. Helmholtz ist zu nennen dessen Yortrag w Uber die tat- 



438 Literaturnachweisungen. 

sachlichen Grundlagen der Geometrie", Yerhandl. des naturhistorisch- 
medizinischen Vereins zu Heidelberg, Bd. 4, S. 197206 [1866], nebst 
einem berichtigenden Zusatz Bd. 5, S. 31/2 [1868] oder Wissenschaft- 
liehe Abhandlungen, Bd. 2, Leipzig 1883, S. 610617; vgl. ferner die 
Abhandlung ^tJber die Tatsachen, die der Geometric zum Grunde liegen", 
[achr. von der kgl. Gesellsch. der Wissensch. zu GSttingen, Jahrg 
1868, S. 193 221, abgedruckt in dem eben erwahnten zweiten Bande 
der Wissensch. Abhandl., S, 618 639. AuBerdem ist zu nennen der 
Yortrag ,,"&ber den Ursprung und die Bedeutung der geometrischen 
Axiome" [1870], abgedruckt in H. von Helmholt^ w Yortrage und Reden", 
5. AufL, Bd. 2, Braunschweig 1903, S. 131; ein Zusatz hierzu ebenda 
S. 381383. 

Es wiirde zu weit fuhren, Mer naher auf die umfangreiche Literatur 
uber nicht-euklidisehe Geometric einzugehefi Wir erwahnen noch die 
wichtige Abhandlung von jE, Beltrami w Saggio di interpretazione della 
geonietria non-euclidea", Giorn. di mat. 6 (1868), S. 284312 oder Opere 
mat. Bd. 1, Mailand 1902, S. 374405, aufierdem eine Arbeit Annali di 
mat. (2) Bd. 2 (1868/9), S. 232255 oder Opere mat. Bd. 1, S. 406429, 
sowie die von F. Klein in Math. Ann. 6 (1873), S. 112145 [1872] und 
7 (1874), S. 531537 ver6ffentlichte Fortsetzung der schon fruher er- 
wahnten Abhandlung in Bd. 4 der Math. Ann.; vgl. aucljpd. 37 (1890), 
S. 544572. Noch sei bemerkt, daB Beltrami auch iiber die alteste, 
das elfte (richtiger funfte) Axiom von Eiiklid betreffende Untersuchung 
berichtet hat. Diese findet sich in dem von Hieronymus Saccheri ver- 
fafiten, im Jahre 1733 in Mailand erschienenen Werke ^Euclides ab omni 
naevo vindicatus, sire conatus geometricus quo stabiliuntur prima ipsa 
universae geometriae principia". Dies Werk wurde von Manganotti 
wieder aufgefunden, und Bdtrami berichtet iiber seinen Inhalt in den 
Eendiconti della r. accademia dei lincei (4) 5 (1889), S. 441448; eine 
deutsche Ubersetzung von Buch I des Werkes gaben P. Stcickel und 
F. Engel in ihreni Werke ,,Die Theorie der Parallellinien von Euklid 
bis auf Gauss^, Leipzig 1895, S. 41 136. Saccfieri beweist: Ist in einem 
einzigen Dreieck der Ebene die Summe der Winkel gleich, gro'Ber oder 
kleiner als zwei Rechte, so gilt das entsprechende fur jedes Dreieck. 
Diese Tatsache wurde spater von J". H. Lambert wiedergefanden (Theorie 
der Parallellinien, im Leipziger Magazin fur reine und angewandte 
Mathematik, hrsgg. von J. Bernoulli und 0, F. Hindenburg, 2. Stuck, 
S. 137164, 3. Stuck, S. 325358 [1786],, abgedruckt auch in dem eben 
erwahnten Buche von P. Stcicjcel u. F. JUngel, S. 152208). Sie steht in 
engstem Zusammenhangmit einem Satze von A. M. Legendre 3 nach dem die 
Summe der Winkel eines Dreiecks niemals groBer als zwei Rechte ist 
(Mem. acad. des sciences de Tlnstitut de France, Bd. 12, Paris 1833, 
S. 369); hieraus folgt wieder nach Legendre, daB die Summe der 
Winkel eines jeden Sreiecks zwei Rechte betragt, wenn dies bei einem 
Dreieck der Fall ist. 

Als Yerfasser weiterer Abhandlungen uber nicht-euklidische Geo- 
metrie seien genannt: E. St Ball, E Beez, J57. Beltrami, L. BianM, 
W. K Clifford, M. Dehn, F. Engel, M. Grossmann, G. Hamel, F. Haus- 
dorff, Gr. Hesseriberg, D. Hilbert, J. Hjelmslev, W. Killing, F. Klein, 
H. Liebmann, E. Lipschitz, P. Mansion, S. Newcomb, L. SMesinger, 
F.Schur, F. K Schweikart (1807), M.Simon, P. Staclcel, K Study, 
F. A, Taurinus (1825), /. de Tilly. 

Es seien noch einige Schriften genannt, die mehr oder weniger 
ausfuhrlich im wesentlichen der Belehrung iiber das Gesamtgebtet der 
nichir-euklidisehen Geometrie oder mit ihr in Beziehung stehender Teile 



Literatumachweisungen. 439 

der Geometrie dienen. Einen tlberblick uber die Yersuclie, das Par- 
allelenaxiom zu beweisen, gibt L. A, Sohncke in dem Artikel ,,ParalleF 
in Ersch und Gruber> Allgemeine Enzyklopadie der Wissenschaften 
and Kunste, 3. Sektion, 11. Teil, Leipzig 18S8 7 S. 368384. Wir nennen 
ferner die autograpMerten Yorlesungshefte von F. Klein iiber B Nicht- 
Euklidische Geometrie" vom Wintersemester 1889/90 und Sommersemester 
1890, ausgearbeitet von Fr. Schilling, 2. Abdruck Gotfcingen 1893. Der 
&rste Teil dieser Vorlesungen enthS.lt (S. 62354) emen durch besondere 
Ansehaulichkeit ausgezeiehneten Cberblick uber den Innalt der Schriffcen 
von Gauss, LolatschefsMj, W. und J. Bolyai, Beltmmi, Riemann, Helm- 
holts, Cayley und iiber die eigenen Arbeiten. Eine sehr ausfuhrliche 
Darstellnng gibt auch .F. Lmdemann in seinen n Vorlesnngen iiber Geo- 
.metrie unter besonderer Benutzung der Yortrage Ton A. Clebsch", Bd. II, 
i. Teil, Leipzig 1891, S. 433637, Es seien nock genannt die Werke 
W, Killing w Die nicht-euklidischen Eaumformen in analytischer Be- 
nandlung", Leipzig 1885 (vgl. iibrigens die Kritik dieses Bucnes in den 
zuvor erwahnten antogr. Yorlesungen von F. Klein iiber Nickt-Euki. 
Geom. Bd. 1, S. 293297) und ^Einfuhrung in die Grundlagen der 
Geometrie", 2 Bande, Paderborn 1893 und 1898; S. Lie ; ,Tlieone der 
Transformationsgruppen", 3, Abschnitt, unter Mitwirkung yon F.Sngel 
bearbeitet, Leipzig 1893, 5. Abteilung, S. 393543. Einen Bericht fiber 
die hierher gehorigen Arbeiten von Lie gibt F. Klein, Math. Ann. 50 
<1898), S 583600 [1897]." Wir nennen ferner G. Veronese n Grundziige 
der Geometrie von mehreren Dimensionen", iibersetzt von A. Schepp, 
Leipzig 1894; D. Hilbert ,,Grundzuge der Geometrie", 2. AufL, Leipzig 
1903, vgl. insbesondere Anhang III, S. 107ff.; H. Liebmann ^Nicht- 
^euklidische Geometrie" (Samml. Schubert JSTr. 49), Leipzig 1905; K Th. 
Vahlen ,,Abstrakte Geometrie. Untersucliungen iiber die Grundlagen 
cler euklidischen und nicht-euklidischen Geometrie", Leipzig 1905; 
JR. Bonola M Die nicht-euklidische Geometrie'^ deutsche Ausgabe von 
H. Liebmann, Leipzig und Berlin 1908; F. Schur n Grundlagen der 
Geometric", Leipzig und Berlin 1909, vgl. insbesondere 58; E. Study 
w Die realistische Weltansicht und die Lehre vom Eaum" (t3d, 54 der 
Sammlung w Bie Wissenschaft"), Braunschweig 1914. 

Naheres findet man auch in der Enzyklopadie der math. Wissen- 
schaften mit EinschluB ihxer Anwendungen, und zwar in den Artikeln 
von F. JSnriques n Prinzipien der Geometrie", Bd. 3, 1. Teil, besonders 
S. 82129 [1907] und von 6r. Fano w Kontinuierliche geometrische Grup- 
pen. Die Gruppentheorie als geometrisches Einteilungsprinzip", ebenda 
besonders S. 356372 [1907], Vgl. auch den Artikel von /. Molkrup 
im Eepertorium der hoheren Geometrie , hrsgg. von K H. Timerding, 
"2. Aufl., 1. Halfte, Leipzig und Berlin 1910, S. 505534. 

Ein von 1482 bis zum Jahre 1837 reichendes Literatur-Yerzeichnis 
tber ^Absolute Geometrie" haben P. Stdckel und F. Engel in ihrem 
'"Werke ,,Die Theorie der Parallellinien von EuHid bis auf Gauss", 
Leipzig 1895, S. 293 313 gegeben, und das Yerzeichnis wurde fur die 
Zeit von 1839 bis 1902 fortgesetzt (iiber 900 Titel) von R. Bonola in 
der von der mathematisch-natorwissenschaffclichen Fakultat der Uni- 
versitat Klausenburg zur Jahrhunderfcfeier (1902) des Geburtstages von 
J". Bolyai herausgegebenen Festschrift w loannis Bolyai in memoriam", 
S. 81154. Dieses Buch enth'alt auBerdem den Facsiinile-Druck und 
die lateinische tlbersetzung eines von J. Bolyai an seinen Yater ge- 
richteten Briefes, eine Abhandlung von L. Sehksinger^ iiber die Bedeu- 
iung der abaoluten Geometrie fur die Funktionentheorie und eine solche 
i jon P. StacJcel iiber den Teil der analytischen Mechanik, der sich auf 



440 Literatumaelrweisungen. 

die Mannigfaltigkeiten mehrerer Dimensionen bezieht, beide Abhand* 
lungen in lateinischer Sprache. 

119) Nr. 3T8, S. 804. Ygl. F, Klein, Math. Ann. 4 (1871), S. 686 f,, 
sowie ^Nicht-Enklidische Geometrie, I a , autogr. Yorlesungsheft, ausgeari, 
von F.' Schilling, 2. Abdruck, Gottingen 1893, S. 68ff. Schon K Laguer^, 
hat bemerkt, dafi in der Euklidischen Geonietrie der Winkel zweier 
Geraden g i und g s gleicli dem durch 2 dividierten natiirliehen. Loga- 
rithmus des Doppelverhallnieses 1st, das die Strahlen g lt # g mit dei* 
von ihrein Scbnittpunkt nach den imaginaren Kreispunkten gehendeu 
Strahlen bestimmen (Nouv Ann. math. 12 (185s), S. 64 oder (Euvre* 
de Laguerre, Bd. 2, Paris 1905, S. 12/3). 

120) Nr. 383, S. 811. Ygl. F. Klein, Math. Ann. 4 (1871), S. 600ff.; 
F. Xtindemann, Yorlesnngen nber Geonietrie unter besondeier Benutznng' 
der Yortrage von A. Clebsch, Bd. 2, 1. Teil, Leipzig 1891, S. 496ff. und 
558 ff, 

121) Nr. 385, s, S. 318. Ygl. L. Cremona, Giorn. mat. 1 (1868), 
S. 360/4 oder Opere matematiche, Bd. 2, Mailand 1915, S, 7B/8; ferner 
$. Grundelfinger, Yorlesungen ans der analytischen Geonaetrie der Kegel- 
schnitte, hrsgg. von F. Itingeldey, Leipzig 1896, S. 271/2. Fur den in 
zwei Geraden zerfallenden Kegelschnitt kommt man anf die in Nr. 90, i 
abgeleitete Formel ffir den Flacheninhalt des Dreiecks znriick. 

122) Nr. 386, s, S. 321. Ygl. F. Joachimstihal, J. reine angew. Math, 
26 (1843), S. 178/4; 48 (1854), S, 877/80 [1853]; A. Cayley, J. reine 
angew. Math. 56 (1869), S, 182/5 [1857] oder Coll, math, papers, Bd. 4, 
Cambridge 1891, S. 74/7. 

123) Nr. 386, s, S. 322. Znm Studittm ist sehr zu empfehlen di& 
Abhandlung von A. Clebsch, J. reine angew. Math. 62 (1863), S. 64 lOfr 
[1862]. 

124) Nr. 393, S. 338. Die Methode der reziproken Polaren gab 
7. F. Poncekt, J. reine angew. Math. 4 (1829), S. 171 oder w Traite- 
des propriete's projectives des figures", 2. Ausg., Bd. 2, Paris 1866*, 
S. 57121. Die Abhandlung war im Jahre 1824 der Pariser Akademie 
der Wissenschaften iiberreicht worden. Unabhangig von Poncelet be- 
handelt A. F. Mobius die Polarreziprozitat und das allgemeine projek- 
tive Entsprechen von Punkten und Geraden im 4. und 5. Kapitel de 
3. Abschnittes seines Werkes n Der baryzentrische KalkuP, Leipzig 
1827, S. 413454 oder Gee. Werke, Bd. 1, hxsgg. von J2. Battzer, Leipzig 
1885, S*355~S88. Man vergleiche auch dieDarstellungvonj&./.Jfa^wt^ 
M Sammlung von Aufgaben und Lehrsatzen aus der analytisehen &eo- 
metrie**, Berlin 1833, S. 6071 und (zur Kollineation) S. 8160. 

W. Fiedler verdankte einer freundlichen Mitteilung von Hemt 
A. Voss die Bemerkung, daiB die Substitution sdeterminante der Rezi- 
prozitat liir rechtwinklige Cartesisch-Pluckersche Koordinaten der Dis- 
kriminante des Leitkegelschnittes fur das daraus entspringende Polar- 
system gleich ist (Nr. 391). Herr Ad. Hess, ein Zuhorer von W. Fiedler,.. 
entwickelte die Beispiele 4, 5, 6 in Nr. 391. 

125) Nr. 405, S. 359. M. Ghasles hat die Parabel als Leitkurve- 
der Beziprozitat besonders empfohlen, Corresp. math, et phys., hrsgg. 
von A. Qmtelet, Bd. 6, Briissel 1829, S. 288 ff. und Bd. 6 (1830), S. iff. 

126) Nr. 406, S. 360, Ygl. Anm. 29 in Teil I, S. 446. Hier sei 
noch beigefifgt: Spater wurde diese Methode auf eleipentarem Wege 
als Zirkular-Inversion von E. Townsend entwickelt in dem Werke 
^Chapters on the modern geometry of the point, line, and circle", Bd, ^ 
Dublin 1865, S. S63 400. Zur Anwendung auf das System des Feuer- 

Kreises vgl. A. S. Hart, Quart. J. pure appl. math. 4 (1861),, 



Literaturnachweisungen. 441 

S. 260/1 [1860] und J. Casey ebenda S. 245/52 [1860] und Bd. 5 [1862],, 
S, 318ff.; ferner Anm. 56 des vorliegenden Buches. Zum besonderen 
Studium ist zu empfehlen A. F. Mobius, Die Theorie der Kreisvei- 
wandtschaft in rein geometrischer Darstellung, Abh. kgl s&chs. Gesellsch. 
d. Wissensch. zu Leipzig, math.-phys. KL, Bd. 2 (1855), S. 529 595 
oder Ges. Werke, Bd. 2, hrsgg. von F.Klein, Leipzig 1886, S. 243 314. 

127) Nr. 406, S. 360. Dies bemerkte zuerst W. Fiedler in seinem 
Aufsatze w Die birationalen Transformationen in der Geometric der Lage% 
Vierteljahrssehrift naturforsch. Gee. Zurich, 21 (1876), 

128) Nr. 407, 3, S, 364. Vgl J. Steiner, Systematisehe Entwicke- 
lung der Abhangigkeit geometrischer Gestalten von einander, Berlin 
183*2, S. 305 f., Aufg. 39 oder Ges. Werke, hrsgg. von IL Weierstrass^ 
Bd. 1, Berlin 1881, S. 446 ocler Ostwalds Klass. Nr. 83, hrsgg. von 
A. /. von Oettingen, Leipzig 1896, S. 136. 

129) Nr. 408, S. 365. Das Entsprechen von Punkten in bezng auf 
das Biischel von Kegelschnitten entwickelte J. Sterner in dem eben an- 
gefuhrten Buche, S. 266ff. oder Ges. Werke 1, S. 417 ff. und L. J. Magwus, 
J. reine angew. Math. 8 (1832), S. 5163, sowie ,,Sammlung von Auf- 
gaben nnd Lehrsatzen aus der analytischen Geometrie", Berlin 1833, 
60 (S. 229ff.) und 63 (S. 288 ff.); fur Beispiele vgl. G. Bauer, J. reine 
angew. Math. 69 (1868), S. 293318 [1867], Zur Theorie der quadra- 
tischen Transformation vgl. auch A. Clebsch, Vorlesungen iiber Geome- 
trie, bearb. von F. lAndemann, Leipzig 1876, Bd. 1, S. 475/7; K. DoeJile- 
mann, Geometrische Transformationen (Sammlung Schubert Nr. 28), 
Leipzig 1908, S. 4ff.; H. Grassmann, Projektive Geometrie der Ebene, 
Bd. 2, Ternares, 1. Teil, Leipzig und Berlin 1913, S. 378380. 

130) Nr. 409, S. 368. Die Methode des Entsprechens von Geraden 
in bezug auf ein Vierseit begriindete /. Steiner w Systematische Ent- 
wickelung", S. 277 ff. oder Ges. Werke, Bd. 1, S. 424 

131) Nr. 409, i. 2. 8, S. 369. Die Analogie der Konstruktion der 
gemeinsamen Elemente zweier Polarsysteme mit der Auflosung der 
Gleichungen vierten Grades ist offenbar. H. E. Timer ding (Nachr. kgL 
Ges. d. Wissensch. zu Gottingen, math.-phys. Kl , Jahrg, 1900, S. 108/8) 
hat einen von G. Darloux (J. math, pures appl (2) 18 (1873), S. 220235) 
gegebenen Ansatz in dieser Richtung durchgefuhrt, so daB sich die 
Aufltfsung den Anwendungen der harmonischen Kegelschnitte aDschlieBt^ 
vgl. auch Anm. 93 in vorliegendem Buche sowie eine Arbeit von W. S. 
Burnside, Quart. J. pure appl. math. 10 (1870), S. 211/8 [1869]. K. Lamr- 
mann (Sitzgsb. Akad. Wien, 98, Abt. ll a , Jahrg. 1889, Wien 1890, S. 318 
326 [1889]) und F. Mertens (ebenda S. 431445 [1889]) haben, ver- 
anlaBt durch Abhandlungen von 0. Pelz iiber das Normalenproblem der 
Kegelschnitte (Sitzgsb. Akad. Wien, 85, Abt. II (1882), S. 169/71 und 95, 
Abt. II (1887), S. 482491), die Frage nach den Punkten der Ebene 
analytisch behandelt, fur die die Bestimniung der vier an einen Kegel- 
schnitt zu ziehenden Normalen auf quadratische, mit Zirkel und Lineal 
zu losende Aufgaben zuruckfuhrbar ist. Sie fugen den von Pels ange- 
gebenen Geraden zwei Kreise (fiir die Ellipse) hinzu. Vgl. auch P. JEL 
Schoutt, Sitzgsb. Akad. Wien, 98, Abt. 11% Jahrg. 1889, Wien 1890,. 
S. 15191526. 

Die Anwendung auf das Problem der Normalen in B. 7 verdankte 
W. Fiedler einer Mitteilung von L. Cremona. 

132) Nr. 410, S. 372. Fiir die geometrische Entwickelung der Me- 
thode der Projektion vergleiche man W. Fiedler f Die darstellende Geo- 
metrie in organischer Verbindnng mit der Geometrie der Lage, S. AufL,., 
1. Teil, Leipzig 1883, 2. Teil 1885, 3. Teil 1888; 4. Aufl., 1. Teil, Leipzig 



442 Literaturnaehweisungen. 

1904. Fur die Anwendung auf die Theorie der Kegelschnitte kommen 
besonders Nr. 2136 in Teal 1 in Betracht. Die involutorsiche Kolli- 
neation oder die Zentralkollineation mit A = 1 findet man in Nr. 20 
(3. Aufl., S. 81 ff., 4. Aufl., S. 94 ff.), ihre Anwendung auf die Theorie der 
Kegelschnitte in Nr. SOff. (3. Aufl., S. 148ff., 4. Anfl., S. 169ff,). 

133) Nr. 411, S. 373. Ygl. das soeben angefiihrte Werk von 
TF. Jftedfer,..Teil 1, Nr. 22 f und g (3. Aufl., S. 99100, 4. Aufl,, S. 116/7), 
sowie den tJberblick A, der diese Sonderfalle auf die Beziprozitat uber- 
tragt (3. Aufl, S. 116, 4. Aufl., S. 138 f.). 

134) Nr. 413, S. 379. Die Yerwendung der Projektion als Methode 
zur Entdeckung von Satzen verdankt man J. V. Powcelet, Traite des 
proprietes projectives des figures, 1. Ausg., Paris 1822; 2. Ausg., Bd. 1, 
Paris 1865. Man kann dies Werk als grundlegend fur die neuere Geo- 
metrie (in einem weiteren als dem iibliehen Sinne des Wortes) be- 
zeichnen. Fiir die Tiefe der geometrischen Einsichten yon Poncelet 
ist die Fassung aufklarend, die er der Losung der Aufgabe gibt; Zwei 
Kegelschnitte derselben Ebene spllen zugleich in Ereise projiziert wer- 
den, welches ist der Ort der Projektionszentra und welches ist die Lage 
der zugehorigen Projektionsebenen? (Siehe im Text S. 387 f.) Die Ant- 
wort von Poncelet lautet: Die gesuchten Projektionszentra liegen in 
ebensoviel Kreisperipherien als die gegebenen Kegeischnitte ideale ge- 
meinsame Sehnen haben ; diese Kreise werden je aus dem Mittelpunkt der 
idealen Sehne mit der H&Lfte derselben als Eadius in der Normalebene 
zu. ihr beschrieben; die zugehorige Projektipnsebene ist parallel der 
Verbindungsebene des Projektionszentrums mit der zugehorigen idealen 
Sehne (Traite des proprietes projectives des figures 1. Ausg., Paris 1822, 
Nr. 121, S. 60f., 2. Ausg., S. 59; die Aufgabe ist in Ann. math, pures 
appl. 7 (1816/7), S. 128 gestellt worden). _ 

Die gemeinsamen idealen Sehnen sind (an 2ahl hochstens zwei) 
Yerbindungslinien konjugiert imaginarer Schnittpunkte oder Geraden 
mit einerlei elliptischen Polinvolutionen. Der Mittelpunkt ist der Mittel- 
punkt der Involution, der Radius der Abstand ihres symmetriachen 
Paares von ihm. 

Im Hinblick auf die rechnerischen Bemiihungen zur Losung be- 
merkt Poncelet, dafi die offenbar gewordenen Schwierigkeiten in dem 
Umstande ihren Grrund finden, daB der fragliche Ort durch eine Grlei- 
chung 12. Grades ausgedruckt wird, die in sechs Faktoren 2. Grades 
zerfallt. 

135) Nr. 414, 4, S. 383. Ygl. das in Anm. 132 angefuhrte Werk 
von W. Fiedler, besonders Nr. 20, B. 14 und 15 (3. Aufl., S. 8688, 

4. Aufl., B. 1417, S. 100104). 

136) Nr. 415, S. 384. Die Einfiihrung gleichbenannter Bruche fur 
Cartesisch-Pluckersche Koordinaten zur IJberfuhrung dei Gleichungen 
zwischen ihnen in homogene Form wie bei L. 0. Hesse (z. B. Yor- 
lesungen aus dpr analytischen Geometrie der geraden Linie, des Punktes 
und des Kreises in der Ebene, 1. Aufl., Leipzig 1865, S. 98 ?>> 4. Aufl., 
hrsgg. von S. Grundelfinger, Leipzig 1906, S. 140) ist also Ubergang 
zur Untersuchung einer Projektion der urspriinglichen Figur an ihrer 
Stelle, sobald dieser Nenner als Yeranderliche behandelt wird. 

137) Nr. 416, S. 387. YgL das in Anm. 132 angefahrte Werk von 
W. Fiedler, Nr. 11 (3. Aufl., S. 87 ff., 4. Aufl., S. 43 ff.) und besonders 
Nr. 14f. (3. Aufl., S. 47 ff., 4. Aufl., S. 66 ff.) und wieder Nr. 18, 10 (3. Aufl., 

5. 74 1 4. Aufl., S. 87). Man sieht, daB in vereinigten projektiven Ge- 
bilden erster Stufe die Symmetrischen der Doppelelemente in bezug 
auf die Gegen- oder Grenzelemente sich entsprechen. Fur entsprechende 



Literatumachweisungen. 443 

Eigenschaften der Strahlen- und Ebenenbundel vergleiche man Teil 3 
des genannten Werkes, Nr. 71 (S. 481 der 3. Auflage). 

138) Nr. 418, S. 392. In der Geometrie der Alten betrachtete man 
ursprunglich die Kegelschnitte nnr am geraden Kreiskegel und nur 
unter der Voraussetzung, dafl die Schnittebene zu einer Seitenlinie des 
Kegels (der einen Seite des Achsendreiecks) rechtwinklig sei, d. h. daft 
M jY rechtwinklig zu OB sei. Hiernach warden die Kegelschnitte ein- 
geteilt in Schnitte des spifczwinkligen, rechtwinkligen oder stumpf- 
winkligen Kegels (Ellipse, Parabel, Hyperbel). Apollonius zeigte (urn 
225 v. Chr.), dafi alle drei Kurven ans dem namlichen scMefen oder 
geraden Kegel geschnitten werden konnen und legte ihnen ans dem 
in Nr. 192 (Teil 1, S. 370) angegebenen Grunde die Naraen Ellipse, 
Parabel, Hyperbel bei. Ygl. auch Anm. 59 in Teil 1, S. 450, sowie 
F. Schw, Lehrbach der analytischen Geometrie, Leipzig 1898, S. 15. 

139) Nr. 422, S. 395. Der Hanptsatz stammt von &. P. l)andelin, 
Nouv. Me'm. Acad. Bruxelles 2 (1822), S. 172. Man findet die Entwick- 
lung bei J. Steiner, Yorlesnngen iiber synthetische Geometrie^ 1. Teil, 
Die Theorie der Kegelschnitte in elementarer Darstellung, bearb. von 
0. F. Geiser, 3. Aufl., Leipzig 1887, 24, S. 174. Vgl. auch 0. 8chl8- 
milch, Gmndzuge einer wissenscnaftlichen Darstellnng der Geometrie 
des MaBes, 2. Teil, Geometrie des Eaumes, Eisenach 1854, S. 110, 118/9, 
121 und 131; TF. Fiedler, Die darstellende Geometrie in organischer 
Yerbindung mit der Geometrie der Lage, 3. Aufl., 2. Teil, Leipzig 1885, 
9, S. 59 ; If. CJiasles, Apercu historique sur Torigine et le developpe- 
ment des me'thodes en geometrie, 2. Aufl., Paris 1875, S. 286/7, die 
erste Auflage aus dem Franzosischen iibertragen von L. A. Sohnclce 
unter dem Titel: GescMclite der Geometrie, hauptsachlich mit bezug 
auf die neueren Methoden, Halle 1839, S. 289. 

140) Nr. 422, FuBnote S. 397. Ygl. Mulcahy Principles of modern 
geometry", 2. Anfl., Dublin 1862. 

141) Nr, 423, S. 398. Das Prinzip der Kontinuitat stellte f. V. 
Ijpncelet in seinem in Anm. 134 genannten Hauptwerk auf (1. Ausg., 
S. 3Hf., 6770, 225/6, 414/6; 2. Ausg. bez. S. XIV, 65/8, 218/9, 405/8). 
Ygl. auch das in Anm. 139 genannte geschichtliehe Werk von M. Chasles, 
S. 199200 in der franzosischen, S. 195/6 in der von L, A. Sdhncke ver- 
anstalteten deutsehen Ausgabe; ferner JB?. K6tter > Die Entwickelung 
tier synthetischen Geometrie von Monge bis auf Staudt (1847), Jahresber. 
4eutsch. Math.-Yer. 5, Leipzig 1901, S. 121/2 und A. ScMnflies, Projek- 
tive Geometrie, in der Enzyklopadie der mathematischen Wissenschaffcen 
mit EinscHuB ihrer Anwendungen, Bd. HI, 1. Teil, S, 395/7 [1909]. 

142) Nr. 425, s, S. 403. Ygl. J". Steiner, J. reine angew. Math. 45 
(1853), S. 219 [1852] oder Ges. Werke, hrsgg. von K. Weierstrass, Bd. 2, 
Berlin 1882, S. 477/8. 

143) Nr. 428, i, S. 411. Dieser Beweis der Formel von J". Mac 
Cullagh (Dublin Exam. Papers 1836, S. 22) stammt von Ch. Graves. 

144) Nr. 429, S. 412. Ygl. das in Anm. 132 erwahnte Werk von 
W. Fiedler, 3. Aufl., 1. Teil, Nr. 10, S. 31 oder 4. Aufl., 1. Teil, S. 36, 
fur das Orthogonalsystem dasselbe Werk, 3. Teil, 3. Aufl., Nr. 74, 
S. 511 f. 

145) Nr. 429, S. 412. Der Ausdruck Orthogonalsystem findet sich 
auch bei P. H. Zech, Die hohere Geometrie in ihrer Anwendung auf 
Kegelschnitte und Flachen zweiter Ordnung. 1857. 

146) Nr. 430, S. 414. YgL A. F. Mtibius, Berichte der kgl. s^chs. 
Oesellsch. d. Wissensch. zu Leipzig, math.-phys. KL, Bd. 10 (1858), S. Iff. 
oder Ges. Werke, Bd. 2, hrsgg. von F. Klein, Leipzig 1886, S. 329 ff.; 



444 Literaturnachweisungen, 

A. Cayky, Annali di mat. (2) 1 (1867), S. 132/4 oder als Annex H der 
Abtandlung n On polyzomal curves", Trans. Boy. Soc Edinburgh 25,. 
Jahrg. 1868 [1867] oder Coll. math, papers, Bd. 6, Cambridge 1893, 
S, 5(58570; Bd. 7, Cambridge 1894, S. 115. 

147) Nr. 430 B., S. 416. Mr die Ausdehnung auf die Konstruktion 
der Kreise, die drei gegebene Kreise unter vorgeschriebenen Winkeln 
sclmeiden, vgl. J. Steiner, J. reine acgew. Math. 1 (1826), S, 162 oder 
Ges. Werke, hrsgg. von K. Weierstrass, Bd. 1, Berlin 1881, S. 20 f. oder 
Oswalds Klass. Nr. 123, hrsgg. von JR. Stwm, Leipzig 1901, S. 5; ferner 
G. Darboux, Ann. ecole normals sup. (2) 1 (1872), S* 323392, beson- 
ders S. 377 f. 

148) Nr. 431, .S, 416. Die Entwickelung der ?? Zyklographie als 
einer Methods der Untersuchtmg der Kreis- und Kugelsysteme kniipfte- 
W, Fiedler an die Benutzung des Distauzkreises zur Festlegung des 
Zentrams in der Zentralpiojektion, Ygl. W. Fiedler M Die Zentralpro- 
jektiou als geometrische Wissenschaffc", Progr. Chemnitz 1860. Derselbe 
Yerfasser hat den Gegenstand elementar dargestellt in seinem Werke 

ZyklograpMe oder Konstruktion der Anfgaben iiber Kreise und Kugeln** 
Leipzig 1882. In Nr. 178-181 (S, 252283) 1st daselbst das im Text 
wiederbolt bebandelte System des Fenerbachscben Ereises im Dreieck 
zyklograpliiscli erlautert nnd yeryollstandigt; namlicb durcn das Qua- 
drapel von Kreisen, das die Beriihrungskreise im Dreieck unter gleichen, 
endlichen Winkeln scbneidet und die vier Tripel Apolloniscner Ejreise^ 
die 211 jenen anfier dem PeuerbacHschen und den Dreiecks-Seiten noch 
gebQren. 

Weitere Anwendnngen enthS.lt das in Anna. 132 genannte Werk 
liber darstellende Geometrie von W. Fiedler, besonders der zweite TeiL 
Es seien noch eisige Anwendungen ans dem Gebiete der Kegelscbnitt- 
systeme angefuhrt, die die neueste Literafcnr biefcet Die Untersnchung^ 
der AuflSsung der biquadratischen Grleicliiingen von H. 1$. Timerding f 
die' schon in Anm. 131 erwahnt ist, lauffc aus in das Studium eines 
dreifach unendlichen linearen Kegelschnittsystems und -wird durcb die 
eindeutige Zuordnung seiner Kegelschnitte zu den Punkten des Baunfes- 
anschaulicb gefuhrt; eine Flache dritter Ordnung lafit die Beziehnngefc 
der Kegelschnitte des Systems unter sich und zu den samtlichen Kegel- 
scbnitten der Ebene erkennen. 

P. J3*. Schoute bat (Amsterdam, koninklijke Akad. van Weten- 
schappen, Yerslagen van de Vergaderingen, Bd. 7 (1899)) direkt zyklo- 
graphiseh die Kreise von F. JoacMmthal (J. reine angew. Math. 26 
(1843), S. 172ff.) aus der Normalentheorie des Eegelschnittea untersucbtr 
Die FuSpunkte J., J5, 0, D der vier Normalen ans einem Punkte P 
Megen so, daJB der Kreis durch drei von ihnen, z. B. B 3 C, D, auch 
durch den diametral entgegengesetzten A' des vierten geht. Mit der 
Bemerkung namlich, dafi dieser Kreis die Tangente des Kegelschnittes 
in A' noch im FuBpunkt ihrer Normale vom Mittelpunkt aus trifft, er- 
kennt man eofort, daB die Kreise fur alle Normalentripel aus Punkten 
der Normale in A ein Btischel mit reellen Grundpunkten bilden, daa 
zyklographische Bild einer gleichseitigen Hyperbel mit ihiien als Scbeitel 
nnd in der Normalebene zur Kegelschnittebene. Diese Hyperbeln er- 
fiillen eine zur Kegelschnittebene orthogonalsymmetrische Flache achter 
Ordnung, deren Ontersuchung 211 einfachen Ergebnissen nber jenes 
Kreissystem fiihrt. 

Am gleichen Orte wie P. H. Schoute hat J". de Vries das System, 
der Hauptkreise fox die Kegelschnitte eines Biischels und eines ' 
fur Scliar und Geweoe mit denselben Iditteln untersticht. 



Naehtrage und Bericlitignngen. 445 

149) Nr. 431, S. 417. Dies Mitfcel fiihrt auch in den Fallen zura 
l, wo die rein planimetrisehe Methode nicht direkt anwendbar bleibt, 
wie bei Kreisen mit einerlei Zentrale. Das wesentliche Fortbestehea 
derselben Konstruktion fur die Kreise, die drei gegebene uater verge- 
s' chriebenen Winkeln schneiden, hat W. Fiedler in seinem in Anm. 148 
erwaknten Werke uber Z yklographie, Nr. 126131 (S. 169 177), gezeigi, 



Nachtrag 

xii dem im Jahre 1915 erscbienenen era ten Teile des vorliegendea 

Buches. 

Bei S. 443, Anm. 2 m6ge als weitere Literatur aur grapMscbea 
Darstellung von Fnnktionen und zum Koordinatenbegriff nocb genannt 
werden: H. Wieleitner ff Uber den Funktionsbegriff und die graphische 
Darstellung bei Oresme", Bibi. math. (3) 14 (1913/14), S. 193243; die 
Festschrift der Technischen Hochschnle am Karlsruhe, herausgegeben 
von A. Krazer B Zur Geschichte der graphischen Darstellung von Funk- 
tionen", Karlsruhe 1915 oder Jahresber. Deutsch, Math.-Yer. 24 (1915), 
S, 340 363; H. Wieleitner n Zur Erfindung der analytiachen Geometric",, 
Zeitschr. math, naturw. Unterr., 47. Jahrg. (1916), S. 414426 und eine 
Abhandlung desselben Verfassers uber Nikolaus Oresme in der Zeitschrift 
^Natur und Kultur", 14. Jahrg. (1917), S. 529536. 

Naclitrag 

zum vorliegenden zweiten Teile, 

Zur FuBnote von S. 196: Die Samme der sechs Doppelverhaltnisse 
1st auch deshalb gleich 3, weil eich die sechs Werte so gruppieren 
lassen, da8 die Summe von je zweien gleich 1 wird; es ist n'aralich 



Berichtigungen 
zu Teil I 

Auf Seite 145, unterste Zeile, hat das dem Gliede +1 voraus- 
gehende Glied in der linken Spalte der Seite den Faktor t>, in der 
xechten Spalte den Faktor y zu erhalten. 

Seite 447, Zeile 4 von unten lies Liouville statt Lwnvttk. 



Koordinaten - Geometric. 

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Study. E. Vorlesungon tiber ausge-wahlte Gegenst^inde der Geometrie. <ja. 
5 JBande roa je 1012 Bogeii. gr. 8. steif geb.. 

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Mit 9 Fig. IV, 12G S. 1911. n.M 4, 80. 

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1913. n.M 5.60. 

Tliomae, J. Grnndrifi einer analytischen Geometrie der Bbene. Mit 8 Fig. 
X, 183 S. gr. 8. 1906. geb. n. J 3.60. 

Zetithen, H, 0,, Lehrbueh der abzahlenden Metaodon der Geometrie Mit 
38 Fig. XII, 894 S. gr 8. 1914 gek. n. M 16., geb. n. M 17. 

b. Liniengeometrle. 

Clebsch, A., Yorlesungen tiber Geometne, Heiaaag. von T 1 . Lindemann. 
(Sieae oben nnter a.) 

Study, E.j Geometrie der Bynam.eS! Die ZusammensetzTiiig von Kraften und 
Terwandte Gegenstande der Geometrie. Mit 46 Fig. und 1 Tafel. XTIT, 
60a S. gr. 8. 1903, geh. n JI/L 21., geb. n. M. 23. 

Xeutltew, H. 0., Lenrbuch der abzahlenden Methoden der Geometrie. iSiehe 
oben unter a.) 

c. D inferential geo me trie. 

B ianchi, Ii., Vorlesungen Uber Differentialgeometrie. Autorisierte deutsche 0ber- 
setzung von M. Lnkat. 2. vermehrte und verbesaerte Auflage. XYUI, 
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